各省市中考数学分类汇总代数几何综合题

2016中考分类汇总（28）代几综合题

（2016安徽）22．如图，二次函数bx

=2的图象经过点)4,2(A与)0,6(B．

ax

y+

（1）求b

a,的值；

（2）点C是该二次函数图象上B

A,两点之间的一动点，横

坐标为)6

x．写出四边形OACB的面积S关

2(<

于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

（2016龙东）28.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°且OA=AB，OB、OC的长分别是一元二次方程x2-11x+30=0的两个根(OB＞OC).

（1）求点A和点B的坐标.

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P的直线a与y轴平行,

直线a交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m，已知t=4时，直线a恰好过点C．当0＜t＜3时，求m 关于t的函数关系式．

（3）当m=时，请你直接写出点P的坐标.

（2016毕节）如图，已知抛物线bx x y +=2

与直线42+=x y 交于A(a,8)、B 两点，

点P 是抛物线上A 、B 之间的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C 和点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C 为AB 中点，求PC 的长；

（3）如图，以PC,PE 为边构造矩形PCDE ，设点D 的 坐标为（m,n ）,请求出m,n 之间的关系式。

（2016滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数（2016长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFGH.设点E 运动的时间为t秒.

（1）求线段EF的长.（用含t的代数式表示）

（2）求点H与点D重合时t的值；

（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S平方单位，求S与t 之间的函数关系式；

（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点'O.当'

OO∥AD时，t的值为______；

当'

OO⊥AD时，t的值为______.

(第23题)（2016长春）如图，在平面直角坐标系中.有抛物线2

y a x h

=-.

()

=-+和2

(3)4

y a x

抛物线2

y a x

=-+经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于

(3)4

点是抛物线2

=-+上一点，且在x轴上方.过点P作x轴的垂线交抛物

y a x

(3)4

线2

()

=-于点'Q(不与点

y a x h

=-于点Q.过点Q作PQ的垂线交抛物线2

()

y a x h

Q重合)，连结'

PQ.设点P的横坐标为m.

（1）求a的值.

（2）当抛物线2

=-经过原点时，设△'

y a x h

()

PQQ与△OAB重叠部分图形的周长为l.

①求

'

PQ

QQ 的值. ②求l 与m 之间的函数关系式.

（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、Q 、'Q 为顶点的四边形是轴对

称图形？直接写出h 的值.

(第24题)

（2016长沙）如图，直线l ：y =－x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ=135°. (1) 求△AOB 的周长；

(2) 设AQ=t >0.试用含t 的代数式表示点P 的坐标；

(3) 当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记作∠AOQ=m ，若过点A 的二次函数y =ax 2+bx +c 同时满足以下两个条件： ① 6a +3b +2c =0;

② 当m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值等于

m

2

，求二次项系数a 的值.

（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()213y a x =+-与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，83

-），顶点为D ，对称轴与x 轴

交于点H.过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴右侧. (1)求a 的值及点A 、B 的坐标；

(2)当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；

(3)当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否成为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．

（2016达州）如图，已知抛物线y=ax2+2x+6（a≠0）交x轴与A，B两点（点A 在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CE F 的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质．

（2016大庆）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．

（1）求抛物线C2的解析式．

（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ 的最大值．

（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

【考点】二次函数综合题．

顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标

（2016丹东）如图，抛物线bx

=2过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B

y+

ax

关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

（2016德州）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；

（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P 的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是判定△BCD 是直角三角形．

（2016广安）如图，抛物线y=x 2

+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ． （1）求抛物线的解析式；

（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．

（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM⊥AB，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标．

（2016鄂州）如图在平面直角坐标系xoy 中，直线y ＝2x +4与y 轴交于A 点，与

x 轴交于B 点，抛物线C 1：c bx x y ++-=24

1

过A 、B 两点，与x 轴另一交点

为C 。

（1）求抛物线解析式及C 点坐标。

（2）向右平移抛物线C 1，使平移后的抛物线C 2恰好经过△ABC 的外心，抛物线

C 1、C 2相交于点

D ，求四边形AOCD 的面积。

（3）已知抛物线C 2的顶点为M ，设P 为抛物线C 1对称轴上一点，Q 为抛物线C 1

上一点，是否存在以点M 、Q 、P 、B 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，

直接写出P 点坐标，不存在，请说明理由。

图（1） 图（2）

（2016海南省）如图1，抛物线y=ax 2﹣6x+c 与x 轴交于点A （﹣5，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C （0，﹣5），点P 是抛物线上的动点，连接PA 、PC ，PC 与x 轴交于点D ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点P 的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC 的面积；

（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点H ，交直线AC 于点E ，如图2．

①若∠APE=∠CPE，求证：；能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P 的

坐标；若不能，请说明理由．

（2016河南省）如图1，直线n x y +-=3

4交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0,4）.抛物线c bx x y ++=

2

3

2 经过点A ，交y 轴于点B （0，-2）.点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m . （1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；

（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′=∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.

（2016贺州）26．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求A D的长；

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

（2016怀化）22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A （﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC 内，求n的取值范围；

（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．

（2016衡阳）26．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

（2016呼和浩特）25．已知二次函数y=ax 2

﹣2ax+c （a ＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P （t ，0）是x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为C ，顶点为D ．

（1）求该二次函数的解析式，及顶点D 的坐标； （2）求|PC ﹣PD|的最大值及对应的点P 的坐标；

（3）设Q （0，2t ）是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y=a|x|2

﹣2a|x|+c 的图象只有一个公共点，求t 的取值．

（2016黄冈）24.如图，抛物线y=-21x 2

+23

x+2与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交

于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点. 设点P 的坐标为(m, 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q. (1)求点A ，点B ，点C 的坐标；

(2)求直线BD的解析式；

(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

（第24题）

（2016济宁）22．如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x 轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．

（1）求抛物线m 的解析式；

（2）P 是l 上的一个动点，若以B ，E ，P 为顶点的三角形的周长最小，求点P 的坐标；

（3）抛物线m 上是否存在一动点Q ，使以线段FQ 为直径的圆恰好经过点D ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2016江西）23．设抛物线的解析式为y = a x 2 , 过点B 1 (1, 0 )作x 轴的垂

线，交抛物线于点A 1 (1, 2 )；过点B 2 (1, 0 )作x 轴的垂线，交抛物线于点A 2 ，… ；过点B n ((1

2)n ?1 , 0 ) (n 为正整数 )作x 轴的垂线，交抛物线

于点A n , 连接A n B n+1 , 得直角三角形A n B n B n+1 .

(1)求a 的值；

(2)直接写出线段A n B n ，B n B n+1 的长（用含n 的式子表示）；

(3)在系列Rt ⊿A n B n B n+1 中，探究下列问题：

○

1当n 为何值时，Rt ⊿A n B n B n+1 是等腰直角三角形？ ○

2设1≤k ＜m ≤n (k , m 均为正整数) ，问是否存在Rt ⊿A k B k B k+1 与Rt ⊿A m B m B m+1

相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由.

x

y

O

（2016荆门）24．如图，直线y ＝－3x ＋23与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，两动点D ，E 分别从点A ，点B 同时出发向点O 运动(运动到点O 停止)，运动速度分别是1个单位长度/3个单位长度/秒，设运动时间为t 秒．以点A 为顶点的抛物线经过点E ，过点E 作x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G ，与

AB 交于点F ．

(1)求点A ，B 的坐标；

(2)用含t 的代数式分别表示EF 和AF 的长；

(3)当四边形ADEF 为菱形时，试判断△AFG 与△AGB 是否相似，并说明理由； (4)是否存在t 的值，使△ADF 是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；