材料力学 动载荷
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材料力学 第十章 动载荷
a t
max
m
max 2 m 2 a
min 0
r0
a
t
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
a 0
max min m t
max min 0 max min a
第二节 交变应力的循环特性和应力幅值
应力循环:一点的应力由某一数值开始，经过一次完整的变 化又回到这一数值的一个过程。
a
m
T
1.最大应力： max
2.最小应力： min
min
max
t 5.循环特性：
3.平均应力：
m
max min
2
4.应力幅：
a
max min
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最大 应力值，记作 rN ( rN ) 。 无限寿命疲劳极限或持久极限 r ： 当 max 不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力 循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
疲劳失效特点 a、在交变应力下构件破坏时，最大应力不仅低于材料强 度极限和屈服极限，甚至低于比例极限； b、在交变应力作用下，构件破坏前，总是要经历若干次 应力重复；而且即使是塑性很好的材料，在经历若干次应力 重复后，也会像脆性材料一样突然断裂，断裂前没有明显的 塑性变形。 c、疲劳破坏的断口存在三个区域： 疲劳源区——在光滑区内有以微裂纹 起始点，又称为裂纹源（①区域）为中心 并逐渐扩展的弧形曲线； 疲劳扩展区——又称为光滑区（②区 域），有明显的纹条，类似被海浪冲击后 的海滩，它是由裂纹的传播所形成；
材料力学 第十二章_动载荷
F
变形能U等于外力功
U 1 2
1 2 F F K 1 F
2
F
F
F
2 K
运动物体与静止物体之间的 相互作用称为冲击，运动的 物体称为冲击物，静止的物 体称为被冲击物。 冲击物对被冲击物作用一个 惯性力Fd ,因而被冲击物发生 变形；被冲击物给冲击物一 个反作用力，使冲击物的速 度减为零。 冲击过程是一个瞬间 过程，难以求得加速 度值，工程中用能量 法来研究。
v
j
K d Q j
2
Kd
v g j
三、冲击载荷下的强度条件（光滑构件）
( d ) max K d ( j ) max [ ] ( d ) max K d ( j ) max [ ]
Q h D D/2 D h
已知： Q, h, D, E 求： d max
解： d max K d j max
12-2 惯性力问题 １．等加速度运动时的应力 静内力： N j Q 静应力： j 静变形： j
Nj
Nd
Nj A N jl
EA
a
Q
Q g a
Q
动内力： N d Q ma Q
ma
Kd 1 a g
j
(1 a g )Q K d N j
动应力： d
14Q a 3EI
3
jB
2 aQ H I 2
0.119 mm
dB K d jB 247.5MPa
dA K d jA 14.43mm
二、水平冲击
T V U Q 2 V 0 T v 2g
U 1 2 Fd d 1 2
《材料力学》第十章 动载荷
第十章 动 载 荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
17.材料力学-动载荷
a N d (GqL)(1 ) g
②动应力
L q(1+a/g)
Nd 1 a d (GqL)(1 ) A A g 1 2 3 (5010 25.560)(1 ) 4 2.910 9.8
G(1+a/g)
214MPa 300 MPa
二、转动构件的动应力
[例3] 重为G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水 平面上绕O点旋转， 已知许用应力[] ，求转臂的截面面积 （不计转臂自重）。 GG 解：①受力分析如图:
n n
由( 2)得: R A mg sin 0 ;
n
3g 由(3)得: cos 0 ; 2l mg 代入(1) 得: R A cos 0 。 4
28
用动量矩定理+质心运动定理再求解此题： 解：选AB为研究对象
由
I A mg cos l 2 mg l cos 3 g
所以 F T 代入(3)得 mR F T M FR M QC FR m 2 mR
O
M FR
2
R
( F T ) F (
2
R
R ) T
2
R
(4)
可见，f 越大 越不易滑动。 Mmax的值为 上式右端的值。
31
由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动， 必须 F<f N =f (P+S) (5)
把(5)代入(4)得：M f ( P S )(
2
R
R) T
2
R
§17.2 考虑惯性力时的应力计算
方法原理：D’Alembert’s principle ( 动静法 ）
材料力学-动载荷
一、等加速度运动构件的应力和变形计算
（一）等加速度直线运动构件的应力和变形
例如：有一绳索提升重量为 G 的重物，重物以等加速
度 a 上升（图14-1），因为加速度 a 向上，所以惯性力 G a g
的方向向下，设绳索的拉力（轴力）为 ND ，由平衡条件
Y
0
，得：N D
G
G g
a
0
即：
ND
G 1
a g
C
构件受冲击时的应力为和变形为：
DD
K D C K D C
14
8
如果知道在冲击开始时冲击物自由落体的速度 ，则式
（14-7）中冲击物自由下落前的高度
H
可用
2 g C
来代替，即
KD 1
1 2 14 9
g C
（二）水平冲击时的动荷系数
冲击物的动能为：
T 1 m 2 Q 2
Wl 2 2
3 gEA
二、杆件受到冲击荷载作用时的应力和变形计算
在工程实用计算中，一般采用能量法进行计算。在计算 中采取以下几个假设：
① 不考虑冲击物的变形，即不考虑冲击物的变形能； ② 不考虑被冲击物（杆件）的质量； ③ 认为在冲击后冲击物和被冲击物附着在一起运动； ④ 不考虑冲击时能量的损失，即认为只有动能与位能的转化。
当
x=l
时，
N Dmax
W 2l
2g
, Dmax
N Dmax A
W 2l
2 gA
内力图
（2）计算杆件的伸长
NDx
W
gl
2
lx
x2 2
dx 段的伸长为：
dx
N D xdx
EA
W2
材料力学第十章 动载荷
Pl / 4 st 6 MPa Wz
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
材料力学10动载荷
目录
当载荷突然全部加到被冲击物上， 此时T=0
2T Kd 1 1 Q st
2
Q
由此可知,突加载荷的动荷系数是2，这时所引 起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。 1.若已知冲击物自高度 h 处无初速下落,冲击
物与被冲击物接触时的速度为v
T
Qv 2g
2
h
v 2 2 gh
2
v 2h 2T 1 1 1 1 Kd 1 1 g st st Q st
d
a
目录
b
设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为 T 根据机械能守恒定律，冲击物的动能T和势能 V的变化应等于弹簧的变形能 V d,即
动能T
d
T V V d
1 V d Fd d 2
a
V Qd
b
1 T Q d Fd d 2
在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比， 即：
Ebh 4 wB d K d st 1 1 3 2 Ql
4Ql 3 Ebh3
目录
例10-3：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘
上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩
短0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m，许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下，求其许可高度h。
Fd d d Q st st
d Fd Q st
a
b
1 2 d V d Q 2 st
c
目录
V Qd
b
T V V d
a
1 2 d V d Q 2 st
c
当载荷突然全部加到被冲击物上， 此时T=0
2T Kd 1 1 Q st
2
Q
由此可知,突加载荷的动荷系数是2，这时所引 起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。 1.若已知冲击物自高度 h 处无初速下落,冲击
物与被冲击物接触时的速度为v
T
Qv 2g
2
h
v 2 2 gh
2
v 2h 2T 1 1 1 1 Kd 1 1 g st st Q st
d
a
目录
b
设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为 T 根据机械能守恒定律，冲击物的动能T和势能 V的变化应等于弹簧的变形能 V d,即
动能T
d
T V V d
1 V d Fd d 2
a
V Qd
b
1 T Q d Fd d 2
在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比， 即：
Ebh 4 wB d K d st 1 1 3 2 Ql
4Ql 3 Ebh3
目录
例10-3：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘
上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩
短0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m，许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下，求其许可高度h。
Fd d d Q st st
d Fd Q st
a
b
1 2 d V d Q 2 st
c
目录
V Qd
b
T V V d
a
1 2 d V d Q 2 st
c
材料力学-10动载荷
3.动荷系数为Kd：
Pd K d Pj d Kd j
d Kd j
一、轴向自由落体冲击问题
冲击前： mg v
动能T1mv2 /2 势能V1mgh 变形能U10
冲击后： 动能T2 0
势能V2 mgd 变形能U 2 Pd d /2
h
冲击前后能量守恒，且 Pd Kd Pj (Pj mg)
d Kd j
d mg
1 2
mv
2
mg
(hKd
j
)
mg 2
K
2 d
j
Kd 1
1v2 /g2h j
△j:冲击物落点的静位移。
讨论： (1)v 0 :,
2h
Kd 1
1 j
(2)突然荷载h 0 :, Kd 2
二、不计重力的轴向冲击： v
mg
冲击前后能量守恒，且
Pd Kd Pj (Pj mg) d Kd j
1 mv 2 2
j
Pj L EA
WL EA
425
mm
Wv h=1m
Kd 1
1 2h 1 j
1 21000 217.9 425
③求动应力
f
6m
静应力： j W / A0.07074 MPa 动应力： d Kd j 15.41MPa
四、 梁的冲击问题
1.假设：
mg
ACh
冲击物为钢体；
不计被冲击物的重力势能和动能； B 冲击物不反弹；
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不
超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。
三、动荷系数：
动荷系数K
d
动响应 静响应
四、动应力分类：
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上 海 世 博 会 场 馆 建 设 中 心 的 锤 击 打 桩 .
二零零七年十一月十四日中午十一点左右 无锡某工地升降机从百米高空直接坠地, 升降 机内十七人, 六人死亡, 十一人重伤.
三、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、 位移等），称为动响应。
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力 不超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 = E动。
qd
man
D
Aan
g
A
g
2
D 2
(3) Y 0
2FNd
0
D 2
dqd
sin
qd D
1
A 2 D2
FNd 2 qd D 4g
二、动应力的计算
d
FNd A
2 D2
4g
v2 ;
g
(v R D )
2
qd
dφ
φ
FNd
FNd
例 重为G 的球装在长 L 的转臂端部，以等角速度在光滑水
平面上绕O点旋转， 已知许用强度[] ，求转臂的截面
M图（N·m)
二、构件作等速转动时的动应力
截面为A的薄壁圆环平均直径为 D， 以等角速度ω绕垂直于环平面且过圆心的 平面转动，圆环的比重为γ。求圆环横截 面的动应力。
解：一、求薄壁圆环内动内力
(1)
an
2R
2
D 2
F
man
AD
g
2
D 2
(2)
qd
man
D
Aan
g
A 2 D
g2
Ro
qd
(2)
解：1、动轴力的确定
FNd
Ax
ma
Ax
g
a
a
FNd
Ax(1
a) g
FNd
2、动应力的计算
lm
Ax(1 a )
d
FNd A
g x(1 a )
A
g
m
a
x
Ax
Ax a
g
Ax(1 a )
d
FNd A
g x(1 a )
A
g
最大动应力
x
L
d max
L(1
a) g
a
应力分布
a = 0时 d x st
例: 起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静载。
二、动载荷的概念：
载荷随时间急剧变化且使构
件的速度有显著变化（系统产生 惯性力），此类载荷为动载荷。
va
F
例: 起重机以加速度吊起重物，
Fa
重物对吊索的作用为动荷载
g
作用。
Q h
L
l
例如:旋转的飞轮突然刹车, 轴受动荷载作用。
例如:打桩、气锤的锤杆工作 时均为动荷载作用。
l(1 a )
d
st (1
a) g
令K d
(1
a) g
d Kd st
lm
g
m
FNd
d
x(1
a) g
a Ax
x Ax
Kd
——动荷系数；
下标 st——受静荷载作用；
a g
下标 d——受动荷载作用。
令K d
(1
a) g
d Kd st
FNd Kd FNst ;
d Kd st ;
Ld Kd Lst。
四、动载荷问题的分类：
（1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击和作强迫振动时的动应力计算； （3）构件在交变应力作用下的疲劳破坏和疲劳强度计算。
第二节 惯性力问题
一、 匀加速直线运动构件的动应力计算
如图所示一起重机绳索以等加速度 a 提升一等截面直杆，直杆单位 体积的重量（比重、重度）为γ，横截面面积为 A，杆长为L，不计绳索 的重量。求：杆内任意横截面的动应力、最大动应力。
解：将集度为 qd=Aa 的惯性 2m 4m 4m 2m
力加在工字钢上，使工字钢上 的起吊力与其重量和惯性力假
ACB a
z y
想地组成平衡力系（见图b）。
(a)
若工字钢单位长度的重量记为
FNd q
FNd
qst ，则惯性力集度为
qd
qst g
a
A
B (b)
于是，工字钢上总的均布力集度为
q
qst
qd
qst (1
a) g
q
qst
qd
qst (1
a g
)
引入动荷因数
Kd
1
a g
则
q Kdqst
2m 4m 4m 2m
由对称关系可知，两吊索
的轴力相等，其值可由平衡方
程求得
FNd
1 2
ql
AC
FNd q A
B a
(a)
z y
FNd
B (b)
故得吊索的动应力为
d
Kd
(1
a) g
qstl 2A
d
Kd
(1
a) g
P
a g
Ad = KdAst
＝1.51×0.5×10－3
＝0.755×10－3㎡
＝755mm2
例 长度 l=12m 的16号工字钢，用横截面面积为 A=108mm2
的钢索起吊，如图a所示，并以等加速度 a=10m/s2 上升。若只
考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及
工字钢在危险点的动应力d,max
解 一、惯性力
FNd
这是个匀加速直线运动问题，
a 因为加速度与运动方向一致，所以
P
惯性力 P a 的方向向下。
Pa
g
g
二、动荷系数
Kd
1
a g
1 5 9.8
1.51
三、计算物体静止时，绳索所需的横截面积
由强度条件得
FNd
Ast
P
40 103 80 106
0.5 103
a
P 四、计算绳索所需要的横截面积
d,max
Kd max
(1
a) g
M max Wz
并由型钢表查得
Wz=21.210-6 m3
2m 4m 4m 2m ACB a
(a)
FNd q
FNd
z y
以及已知数据代入上式，得 A
B (b)
d,max
2.02
(6 20.5 9.81)N m 21.2 106 m3
115MPa
6q
2q (c)
第十二章 动载荷
§1 动载荷概念和工程实例 §2 惯性力问题 §3 构件受冲击时的应力及强度计算 §4 提高构件抵抗冲击能力的措施 §5 构件的动力强度和冲击韧度
第一节 动载荷概念和工程实例
一、静荷载的概念：
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各 部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。
面积（不计转臂自重）。
qstl 2A
由型钢表查得
qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g 及已知数据代入上式，即得
d
(1
10m/s2 9.81m/s2
)
(20.5 9.81N/m)(12m)
2 108106
22.6MPa
2m 4m 4m 2m ACB a (a)
z y
FNd q
FNd
A
B (b)
由工字钢的弯矩图(图c)可知，Mmax=6qN·m ， 同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力
3、强度计算
d max d
a
应力分布
l(1 a ) g
lm m
FNd
d
x(1
a) g
a Ax
x Ax
a
g
例、试确定图所示起重机吊索所需的横截面面积A。已知提升物体的重
量P＝40kN，上升时的最大加速度α＝5m/s2，绳索的许用拉应力[ ]＝
80MPa。设绳索的质量相对于物体的质量来说很小，可以忽略不计。