三角函数的图像与性质专题(含解析)

第讲三角函数的图像与性质时间：年月日刘老师学生签名：一、兴趣导入二、学前测试1．已知角α的终边上一点的坐标为22(sin,cos)33ππ，则角α的最小正角是（）A、56πB、23πC、53πD、116π解析．D ［角α在第四象限且2cos33tan23sin3παπ==-］2．若α是第二象限的角，且|cos|cos22αα=-，则2α是（）A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角解析C 22,(),,(),2422k k k Z k k k Zππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z=∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z=+∈时，2α在第三象限；而cos cos cos0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限；3已知角α的终边与函数)0(,0125≤=+xyx决定的函数图象重合，求αααsin1tan1cos-+= 解析:在角α的终边上取点1255(12,5),13,cos,tan,sin131213P rααα-==-=-=故αααsin 1tan 1cos -+=7713- 4.（湛江市实验中学2010届高三第四次月考）已知35cos θ=，且角θ在第一象限，那么2θ在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：B 3222542cos k k ππθπθπ=<∴+<<+，4242k k ππθππ∴+<<+故2θ在第二象限. 三、方法培养1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1] R对称性对称轴：__ x ＝k π＋π2(k ∈Z )__ _； 对称中心：_ (k π，0)(k ∈Z )__ _对称轴：x ＝k π(k ∈Z )___；对称中心： _(k π＋π2，0)(k ∈Z )__对称中心：_⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) __周期2π_2ππ单调性单调增区间_[2k π－π2，2k π＋单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ____；单调增区间_(k π－π2，k π＋3.f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x .☆专题1：三角函数的单调性与周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 例1变式练习1(2011·南平月考)(1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间；(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ， 得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，π. (2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π. 由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4 得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )． ☆专题2：与三角函数有关的函数定义域问题 例2求下列函数的定义域：(1)y ＝lgsin(cos x )； (2)y ＝sin x －cos x .解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )>0. ∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0<OM ≤1， ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为 {x |－π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z}.(2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z .变式训练2 (1)求函数y122log tan x x =++的定义域.要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2 k ∈Z .利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x |0<x <π2或π≤x ≤4}.☆专题3：三角函数的图像及变换例3 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表：X －π6 π12 π3 7π125π6 X 0 π2 π 3π22π y ＝sin X 0 1 0 －10 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2 0(3)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．变式练习3 设f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ＋32sin 2x (x ∈R )．(1)画出f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象； (2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象解 y ＝12·1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＋32·1－cos 2x2＝1＋32sin 2x －12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)(五点法)设X ＝2x －π6，则x ＝12X ＋π12，令X ＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，k π＋π3，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，k π＋5π6，k ∈Z .(3)把y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象． 四、强化练习一、 选择题1．(2010·十堰月考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是 ( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π123．(2010·湖北)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( )B ．πC ．2πD ．4π4．(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x 的最小正周期为 ( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( )1．C五、训练辅导☆专题4：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例4 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．解题导引 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．解 由图象可知A ＝2，T ＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.方法一 由图象过点(1,2)，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×1＋φ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点． ∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.变式练习4 (2011·宁波模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．解 (1)由题意可得：A ＝2，T 2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ，f (0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin(12x ＋π6)．f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π6＝2，所以12x 0＋π6＝2k π＋π2，x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z )，又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3.(2)f (4θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6 ＝3sin 2θ＋cos 2θ， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin 2θ＝2sin θcos θ＝429， ∴f (4θ)＝3×429－79＝46－79.六、家庭作业布置：家长签字：_________________（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）附件：堂堂清落地训练（坚持堂堂清，学习很爽心）1. 1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( )，k ∈Z ，k ∈ZD ．R2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数3．(2013·广州综合测试)如果函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为( )A ．3B ．6C ．12D ．24 4．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－35．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )C ．2D ．3 7．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________． 8．(2012·广州联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． 9．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________． 10．设f (x )＝1－2sin x .(1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．11．(2012·佛山期中)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．12．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．1．选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 2．选D ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．3．选C 由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的距离为周期的一半，即该函数的周期T ＝2×π12＝π6，故T ＝2πω＝π6，解得ω＝12. 4．选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 5．选C 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .6．选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，则ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32. 7．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )8．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案：329．解析：∵y ＝cos x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－13π6(k ∈Z )．∴当k ＝2时，|φ|min ＝π6.答案：π610．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为x ⎪⎪⎪ 2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．11．解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵－π6≤x ≤π2，∴－π3≤2x ≤π，则－32≤sin 2x ≤1.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.12．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8。