5-3频率域稳定判据
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5.4 频率域稳定判据
e j ( 90)1 G(s) H (s) G1 ( jwn ) 1 (2wne )
A( s )
90, 即s=jwn G1 ( jwn ), ( s) G1 ( jwn ) ( 90) 1 , (90, 90) G ( jw ) 180, 90, 即s=jwn 1 n 1
Z P 2N
N N N
N + ：半Nyquist曲线自上向 下穿越 GH 平面 (-, - 1)区间 的次数。
N -- ：半Nyquist曲线自下向 上穿越 GH 平面 （-, - 1 ） 区间的次数。
Z P 2( N N )
Z P 2( N N )
s 的选择考虑： 使它包围整个 s 右半平面。
2.稳定判据和对数频率稳定判据
（1） S 平面上封闭路径s 的选择 （2） S 平面上封闭路径s 在G(s)H(s) 平面上的映象 （3） Nyquist Criterion （4） Nyquist Criterion 的几种等价表述
（1）S 平面上封闭路径s 的选择 对封闭路径s 的要求：能包含整个S右半平面。 也就是说，假如开环传 递函数G(s)H(s) 具有“正实部极点”，那末这些极点一定被封闭路径s 所包围。 若G(s)H(s) 在虚轴上没有极点，则选择图 1 所示的路径。它由两部分组 成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。 若G(s)H(s) 在虚轴上有极点，则选择图 2 所示的路径。它由三部分组成： 包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无 穷大的右半园。 END
B( s) A( s) B( s ) F (s) 1 G(s) H (s) 1 A( s) A( s)
A( s )
90, 即s=jwn G1 ( jwn ), ( s) G1 ( jwn ) ( 90) 1 , (90, 90) G ( jw ) 180, 90, 即s=jwn 1 n 1
Z P 2N
N N N
N + ：半Nyquist曲线自上向 下穿越 GH 平面 (-, - 1)区间 的次数。
N -- ：半Nyquist曲线自下向 上穿越 GH 平面 （-, - 1 ） 区间的次数。
Z P 2( N N )
Z P 2( N N )
s 的选择考虑： 使它包围整个 s 右半平面。
2.稳定判据和对数频率稳定判据
（1） S 平面上封闭路径s 的选择 （2） S 平面上封闭路径s 在G(s)H(s) 平面上的映象 （3） Nyquist Criterion （4） Nyquist Criterion 的几种等价表述
（1）S 平面上封闭路径s 的选择 对封闭路径s 的要求：能包含整个S右半平面。 也就是说，假如开环传 递函数G(s)H(s) 具有“正实部极点”，那末这些极点一定被封闭路径s 所包围。 若G(s)H(s) 在虚轴上没有极点，则选择图 1 所示的路径。它由两部分组 成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。 若G(s)H(s) 在虚轴上有极点，则选择图 2 所示的路径。它由三部分组成： 包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无 穷大的右半园。 END
B( s) A( s) B( s ) F (s) 1 G(s) H (s) 1 A( s) A( s)
第五章 频率域方法讲解
22
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
5
返回子目录
输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2
将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
5
返回子目录
输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2
将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )
频域稳定性判据
频域稳定性判据的应用场景
频域稳定性判据广泛应用于控制系统的分析和设计。在控制系统分析和设计中，需要评估系统的稳定 性和性能指标。频域稳定性判据可以快速准确地判断系统的稳定性，为控制系统设计和优化提供依据 。
此外，频域稳定性判据还可以用于非线性系统和不确定系统的稳定性分析。通过扩展频域稳定性判据 的方法，可以对非线性系统和不确定系统的稳定性进行分析和评估。
考虑计算效率和精度
在选择合适的频域稳定性判据 时，还需考虑计算效率和精度 。
05
频域稳定性判据的应用实例
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析是频域稳定性判据 的重要应用领域之一。通过分析系统的 频率响应，可以判断系统是否稳定，以 及系统对不同频率输入的响应特性。
频域稳定性判据在控制系统设计、优 化和故障诊断中具有广泛的应用，有 助于提高系统的性能和可靠性。
对未来研究的展望
随着控制系统变得越来越复杂， 对频域稳定性判据的研究也需要 不断深入。未来的研究可以进一 步探索更高效的算法和计算方法， 提高稳定性判据的准确性和计算 效率。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的快速发展，可以考虑将这 些技术应用于频域稳定性判据中， 以实现自适应控制和智能控制。 例如，可以使用机器学习算法来 自动识别和分类系统的频率响应， 从而更快速和准确地判断系统的 稳定性。
频域稳定性判据的重要性
频域稳定性判据是控制系统设计和分析的重要工具之一。通 过频域稳定性判据，可以快速判断系统的稳定性，并优化系 统的性能。
频域稳定性判据具有直观、简便的优点，可以用于分析线性 时不变系统的稳定性和性能。在工程实践中，频域稳定性判 据广泛应用于控制系统设计和分析，如航空航天、电力、化 工等领域。
此外，随着绿色环保理念的普及， 未来的研究也可以考虑将பைடு நூலகம்域稳 定性判据应用于节能减排和可持 续发展的领域，例如通过优化控 制策略来降低能源消耗和减少排 放。
自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
第五章 频率特性法(5.4)——稳定判据
于对数频率稳定判据是在 L( ) 0 的频率范围内依相
频曲线 ( ) 来确定穿越次数N。
二、对数频率稳定判据
开环传函在右半s平面上的极点数为P， 开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相 频曲线与 (2k 1) 线的正负穿越次数之差为N ：
N N N
向上 正穿越的次数 负穿越的次数 向下
5.4 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定判据
利用开环幅相曲线和开环对数曲线 判断闭环系统的稳定性。
一、奈奎斯特稳定判据 二、对数频率稳定判据
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
j
-1 -0.5
0
-2
-1
0
Z=P-2N=1-0=1
1 Z=P-2N 1 2 0 2
系统不稳定
系统稳定
开环传递函数含有积分环节
开环幅相曲线 G( j ) H ( j ) 起始于无穷远处。 若 v 1 ，则起始于负虚轴无穷远处 若 v 2 ，则起始于负实轴无穷远处 如何衡量开环幅相曲线是否包围 (1, j 0) 呢？
c
0dB
180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2
270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o
90o
0
o
c 1
2
90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨讲诉
图5－47绘出了K>1 和 K<1的两条闭合曲线，可见：
当K>1 时，曲线逆时针包围了（－1，j0）点1圈即R=1 闭环系统稳定；当K<1时，曲线未包围（－1，j0）点，即 R=0，闭环系统不稳定。
在本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而使闭环系 统不稳定，这是与常见的最小相位系统截然不同之处。
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：
1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式 之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数相同，均 为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是 GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。
负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及
其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω 从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
例5-8 设系统开环传递函数为
5.2 G(s)H (s) (s 2)(s2 2s 5)
图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像
例5-9 系统结构图如图5-46所示，试判断系统的稳定性并 讨论K值对闭环系统稳定性的影响。
图5-46 解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传递函数在 S平面右半部分有一个极点P＝1，频率特性曲线如图5－ 47所示。当ω ＝0时，曲线从负实轴（－K，j0）出发；当 ω→∞时，曲线以－90°渐近角趋于坐标原点；当ω从－∞ 变化到＋∞，频率特性（图中实线部分）及其镜像（虚线 部分）包围（－1，j0）点的圈数R与K值有关。
频率稳定判据
第五章频率域方法频率稳定判据（1）频率稳定判据两种频率稳定判据：奈奎斯特（Nyquist）稳定判据和对数频率稳定判据。
奈奎斯特判据是利用系统的开环幅相特性曲线判断闭环系统稳定性的一种方法，而对数频率稳定判据是利用系统的开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性，两种方法本质上没有区别。
频率稳定判据是建立在幅角原理的基础上的，因此，下面先介绍有关幅角原理的内容。
设F(s)是复变量s 的单值函数，例如1212()()()=()()()()s z s z F s F s F s s p s p −−=∠−−1z 2z 1p 2p 0sjs 平面SΓ0F)(s F ∠jFΓF 平面设是s 平面上的一条封闭的轨线，且不经过F(s)的任何一个零点或极点。
对于上的任意一点，通过F(s)的映射，可以在F 平面上确定一个对应的点，称为的象，若沿顺时针移动一周，则对应的象在F 平面上形成一条封闭曲线。
S ΓF ΓS ΓS Γs F s s 12,z z 零点：12,p p 极点：1z 2z 1p 2p 0sjs 平面SΓ幅角原理若s 平面上的包围了F(s)的Z 个零点和P 个极点，则当点沿顺时针移动一周时，在F 平面上闭合曲线逆时针绕原点的圈数R 为P 和Z 之差，即R=P-Z若R<0，则表示顺时针方向绕原点的圈数。
S ΓS ΓF Γs 0F)(s F ∠jFΓF 平面12,z z 零点：12,p p 极点：（注意不能经过F(s)的任何一个零点和极点）S Γ)(s G )(s H 闭环121212()()()()=1()()()()()()M s N s G s s G s H s N s N s M s M s Φ=++11()()()M s G s N s =前向22()()()M s H s N s =反向开环1212()()()()()()M s M s G s H s N s N s =辅助函数121212()()()()()=1+()()()()N s N s M s M s F s G s H s N s N s +=辅助函数1122(),(),(),()M s N s M s N s 均为s 的实系数多项式开环特征多项式闭环特征多项式=)(s F F(s)的极点是开环的极点，F(s)的零点是闭环的极点。
《自动控制原理》第5章 控制系统的频域分析：频域稳定判据
N+ = 0,
3
N−
=
, 2
R = −3
例1: 设闭环系统的开环传递函数为：
K H (s)G(s) =
(T1s + 1)(T2s + 1)
Nyquist Diagram 0.6
0.4
0.2
Imaginary Axis
0
-0.2
系统稳定 -0.4
-0.6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
R 0顺时针 R = 0不包围 R 0逆时针
在[s]任取一条闭合曲线T，包围F(s)的Z个零点和P个 极点，且不通过F(s)的零点和极点，当复变量s沿曲 线T顺时针绕一周时，在[F]，TF包围原点的圈数 R=P-Z
3
二、闭环极点与开环极点的关系
设系统的开环传函：G(s)H (s) = B(s) A(s)
s(s + 1)( s + 2)
G(s) =
0.5 K
s(s + 1)(0.5s + 1)
G( j ) =
0.5 K
(K 0)
j ( j + 1)( j0.5 + 1)
G(
j )
=
− 0.5K[1.5 2 + j(1 − 2 ( 2 + 1)(0.25 2
0.5 2 )]
(K + 1)
0)
= 2
R = 2( N + − N − )
R 0, 顺时针 R 0, 逆时针
9
N+ = 0, N− = 1, R = 2(N+ − N− ) = −2
《工程控制基础》频域：奈氏 判据
24
例:已知某系统G(jω)H(jω)轨迹，有2个开环极点分
布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有1次正穿越，
2次负穿越，
N 2(N N ) 1 2 2
求得：Z=P+N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1, j0) 点两次，系统临界稳定。
（a）P=0 0
Im P0
0
R
Re (b)P=1
0
P 1 Im
R
K
0
Re
26
例5-12
(b)若b>1, N= 2(N+ - N–)=2(2-1)=2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系统不稳定。
若b<1<a, N= 2(N+ - N–)=2(1-1)=0，且 P=1，所以 Z=P+N=1 系统不稳定。
(1, j0)
_
0
0
Re
G( j )H ( j )
G( j )H ( j )
23
如果G(jω)H(jω)按顺时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方 向包围点 (-1, j0) 一周，则必负穿越一次。 这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈 数。
N=2(N+-N-) 注意：这里对应的ω变化范围 0 。
3
5.3.2 幅角原理
1.映射
复数s
s平面
s=σ+jω.
F(s)
F(s) 复平面
F(s)= u+jv.
在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ，经过复变函 数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点
例:已知某系统G(jω)H(jω)轨迹，有2个开环极点分
布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有1次正穿越，
2次负穿越，
N 2(N N ) 1 2 2
求得：Z=P+N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1, j0) 点两次，系统临界稳定。
（a）P=0 0
Im P0
0
R
Re (b)P=1
0
P 1 Im
R
K
0
Re
26
例5-12
(b)若b>1, N= 2(N+ - N–)=2(2-1)=2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系统不稳定。
若b<1<a, N= 2(N+ - N–)=2(1-1)=0，且 P=1，所以 Z=P+N=1 系统不稳定。
(1, j0)
_
0
0
Re
G( j )H ( j )
G( j )H ( j )
23
如果G(jω)H(jω)按顺时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方 向包围点 (-1, j0) 一周，则必负穿越一次。 这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈 数。
N=2(N+-N-) 注意：这里对应的ω变化范围 0 。
3
5.3.2 幅角原理
1.映射
复数s
s平面
s=σ+jω.
F(s)
F(s) 复平面
F(s)= u+jv.
在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ，经过复变函 数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点
第五章 频率特性法(5.4)——稳定判据
c
0dB
180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2
270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o90o0ຫໍສະໝຸດ oc 12
90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
G( j) H ( j)
-1
自下向上为负穿越，用N－表示；
G( j) H ( j)
N=N＋-N－
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
5 o G( j ) 2 0 180 s
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[ j(2 a ) (a )]
系统稳定！
奈氏判据
对数频率稳定判据
对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在
对数判据例题3
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
360o
180o
0o
1
c
c 1时 系统稳定
经验:只要N为 负,不管P为几, 系统都不可能 稳定!
180o
360o
540o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
0dB
180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2
270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o90o0ຫໍສະໝຸດ oc 12
90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
G( j) H ( j)
-1
自下向上为负穿越，用N－表示；
G( j) H ( j)
N=N＋-N－
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
5 o G( j ) 2 0 180 s
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[ j(2 a ) (a )]
系统稳定！
奈氏判据
对数频率稳定判据
对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在
对数判据例题3
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
360o
180o
0o
1
c
c 1时 系统稳定
经验:只要N为 负,不管P为几, 系统都不可能 稳定!
180o
360o
540o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。