镜像延拓在EMD方法中的研究及应用
采用镜像延拓和RBF神经网络处理EMD中端点效应
振 动 、 试 与诊 断 测
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＶｉｒ ｔｏ Ｍ ｅ ｓ ｒ ｍｅ ｔ＆ Ｄｉｇ ｏ ｉ ｏ ｒ ａ ｂ ａ ｉｎ， ａ ｕ ｅ ｎ ｏ ａ ｎ ｓｓ
Ｖ ｏ ．３ ｏ． １ ０Ｎ ４ Ａ ｕｇ． ２ ０ ０１
采用镜像延拓和 ＲＢ Ｆ神经 网络处理 Ｅ ＭＤ 中端点效应。
大 ， 分解 出第 ３阶分量 。 未 由于三 次样条插 值 时需要 用 到前后 各 两 个 临 近点 ， 用 三 次样 条 函数 进行 曲 利 线拟 合 出现 这样 的 问题 是 很 自然 的， 决 的惟 一 途 解
韩 建平 ， 钱 炯 董 小 军 ，
（ 兰 州 理 工 大 学 防 震 减 灾 研 究 所 兰 州 ，３ ００ ７０５） （ 济 大 学 土 木 工 程 防 灾 国家 重 点 实 验 室 同 上 海 ，００ ２ ２０９）
摘要
在 分 析 经 验 模 态 分 解 端 点 效 应 出 现 原 因 的 基 础 上 ， 用 镜 像 延 拓 法 和 径 向基 函 数 神 经 网络 预 测 法 对 端 点 效 采
ｐ ｓ ｉｎ 简称Ｅ ｏｉ ｏ ， ｔ ＭＤ） 和Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ 变换 。 过Ｅ ｂ 通 ＭＤ 可将
定 性 ， 一 次 样 条 插 值 都 有 拟 合 误 差 ， 差 不 断 累 每 误
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积， 分解 出来 的第 ｚ Ｉ 个 ＭＦ端 点处会 有较 大的误 差 。 第 ２个 Ｉ ＭＦ的分 解 是 建 立 在 原 始数 据 减 去第 １个 Ｉ ＭＦ的残余 项 的基 础 上进 行 的 ， 由于第 １个 Ｉ ＭＦ的 误差 ， 残余项 也 产生 误差 ， 使 导致 分解 的第 ２个 Ｉ ＭＦ
EMD算法在雷达成像中的应用
电子科技大学颟±学德论文４．４傍彝处理结果为了涯骥该方法实际ＳＡＰ．成像中酌作壤，我们将对五点鼹檬避牙傍真戏像。
著绘邂与覆方法靛对琵强。
瀚＿幸。
１４跫未装嗣本方法藩懿ＳＡＲ戚豫臻祭，建霆中可见，出予噪声的影响，搜褥裁像清晰度受到影嫡。
潮４．１５是采周本擎方法嚣的ＳＡＲ成像结果，由图可知，清晰艘明显得到提高。
４．５本潦小缩匿４．量聿米采用ＥＭＤ方法的ＳＡＲ成像结果匿圈４－１５采镬ＥＭＤ方法螽酾ＳＡＲ或像结果鹫遵避本牵豹研究与仿囊缭暴，对于ＥＭＤ方法在ＳＡＲ成像孛鹣斑用，傲篷了裙步论谖。
已蠢熬瘟霜串，仅将ＥＭＤ努簿嚣麴第一令／ＭＦ分嚣，嚣第一个嵩频成分馓为操声送行去除。
零濑主要工作是拭分擀佘爨豹角度，根攥余量在季审朝旁瓣上的特点，首先对脉冲Ｉ瞩度避行近似恢复，然后做最小值提取，从而优化匮配滤波结聚。
在这一过程中，幽予做最小值提取，照服了ＥＭＤ分解中Ｗ能产生的端点发数；仅采瘸两次ＥＭＤ分解，节约了运算辩阕。
从面为ＥＭＤ方法浆蠢效应角抒下了蘩旗。
利用优化后的匹配滤渡结祭成像，其仿真络聚说明方法的有效憔。
第五章ＥＭＤ算法在ＩＳＡＲ成像中的应用图５一ｌ单点回波信号圈５－２经包络对齐后的单点回波若我们将仿真中单点目标的速度提高一倍，并给予一定加速度，ｎ＝ｇ，即加速为９．８ｍ／ｓ２时，再次对单点进行成像仿真。
图５－３非匀速的单点回波图５－４经包络对齐后的非匀速单点回波对比相应的两幅图可以看非匀速状态下需进行包络对齐的回波段增加，且对于单点来说，包络对齐后不再近似为一条直线，而是放射性的近似为一个三角形，事实上，随着速度的提高和加速度的增加，这种放射性状况会更加严重，形象的说，三角形的底线长度会越来越宽。
这一结果反映在成像图上，即散焦现象越来越严重。
图５－５和图５－６分别给出了匀速和非匀速状态下的ＩＳＡＲ成像结果图．。
EMD自适应三角波匹配延拓算法
（ 解放军理工大学， 南京 210007 ）
要： 波形匹配延拓是遏制经验模态分解（ EMD） 端点效应的有效方法， 针对现有波形匹配延拓方法的不足， 提
出了一种自适应的三角波形匹配延拓方法， 改进了三角波匹配度的计算方法和匹配子波的寻优算法 。改进的三角波匹配 度计算方法， 突出延拓平顺性的同时， 加强了端点处数据与内部波形的关联 。自适应的匹配寻优算法， 首先在固定极值点 对应的波段内部搜寻局部最佳子波的截取时刻， 截取局部最优匹配子波， 然后在局部最优子波内搜寻全局最优匹配子波， 提高了子波截取的合理性与匹配的准确性 。仿真信号及实验信号分析表明， 该方法可有效抑制 EMD 端点效应， 显著提高 分解精度。 关键词： 经验模态分解； 端点效应； 波形延拓； 自适应三角波匹配 中图分类号： TP274 文献标识码： A DOI： 10． 13465 / j． cnki． jvs． 2014． 04． 017
［5 ］ ［4 ， 6 －7 ］ 、 基于距离的波形匹配法 以及相似三角波
不 该方法用原始波形内部的一段子波实现延拓， 但充分考虑了信号近端点处的数据变化趋势信息， 同 时兼顾了端点处信号与内部信号的联系， 在获得波形
配法
96
振 动 与 冲 击
2014 年第 33 卷
由于 平顺延拓的同时， 维持了信号的原始特征。 但是， 该方法建立在子波数据逐点比对的基础上， 因此要求 子波间的数据长度严格一致， 导致在应用中存在一些 问题。 （ 1 ） 致使无意义的子波截取 当波形的时间尺度变化较大或子波较长时， 难以 保证所截取的子波在参考极值两侧具有相同的增减特 性。如图 4 ， 按照等长度截取子波 S1 及 S8 ， 其中 S8 包含 了两个极大值点， 使得匹配失去实际意义。
EMD方法基于AR模型预测的数据延拓与应用
Ｊｎ ０７ ｕ ．２ ０
Ｅ ＭＤ 方法 基 于 Ａ 模型 预 测 的数 据 延 拓 与应 用 ’ Ｒ
胡 劲松
（ 宁波 工 程 学 院 电 信 学 院 宁 波 ， １ ０ ０ ３５１）
杨 世 锡
（ 江 大 学机 能学 院 浙 杭 州 ， １０ ７ ３０２）
摘 要 把 基 于 时 间 序 列 ＡＲ 模 型 预测 的 数 据 延 拓 技 术 引 入 经 验 模 态 分 解 （ Ｍ Ｄ） 频 分 析 领 域 ， Ｅ 时 论述 了 基 于 ＡＲ 模 型的 数 据 延 拓 技 术 原 理 ， 即先 对 原 始 数 据 进 行 ＡＲ 建模 ， 后 利 用 模 型对 该 数 据 进 行 延 拓 。通 过 对 非 线 性 仿 真 信 号 然 基 于 Ａ 模 型 的延 拓 研 究 表 明 ， 延 拓技 术 是 有效 的 。把 该 延 拓 技 术 应 用 于转 子横 向裂 纹 的 时频 分 析 ， 把 横 向 裂 Ｒ 该 能 纹 转 子 的扭 振 所 形 成 的 相位 调制 现 象 检测 出来 ， 得 了 良好 的 效 果 。 获
１ 端 点效 应 的机 理 和 影 响
由于 在 Ｅ ＭＤ分 解 中 ， 包 络平 均 是 通 过 对 原 求 数据 中的上极 值点 和下极 值点 分别 进行 样条插 值拟 合然 后再 平 均 ， 在样 条插值 时 ， 除非 数据 的两 个端点 处 就是 数 据 的极值 点 ， 否则 就不 能 确定 端 点 处 的极 值 点 ， 在 样 条 插 值 时 产 生 数 据 的 拟 合 误 差 。在 会 ＥＭＤ分 解 的过程 中， 由于端 点 处 极值 的不 确定 性 ， 每一 次样 条插值 都 有拟合 误差 ， 这样 ， 一次 的拟合 每 会 产生 误差 ， 误差 不停 积 累 ， 解 出来 的第 １个本 征 分 模 函数 端点 处就 会有 较大 的误 差 。而第 ２个 本征 模 函数 的分解 是建 立在原 数据 减 去第 １个 本征 模 函数
一种改善EMD端点问题的方法
一种改善EMD端点问题的方法
杨航;郭晓金
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2016(052)008
【摘要】经验模态分解(EMD)是一种先进的数据处理方法,对脑电信号(EEG)等非线性非平稳信号的处理非常有效.但是其在利用三次样条曲线构造上下包络时,端点附近的包络存在严重的摆动.针对该问题,在镜面延拓算法的基础上,提出了二次延拓算法.根据邻近端点的数据计算出该信号在端点处的拟合函数;利用该拟合函数在左右端点各延拓出一个极值点;采用镜面延拓算法对延拓后的信号进行EMD分解.算法考虑了信号端点处的变化趋势,使得端点处的延拓更加合理,从而使三次样条曲线在端点处不会出现大的摆动.仿真结果表明,该算法能有效地对脑电信号进行分解.【总页数】5页(P266-270)
【作者】杨航;郭晓金
【作者单位】重庆邮电大学信号与信息处理重庆市重点实验室,重庆 400065;重庆邮电大学信号与信息处理重庆市重点实验室,重庆 400065
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.7
【相关文献】
1.一种改善EMD端点效应的可行方法 [J], 李海燕
2.一种改善EMD端点效应的新方法及其在谐波分析中的应用 [J], 苏玉香;刘志刚;
李科亮;霍柏超
3.几种改善EMD端点效应方法的比较研究 [J], 祁艳杰;王黎明;杨泽辉;付朝霞
4.一种改善EMD端点效应的新方法 [J], 王婷;杨莘元;李冰冰
5.两种改善CEEMD端点效应方法的研究分析 [J], 严开军;谭康熹;单德山
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镜像延拓EMD方法的改进及其应用
浙江海洋学院学报（ 自 然科 学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｚ ｈ ｅ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｏ ｃ ｅ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
摘
要： 希 尔伯特黄 （ Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ａ — Ｈ ｕ ａ ｎ ｇ ） 变换是一种 自调节信号分解方法 ， 通常该方法包括两部分 ： 经验模式分解 （ Ｅ ｍｐ ｉ ｒ ｉ —
ｃ ａ ｌ Ｍｏ ｄ ｅ Ｄ ｅ ｃ ｏ ｍ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｅ ＭＤ） 和希尔伯特变换 。由于希尔伯特黄变换理论并不成熟 ， 尤其是该方法存在的“ 端点效应” 问题 ， 使其在某些场合应用误差较大。为 了解决端点效应问题 ， 本文首先从 阐述了 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ — Ｈ ｕ ａ ｎ ｇ 变换的基本理论 、 算法 、 存在 的问
题及常见 的解决方法人手 ， 针对镜像闭合延 拓 Ｅ Ｍ Ｄ处理端点效应 问题时 的不足 ， 提 出了一种新 的镜像延拓 Ｅ Ｍ Ｄ方法 。 最后 利用仿真信号验证 了该方法的有效性 ， 取得 了较好 的结果 。 关键词 ：Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｎ — Ｈ ｕ ８ ｎ ｇ 变换 ； 经验模式分解 ； 故障诊断系统
ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ｉ Ｓ Ｅｍｐ ｉ ｉｃ ｒ ｌ ａ Ｍｏ ｄ ｅ Ｄｅ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ＥＭＤ１ ａ ｎ ｄ Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｌ ｎ ．Ｂ ｅ ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ＨＨＴ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｉ Ｓ ｎ ｏ ｔ ｍａ —
ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ． Ｔ ｈ ｅ Ｍｉ ｒ ｒ ｏ ｒ Ｅ ｘ ｔ ｅ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ＥＭＤ ｉ Ｓ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｙ ｒ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ Ｅ ＭＤ．ｂ ｕ ｔ
改进的EMD算法及仿真分析
一
３ ）用 ｂ （） 替 原 来 的信 号 重 复 以 上 两 步 ， 到 ｔ代 直
ＳＤ ＝
（） 一 个 Ｉ ｔ是 ＭＦ 分 量 ， Ｃ ｔ 记 （ ）＝ ｂ （ ） 得 到 第 一 ， ，
个 Ｉ Ｆ； Ｍ
。但 由于 塞 三 小一定 为 据 条 件 数所据以序它列是是一序种列理后想的的两延倍拓，因 此 是 算 量 是 把 延 等 于设值ｐ ｂ 后 的 ， 认 计 也 比 较 大 ， 利 于算 法 的实 时实 现 。 不 根 据 以上 分析 ， 合 镜像 延拓 算 法 的基本 原理 ， 结 提
号 分 析 方 法 如 傅 里 叶变 换 、 波 变 换 等 相 比 它 是 一 种 新 小
骤就是通过将 信号 的极 大值 点 和极小 值 点分 别进 行插 值获得信号 的上下包络 ， 插 值 时 容 易 在 端 点 造 成 误 差 ， 着 筛 选 过 所 随
（ ．Ｍ ｉｓｌ ｎｓｉｕ ｅ ｏ ｒＦｏ ｃ ｇｎｅ ｒｎ ｎｖ ｒｉｙ，Ｓａ ｙｕ ｎ ７ ３ ０ １ ｓ ｉ Ｉ ｔｔ ｔ ｆＡｉ ｒ ｅＥｎ ｉ ｅ ｉｇ Ｕ ｉｅ ｓｔ ｅ ｎ ａ １ ８ ０， Ｓ ａ Ｍ ， ｉ ａ ｈ ｎ Ｃｈ ｎ ；
２． ｉ ５ ７ ｆＰＩＡ，Ｊｕ ｕ ｎ ７ ５ ０ Ｇａ ｓ Ｃｈ ｎ ） Ｕｎ ｔ９ ９ ２ ｏ ｉ ｑ ａ ３ ０ ０， ｎ ｕ， ｉ ａ
利用Kriging预测模型的EMD端点延拓
７５ ７
其 中
２ Ｋｒｇｎ ｉｉｇ预 测 模 型
为 了 解决 包 络 线 在 信号 两 端 发散 的问题 ， 文 本
提 出采 用 Ｋｒ ｉｇ预 测模 型对 数 据进 行延 拓 。该模 ｉｎ ｇ
中 图分 类 号 ＴＨＩ ５ ６．３
模态参数识别
Ｋ ｉｉｇ预 测 模 型 ｒ ｎ ｇ
的发 散现 象 ， 并将 该 方 法 和经 典 的镜 像 延 拓方 法 进
引 言
结合 Ｅ ＭＤ 和 Ｈｉ ｅｔ 换 的 ＨＨＴ模 态参 数 识 ｌ ｒ变 ｂ 别方 法 ， 确定 模态 阶 次和识 别 密集模 态参 数 ， 其 在 尤 是识 别 阻 尼 比方 面 要 优 于 基 于 Ｆ Ｔ 和基 于 小 波 的 Ｆ
的误 差从数 据 序列 中心 向两端 呈发 散 的趋势逐 渐增
大。 在进行 延拓 时 ， 只需要 针对 数据 窗 长延 拓 出１ 个 窗 长的数 据 ， 可 以消 除或抑 制端 点效 应 。 就
例 如杨 永锋 等 ［采用 最 大 Ｌ ａ ｕ ｏ ８ ］ ｙ ｐ ｎ ｖ指数 ； 焱等 ［ 裘 ９ ］
截 断误 差使 得信 号呈 现 阶跃 状 态 ， 卷 积计算 时 ， 在 不 足 的乘积项 会补 零 ， 有效乘 积 项仅 为阴影 部分 （ 图 见
１， ） 使数 据两 端 形 成褶 皱 ， 随着 窗 口项 的右 移 ， 补零
项 随之减少 ， 纹也 就 随之消 失［ 皱 １ 。因此 ， 点效应 端
第 ３ 卷 第 ６期 １
２１ ０ １年 １ ２月
振 动 、 试 与诊 断 测
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｂ ａｉｎ， ｅ ｓ ｒ ｍｅ ｔ＆ Ｄｉｇ ｏ ｉ ｏ ｒ ａ ｆＶｉｒ ｔｏ Ｍ ａ ｕ ｅ ｎ ａ ｎ ｓｓ
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镜像延拓在EMD方法中的研究及应用作者：马中存肖全山
来源：《科技视界》2019年第24期
在的边界效应问题，对现有端点效应的改进方法进行了归纳总结，采用镜像延拓处理其边界问
题的方法，最后通过仿真计算分析验证了其有效性，为故障诊断信号处理技术提供新的思路、方法和技术途径。
【关键字】EMD;端点效应;镜像延拓
中图分类号： TH165.3 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）24-0031-002
DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2019.24.016
【Abstract】In this paper， the main research contents include modern signal processing technology， EMD method is used to decompose the vibration signals into a number of intrinsic mode functions. Firstly， aim at the end effects in EMD， a method based on mirror extension is proposed. Secondly， the simulation analysis results show that EMD can extract the characteristic of stator vibration signals efficiently and indicate rub-impact fault. The new method and approach are discussed to diagnosis initial stage fault of rub-impact.
【Key words】Empirical mode decomposition; End effects; Mirror extension
当转子系统发生局部碰摩故障时，机械故障振动信号往往表现为非平稳信号，因而对非平稳信号分析成为旋转机械故障诊断研究的重点与热点。
EMD能有效地分析非平稳信号，但在应用EMD时存在一个比较重要的问题，即端点效应问题[2-6]。
主要表现在，一方面，在运用EMD方法对非平稳信号进行分解时，在数据的边界会产生发散现象，这种发散现象会逐渐向内扩散到整个数据序列而使所得分解结果严重失真[5];另一方面，在对IMF分量进行Hilbert变换时，信号的两端也会出现严重的端点效应[2]。
为此，国内外学者就端点效应问题做了很多研究，其基本思路时先对数据两端分别进行延拓，再将延拓后的数据进行EMD分解。
目前常用的一些抑制端点效应的方法包络：自适应序贯相似性检测波形匹配延拓的EMD端点效应抑制[3]、线性外推法和相似极值法耦合抑制EMD端点效应[4]、在端点处“平衡位置”附加两条平行线段的方法[7]、边界波形匹配预测法[8]、极值点延拓法[9]、基于AR模型的時间序列线性预测方法[10]、偶延拓和奇延拓技术[5]等。
目前已有大量解决端点效应的方法，但从实际应用结果上看，端点效应仍未得到较理想的解决，而该问题是制约EMD方法分解结果的精确性，限制其应用的的最棘手的问题，本文对该问题进行初步研究，提出利用镜像延拓改善EMD端点效应方法，通过模拟仿真信号研究，验证了该方法的有效性，为数字信号提取及故障诊断的研究提供了可行方法。
1 EMD基本原理
Huang等人[1]提出的针对非平稳、非线性信号的分析方法，经验模态分解（Empirical Mode Decomposition），它是一种自适应的信号分解方法，利用信号的时间序列将信号分解为
若干个内禀模态函数之和，分解出的各个分量突出了信号的局部特征。
EMD对信号分解步骤如下：
（1）确定信号所有的局部极值点，然后用三次样条线将所有的局部极大值点连接起来形成上包络线。
（2）再用三次样条线将所有的局部极小值点连接起来形成下包络线，要求上、下包络线应该包络所有的数据点。
2 EMD端点效应改进方法
本文采用基于镜像延拓的端点效应的抑制方法。
假设在数据的两端各放一面镜子，使原数据与原数据的像形成一个闭合环形周期数据序列，不存在端点，数据的上下包络线完全由内部数据确定，从而从根本上避免了端点效应。
3 仿真信号研究
为了验证镜像延拓对EMD的改进效果，通过仿真分析算法对比改进前后的分解效果，仿真信号为3个正弦叠加信号
x（t）=0.8sin（2π15t）+sin（2π5t）+1.2sin（2πt），t∈[0，2]（11）
取采样频率为5120Hz，对仿真信号进行经验模态分解分析，图2（a）、（b）分别为未经镜像延拓的EMD分解结果、采用镜像延拓方法的分解结果，比较改进前和改进后的分解结果，可以发现：
式（11）中的分解信号包含3个分量，每个分量都是标准的谐波信号。
图（b）中的3个分量幅值较均匀，分解结果与实际情况基本一致。
而图（a）中的3个分量边界点处幅值是渐弱的，而且c3分量已发生严重的失真。
由于式（11）中不存在趋势变化，其余项应该是一个常量，但由于实际处理方法本身的原因，使得分解结果与理想状况有些出入。
比较改进前后分解余项可知，经过镜像延拓后余项波动幅度不大，分解效果较好。
4 结论
本文针对EMD边界效应问题，采用镜像延拓处理其边界问题的方法，该方法在计算过程中仅需一次延拓，且算法简单。
通过仿真信号分析，验证了其可行性。
应用镜像延拓方法抑制EMD端点效应时，由于而把端点看作极值点，引入了高频成分，导致分解的效果并不是十分完美，有待进一步研究。
【参考文献】
[1]N.E.Huang， S. Zheng， S. R. Long， et al. The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non-Stationary Time Series Analysis[J]. Proceedings Mathematical Physical & Engineering Sciences， 1998， 454（1971）：903-995.
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[3]杨剑锋，石戈戈，周天奇，等.基于自适应序贯相似性检测波形匹配延拓的EMD端点效应抑制[J].振动与冲击，2018， 37（18）：121-125.
[4]何振鹏，朱志琪，谢海超，等.线性外推法和相似极值法耦合抑制EMD端点效应[J].机械科学与技术，2018，37（08）：1200-1206.
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[6]李鹏鹏，冯武卫，张玉莲，等.镜像延拓EMD方法的改进及其应用[J].浙江海洋学院学报（自然科学版），2016，35（03）：244-248.
[7]熊学军，郭炳火，胡筱敏，等.EMD方法和Hilbert谱分析法的应用与探讨[J].海洋科学进展，2002，20（2）：12-21.
[8]胡爱军.安连锁和唐贵基.HILBERT-HUANG变换端点效应处理新方法[J].机械工程学报，2008，44（4）：154-158.
[9]吴琛，项洪，杜喜朋.基于数据/极值联合对称延拓的端点效应处理及其应用[J].振动与冲击，2017，36（22）：178-184.
[10]胡劲松，杨世锡.EMD方法基于AR模型预测的数据延拓与应用[J].振动、测试与诊断，2007，27（2）：116-120.。