高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数学案 文

2．5 指数与指数函数[知识梳理]1．根式2．分数指数幂3．无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4．指数函数的概念、图象与性质特别提示：1.na n与(na)n的区别(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．2．a对y＝a x(a>0且a≠1)的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．[诊断自测]1．概念思辨(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．( )(2)函数y＝a x与y＝－a x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．( )(3)若a m <a n(a >0且a ≠1)，则m <n .( )(4)函数y ＝a x 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(必修A1P 59T 7)⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23的大小关系是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 答案 A解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x在R 上为减函数，23>13，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 . ∵y ＝x 23 在(0，＋∞)上为增函数，23>25>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 13 >⎝ ⎛⎭⎪⎫23 23 >⎝ ⎛⎭⎪⎫25 23 . 故选A.(2)(必修A1P 60T 4)若2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B解析 ∵2x 2＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，∴2x 2＋1≤2－2x ＋4，∴x 2＋1≤－2x ＋4，解得－3≤x ≤1， ∴函数y ＝2x 的值域为[2－3,2]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2.故选B. 3．小题热身 (1)函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)答案 D解析 ∵a 0＝1，故x －2＝0时f (x )＝2，即x ＝2时f (x )＝2.故选D. (2)函数y ＝a x－a －1(a >0且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到的，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a>1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.题型1 指数幂的化简与求值典例 化简：(1) (a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278 －23 ＋(0.002) －12 －10(5－2)－1＋(2－3)0.根据指数幂运算法则计算．解(1)原式＝＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－827 23＋50012 －10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.方法技巧指数幂的运算规律1．有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． 2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．3．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．4．若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．注意平方法和开方法，见冲关针对训练1,2.提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．冲关针对训练1．(2018·资阳模拟)若0<a <1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．2答案 C解析 ∵a b＋a －b＝22， ∴a 2b＋a－2b＝8－2＝6.∴(a b －a －b )2＝a 2b＋a －2b－2＝4.∵0<a <1，b >0， ∴a b<a －b，则a b －a －b＝－2.故选C.2．若a 12 ＋a －12 ＝x 12 (a >0)，则x －2＋x 2－4xx －2－x 2－4x的值是________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2(a ≥1)，a －2(0<a <1)解析 由x 12 ＝a 12 ＋a －12 ，得x ＝a ＋1a＋2.∴x 2－4x ＝x (x －4)＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2.∴原式＝a ＋1a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝a ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a a ＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2(a ≥1)，a －2(0<a <1).题型2 指数函数的图象及应用典例 若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．用数形结合法．答案 [－1,1]解析 曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．[条件探究1] 若将本典例中“|y |＝2x＋1”改为“y ＝|2x－1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．解 曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．[条件探究2] 若将本典例改为：函数y ＝|2x－1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围是什么？解 因为函数y ＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．[条件探究3] 若将本典例改为：直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是什么？解 y ＝|a x－1|的图象是由y ＝a x先向下平移1个单位，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折过来得到的．当a ＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0＜a ＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a ＜1，得到0＜a ＜12，如图(2)．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 方法技巧指数函数图象的画法及应用1．画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2．指数函数图象的应用(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．见典例．冲关针对训练(2017·湖南月考)如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E ，某指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A. 2 B ． 3 C ．2 D ．3答案 A解析 设E (t ，a t)，易知点B 的坐标为(2t,2a t)．∵B 点在函数y ＝a x的图象上， ∴2a t＝a 2t，∴a t ＝2(a t＝0舍去)．∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t·2t ＝4t . 又平行四边形OABC 的面积为8， ∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.题型3 指数函数的性质及应用角度1 比较指数幂的大小典例 (2015·天津高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a用转化法．答案 C 解析 ∵f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，∴m ＝0，a ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)．又∵b ＝f (log 25)，c ＝f (0)，log 25>log 23>0，函数f (x )＝2|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，∴f (log 25)>f (log 23)>f (0)，即b >a >c .故选C.角度2 求指数型函数中参数的取值典例 (2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.用方程法．答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.角度3 指数函数性质的综合应用 典例 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0. 方法技巧综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略冲关针对训练1．(2018·珠海模拟)若x log 52≥－1，则函数y ＝4x－2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0答案 A解析 x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 515⇒2x ≥15，令t ＝2x ，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，当t ＝1，即x ＝0时，取得最小值－4.故选A.2．若不等式(m 2－m )2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 －2<m <3解析 (m 2－m )2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1可变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.1．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝2 43 ，b ＝425 ，c ＝25 13，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 因为a ＝2 43 ＝4 23 ，c ＝25 13 ＝5 23 ，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以4 23 <5 23 ，即a <c ，又因为函数y ＝4x在R 上单调递增，所以425 <4 23 ，即b <a ，所以b <a <c .故选A.3．(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是()答案 A解析 因为当x ≤0时，2x≤1；当x >0时，2x>1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，1，x >0，图象A 满足．故选A.4．(2018·河南百校联考)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715 ，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )答案 B解析 易知f (x )＝2x －2－x在R 上为递增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97 14 >⎝ ⎛⎭⎪⎫97 15＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．故选B.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{|x x ≥2且x ≠73}；④若5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解析 (a 2) 32 >0，a 3<0，故①错误．∵a <0，b >0， ∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，….∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x1·a x2＝a x 1＋x2＝a 0＝1，故选A.4.(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是( )A ．{0}B ．{－3}C ．{－4,0}D ．{－3,0}答案 D解析 ∵偶函数f (x －2)的图象关于y 轴对称， ∴函数y ＝f (x )的图象关于x ＝－2对称． ∵当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2，∵f (x )＝ex ＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f (－1)<0，f (0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f (x )＝ex ＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x <－2时，存在唯一零点x ∈(－4，－3)．由题意，方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k －1＝－4或k －1＝－1，k ＝－3或k ＝0.故选D.6．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )和f (c x)的大小关系是( )A ．f (b x)≤f (c x) B ．f (b x)≥f (c x) C ．f (b x)>f (c x)D ．大小关系随x 的不同而不同 答案 A解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x≥2x≥1， ∴f (3x)≥f (2x )．若x <0，则3x <2x<1， ∴f (3x)>f (2x)． ∴f (3x)≥f (2x)．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x－a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a|x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1 ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5 ≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14答案 C解析 由e x＝1＋f (x )1－f (x )，可得f (x )＝e x－1e x ＋1＝1－2e x ＋1，由f (x 1)＋f (x 2)＝1，可得11＋e x 1＋11＋e x 2＝12，即为ex 1＋x 2＝e x 1＋e x2＋3，由e x1＋e x2≥2e x 1＋x 2，即有e x 1＋x 2≥2ex 1＋x 2＋3，解得 ex 1＋x2≥3，即ex 1＋x 2≥9，当且仅当x 1＝x 2，取得等号，则f (x 1＋x 2)＝1－2e x 1＋x 2＋1≥1－29＋1＝45.即有最小值为45.故选C.二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a>0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知k OA <k OB <k OC ，∴f (a )a <f (b )b <f (c )c. 13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x ＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小， ∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数； ③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大， ∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数； ④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]存在x 2∈[－2,2]使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1,2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1.三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.(2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根， 即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根．解法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，a 2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ， 由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1. (2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5] ，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。