2016届中考数学(通用版)复习专题学案：代数几何综合题
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案一、教学目标：1. 让学生掌握代数应用性问题的基本类型及解题方法。
2. 提高学生将实际问题转化为代数问题的能力。
3. 培养学生运用代数知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 代数应用性问题的基本类型：方程问题、不等式问题、函数问题。
2. 解题方法：列方程、列不等式、列函数关系式。
3. 实际问题转化为代数问题的步骤：（1）理解实际问题的背景，找出关键信息。
（2）设未知数，找出已知数。
（3）根据实际问题建立代数模型。
（4）解代数方程（不等式、函数）。
（5）检验解的合理性，解释实际意义。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：代数应用性问题的基本类型及解题方法。
2. 教学难点：实际问题转化为代数问题的步骤，解题方法的灵活运用。
四、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引发学生对代数应用性问题的思考。
2. 讲解：介绍代数应用性问题的基本类型及解题方法，结合实际问题引导学生转化为一元一次方程、一元一次不等式、函数关系式。
3. 案例分析：分析几个典型代数应用性问题，引导学生掌握解题思路。
4. 练习：布置一些代数应用性问题，让学生独立解答，巩固所学知识。
五、课后作业：1. 总结代数应用性问题的解题步骤。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 收集一些实际问题，尝试将其转化为代数问题，提高解决实际问题的能力。
六、教学策略：1. 案例教学：通过分析具体案例，让学生了解代数应用性问题的特点和解题方法。
2. 问题驱动：引导学生从实际问题中发现问题、提出问题，激发学生解决问题的兴趣。
3. 分组讨论：组织学生分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
4. 反馈与评价：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与，提高课堂效果。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对代数应用性问题的理解和掌握程度。
中考数学总复习专题六代数几何综合题(课堂本)课件新人教版
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象
限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行
四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判
断平行四边形OEAF是否为菱形．
（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF 不能为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF的面积为24时，即 ﹣4x2+28x﹣24=24， 化简，得 x2﹣7x+12=0，解得x=3或4， 当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形． 当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形． ∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可 能为菱形．
3．（2016•赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2 ，0），B（2，0），C（3，5）． （1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线 的解析式； （2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标 ； （3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存 在请求出Q点坐标．
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15．
综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段
AE的长为 2 5 或15；
2
（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9HE=AE﹣AH=x﹣9，
在Rt△HDE中，DE= 122 (x 9)2 ，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
解：（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， ∴△AOB≌△OPQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠PQO， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP；
2016年中考数学二轮复习讲(原卷版)：专题2.8+综合问题
第二篇 热点难点篇 专题08 综合问题（讲案）一讲考点——考点梳理1、数学综合题的重点都放在高中继续学习必须的函数问题上。
此类题在有起点不高、但要求较全面的特点。
常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题。
2、考查初中数学中最重要的数学思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。
3、融入了动态几何的变和不变，对给定的图形（或其一部分）施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
4、考查学生的实验、猜想、证明的探索能力，分析问题和解决问题的能力。
二讲题型——题型解析（一）函数型综合题例1、（2015·辽宁营口）如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A 1、A 2、A 3、…、A n-1为OA 的n 等分点，B 1、B 2、B 3、…、B n-1为CB 的n 等分点，连接A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、…、A n-1B n-1，分别交21y x n=（0x ≥）于点C 1、C 2、C 3、…、C n-1，当252525258B C C A =时，则n= ．例2、（2015·辽宁沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 的坐标为（60，0），OA =AB ，∠OAB =90°，OC =50．点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O 、B 重合），过点P 与y 轴平行的直线l 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ，设点P 横坐标为t ，线段QR 的长度为m ．已知t =40时，直线l 恰好经过点C ． （1）求点A 和点C 的坐标；（2）当0＜t ＜30时，求m 关于t 的函数关系式； （3）当m =35时，请直接写出t 的值；（4）直线l 上有一点M ，当∠PMB +∠POC =90°，且△PMB 的周长为60时，请直接写出满足条件的点M 的坐标．例3、（2015·辽宁沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．（1）填空：点A 的坐标为（ ， ），点B 的坐标为（ ， ），点C 的坐标为（ ， ），点D 的坐标为（ ， ）； （2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；③若点Q 是线段AB 上的动点（点Q 不与点A 、B 重合），点R 是线段AC 上的动点（点R 不与点A 、C 重合），请直接写出△PQR 周长的最小值．（二）几何型综合题例4、(2015·辽宁盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（）A． B． C． D．例5、（2015·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 . 若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A. 10B. 8C. 53D. 6例6、.( 2015·湖北孝感）如图，四边形ABCD是矩形纸片，2AB．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：① ︒=∠60ABN ； ②1=AM ； ③33=QN ；④△BMG 是等边三角形； ⑤P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，则PH PN +的最小值是3.其中正确结论的序号是 ☆ ．例7、(2015·辽宁葫芦岛）在△ABC 中，AB =AC ，点F 是BC 延长线上一点，以CF 为边，作菱形CDEF ，使菱形CDEF 与点A 在BC 的同侧，连接BE ，点G 是BE 的中点，连接AG 、DG ． （1）如图①，当∠BAC =∠DCF =90°时，直接写出AG 与DG 的位置和数量关系； （2）如图②，当∠BAC =∠DCF =60°时，试探究AG 与DG 的位置和数量关系， （3）当∠BAC =∠DCF =α时，直接写出AG 与DG 的数量关系．)16(题第三讲方法——方法点睛1、解题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。
中考数学复习专题 代数与几何综合(含答案)
5. 如图 2－5-16，在矩形 ABCD 中，AB=10。cm，BC=8cm．点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→D 路线运动，到 D 停止；点 Q 从 D 出发，沿 D→C→B→A 路线运动，到 A 停止，若点 P、 点 Q 同时出发，点 P 的速度为 1cm/s，点 Q 的速度为 2cm/s，a s 时点 P、点 Q 同时改变 速度，点 P 的速度变为 bcm/s，点 Q 的速度变为 d cm/s，图 2－5－17 是点 P 出发 x 秒 后△APD 的面积 S1（cm2）与 x（s）的函数关系图象；图 2－5－18 是点 Q 出发 xs 后面 AQD 的面积 S2（cm2）与 x（s）的函数关系图象． ⑴ 参照图 2－5－17，求 a、b 及图中 c 的值； ⑵ 求 d 的值； ⑶ 设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm)，点 Q 到点 A 还需走的路程为 y2(cm)，请分别写出 动点 P、Q 改变速度后，y1、y2 与出发后的运动时间 x（s）的函数解析式，并求出 P、 Q 相遇时 x 的值． ⑷ 当点 Q 出发_______s 时，点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm．
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答案 一、ABDCB DAACD
二、1、 3 2、 2 -1
三、1、（1）y=- 1 x2+x 2
3、 11
6
4、（-502，502）
（2）x 取最大整数为-1，∴ y=- 1 ×(-1)2-1=– 3 ∴AC= 3
2
2
2
由△BOQ∽△CAQ,可得 BO = OQ
AC AQ
C． y x
D． y 3 x 2
７．如图，反比例函数 y 4 的图象与直线 y 1 x 的
2016中考数学代数综合题专题复习学案
2016中考数学代数综合题专题复习学案代数综合题【题型特征】综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有一定难度的题目.数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题;以几何知识为主体的综合题;代数、几何知识相结合的综合题.以代数知识为主体的综合题,简称代数综合题,是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题.“分析探求思路,优化实施解答,反思验证结论”是解代数综合题的基本过程,在这个过程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想.代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我,我中有你”,因此不易将它们作十分明显的分类.为了复习方便,我们将其分为:方程不等式型、函数型.【解题策略】代数综合题主要以方程或函数为基础进行综合.解题时一般用分析综合法解,认真读题找准突破口,仔细分析各个已知条件,进行转化,发挥条件整体作用进行解题.解题时,计算不能出差错,思维要宽,考虑问题要全面.类型一方程不等式型∵x2-x-1=0,∴x2=x+1.则原式【提醒】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,由已知一元二次方程解出x的值,再把x的值代入进行计算即可.举一反三类型一(2013新疆乌鲁木齐)已知m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,则代数式2k2-8k+6的最小值为( ).A. -2B. 02D. 2.52. (2015湖北荆门)若-2xm-ny2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的立方根是.类型二函数型典例2 (2015广东珠海)如图,矩形OABC的顶点A(2,0),C(0,2 ).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE,FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF,GH,GO和x轴于点M,P,N,D,连接MH.(1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G,O,E三点,则它的表达式为: ;(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R,E两点之间(不含点R,E)运动,设△PQH的面积为S,当时,确定点Q的横坐标的取值范围.【全解】 (1)如图(1),过点G作GI⊥CO于点I,过点E作EJ⊥CO于点J,(1)∵A(2,0),C(0,2 ),∴OE=OA=2,OG=OC=2 .∵∠GOI=30°,∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°, ∴G(- ,3),E( ,1).设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,∵经过G,O,E三点,【技法梳理】 (1)求表达式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出.(2)平行四边形对边平行且相等,恰得MN为OF,即为中位线,进而横坐标易得,D为x轴上的点,所以纵坐标为0.(3)已知S范围求横坐标的范围,那么表示S是关键.由PH不为平行于x轴或y轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出S,但要注意,当Q在O点右边时,所求三角形为两三角形的差.得表达式再代入 ,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R,E之间的限制.举一反三类型二(2015福建福州)现有A,B两种商品,买2件A 商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B两种商品每件各是多少元?(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,但不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?(2015福建福州)如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为点H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:∠AEO=∠ADC; (3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标【小结】本类题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.类型一(2015湖南张家界)若 ,则(x+y)2015等于( ).A. -1B2015D. -320152. (2015贵州遵义)若a+b=2 ,ab=2,则的值为( ).A. 6BD. 2(2015贵州毕节)若-2amb4与5an+2 可以合并成一项,则mn的值是( ).A. 2B. 0-1D(2015湖南娄底)先化简 ,再从不等式2x-37的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值(2015四川巴中)先化简,再求值:,其中x满足x2-4x+3=0.类型二(2015江苏连云港)如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是( ).(第6题)③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.其中正确的结论是(把所有正确的结论的序号都填上).(第8题)0. (2015甘肃白银)如图,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B坐标;(2)联结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P 点坐标.(第10题)参考答案【真题精讲】D 解析:∵m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+∴m,n,k最小为0,当n=0时,k最大为由☉E的半径为1,根据切线性质及勾股定理,得PQ2=EP2-1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.设点P坐标为(x,y),由勾股定理得EP2=(x-3)2+(y-2)2.又点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x1=1舍去.∴P(5,1).【课后精练】B 2. B 3. D原式= ÷不等式2x-37, 解得x5,其正整数解为1,2当x=1时,原式原式= ÷ = =- ,解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2当x=1时,原式无意义;当x=3时,原式=-B 7. a-①④解析:作AE⊥y轴于E,CF⊥y轴于F,(第8题)∵四边形OABC是平行四边形,∴S△AOB=S△COB.∴AE=CF.∴OM=ON.当∠AOC=90°,∴四边形OABC是矩形.∴不能确定OA与OC相等.而OM=ON,∴不能判断△AOM≌△CNO.∴不能判断AM=CN.∴不能确定|k1|=|k2|,所以③错误.若OABC是菱形,则OA而OM=ON,∴Rt△AOM≌Rt△CNO.∴AM=CN.∴|k1|=|k2|.∴k1=-k2.∴两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称,所以④正确.故答案为①④∴(2)如图,过点D作DM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.(第9题)则∠DMA=∠ANB=90°.∵B(3,3),∴BN=ON设MD=a,OM=b.∴△ADM≌△BAN(AAS).∴BN=AM=3,MD=AN=a.∴OA=3-a,即AM=b+3-a=3,得a=b,∵ab∴a=b=2.∴OA=3-2即点A的坐标是(1,0).10. (1)抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数表达式为y=(x-1)2-3,顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,点A(0,-2),x=3时,y=(3-1)2-3=4-点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥AO于点E,过点M作MF⊥AO 于点M,(第10题)∵EB=EA∴∠EAB=∠EBA=45°.同理可求∠FAM=∠FMA=45°, ∴△ABE∽△AMF.。
2016届中考数学第一轮复习导学案30
几何图形综合题几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．题型1与三角形、四边形有关的几何综合题类型1操作探究题(2015·南充)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP ′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．【思路点拨】(1)利用旋转 相等的线段、相等的角 △APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．【解答】(1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.∴∠PAP ′＝∠PAB ＋∠BAP ′＝∠PAB ＋∠DAP ＝∠BAD ＝90°. ∴△APP ′是等腰直角三角形．(2)由(1)知∠PAP ′＝90°，AP ＝AP ′＝1，∴PP ′＝ 2.∵P ′B ＝PD ＝10，PB ＝22，∴P ′B 2＝PP ′2＋PB 2.∴∠P ′PB ＝90°.∵△APP ′是等腰直角三角形，∴∠APP ′＝45°.∴∠BPQ ＝180°－90°－45°＝45°.(3)过点B 作BM ⊥AQ 于M.∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形．由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2.∴AM ＝AP ＋PM ＝3.在Rt △ABM 中，AB ＝AM 2＋BM 2＝32＋22＝13.∵cos ∠QAB ＝AM AB ＝AB AQ ，即313＝13AQ， ∴AQ ＝133.在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2－AB 2＝2313. ∴QC ＝BC －BQ ＝13－2313＝133.1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．1．(2015·自贡)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos ∠ABC ＝35，将△ABC绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C.图1 图2(1)如图1，当点B 1在线段BA 延长线上时．①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC 绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2．(2013·自贡)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.(1)将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB 的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？(3)如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B 时，求△P1BE面积的最大值．3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.(1)求△ABC的面积；(2)设AD＝x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O 的面积．类型2动态探究题(2015·乐山)如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝43.(1)求CD边的长；(2)如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q(点Q运动到点B停止)，设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．【思路点拨】(1)分别延长AD、BC相交于E，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE求解；(2)利用△EDC∽△EPQ及S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC求解．【解答】(1)分别延长AD、BC相交于E.在Rt △ABE 中，∵tanA ＝43，AB ＝3，∴BE ＝4.∵BC ＝2，∴EC ＝2.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝32＋42＝5.∴sinE ＝35＝DC EC .∴CD ＝65.(2)∵∠B ＝∠ADC ＝90°，∠E ＝∠E ，∴∠ECD ＝∠A.∴tan ∠ECD ＝tanA ＝43.∴ED CD ＝ED 65＝43，解得ED ＝85.如图4，由PQ ∥DC ，可知△EDC ∽△EPQ ，∴ED EP ＝DC PQ .∴8585＋x＝65PQ ，即PQ ＝65＋34x.∵S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC ，∴y ＝12PQ ·EP －12DC ·ED＝12(65＋34x)(85＋x)－12×65×85＝38x 2＋65x.如图5，当Q 点到达B 点时，EC ＝BC ，DC ∥PQ ，可证明△DCE ≌△HQC ，从而得CH ＝ED ＝85，∴自变量x 的取值方范围为：0＜x≤85.动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．1．(2013·成都)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C ＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q.①当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ 的值；②当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)2．(2015·攀枝花)如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6，如图2，矩形ABCD沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．3．(2015·绵阳)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝NH；(3)过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF 与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．类型3类比探究题(2015·成都)已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE ∽△CBF ；②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．(2)如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EF FC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图3，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF ＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】 (1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE ∽△CBF ，进而证明∠EBF ＝90°，利用勾股定理求EF ，进而求CE ；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k 的式子表示出CE ，BF ，并建立CE 2，BF 2的等量关系，从而求出k ；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m ，n ，p 的关系．【解答】 (1)①∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°， ∴∠ACE ＝∠BCF.又∵AC BC ＝CE CF ＝2，∴△CAE ∽△CBF.②∵AE BF ＝AC BC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝ 2.由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF.又∠CAE ＋∠CBE ＝90°，∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°.∴EF ＝BE 2＋BF 2＝ 3.∴CE ＝2EF ＝ 6.(2)连接BF ，同理可得∠EBF ＝90°，由AB BC ＝EF FC ＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1.∴AC BC ＝AE BF ＝k 2＋1.∴BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1. ∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k 2(BE 2＋BF 2)，即32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)p 2－n 2＝(2＋2)m 2.提示：连接BF ，同理可得∠EBF ＝90°，过C 作CH ⊥AB ，交AB 延长线于H ，可解得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)，∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2. ∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．1．(2013·乐山)阅读下列材料：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD＝a，BC＝b.若AMMB＝mn，则有结论：MN＝bm＋anm＋n.请根据以上结论，解答下列问题：如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P 分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB 于点P2，交AC于点P3.(1)若点P为线段EF的中点．求证：PP1＝PP2＋PP3；(2)若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．2．(2015·随州)问题：如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE ＋FD，请你利用图1证明上述结论．[类比引申]如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.[探究应用]如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．参考答案类型1操作探究题1．(1)①证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵B1C＝BC，∴∠CB1B＝∠B.又由旋转性质得∠A1CB1＝∠ACB，∴∠CB1B＝∠A1CB1.∴BB 1∥CA 1.②过A 作AG ⊥BC 于G ，过C 作CH ⊥AB 于H.∵AB ＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝CG .∵在Rt △AGB 中，cos ∠ABC ＝BG AB ＝35，AB ＝5，∴BG ＝3.∴BC ＝6.∴B 1C ＝BC ＝6.∵B 1C ＝BC ，CH ⊥AB ，∴BH ＝B 1H.∴B 1B ＝2BH.∵在Rt △BHC 中，cos ∠ABC ＝BH BC ＝35，∴BH ＝185.∴BB 1＝365.∴AB 1＝BB 1－AB ＝365－5＝115，CH ＝BC 2－BH 2＝62－（185）2＝245.∴S △AB 1C ＝12AB 1·CH ＝12×115×245＝13225.(2)过点C 作CF ⊥AB 于F ，以点C 为圆心，CF 为半径画圆交BC 于F 1，此时EF 1最小．此时在Rt △BFC 中，CF ＝245. ∴CF 1＝245.∴EF 1的最小值为CF －CE ＝245－3＝95.以点C 为圆心，BC 为半径画圆交BC 的延长线于F ′1，此时EF′1有最大值．此时EF′1＝EC ＋CF′1＝3＋6＝9.∴线段EF 1的最大值与最小值的差9－95＝365.2.(1)证明：∵∠B 1CB ＝45°，∠B 1CA 1＝90°， ∴∠B 1CQ ＝∠BCP 1＝45°.在△B 1CQ 和△BCP 1中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B 1CQ ＝∠BCP 1，B 1C ＝BC ，∠B 1＝∠B ，∴△B 1CQ ≌△BCP 1.∴CQ ＝CP 1.(2)作P 1D ⊥CA 于D ，∵∠A ＝30°，∴P 1D ＝12AP 1＝1.∵∠P 1CD ＝45°，∴CP 1＝2P 1D ＝ 2.∵CP 1＝CQ ，∴CQ ＝ 2.(3)∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴AC ＝3BC.∵BE ⊥P 1B ，∠ABC ＝60°， ∴∠CBE ＝30°.∴∠CBE ＝∠A.由旋转的性质可得：∠ACP 1＝∠BCE ，∴△AP 1C ∽△BEC.∴AP 1∶BE ＝AC ∶BC ＝3∶1.设AP 1＝x ，则BE ＝33x ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝2.∴BP 1＝2－x.∴S △P 1BE ＝12×33x(2－x)＝－36x 2＋33x ＝－36(x －1)2＋36， ∵－36<0，∴当x ＝1时，△P 1BE 面积的最大值为36. 3.(1)作AH ⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°.在Rt △AHB 中，AH ＝AB·sinB ＝3×sin60°＝3×32＝332.∴S △ABC ＝3×3232＝934.(2)如图1，当0＜x≤1.5时，y ＝S △ADE .图1作AG ⊥DE 于G ，∴∠AGD ＝90°，∠DAG ＝30°. ∴DE ＝x ，AG ＝32x. ∴y ＝x×32x2＝34x 2.如图2，当1.5＜x ＜3时，作MG ⊥DE于G ，图2∵AD ＝x ，∴DE ＝AD ＝x ，BD ＝DM ＝3－x. ∴DG ＝12(3－x)，MF ＝MN ＝2x －3. ∴MG ＝32(3－x)．∴y ＝（2x －3＋x ）32（3－x ）2＝－334x 2＋33x －934. ∴y ＝⎩⎨⎧34x 2（0＜x≤1.5），－334x 2＋33x －934（1.5＜x ＜3）.(3)当0＜x≤1.5时，y ＝34x 2，∵a ＝34＞0，开口向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴x ＝1.5时，y 最大＝9316，如图3，当1.5＜x ＜3时，y ＝－334x 2＋33x －934，∴y ＝－334(x 2－4x)－934＝334(x －2)2＋334.∵a ＝－334＜0，开口向下，∴x ＝2时，y 最大＝334.∵334＞9316， ∴y 最大时，x ＝2.图3∴DE ＝AD ＝2，BD ＝DM ＝1. 作FO ⊥DE 于O ，连接MO ，ME. ∴DO ＝OE ＝1.∴DM ＝DO. ∵∠MDO ＝60°， ∴△MDO 是等边三角形．∴∠DMO ＝∠DOM ＝60°，MO ＝DO ＝1. ∴MO ＝OE ，∠MOE ＝120°. ∴∠OME ＝30°. ∴∠DME ＝90°.∴DE 是直径，S ⊙O ＝π×12＝π. 类型2 动态探究题1．(1)证明：∵BD ⊥BE ，A ，B ，C 三点共线， ∴∠ABD ＋∠CBE ＝90°.∵∠C ＝90°， ∴∠CBE ＋∠E ＝90°. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠A ＝∠C ，AD ＝BC ，∴△DAB ≌△BCE(AAS)．∴AB ＝CE. ∴AC ＝AB ＋BC ＝AD ＋CE.(2)①连接DQ ，设BD 与PQ 交于点F.∵∠DPF ＝∠QBF ＝90°，∠DFP ＝∠QFB ，∴△DFP ∽△QFB.∴DF QF ＝PFBF . 又∵∠DFQ ＝∠PFB ，∴△DFQ ∽△PFB.∴∠DQP ＝∠DBA. ∴tan ∠DQP ＝tan ∠DBA.即在Rt △DPQ 和Rt △DAB 中，DP PQ ＝DAAB . ∵AD ＝3，AB ＝CE ＝5， ∴DP PQ ＝35.②过Q 作QH ⊥BC 于点H.∵PQ ⊥DP ，∠A ＝∠H ＝90°，∴△APD ∽△HQP.∴DP PQ ＝DA PH ＝35.∵DA ＝3，∴PH ＝5. ∵AP ＝PC ＝4，AB ＝PH ＝5，∴PB ＝CH ＝1.∵EC ⊥BH ，QH ⊥BH ，∴EC QH ＝BC BH .∴5QH ＝34.∴QH ＝203. 在Rt △BHQ 中，BQ ＝BH 2＋QH 2＝（203）2＋（123）2＝4343.∵MN 是△BDQ 的中位线，∴MN ＝2343. 2.(1)D(－4，3)，P(－12，8)．(2)当点P 在边AB 上时，BP ＝6－t.∴S ＝12BP ·AD ＝12(6－t)·8＝－4t ＋24.当点P 在边BC 上时，BP ＝t －6. ∴S ＝12BP ·AB ＝12(t －6)·6＝3t －18.∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t ＋24（0≤t≤6），3t －18（6＜t≤14）.(3)∵D(－45t ，35t)，当点P 在边AB 上时，P(－45t －8，85t)．若PE OE ＝CD CB 时，85t45t ＋8＝68，解得t ＝6.若PE OE ＝CB CD 时，85t45t ＋8＝86，解得t＝20.∵0≤t≤6，∴t ＝20时，点P 不在边AB 上， 不合题意．当点P 在边BC 上时，P(－14＋15t ，35t ＋6)．若PE OE ＝CDBC 时，35t ＋614－15t ＝68，解得t ＝6.若PE OE ＝BC CD 时，35t ＋614－15t＝86，解得t ＝19013.∵6≤t ≤14，∴t ＝19013时，点P 不在边BC 上，不合题意． ∴当t ＝6时，△PEO 与△BCD 相似．3.(1)当点M 为AC 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 与点C 的重合时，BA ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 在AC 上且AM ＝2时，AM ＝AB ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 为CG 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形． (2)证明：在AB 上取点K ，使AK ＝AN ，连接KN. ∵AB ＝AD ，BK ＝AB －AK ，ND ＝AD －AN ， ∴BK ＝DN.又DH 平分直角∠CDG ， ∴∠CDH ＝45°.∴∠NDH ＝90°＋45°＝135°. ∵∠BKN ＝180°－∠AKN ＝135°，∴∠BKN ＝∠NDH.∵在Rt △ABN 中，∠ABN ＋∠ANB ＝90°， 又BN ⊥NH ，即∠BNH ＝90°，∴∠ANB ＋∠DNH ＝180°－∠BNH ＝90°.∴∠ABN ＝∠DNH.∴△BNK ≌△NHD(ASA)， ∴BN ＝NH.(3)①当M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM ＝t ，∴AF ＝FM ＝22t.∴S ＝12AF ·FM ＝12·22t ·22t ＝14t 2. 当M 在CG 上时，即22＜t ＜42时，CM ＝t －AC ＝t －22，MG ＝42－t.∵AD ＝DC ，∠ADC ＝∠CDG ，CD ＝CD ，∴△ACD ≌△GCD(SAS)．∴∠ACD ＝∠GCD ＝45°.∴∠ACM ＝∠ACD ＋∠GCD ＝90°.∴∠G ＝90°－∠GCD ＝90°－45°＝45°.∴△MFG 为等腰直角三角形．∴FG ＝MG·cos45°＝(42－t)·22＝4－22t.∴S ＝S △ACG －S △MCJ －S △FMG ＝12×4×2－12·CM ·CM －12·FG ·FM ＝4－12·(t －22)2－12·(4－22t)2＝－34t 2＋42t －8.∴S ＝⎩⎨⎧14t 2（0＜t≤22），－34t 2＋42t －8（22＜t ＜42）. ②在0＜t≤22范围内，当t ＝22时，S 的最大值为14×(22)2＝2；在22＜t ＜42范围内，S ＝－34(t －823)2＋83.当t ＝823时，S 的最大值为83.∵83>2，∴当t ＝823秒时，S 的最大值为83. 类型3 类比探究题1．(1)证明：过点E 作ER ⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S. ∵BE 为角平分线，∴ER ＝ES.过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，同理FM ＝FN.∵ES ⊥BA ，PP 2⊥AB ，∴PP 2∥ES.同理得PP 3∥FN ，FM ∥PP 1∥ER. ∵点P 为EF 中点，PP 2∥ES ， ∴△FPP 2∽△FES.∴ES ＝2PP 2，同理FN ＝2PP 3. ∴FM ＝2PP 3，ER ＝2PP 2.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，FP PE ＝11，∴根据题设结论可知：PP 1＝ER×1＋FM×11＋1＝ER ＋FM 2＝2PP 2＋2PP 32＝PP 2＋PP 3.(2)探究结论：PP 1＝PP 2＋PP 3.证明：过点E 作ER ⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S ，则有ER ＝ES. 过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，则有FM ＝FN.点P 为EF 上任意一点，不妨设FP PE ＝m n ，则PF EF ＝m m ＋n ，PE EF ＝nm ＋n .∵PP 2∥ES ，∴PP 2ES ＝PF EF ＝n m ＋n .∴ES ＝m ＋nm PP 2.∵PP 3∥FN ，∴PP 3FN ＝PE EF ＝nm ＋n .∴FN ＝m ＋n n PP 3.∴ER ＝m ＋n m PP 2，FM＝m ＋n n PP 3.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，PF PE ＝mn ，∴根据题设结论可知：PP 1＝mER ＋nFMm ＋n ＝m·m ＋n m PP 2＋n·m ＋n n PP 3m ＋n ＝（m ＋n ）PP 2＋（m ＋n ）PP 3m ＋n＝PP 2＋PP 3.2.[发现证明]：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合．∴△ABE ≌△ADG .∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，AE ＝AG ，BE ＝DG .∴∠GAF ＝∠GAD ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°. 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADF ＝90°.∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF. ∴EF ＝BE ＋FD.[类比引申]：∠EAF ＝12∠BAD ，理由如下：将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转∠DAB 至△ADG ，使AB 与AD 重合． ∴△ABE ≌△ADG .∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，AE ＝AG ，BE ＝DG . ∴∠GAF ＝∠GAD ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝12∠BAD. ∵在四边形ABCD 中，∠B ＋∠ADF ＝180°.∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF和△GAF 中，⎩⎨⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝12∠BAD ，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF. ∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋FD.[探究应用]：连接AF ，延长BA 、CD 交于点O.则∠BOC ＝180°－∠B －∠C ＝90°.∴△AOD 为直角三角形．在Rt △AOD 中，∠ODA ＝60°，∠OAD ＝30°，AD ＝80米． ∴AO ＝403米，OD ＝40米．∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403(米)，∴AO ＝OF.∴∠OAF ＝45°.∴∠DAF ＝45°－30°＝15°.∴∠EAF ＝90°－15°＝75°.∴∠EAF ＝12∠BAD.∵∠BAE ＝180°－∠OAF －∠EAF ＝60°，∠B ＝60°，∴△BAE 为等边三角形．∴BE ＝AB ＝80米．由[类比引申]的结论可得EF ＝BE ＋DF ＝40(3＋1)≈109(米)．。
中考数学复习专题7几何综合题、几何与代数综合题 (2)
≥0的解集． 9.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣
）×（ + + ）． 令 + + =t，则 原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t =t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2 = 问题： （1）计算 （1﹣
﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣
的代数式表示 ）； （2）设该格点多边形外的格点数为 ，则 =
二、应用题 3.定义运算max{a， b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a， b}=b．如max{﹣3，2}=2． （1）max{ ， 3}= 3 ； （2）已知y1= 和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{ ，k2x+b}= ，结合图象，直接写出x的取值范围； （3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．
归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等 式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式； 拓展应用 (3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中 点，BE⊥EG，AD＝ ，AB＝3．求AF的长．
5.阅读理解 材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行 的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯 形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有 以下性质： 梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半． 如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC ∵E、F是AB、CD的中点 ∴EF∥AD∥BC EF=
《在代数几何综合题中构造直角三形求线段长度》教学设计
教学重点：掌握构造直角三角形求出线段长度方法。
教学难点：如何将实际问题转化为求线段长度问题，如何通过辅助线构造直角三角形。
五、教学方法根据学生的实际和教材具体内容，选择启发性教学，使学生掌握、建构和内化所学的知识，从而使学生进行更高水平的认识活动。
让学生自主思考，合作学习，进行 探索、讨论，建立自己的一套解题方法，提高综合分析问题的能力。
六、教学流程图拓展训练提高训练合作学习变式训练中考题目课堂归纳提升回忆引入问题提出练习（自编）请同学们完成以下题目，并说说它用什么数学原理戒方法解题？1、如图1，在Rt△ABC中，∠A=900，AB=6，AC=8，求点 A 到 BC 的距离。
答案：A 到 BC 的距离为 4.8。
2、如图2 ，在△ ABC 中， AB=BC=5,sin A 4，求点 B 到 AC 的距离。
5答案：B 到AC 的距离为 4 。
3、如图 3，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D 点，AD=6，BD=2，求 CD 的长度。
答案：CD= 2 3 。
图 1 图 2图 3小组讨论“这些题目的问题都围绕什么目的来求？在求解过程中用到哪些数学原理或方法？”，问题 1：我们刚才看到练习里面的题目都是一种静态下求线段的长度，如果老师把这些题目中的点或者是线段换成动点或者动线段，这些数学原理或方法还是适用吗？你们还会求线段的长度吗？例 1 如图2，在△ABC 中，AB=BC=x,sin A =4，求请你含x 的关系5式表示点 B 到 AC 的距离。
解:过B 点作BD⊥AC,所以点 B 到AC 的距离为 BD，∴BD=A B •sin A =x •4=4x 5 5例2 （16 年广东中考第 25 题第3 问，改编）如右图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC=2，边 BC 在其所在的直线上向右平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接PA、QD，并过点 Q 作QO⊥BD，垂足为O，连接 OA、OP。
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代数几何综合题【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决.为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题.【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式.类型一坐标系、函数为背景典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.(1)(2)【全解】(1)∵AB=OB,∠ABO=90°,∴△ABO是等腰直角三角形.∴∠AOB=45°.∵∠yOC=45°,∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°.∴AO⊥CO.∵C'O'是CO平移得到,∴AO⊥C'O'.∴△OO'G是等腰直角三角形.∵射线OC的速度是每秒2个单位长度,∴OO'=2x.∴其以OO'为底边的高为x.∴点G的坐标为(3,3).设抛物线表达式为y=ax2+bx,整理,得x2-8x-10=0,解得x1=4-,x2=4+,此时,点P的坐标为(4-,-2)或(4+,-2),综上所述,点P的坐标为(4-,2)或(4+,2)或(4-,-2)或(4+,-2)时,△POB的面积S=8.【技法梳理】(1)判断出△ABO是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°,然后求出AO⊥CO,再根据平移的性质可得AO⊥C'O',从而判断出△OO'G是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解;(2)求出OO',再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标,然后设抛物线表达式为y=ax2+bx,再把点B,G的坐标代入,利用待定系数法求二次函数表达式解答;(3)设点P到x轴的距离为h,利用三角形的面积公式求出h,再分点P在x轴上方和下方两种情况,利用抛物线表达式求解即可.举一反三(第1题)【小结】本题是二次函数、反比例函数综合题型,主要利用了等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理,待定系数法求二次函数表达式,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,要注意分情况讨论.类型二几何图形为背景典例2(2015·湖北荆门)如图(1),已知:在矩形ABCD的边AD上有一点O,OA=,以O为圆心,OA长为半径作圆,交AD于点M,恰好与BD相切于点H,过点H作弦HP∥AB,弦HP=3.若点E是CD边上一动点(点E与C,D不重合),过点E作直线EF∥BD交BC于点F,再把△CEF沿着动直线EF对折,点C的对应点为G.设CE=x,△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S.(1)求证:四边形ABHP是菱形;(2)问△EFG的直角顶点G能落在☉O上吗?若能,求出此时x的值;若不能,请说明理由;(3)求S与x之间的函数表达式,并直接写出FG与☉O相切时,S的值.(1)(2)【解析】(1)连接OH,如图(1).(1)∵AB∥HP,∠BAD=90°,∴AQ⊥HP.而AM是直径,∴∠HOQ=60°,则∠OHQ=30°,∠APH=60°.又BD与☉O相切,∴∠QHD=90°-∠OHQ=60°.∴∠APH=∠QHD.∴AP∥BH.又AB∥HP,∴四边形ABHP是平行四边形.由AB⊥AM,AM是直径知AB是☉O的切线,而BD也是☉O的切线,∴AB=BH.∴四边形ABHP是菱形.(2)点G能落在☉O上,如图(1).方法一:过C作射线CR⊥EF交EF于点R,交AD于点M1,交BD于点R1,交AP于点P1,则C关于EF对称点G在射线CR上.当点G落在M1上时,M1E=CE=x,AB=CD=HP=3,AD=AB·tan60°=3,ED=CD-CE=3-x.∴M1D=.而MD=AD-AM=,∴M1与M重合.∴M在CP1上,则MP1⊥AP,而MP⊥AP.∴P与P1重合,这时射线CR与☉O交于点M,P.由AP∥BD,CP⊥AP,CR1=PR1,知C与P关于BD对称.由于点E不与点D重合,故点G不可能落在P点.∴点G只能落在☉O的M点上,此时x=2.方法二:连接CM,PM,如图(1),由(1)知∠AMP=∠APH=60°,∴∠CMD=∠AMP=60°.∴C,M,P三点共线.∵∠BDA=30°,∴CM⊥BD.而BD∥EF,∴CM⊥EF,点C关于EF的对称点G落在CP上.又点P到BD的距离等于点C到BD的距离(即点A到BD的距离),EF与BD不重合, ∴点G不能落在点P,可以落在☉O上的点M.当点G落在☉O上的点M时,ME=CE=x,∴点G落在☉O上的点M,此时x=2.方法三:证法略.提示:过C作C'P⊥AP于点P',交BD于点R',可求CP'=2CR'=3,PM+CM=3,则CP'=CM+MP,从而C,M,P三点共线,x的值求法同上.(3)由(2)知:①当点G在CM上运动时,0<x≤2,【技法梳理】1)连接OH,可以求出∠HOD=60°,∠HDO=30°,从而可以求出AB=3,由HP ∥AB,HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形,再根据切线长定理可得BA=BH,即可证到四边形ABHP是菱形.(2)当点G落到AD上时,可以证到点G与点M重合,可求出x=2.(3)当0≤x≤2时,如图(1),S=S△EGF,只需求出FG,就可得到S与x之间的函数表达式;当2<x≤3时,如图(2),S=S△GEF-S△SGR,只需求出SG,RG,就可得到S与x之间的函数表达式.举一反三2. (2015·湖北孝感)如图,在半径为6cm的☉O中,点A是劣弧的中点,点D是优弧上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=6cm;③;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是().(第2题)A. ①③B. ①②③④C. ②③④D. ①③④【小结】综合考查矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识,综合性非常强.类型一1. (2015·云南昆明)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK∶S△PBQ=5∶2,求点K坐标.(第1题)类型二(1)求a,b,c的值;(2)求证:在点P运动的过程中,☉P始终与x轴相交;(3)设☉P与x轴相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.(第2题)3. (2015·湖南湘潭)△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC,(1)求证:△BDF∽△CEF;(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;(3)已知A,D,F,E四点共圆,已知,求此圆直径.(第3题)参考答案【真题精讲】(第1题)在Rt△EMN中,由勾股定理,得∴NF=CF.∵EN=CE,∴直线EF为线段CN的垂直平分线,即点N与点C关于直线EF对称.故命题②正确;命题③错误.理由如下:由题意,点F与点C(4,3)不重合,所以k≠43=12,故命题③错误;命题④正确.理由如下:为简化计算,不妨设k=12m,则E(4m,3),F(4,3m).设直线EF的表达式为y=ax+b,则有令x=0,得y=3m+3,∴D(0,3m+3);令y=0,得x=4m+4,∴G(4m+4,0).如图,过点E作EM⊥x轴于点M,则OM=AE=4m,EM=3.在Rt△ADE中,AD=OD-OA=3m,AE=4m,由勾股定理,得DE=5m;在Rt△MEG中,MG=OG-OM=(4m+4)-4m=4,EM=3,由勾股定理,得EG=5.∴k=12m=1,故命题④正确.综上所述,正确的命题是②④.2. D解析:∵点A是劣弧的中点,OA过圆心,∴OA⊥BC,故①正确;∵∠D=30°,∴∠ABC=∠D=30°.∴∠AOB=60°.∵点A是劣弧的中点,∴BC=2CE.∵OA=OB,∴OB=AB=6cm.故③正确;∵∠AOB=60°,∴AB=OB.∵点A是劣弧的中点,∴AC=AB.∴AB=BO=OC=CA.∴四边形ABOC是菱形.故④正确.(第2题)【课后精练】1. (1)把点A(-2,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-3(a≠0),得(2)设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t.∴PB=6-3t.由题意得,点C的坐标为(0,-3).在Rt△BOC中,BC==5.如图(1),过点Q作QH⊥AB于点H.(第1题(1))∴QH∥CO.∴△BHQ∽△BOC.(3)设直线BC的表达式为y=kx+c(k≠0).把B(4,0),C(0,-3)代入,得(第1题(2)).(第2题)3. (1)∵DF⊥AB,EF⊥AC,∴∠BDF=∠CEF=90°.∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°.∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,∴△BDF∽△CEF.(第3题(1))∴当m=2时,S取最大值,最大值为3.∴S与m之间的函数关系为当m=2时,S取到最大值,最大值为3.(3)如图(2),(第3题(2))∵A,D,F,E四点共圆, ∴∠EDF=∠EAF.∵∠ADF=∠AEF=90°, ∴AF是此圆的直径.。