中考数学代数几何综合题2

中考数学代数几何综合题2

Ⅰ、综合问题精讲：

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1

2 BC·CE；

⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB

⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)

∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1

2 BC ，

∵∠CAE＝900，∴AC 2

＝CH·CE＝12 BC·CE

⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2

① ∵AC 2

＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②

①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2

＝17 ∵EC 2

＝AC 2

＋AE 2

，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13

2

点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键.

【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分

别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内

作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○

。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长；

（2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

解：（1）在y=2x+2中

分别令x=0，y=0．

得 A（l，0），B（0，2）．

易得△ACD≌△BAO，因此 AD=OB=2．

（2）因为A(1，0），B（0，2），且由（1），得C（3,l）．设过过B、A、C三点的抛物线为2

y ax bx c

=++

因此

5

6

17 2

6 93

1

2

a

a b c

c b

a b c

c

?

=

?

++=

??

??

==-

??

??

++=

?=

?

?

?

，解得

因此2

517

2

66

y x x

=-+

点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO．

【例3】（2005，重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q 从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q

移动的时刻为t秒．

(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

(3) 当t为何值时，△APQ的面积为

5

24

个平方单位？

解：（1）设直线AB的解析式为y＝k x＋b

由题意，得

b=6

80

k b

?

?

+=

?

解得

3

4

6

k

b

?

=-

?

?

?=

?

因此，直线AB的解析式为y＝－

4

3

x＋6．

（2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10

因此AP＝t，AQ＝10－2t

1°当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

因此

6

t＝

10

2

10t

-

解得t＝

11

30

(秒)

2° 当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． 因此

10

t ＝6210t - 解得

t ＝13

50(秒)

（3）过点Q 作QE 垂直AO 于点E ． 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝AB

BO ＝5

4

在Rt△AEQ 中，QE ＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t )·5

4＝8 －5

8t 因此，S △APQ ＝2

1AP·QE＝

21t ·(8－5

8t )

＝－2

54t ＋4t ＝5

24 解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）．

（注：过点P 作PE 垂直AB 于点E 也可，并相应给分）

点拨：此题的关键是随着动点P 的运动，△APQ 的形状也在发生着变化，因此应分情形：

①∠APQ ＝∠AOB ＝90○

②∠APQ ＝∠ABO ．如此，就得到了两个时刻限制．同时第（3）问也能够过P 作 PE ⊥AB ．

【例4】（2005，南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，对角线AC 上有一个动点P （不包括点A 和点C ）．设AP ＝x ，四边形PBCD 的面积为y ．

（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范畴． （2）有人提出一个判定：“关于动点P ，⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和为常数”．请你说明此判定是否正确，并说明理由． 解：（1）过动点P 作PE ⊥BC 于点E ．

在Rt⊿ABC 中，AC ＝10， PC ＝AC －AP ＝10－x ． ∵ PE ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴⊿PEC ∽⊿ABC ．

故 AC

PC AB PE =，即.54

8,10108x PE x PE -=-=

∴⊿PBC 面积＝.5122421x BC PE -=?

又⊿PCD 面积＝⊿PBC 面积＝.5

1224x -

即 y x 524

48-=，x 的取值范畴是0＜x ＜10．

（2）那个判定是正确的． 理由： 由（1）可得，⊿PAD 面积＝.5

12x

⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和＝24．

点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，如此PC ＝10－x ，而面积y 是一个不规则的四边形，因此能够把它看成规则的两个三角形：△PBC 、△PCD ．如此问题就专门容易解决了.

Ⅲ、综合巩固练习

（100分 90分钟）

1、如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC 各顶点坐标分别为A （0， 3 ），B （－1，0）、C （0，1）中，若△DEF 各顶点坐标分别为D （ 3 ，0）、E （0，1）、F （0，－1），则下列判定正确的是（ ）

A ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转90○

得到;

B ．△DEF 由△AB

C 绕O 点逆时针旋转90○

得到;

C ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转60○

得到;

D ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转120○

得到

2．如图2－5－9,已知直线 y=2x ＋1与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，直线y=2x —1与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，试判定四边形ABCD 的形状．

3．如图2－5－10所示，在矩形ABCD 中，BD=20，AD ＞AB ，设∠ABD=α，已知sin α是方

程25z 2

－35z+ 12=0的一个实根．点E 、F 分别是BC 、DC 上的点，EC+CF=8，设BE=x ，

△AEF 面积等于y.

⑴ 求出y 与x 之间的函数关系式；

⑵ 当E 、F 两点在什么位置时y 有最小值？并求出那个最小值．

4．（10分）如图2－5－11所示，直线y=－4

3 x+ 4与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ．

（1）求M 、N 两点的坐标；

（2）假如点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125 为半径的圆与直线y=－4

3 x+ 4相切，

求点P 的坐标．

5．（10分）如图2－5-12所示，已知等边三角形ABC 中，AB=2，点P 是AB 边上的任意一

点（点P 能够与点A 重合，但不与点B 重合），过点P 作PE ⊥BC ．垂足为E ；过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ；过点F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ．设BP=x ，AQ=y ． ⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式；

⑵ 当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合；

⑶ 当线段 PE 、FQ 相交时，写出线段PE 、EF 、FQ 所围成三角形的周长的取值范畴（不必写出解题过程）

6．（12分）如图2－5－13所示，已知A 由两点坐标分另为（28，0）和（0，28），动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒3个长度单位的速度向原点O 运动，动直线 EF 从 x 轴开

始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF ∥x 轴)同时分别交y 轴，线段AB 交于E 、F 点．连接FP ，设动点P 与动直线EF 同时动身，运动时刻为t 秒．

⑴ 当t ＝1秒时，求梯形OPFE 的面积，t 为何值时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积是多少？

⑵ 当梯形OPFE 的面积等于△APF 的面积时，求线段 PF 的长．

⑶ 设t 的值分别取t 1，t 2时（t 1≠t 2），所对应的三角形分别为△AF 1P 1和△AF 2P 2 ，试判定这两个三角形是否相似，请证明你的判定．

7．（12分）如图2－5－14所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点，A 的坐标为(1，

0)，对角线的交点P 的坐标为（5

2 ，1）

⑴ 写出B 、C 、D 三点的坐标；

⑵ 若在AB 上有一点 E 作，’入过 E 点的直线‘将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分，求直线l 的解析式；

⑶ 若过C 点的直线l 将矩形ABCD 的面积分为4：3两部分，并与y 轴交于点M ，求过点C 、D 、M 三点的抛物线的解析式．

8．（10分）已知矩形ABCD 在平面直角坐标系中，顶点A 、B 、D 的坐标分别为A （0，0），B （m ，0），D （0，4）其中m ≠0．

⑴写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标（用含m的代数式表示）

⑵若一次函数y=kx－1的图象l把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解

析式（用含m的代数式表示）

⑶在⑵的前提下，l又与半径为1的⊙M相切，且点 M（0，1），求此矩形ABCD的中心

P点的坐标．

9．（10分）如图2－5－15所示，等边三角形ABC的边长为6，点D、E分别在边AB，AC 上，且AD=AE=2，若点F从点B开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时刻为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．

⑴设△EGA的面积为S，写出S与 t的函数解析式；

⑵当t为何值时，AB⊥GH；

⑶请你证明△GFH的面积为定值．

10. (10分)如图2－5-16，在矩形ABCD中，AB=10。cm，BC=8cm．点P从A动身，沿

A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D动身，沿D→C→B→A路线运动，到

A停止，若点P、点Q同时动身，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a s时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为d cm/s，图2－5－17是点P动身x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（s）的函数关系图象；图2－5－18是点Q动身xs后面AQD的面积S2（cm2）与x（s）的函数关系图象．

⑴参照图2－5－17，求a、b及图中c的值；

⑵求d的值；

⑶设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动

点P、Q改变速度后，y1、y2与动身后的运动时刻x（s）的函数解析式，并求出P、Q 相遇时x的值．

⑷当点Q动身_______s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．