三阶幻方
三阶幻方
三阶幻方一般的，三阶幻方就是指把九个不同的数字填入3×3的九个方格中，使每行每列每条对角线上三个数的和都相等，这个相等的和就叫做幻和。
下面我们以1~9这九个数字为例，介绍三种填写三阶幻方的方法。
方法一：口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方。
注意：“一填首行正中央”，指的是，这九个数中按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中，“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方，在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中，“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占住了，那么，就填在前一个数字的正下方，对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方。
方法二：四角定位法九数从小排到大，中间数字中间填，四角填上偶数项，余下四数再补全。
注意：（1）四角上的偶数项，是指这九个数的第二、四、六、八个数，而不是指偶数；（2）四角上的偶数项，可以按“Z”字行排列，也可以按照“N”字行排列；（3）当四个角上的数都填好后，对角线上的三个数的和已经知道了，就可以根据这个和，求出其余的四个数。
方法三：“添耳朵”法九数斜排，上下对易，左右互换。
注意：“九数斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了。
小结：（1）事实上，大部分填写三阶幻方的九个不同的自然数，都是等差数列；（2）三阶幻方不止有一种填写方法，当我们将上面填写好的三阶幻方，经过顺时针或逆时针旋转的时候，就能得到新的填写形式；（3）以上介绍的三种填写三阶幻方的方法，其中后面两种，只适合三阶幻方，而第一种方法，适合三阶、五阶、七阶……等所有奇数阶幻方。
三年级奥数教程第12讲三阶幻方
三年级奥数教程第12讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．图12-1分析与解 1+2+…+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3．6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示．816357492图12-2说明除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．例2、将1，3，5，7，…17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．分析与解将图12—2中的1，2，3，…，9分别用1，3，5，…，17代替，得到图12—3．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．1511159137173图12-3随堂练习2 将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．例3、如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?分析与解总和是1+4+7+…+25＝(1+25)×9÷2＝117．由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3＝39．。
每一列、每一条对角线的和也是39．两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍．所以中央的那个数是(39×3—39 × 2)÷3＝13．随堂练习3 如果2、6、10、1 l、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?例4、图12—4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数．62815图12-4分析与解首先注意在例3中实际上已经得出每一行(每一列、每条对角线)的和是中央那个数的3倍．因此，现在每一行的和是15×3＝45．这样，就可以得出第三行第一个数是45—6—28＝11．第三行第三个数是45—6—15＝24．第三行第二个数是45—11—24＝10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图12—5．6201928152111024图12-5随堂练习4图1 2—6是一个三阶幻方，请填出其他的数．15423图12-6例5、已知图12—7中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．11263图12-7分析及解每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12。
三阶幻方
17
4
12
6 11 16 10 18 5
三阶幻方的构造法
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出]
杨辉法
4 3
8
9 5
1
2 7
6
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4 3 8
9
2 7 6
5
1
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三 阶 幻 方
4
3
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5
2
7
8
1
6
练习1：
补 全 这 个 幻 方
知识背景
引入： 相传，大禹治水时，洛阳西洛 宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书 ”，献给大禹。大禹依此治水成功 ，遂划天下为九州。洛水中出现的 “神龟”背上的美妙的图案，史称 “洛书”即现在的三阶幻方.
洛书
神奇的幻方
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质：每一 横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等 ，这 个和叫做“幻和”
三阶幻方
三阶幻方__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________能够根据三阶幻方的规律补充三阶幻方中的空格幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为洛书．宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图。
【例1】将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．分析：l+2+…+8+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(= 45÷3)．从l到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1, 8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3, 6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心，在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．【例2】.将1，3，5，7，…，1 7填入3×3的方格中，使它们成为一个三阶幻方．分析：将图9-2 中的1，2，3，…，9分别用l，3，5，…，17代替，得到下图．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．【例3】如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？分析：总和是1+4+7+…+25=(1+25)×9÷2=117由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3=39．每一列、每一条对角线的和也是39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是(39×3-39×2)÷3=13一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3．行（列）和等于中央的数乘以3．【例4】下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方性质填出其他的数．分析：由例3，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45 -6 –28=l1．第三行第三个数是45 -6 -15=24第三行第二个数是45 -11- 24 =10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图所示．【例5】已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．分析: 每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18，第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3 = 4．第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6 = 36．第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9．第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2于是，得出下图【例6】已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2 037．求画有“？”的格子填的数是多少．分析:根据例3，中央的那个数是2 037÷3 = 679．第一行第二个数是2 037 - 679 –894=464第一行第三个数是？=2 037 - 447 - 464=1126．所以要填的数是l1261.用0到8这几个数构造个三阶幻方．2.将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．3.如果2、6、10、11、15、19、20、21、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？4.下图是一个三阶幻方，请填出其他的数．5.已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．1．用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方.2．用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方3．在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．4．在空个格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．5．用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1．下图是一个三阶幻方．求“？”是多少．2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等．这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第7题的图4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7．带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36．如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10．7．完成下图，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．。
三阶幻方的最简单填法
三阶幻方的最简单填法1. 什么是幻方？幻方是一种由数字组成的方阵，在每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
幻方可以追溯到古代中国和印度的数学文化，是一种有趣且具有挑战性的数学问题。
2. 三阶幻方的定义三阶幻方是指由3行3列组成的方阵，总共有9个数字。
在一个合法的三阶幻方中，每个数字都不重复，且数字之和为一个常数。
3. 最简单的三阶幻方最简单的三阶幻方是指填充数字最为简单、易于理解的幻方。
下面，我们将介绍一种最简单的三阶幻方填法。
步骤1：确定常数首先，我们需要确定三阶幻方中每行、每列和对角线上数字之和的常数。
由于三阶幻方有3行3列，所以每行、每列和对角线上的数字之和都是3个数字的和。
因此，常数等于这3个数字之和的1/3。
步骤2：填充中心数字在最简单的三阶幻方中，我们可以选择将数字5放置在幻方的中心位置，即第2行第2列。
步骤3：填充角落数字接下来，我们将填充幻方的四个角落数字。
我们可以选择将数字1放置在左上角，数字3放置在右上角，数字7放置在左下角，数字9放置在右下角。
步骤4：填充边缘数字现在，我们需要填充幻方的边缘数字。
根据幻方的定义，每一行、每一列和对角线上的数字之和都应该等于常数。
因此，我们可以根据已填充的数字来确定边缘数字的填充方式。
•填充第1行和第3行的数字：由于第1行已经填充了数字1和5，而常数等于第1行的数字之和，所以第1行的第3个数字等于常数减去1和5的和。
•填充第1列和第3列的数字：同理，由于第1列已经填充了数字1和7，所以第1列的第3个数字等于常数减去1和7的和。
•填充对角线上的数字：由于对角线上的数字之和等于常数，所以第1行第1列和第3行第3列的数字之和等于常数减去已填充数字的和。
步骤5：验证幻方最后，我们需要验证已填充的数字是否构成了一个合法的三阶幻方。
我们可以检查每一行、每一列和对角线上的数字之和是否都等于常数。
如果所有的数字之和都相等，那么这个幻方就是合法的。
4. 示例下面是一个最简单的三阶幻方的示例：1 2 34 5 67 8 9在这个示例中，常数等于15。
小学奥数三阶幻方讲解归纳
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汇报人姓名
汇报日期
三阶幻方
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻方的定义是如何做到的？？
4
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2
3
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7
8
1
6
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。 （ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”，3,7位 为“一对”，4,6 位为“一对”，） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
生活中的幻方
把9个数从小到大排列，找出中位数a,填在幻方中心
01
01
02
03
04
05
求出幻和3a
先选取“两对”数分别填写在对角线上
根据幻和填其它数
根据定义验证，如不符合，返回步骤③。
02
03
04
05
完成三阶幻方的步骤：
小结：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
大数学家杨辉的构造方法：
杨辉构造法
试一试
把2、3、4、5、6、7、8、9、10分别填入三阶方格中,每个数只用一次,使每一横行、竖列、对角线上三个数的和都相等.
返回
三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左右、对角两个数字的和=中间数×2
4
9
2
3
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三阶幻方
三阶幻方的概念
三阶幻方的概念
1.三阶幻方是一个3x3的方阵，其中每个格子内填入不重复的1到9的数字，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
2.这个定义是因为幻方是一种特殊的方阵，它具有一些特殊的数学性质和规律。
三阶幻方是最小的幻方之一，它的规模较小，更容易理解和构造。
3.除了三阶幻方，还存在其他阶数的幻方，如四阶、五阶等。
幻方在数学和游戏领域有着广泛的应用，研究幻方的规律和构造方法可以帮助我们更好地理解数学和培养逻辑思维能力。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
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12
6
3
分析与解：
每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12
第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18
第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3=4
第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6=36
第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9
第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2
练习5：已知如图，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等。请填出其他的数
4
10
25
2
例题6：已知如图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2037，求画有？的格子填的数是多少？
447
？
894
分析与解：
根据例题3：中央的那个数是2037÷3=679
第一行第二个数是：2037-679-894=464
第一行第三个数是2037-447-464=1126
所以要填的数是1126
例题1：将1-----9折九个数填入图中，使它成为一个三阶幻方
练习1：用0到8这9个数构造一个三阶幻方
例题2：将1,3,5,7，...，17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方
练习2：将2,4,6,8，...，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方
例题3：如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？
练习6：请写出例题6其他格子中的数
伽音琴行学科教师辅导讲义
学员姓名：年级：三年级课时数：
辅导科目：奥数思维训练辅导老师：唐老师
课题：三阶幻方
授课时间：2017/பைடு நூலகம்2
教学目标：1、了解什么是三阶幻方
2、能利用数阵图的知识解决幻方问题
教学重、难点：能求出中间的数，并能根据中间数求其他的数
教学内容
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。三阶幻方是一种特殊的数阵图。
练习3：如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？
例题4：如图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数
6
18
15
分析与解：
由例题3可知，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍。因此，现在每一行的和是15×3=45.
这样，就可以得出第三行的第一个数是45-6-28=11
第三行第三个数是45-6-15=24
第三行第二个数是45-11-24=10
同样，可得其他的数，最后得出三阶幻方
6
20
19
28
15
2
11
10
24
练习4：如图是一个三阶幻方，请填出其他的数
15
4
23
例题5：如图，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其他的数
分析与解：总和是1+4+7+...+25=（1+25）×9÷2=117
由于三行的和相等，所以每一行的和是
117÷3=39
每一列、每一条对角线的和也是39。两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是（39×3-39×2）÷3=13
一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3.行（列）和等于中央的数乘以3.