中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析
【专题综述】
折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．
【方法解读】
一、折叠与平行
例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B ＝___．
【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）
【答案】95°
在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．
考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．
【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【举一反三】
如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．
（1）求证：EDBEBD；
（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．
【来源】2015中考真题分项汇编 第1期 专题4 图形的变换
【答案】
【解析】
试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB
∴∠CDB =∠EBD
∴∠EDB=∠EBD
(2) ∵∠EDB=∠EBD
∴DE=BE
由折叠可知：DC=DF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB
∴AE=EF
∴∠EAF=∠EFA
△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°
即2∠EDB+∠DEB=180°
同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°
∵∠DEB=∠AEF
∴∠EDB= ∠EFA
∴AF∥BD
考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和
二、折叠与全等
例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
求证：（1）∠1=∠2 （2）DG=B′G
【来源】2013年初中毕业升学考试（浙江台州卷）数学（带解析）
【答案】见解析
（2）∵∠1=∠2，∴EG=GF。
∵AB∥DC，∴∠DEG=∠EGF。
由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG=∠EGF。
∵DE=BF=B′F，∴DE=B′F，。
∴△DEG≌△B′FG（AAS）。∴DG=B′G。
【解读】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案。
（2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，证△DEG≌△B′FG即可。
【举一反三】
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好
与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
【来源】2012年初中毕业升学考试（广东汕头卷）数学（带解析）
【答案】（1）证明见解析（2）7/24（3）25/6
（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。
设AG=x，则GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=74。
∴7AG74tanABGAB624。
（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=12AD=4。
∵tan∠ABG=tan∠ADE=724。∴EH=HD×724=4×77=246。
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线。∴HF=12AB=12×6=3。
∴EF=EH+HF=725+3=66。
（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。
（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=12AD=4，再根据tan∠ABG的值即可得出EH的
长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。
三、折叠与相似
例3：如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGBk，则________ADAB（用含k的代数式表示）．
【来源】初三数学第九套
【答案】12k
连接EG．在Rt△ECG和Rt△EFG中，
∵EG＝EG，CE＝EF，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG＝FG，设CG＝a，∵1CGGBk，∴GB＝ka．
∴BC＝CG＋BG＝a＋ka＝a（k＋1）．
在矩形ABCD中，AD＝BC＝a（k＋1），
∴AF＝a（k＋1），
AG＝AF＋FG＝a（k＋1）＋a＝a（k＋2）．
在Rt△ABG中，2221ABAGBGak．
∴(1)1221ADakkABak．
【解读】利用折叠的性质，通过相似即可得出答案.学3科$网
【举一反三】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（ ）
A．63 B．123 C．183 D．243
【来源】2012年初中毕业升学考试（四川资阳卷）数学（带解析）
【答案】C。
【解析】连接CD，交MN于E，
四、折叠与特殊四边形
例4：在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长．
【来源】2013-2014学年广东省中山市八年级下学期期末考试数学试卷（带解析）
【答案】（1）证明见解析；
（2）BC= 23．
【解析】
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
ACABCDABECDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）∵四边形BFDE为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，AB=2，
∴AE=22333，BE=2AE=3，
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=233+3=23．
考点：1.矩形的性质2.翻折变换（折叠问题）．
【解读】（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可；
（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．
【举一反三】
将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的周长为 _．
【来源】2015届广东省广州市海珠区九年级下学期一模数学试卷（带解析）
【答案】8
【解析】
考点：菱形的性质、折叠图形
五、折叠与圆
例5：如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 .
【来源】2013年初中毕业升学考试（山东日照卷）数学（带解析）
【答案】2933cm4
【解析】
试题分析：如图，作OH⊥DK于H，连接OK，
∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，∴333OHcmDHcm22，。∴DK33cm。
∴△ODK的面积为2139333cm224。
∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：2933cm4。
【解读】通过折叠，得出含30度角的直角三角形，再求弓形的面积即可．学*科%网
【举一反三】
如图，正△ABC的边长为4，⊙O与正△ABC的边AB，BC都相切，点D，E，F分别在边AC，AB，BC上，现将正△ABC沿着DE，DF折叠，点A，点C都恰好落在圆心O处，连接EF，若EF恰好与⊙O相切，则⊙O的半径为__ _．
【来源】2012届浙江省温州市四校联盟九年级下学期一模数学试题（带解析）
【答案】13
【解析】
考点：本题考查的是折叠的性质，等边三角形的性质，圆的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握含30°的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半.
六、折叠与动点
例6：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．
（1）证明△AMF是等腰三角形；
2018届中考数学复习专题(9)折叠、旋转问题(含答案解析)
第 1 页 共 8 页 题型（九） 折叠、旋转问题
1.（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C．
2.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 ．
【答案】953． 3.（2016·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF= 2 cm．
4.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，2DE，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形'''DEFG，此时点'G在AC上，连接'CE，则''CECG( ) 第 2 页 共 8 页
A.26
B.31 C.32 D.36
【答案】AA
5.（2017浙江嘉兴第16题）一副含30和45角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，12BCEFcm（如图1），点G为边BC()EF的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是 ．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号）
【答案】123－12．123－18．
6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD中，53ABBC，,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 .
九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析二次函数小综合抛物线中的定点问题
微专题16 抛物线中的定点问题
典例精讲
考点动直线过定点
【例】如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(0，－1)，且经过点A(－1，1)，动直线l的解析式为y＝－4x＋k．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移一个单位得到新的抛物线C2，过点A的直线交抛物线于M，N两点(点M位
点N的左边)，动直线l过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P求证：直线PN恒过一个定点．
典题精练
如图，已知抛物线y＝－2x2交直线y＝kx－2k－4于P，Q两点，在抛物线上是否存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，若存在，求定点D的坐标；若不存在，请说明理由．
xyNPMAOxyDQPO微专题16 抛物线中的定点问题
典例精讲
考点动直线过定点
【例】如图，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(0，－1)，且经过点A(－1，1)，动直线l的解析式为y＝－4x＋k．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移一个单位得到新的抛物线C2，过点A的直线交抛物线于M，N两点(点M位
点N的左边)，动直线l过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P求证：直线PN恒过一个定点．
【解答】(1)y＝2x2－1；
(2)C2：y＝2x2，设M(m，2m2)，N(n，2n2)，P(t，2t2)(m＜n)，
则MN的解析式y＝2(m＋m)x－2mn，∵MN过点A(－1，1)，
∴－2(m＋n)－2mn＝1，即2mn＝－1－2m＝2n
又l：y＝－4x＋k过点M(m，2m2)，∴2m2＝－4m＋k，∴k＝2m2＋4m，
y＝－4x＋2m2＋4m
∴l：y＝－4x＋2m2＋4m，联立y＝－4x＋2m2＋4m，y＝2x2
得2x2＋4x－2m2－4m＝0，
∴t＋m＝－2，即t＝－2－m，∴P(－2－m，2m2＋8m＋8)，
∴PN的解析式：y＝(2n－2m－4)x＋(2mn＋4n)＝(2n－2m)(x＋1)－1－4x，
2019中考数学专题复习 二次函数与线段最值问题 含解析
努力的你，未来可期!
拼搏的你，背影很美！ 二次函数与线段最值问题汇编
1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 6 ．
【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】∵y＝﹣x2+x+2，
∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，
解得 x＝2或x＝﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x＝1时，C最大值＝6，．
即四边形OAPB周长的最大值为6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．
努力的你，未来可期!
拼搏的你，背影很美！ 2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；
②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；
③根据一次函数的性质即增减性解答即可；
（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．
【解答】（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；
②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2
当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1
中考折叠问题的归类解析-备战2018年中考数学一轮微专题突破(原卷版)
专题02 中考折叠问题的归类解析
【专题综述】
折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．
【方法解读】
一、折叠与平行
例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B ＝___．
【举一反三】
如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．
（1）求证：EDBEBD；
（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．
二、折叠与全等
例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
求证：（1）∠1=∠2 （2）DG=B′G
【举一反三】
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
三、折叠与相似
例3：如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGBk，则________ADAB（用含k的代数式表示）．
【举一反三】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（ ）
A．63 B．123 C．183 D．243
四、折叠与特殊四边形
例4：在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
中考数学复习专题(9)折叠、旋转问题(含答案解析)
第 1 页 共 8 页 题型（九） 折叠、旋转问题
1.（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C．
2.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为 ．
【答案】953． 3.（2016·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF= 2 cm．
4.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，2DE，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形'''DEFG，此时点'G在AC上，连接'CE，则''CECG( ) 第 2 页 共 8 页
A.26
B.31 C.32 D.36
【答案】AA
5.（2017浙江嘉兴第16题）一副含30和45角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，12BCEFcm（如图1），点G为边BC()EF的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是 ．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号）
【答案】123－12．123－18．
6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD中，53ABBC，,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 .
2020年九年级中考数学专题复习：二次函数图像与坐标轴的交点问题(含解析)
九年级中考数学专题训练：二次函数图像与坐标轴的交点问题
（含解析）
班级： 姓名：
一、单选题
1.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是( )
A. k<3 B. k<0且k≠0 C. k≤3 D. k≤3且k≠0
2.如图图形中阴影部分的面积相等的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
3.在如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①
a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③ ＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
有一个正根，你认为其中正确的结论有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
4.若函数 的图象与坐标轴有三个交点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣1与x轴的交点x1 ， x2 ， x1＜x2 ， 则下列结论正
确的是（ ）
A. x1＜1＜x2＜2 B. x1＜1＜2＜x2
C. x2＜x1＜1 D. 2＜x1＜x2
6.对某个函数给定如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足|y|≤M，则称
这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其中最小值称为这个函数的边界值．现将
有界函数 （0 x m，1≤m≤2）的图象向下平移m个单位，得到的函
数边界值是t，且 ≤t≤2，则m的取值范围是（ ）
A. 1≤m≤ B. ≤m≤
C. ≤m≤ D. ≤m≤2
7.二次函数y=x2－(m－1)x+4的图像与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A. 1或－3 B. 5或－3
C. －5或3 D. 以上都不对
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=α（x﹣1）2+k与x轴交于A．B两点，与y轴交
于C点．CD∥x轴与抛物线交于D点且A（﹣1，0）则OB+CD=（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9.“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程
九年级中考数学专题复习：二次函数图像与坐标轴的交点问题(含解析)
九年级中考数学专题训练：二次函数图像与坐标轴的交点问题
（含解析）
班级：姓名：
一、单选题
1.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是( )
A. k<3 B. k<0且k≠０ C. k≤３ D. k≤３且k≠０
2.如图图形中阴影部分的面积相等的是（）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
3.在如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①
a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
有一个正根，你认为其中正确的结论有（）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
4.若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5.二次函数y=（x﹣１）（x﹣２）﹣１与x轴的交点x1 ，x2 ，x1＜x2 ，则下列结论正确的是（ ）
A. x1＜1＜x2＜2 B. x1＜1＜2＜x2
C. x2＜x1＜1 D. 2＜x1＜x2
6.对某个函数给定如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足|y|≤Ｍ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其中最小值称为这个函数的边界值．现将
有界函数（0 x m，1≤m≤２）的图象向下平移m个单位，得到的函
数边界值是t，且≤t≤２，则m的取值范围是（）
A. 1≤m≤B. ≤m≤
C. ≤m≤D. ≤m≤２
7.二次函数y=x2－(m－1)x+4的图像与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）
A. 1或－3 B. 5或－3
C. －5或3 D. 以上都不对
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=α（x﹣１）2+k与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点．CD∥x轴与抛物线交于D点且A（﹣１，0）则OB+CD=（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9.“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教
第7关 以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题(解析版)-中考数学专题复习
1/67第七关以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题
【考查知识点】
图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。
折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学
生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，
考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。②旋转，平移的性质.
【解题思路
】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数
图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。在解决这类问题
时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。图形的旋转是中考题的
新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。
②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。③注重对网格内和坐标内的
图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本
解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法,旋转可以移动图形的位置而不改变图形的大小，是全等变换.变
换的目的是为了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，使表面上不能发生联系的元素联系
起来．在转化的基础上为问题的解决铺设桥梁，沟通到路．一些难度较大的问题借助平移、对称、旋转的
合成及相互关系可能会更容易一些．
【典型例题】
【例
1】（
2019·河北中考模拟）如图
1，在
▱ABCD中，
DH⊥AB于点
H，
CD的垂直平分线交
CD于点
E，
交
AB于点
F，
AB=6，
DH=4，
BF：
FA=1：
5．
（
1）如图
2，作
FG⊥
AD于点
G，交
DH于点
M，将
△DGM沿
DC方向平移，得到
△CG′M′，连接
M′B．
①求四边形
BHMM′的面积；
②直线
EF上有一动点
N，求
△DNM周长的最小值．
（
2）如图
九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析二次函数小综合角度和差问题
微专题21 角度和差问题
典例精讲
考点 角度和差→构等角→构相似
【例】 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A（－3，0），点B（1，0），与y轴交于点C，点P在y轴上，连接BP，若∠OCB＋∠OPB＝45°，求点P的坐标．
xyABCOxyODCBAP典题精练
训练点 角度和差→构等角→构全等
1．如图，抛物线y＝12x2－52x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P，Q是第二象限抛物线上的两点，PQ∥x轴，点F为线段AP上一点，且∠PQF＋∠PFQ＝90°，AE⊥x轴交直线QF于点E，AP＝QE，求PQ的长，
训练点 角度和差→构等角→构相似
2．如图，抛物线y＝34x2－154x＋3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上的一点，若∠DBC＝∠ACB＋∠ABC，求点D的坐标．
xyABCEFOPQxyQPOHGFECBAxyODCBA微专题21 角度和差问题
典例精讲
考点 角度和差→构等角→构相似
【例】 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A（－3，0），点B（1，0），与y轴交于点C，点P在y轴上，连接BP，若∠OCB＋∠OPB＝45°，求点P的坐标．
【解答】当点P在y轴负半轴上时，C（0，－3），
∴∠OCB＋∠OPB＝45°，在y轴负半轴上取一点D．
使OD＝OB＝1，∴DC＝OC－OD＝2，∵∠BOD＝90°，∴∠ODB＝∠OBD＝45°，BD＝2，
∴∠OCB＋∠DBC＝∠ODB＝45°，又∵∠OCB＋∠OPB＝45°，
∴∠OPB＝∠DBC，又∵∠PDB＝∠BDC，∴△PDB∽△BDC，∴DB2＝DP·DC，
即（2）2＝DP·2，∴DP＝1，∴OP＝2，∴P（0，－2），由对称性知（0，2）也符合要求．
∴点P的坐标为（0，－2）或（0，2）．
典题精练
训练点 角度和差→构等角→构全等
1．如图，抛物线y＝12x2－52x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P，Q是第二象限抛物线上的两点，PQ∥x轴，点F为线段AP上一点，且∠PQF＋∠PFQ＝90°，AE⊥x轴交直线QF于点E，AP＝QE，求PQ的长，
2020年浙江省中考数学复习专题练8【图形折叠问题】附解析
12020年浙江省中考数学复习专题练8.图形折叠问题
类型一折叠三角形
(2018·浙江台州中考)如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直
线分别交AB，BC于点D，E.将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，
连结OF，OG，则下列判断错误的是()
A．△ADF≌△CGE
B．△B′FG的周长是一个定值
C．四边形FOEC的面积是一个定值
D．四边形OGB′F的面积是一个定值
【分析】A．根据等边三角形ABC的外心的性质可知AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得FO平
分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，再根
据三角形全等的性质可得△ADF≌△CGE；
B．根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B′GF≌△CGE，可得结论；
C．根据S四边形FOEC＝S△OCF＋S△OCE判断即可；
D．将S四边形OGB′F＝S△OAC－S△OFG，根据S△OFG＝1
2·FG·OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB′F
的面积也变化，可作判断．【自主解答】
三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等，解题的关键是抓住折叠的本质是轴
对称，轴对称是全等变换，找出相等的角和线段．
类型二折叠平行四边形
(2018·山东淄博中考)在如图所示的平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD沿对角线AC折
叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．
【分析】要计算周长首先需要证明E，C，D共线，DE可求，问题得解．
【自主解答】
2关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件．