第7章非线性控制系统分析
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(优选)自动控制原理第七章非线性系统
1, x 0 signx 1, x 0
0
xa
y k( x asignx) x a
3 滞环特性
滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是
在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3
所示。其数学表达式为：
y
b
y
k(
x asignx) bsignx
y0 y0
-a
0a
x
（优选）自动控制原理第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义
1.描述函数的应用条件
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输
出为零，其静持性关系如图7-2所示。
y
其数学表达式为
k -a
0a
x
0,| x | a
y
k(x
a),
x
a
k( x a), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性
死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
自动控制原理第七章
作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
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<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
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若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
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c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
自动控制原理__(13)
x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
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（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
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（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
第7章 非线性系统
24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.
第七章非线性控制系统分析习题答案.
解： y(t) = A3 sin3 ωt
∫ ∫ 1
B=
2π
A3 sin 4 ωt
4 A3
dωt =
π
2
1
(1
− cos
2ωt) 2
dωt
1
π0
π 04
∫ [ ] A3
=
π
2 (1 − 2 c os 2ω t + c os 2 2ω t )
A3
dωt =
π
A3
π
− sin 2ωt 2
π0
π2 π
0
A 3 π c o s 4ω t + 1
G1 ( s) +G1 ( s)
4 、 判 断 题 7 -2 图 中 各 系 统 是 否 稳 定 ； −1 N( A) 与 G ( j ω ) 两 曲 线 交 点 是 否 为 自 振 点 。
2
解 ：（ a ） 不 是 ； （ b） 是 ； （c）是；
（ d） a、c 点 是， b 点 不 是；
（ e） 是 ；
（ 2 ） 由 图 解 7 -5 可 见 ， 当 −1 N( A) 和 G ( j ω ) 相 交 时 ， 系 统 一 定 会 自 振 。 由 自 振 条 件
A + 6 −K −( A + 6) K
N ( A)G( jω ) =
=
= −1
ω =1 A + 2 2
2( A+2)
( A +6) K = 2 A +4
10
−1 0
10
G( jω ) =
=
−j
j ω( j ω + 1) ω2 + 1
ω( ω2 + 1)
∫ ∫ 1
B=
2π
A3 sin 4 ωt
4 A3
dωt =
π
2
1
(1
− cos
2ωt) 2
dωt
1
π0
π 04
∫ [ ] A3
=
π
2 (1 − 2 c os 2ω t + c os 2 2ω t )
A3
dωt =
π
A3
π
− sin 2ωt 2
π0
π2 π
0
A 3 π c o s 4ω t + 1
G1 ( s) +G1 ( s)
4 、 判 断 题 7 -2 图 中 各 系 统 是 否 稳 定 ； −1 N( A) 与 G ( j ω ) 两 曲 线 交 点 是 否 为 自 振 点 。
2
解 ：（ a ） 不 是 ； （ b） 是 ； （c）是；
（ d） a、c 点 是， b 点 不 是；
（ e） 是 ；
（ 2 ） 由 图 解 7 -5 可 见 ， 当 −1 N( A) 和 G ( j ω ) 相 交 时 ， 系 统 一 定 会 自 振 。 由 自 振 条 件
A + 6 −K −( A + 6) K
N ( A)G( jω ) =
=
= −1
ω =1 A + 2 2
2( A+2)
( A +6) K = 2 A +4
10
−1 0
10
G( jω ) =
=
−j
j ω( j ω + 1) ω2 + 1
ω( ω2 + 1)
非线性系统分析
其数学表达式为
NX
RX
Y1sin(t 1) Xsint
Y1 X
1
A12 B12 arctanA1
A1102y(t)costdt
X
B11
B1
2y(t)si ntdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
y1x1x3(11x2)x 2 4 24
N(X)10.75X2 24
7.3 非线性特性的描述函数法
❖ 了解典型非线性环节的特点； ❖ 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数
的计算方法； ❖ 掌握分析非线性系统的近似方法——描述
函数法，能够应用描述函数法分析非线性 系统的稳定性。
7.1 非线性系统动态过程的特点
1. 非线性系统的定义及种类 2. 几种典型的非线性特性 3. 非线性系统的稳定性 4. 非线性系统的运动形式 5. 非线性系统的自振
n0 2n1
推论：①
②
③
方波函数可以看作无数个正弦分量的叠加。 正弦分量中，有一个与输入信号频率相同的分量， 称为基波分量；而其它分量的频率均为输入信号 频率的奇数倍，统称为高次谐波。 每个分量的振幅也各不相同，频率愈高的分量， 振幅愈小。
7.3 非线性特性的描述函数法
（3）非线性系统的谐波线性化
3. 间隙 5 改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用
用振荡线性化改善系统性能 非线性环节及其对系统结构的影响
1 非线性系统动态过程的特点
4. 摩擦 （1）非线性系统的典型结构
3 非线性特性的描述函数法 （2）描述函数法对非线性系统的假设
取
后， 与
不再相交，自振消除。
5. 继电器 （1）非线性的负倒描述函数
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4.继电特性
等效增益
y M
0
x
-M
k
x 0
振荡加剧、稳态误差增大。 能够使被控制的执行装置在最大输入信号下工 作，充分发挥其调节能力。
7.4 描述函数法
分析无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自
振问题。
一、描述函数的基本概念
x
y f(.)
1.描述函数的定义
非线性环节 y=f(x)
x(t ) ? A sin ? t
C(s) k3, ? 3
执行元件
将死区折算到测量元件的位置
?
?
?1 ?
?2 k1
?
?3 k1k2
可通过提高前级元件的增益来减小死区效应
非线性特性的等效增益
设非线性特性 y=f(x) 其中输入为 x,输出为y
等效增益
k?
y ?
f (x)
xx
y
死区特性 ? ?
0?
x
增益减小
增大了系统的稳态误差，
k0 k
增益下降 降低系统稳态精度。
3 间隙（滞环）特性
间隙特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在
输入 --输出曲线上出现闭合环路。
其数学表达式为： yb
y
?
?k ( x ? asignx?)
? ?
bsignx
y? ? 0 y? ? 0
-a 0 a x
-b
滞环特性
例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。 增大稳态误差，降低稳态精度。
系统 x? ? x 2 ? x ? x ( x ? 1) (7.2.1)
令 x? ? 0 可知系统存在两个平衡状态
x=0和x=1
解(7.2.1)式
dx ? dt x(1?
x0e? t x0 ? x0e? t
x(t) x=1
0
ln x 0 x0 ? 1
x0>1 x0<1
第七章 非线性控制系统分析
7.1 引言 7.2 非线性控制系统概述 7.3 常见非线性特性分析 7.4 描述函数法
7.1 引言
理想的线性系统并不存在
7.2.非线性控制系统概述
一、 非线性系统的特点
1.不能应用叠加原理 2. 稳定性分析复杂
平衡状态 无外作用，且系统输出的各阶导数等于 0 线性系统：只有一个平衡状态 线性系统的稳定性，即该平衡状态的稳定性 非线性系统可能存在多个平衡状态
7.3 常见非线性特性分析
1.死区特性
y k
??
0?
x
?
0
x(t) ? ?
y(t)
?
? ?
k[x(t
)
?
?
sign ( x(t ))
x(t) ? ?
其中
sign( x(t ))
?
?1
? ?
?
1
x(t) ? 0 x(t) ? 0
若系统存在多个死区
R(s) -
k1, ? 1
测量元件
k2, ? 2 放大元件
若系统非线性环节奇对称 ，则有A0=0
? 1
An ? ?
2 ? y (t ) cos n? td ?? t ?
0
? B n
?
1
?
2?
y (t ) sin n? td ?? t ?
0
由于在傅氏级数中 n越大,谐波分量的频率越高， An，
Bn越小。此时若 系统高次谐波分量又进一步被充分衰减 ， 故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即
（2）描述函数表达了非线性元件对 基波正弦量 的传递能 力。一般来说，它应该是输入信号 幅值和频率 的函数， 但对于绝大多数的实际非线性元件，由于不包括储能元 件，它们的输出仅是幅值的函数，与频率无关，故常用 N(A) 表示。
二、典型非线性特性描述函数
饱和特性
y
y(t)
k -a
ωt
0
a
x
?1 ? ? ?1
正弦输入x(t) ? A sin ? t
?
2
输出
y(t) ?
?? KA sin ? t
? ??
Ka
其中，? 1
?
arcsin
a A
0? ? t ? ?1
?1
?
?
t
?
?
2
由于为单值，且关于原点对称的奇函数
所以， A0=0,A 1=0
? ? ? B1
?
1
?
2? 0
y (t )sin
?
td?
t
?
4
?
?? ?
y(t ) ? y1 (t ) ? A1 cos ? t ? B1 sin ? t ? Y1 sin( ? t ? ? 1 )
式中
? A1
?
1
?
2? y(t) cos ? td ?? t ?
0
? B1
?
1
?
2?
y(t)sin ? td ?? t ?
0
Y1 ?
A
2 1
?
B12
?1
?
arctan
A1 B1
降低了稳态精度。
x
?? 0 ?
2.饱和特性
y -a
M
k
-a ? ?
0? a x k
具有不灵敏区的
饱和特性
? ka
y(t) ?
? ?
kx
?? ? ka
-a
x? a | x |? a x ? ?a
y
k
0
ax
k
0
ax
增益减小
饱和特性 等效增益
带饱和的位置伺服系统
增益下降 使系统超调量减小， 平稳性变好。
类似于线性系统中频率特性的定义，我们 把非线性元件
稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线
性环节的 描述函数，用N(A) 来表示，即
N ( A) ? Y1 e j?1 ? A12 ? B12 ? arctan A1
A
A
B1
由非线性环节描述函数的定义可以看出：
(1) 描述函数 类似于线性系统中的频率特性，利用描述 函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线 性元件，因此又叫做 谐波线性化 。线性系统频率法的推 广。
1
?
?? 0
KA sin 2 ?
td (?
t) ?
? 2
?1
Ka sin ?
td (?
当输入为正弦信号 展成傅立叶级数
输出为非正弦的周期信号
?
? y(t) ? A0 ? (An cos n? t ? Bn sin n? t) n?1
?
? ? A0 ? Yn sin(n? t ? ? n ) n?1
?
? y (t ) ? A0 ? ( An cos n? t ? Bn sin n? t ) n?1
x>1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0 系统正阻尼,消耗能量
x=1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0
系统零阻尼,等幅振荡
4 频率响应发生畸变
非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率达正弦 信号分量 (基频分量 )外,还含有 ω 的高次谐波分量。
y(t) ωt
y(t)
ωt
y(t) ωt
t
x=0 平衡状态稳定。 x=1 平衡状态不稳定。
3. 可能存在自激振荡
自激振荡
没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具 有固定振幅和频率的稳定周期运动 ,简称自振。
范德波尔方程 van der pol equation
x??? 2? (1 ? x 2 )x? ? x ? 0
x<1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0 系统负阻尼,吸收能量