第4章 能带理论
固体物理学_2版(陈长乐编著)PPT模板
05 4 . 5 能 带理 论的其
他近似方法
02 4 . 2 周 期场 中单电
子状态的一般属性
04 4 . 4 紧 束缚 近似
06 4 . 6 晶 体中 电子的
准经典运动
第一部分
第4章能带理论
4.7固体导电性能的能 带论解释
本章要点
习题
4.8能态密度 思考题
第一部分
第5章金属电子论
01 5 . 1 金 属电 子的统
实验测定
06 3 . 6 晶 格振 动的热
力学函数模式密度
第一部分
第3章晶格振动与晶体的 热学性质
1 3.7晶格热 容
3.8晶体的
2 状态方程 和热膨胀
3 3.9晶格热 传导
4 本章要点
5 思考题
6 习题
第一部分
第4章能带理论
01 4 . 1 能 带理 论的基
本假定
03 4 . 3 近 自由 电子近
2.3晶体结合类型与原 子的负电性
思考题
2.2晶体结合的基本类 型及特性
本章要点
习题
第一部分
第3章晶格振动与晶体的热学性质
01 3 . 1 一 维晶 格振动
02 3 . 2 三 维晶 格振动
03 3 . 3 正 则坐 标与声
子
05 3 . 5 离 子晶 体中的
长光学波
04 3 . 4 晶 格振 动谱的
计分布费米能
03 5 . 3 金 属费 米面的
试验测定
05 5 . 5 功 函数 接触电
势
02 5 . 2 金 属的 费米面
04 5 . 4 金 属的 电导与
热导
06 5 . 6 金 属的 光学性
第4章 光源和光电检测器
o 4.1 半导体的能带理论 o 4.2 PN结的能带结构 o 4.3 同质结和异质结 o 4.4 发光二极管的工作原理 o 4.5 半导体激光器的工作原理 o 4.6 LD的工作特性 o 4.7 光电检测器的工作原理和主要要求 o 4.8 PIN和APD的工作原理 o 4.9光电检测器的工作特性
o 由于这种波纹状周期结构对光的反射作 用，使得在一个方向上传播的光波不断 地被反馈回相对的方向，使得前向和反 向波之间产生耦合，这种结构可以理解 为形成了一个对光波波长“敏感”的光 学谐振腔。
o 由布喇格条件:2nΛ=mλ，分布反馈激光 器具有极强的波长选择性，从而实现动 态单纵模工作。
5 量子阱激光器的基本原理
有两种半导体光电二极管：PIN光电二极管和 雪崩光电二极管(APD)。
4.8 PIN和APD的工作原理
1、PIN光电二极管的原理
o 利用光电效应可以制造出简单的PN结构光电二 极管，但是这样的光电二极管的响应速度低， 光电转换效率低。
o 为了改善光电检测器的响应速度和转换效率， 在P型材料和N型材料之间加一层轻掺杂的N型 材料，I层，由于掺杂浓度较轻，电子浓度很 低，经扩散可以形成一个很宽的耗尽层。
o 过剩噪声指数x越大，则F(G)越大，所以 应选择APD的x小的管子。
o 双异质结(DH)是窄带隙有源区(GaAs) 材 料 被 夹 在 宽 带 隙 的 材 料 (GaAlAs) 之间构成。
o 由于双异质结激光器在有源区两侧， 既限制了载流子，又限制了光波。
o 所以它的光强分布基本被约束在有 源区，而且阈值电流大大降低。
4.4 发光二极管的工作原理
o 发光二极管(LED)是低速、短距离光通信 系统中常用光源。目前广泛采用PN异质 结制造。LED的原理是在LED注入正向电 流时，注入的非平衡载流子在扩散过程 中发光。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 31.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω31230,,22(),0,224,,022a aa a a a a a a a Ω=⋅⨯==，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++ 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理 04-01布洛赫定理
大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子 电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南 晶格周期性函数
科 技 大 学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固 体 物
理 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有 关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997） 分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固 体
物 平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南 原子的间距？
科
技 大
……
学
Solid State Physics
第四章 固体能带理论I4.5汇总
4.5 Muffin-tin 轨道1 势场近似和单个Muffin-tin 分波在KKR 和APW 方法中，矩阵元均与能量有关，从而增加了计算中的难度，对于复杂的晶体，难度更大大增加。
各种线性化的方法，旨在得到与能量无关的矩阵元，成为人们探求的一个方向，希望能找到一组基函数，它既能尽量保留Muffin-tin 球内径向Kohn-Sham 方程解的特性，同时要求在球面上连续、可导，能平缓地过渡到势场变化较平滑的球间区域。
在前一节介绍了LAPW 线性化的方法之后，本节和下一节将介绍另一个十分有效的、既节省计算工作量又可以达到很高精度的线性化方法。
它选取了一套Muffin-tin 轨道，用Reyleigh-Ritz 变分原理推导出一个线性化的能带理论，称为线性化的Muffin-tin 轨道方法，即LMTO 方法。
虽然它是一个近似方法，但实际上它的精确程度可以与KKR 方法和APW 方法等相比拟，而计算时间上与当时这些方法相比，可以快一个数量级。
在推导LMTO 公式的过程中需要用到一定的数学技巧和稍繁的演释。
首先选取一个与能量有关的Muffin-tin 轨道，然后选用一些缀加的球面波，使得这些轨道同时满足与芯态正交，并与能量无关的条件。
与LAPW 方法的式 (4.4.19) 相似之处是，它也是通过φ和d dE φφ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭的组合来实现的；在LMTO 方法中展开系数与结构常数有关，含有晶体对称性的信息。
将晶体势()V r 用一个所谓Muffin-tin 势()MT V r 来近似。
取一些半径为MT S 的不相交叠的球，使()MT V r 在球内有球对称性，在球间的区域内为常数MTZ V (Muffin-tin 零点)，如图所示。
图4.5.1 Muffin-tin 近似。
原胞(a )取半径为s 的Muffin-tin 球及半径为E S 的旁切球；径向波函数(b )；晶体势()V r 的Muffin-tin 部分(c )和Muffin-tin 势式(4.5.1) (d ).假定电子在球间自由传递，波数为κ=2πκ大于球间区的“厚度”时，这个假定是合适的。
4.7 无序系统中的电子态、第四章总结
设想 En 有带中心附近的能量值, 则 (En'－En) 取值在 [－W/2, W/2] 范围内, 典型值 |En’－En| = W/4。如果有 z 个近邻, 粗略估计当满足
4 zV 1 或 W W 4 zV
条件时, 波函数 ψ 可以写成
V2 V | | n | n ' O 2 | n '' En ' En W
非对角元只在带区内不为零而且相等对于无序系统根据紧束缚近似模型零级近似下仍看成各个原子附近的束缚态而把原子之间的相互作用看成微扰由于没有了周期性每个原子及其周围的情况有着随机的变化使得哈密顿矩阵中的对角元不尽相等分别称为对角无序和非对角无序若只计入近邻相互作用与晶态情况相似表象中哈密顿矩阵也是带型矩阵这给无序系统电子态的计算带来相当大的困难anderson在他的论文中假定格点的几何排列仍然是规则的而每个格点的势场是随机变化的anderson模型中格点位置有关假定它围绕平均值变化范围为表示不同格点之间的相互影响称为转移矩阵这里只考虑近邻相互作用而且假定它是一个常量因此anderson模型实际上只计入了对角无序而没有讨论非对角无序的影响anderson证明了当起伏足够大时能带中所有状态都将是定域态即存在临界值电子运动状态全部是定域态anderson所采用的基本上是微扰论扰论的观点当相互作用大于零级近似下能量差时应为简并微扰反之为非简并微扰讨论强无序的情况很大确切的说法或者看成v趋于零的极限thouless的定性说明考虑一个电子定域在格点上的电子波函数混入态的振幅取决于设想范围内典型值个近邻粗略估计当满足条件时波函数表示次近邻格点电子态可以证明这时波函数随距离增大而指数衰减这就是定域态相反如果格点波函数之间相互混合这是波函数延展在整个空间这就是扩展态很多人试图分析临界值由于不同作者采取的方法不同所得结果也不尽相同mott基于anderson的理论结果加上在研究高掺杂半导体时提出的杂质带和带尾的理论提出当小于临界值时能带中的状态将是部分定域化的每个能带中心的态是扩展态带顶和带尾存在有带尾定域态它们之间的分界称为迁移率边对于一个给定的能量波函数只能是局域态和扩展态两者中的一个而不能是两种态同时存在原因是扩展态在全空间具有有限的振幅值假定两种状态同时存在那么扩展态就会与定域态混合而将定域态也变成扩展态因而在定域态与扩展态之间必然有一分界存在称其为迁移率边迁移率边的位置依赖于无序程度的比值无序程度越大顶带底迁移率边相连时就意味着全部是定域态这就是anderson讨论的情况由于定域态中的电子被束缚在空间的某个局域区域电子由一个定域态转移到另一个需要靠声子的协助进行跳跃式导电这种跳跃式导电迁移率很低当温度趋向0k时迁移率也就是说在扩展态与定域态分界处有迁移率的突变这就是为什么称其为迁移率边的原因当势场的无规起伏超过一定临界值固体中
《固体物理基础教程》课件第4章
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
黄昆版固体物理学课后答案解析答案
黄昆版固体物理学课后答案解析答案Prepared on 24 November 2020《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnV x =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r 34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒=n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
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E
(k)2 E 2m
k
f
r+ = 4A2cos2(kx)
ikx+ Ae-ikx = A e +
f
f = Ae-ikx
f = Aeikx
r－ = 4A2sin2(kx)
ikx- Ae-ikx = A e －
E
k(G/2) = (G/2)2时：
自由电子波满足Bragg 方程，行波不存在，代 之于驻波解，形成能带
(k)2 E 2m
Resulted from r-
Eg
k
2p/a p/a 0 p/a 2p/a
Resulted from r+
4.5 能带的空晶格模型
能带结构是晶体的普遍属性
价电子的基本特征： 1. 价电子的局域性 2. 价电子的非局域性
晶体中价电子可用被周期调制的 自由电子波函数描述
ˆ [ H
j
2
2me
2j V (rj )]
[
j
2
2me
2j V (rj )] (r1, r2 rN ) E (r1, r2 rN )
分离变量求解，获得N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一 个方程，多电子问题化简为单电子问题
4.1 单电子近似
三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似
4.1 单电子近似
二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
4.1 单电子近似
二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
问题：绝热近似后，电子体系的哈密顿中含有电子 坐标的交叉项，薛定谔方程依然不能求解
困难依旧在
4.1 单电子近似
三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似
电子在周期势场中运动
若可以找到近似的势函数，使得体系的哈密顿量及薛定谔方程为：
4.2 布洛赫（Bloch）定理
二、Bloch定理的物理理解
||2必然具有同晶体一致的周期性
晶体具有平移周期性
uk(r)必然具有同晶体一致的周期性
波函数可以有任意常复数因子
价电子的基本特征： 1. 价电子的局域性 2. 价电子的非局域性
晶体中价电子可用被周期调制的 自由电子波函数描述
周期函数反映了电子的局域特性 自由电子波函数反映了电子的非 局域特性
将周期势函数和布洛赫函数的周期函数部分作傅立叶展开
V (r ) VG eiGr
G
uk (r ) uG eiGr
G
结合上述结果并令傅立叶系数相等，可以得到
2
2m
(G k )uG (k ) VG 'uG-G' (k ) Ek uG －中心方程
G'
这是一组关于uG的线性齐次方程组，其非零解的条件是系数行列式为零
4.1 单电子近似
一、复杂性的起源－多体问题
晶体的总哈密顿量
薛定谔方程
ˆ (R , R H 1 2
RN a , r1 , r2
rNe ) E ( R1 , R2
RN a , r1 , r2
rNe )
问题：这个方程如何求解? 即便这个方程解存在，有意义吗？
4.1 单电子近似
二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
Electrons must occupy different energies due to Pauli Exclusion principle.
S带、P带、杂化带等说法
4.7布洛赫电子在外场中的运动
电子群速度与能带形状的关系
4.7布洛赫电子在外场中的运动
满带不能导电
4.7布洛赫电子在外场中的运动
4.6能带与原子能级劈裂
For the total number N of atoms in a solid (1023 cm–3), N energy levels split apart within a width E.
Two atoms
Six atoms Solid of N atoms
单电子周期势场示意图
4.2 布洛赫（Bloch）定理
一、Bloch定理内容
k ( r ) u k ( r )e
uk (r ) uk (r Rl ) Rl l1a1 l2a2 l3a3
ik r
uk(r): 与晶格平移周期一致的周期函数
(l1 , l2 , l3 )
为整数
u (r R) e ik ( r R ) (r R) e ik r ( r ) u (r )
4.2 布洛赫（Bloch）定理
四、波矢k的物理意义
单电子波函数和本征值与k有关 hk不是电子动量的本征值 但波矢的变化表征了电子同其它准粒子相互作用或外场作用的动量变化
4.3 中心方程与能带
一、能带 中心方程系数行列式（这个行列式只能中中间写起）为零， 可以得到以下结论：
每给定一个k值，便可以得到一组Ek,
k1 k2
E1(k1), En(k1), … En(k1), …
E1(k2), E2(k2), … En(k2), …
能带是周期势函数中运动 的Bloch电子的必然属性, n是能带编号
周期函数反映了电子的局域特性 自由电子波函数反映了电子的非 局域特性 由于电子波函数的空间位相有自 由电子波函数一项决定，Bragg 衍射同样发生 能带必然存在，能带结构是晶体 的必然属性
Bloch定理：
k (r ) uk (r )eikr
uk(r): 与晶格平移周期 一致的周期函数
五、波矢k的取值
周期性边界条件：
k (r Ni ai ) k (r )
k
i 1, 2,3
l l1 l b1 2 b2 3 b3 N1 N2 N3
4.3 中心方程与能带
一、中心方程
利用Bloch定理，可以将Bloch电子的薛定谔方程写为如下形式
2 2 ( i k ) V ( r ) 2m uk (r ) Ek uk (r )
第四章 能带理论 Energy Bond Theory
4.0 引言
一、基本内容 单电子近似的基本思想 布洛赫定理 金属自由电子的空晶格模型 能带的一般性 电子在外场中的运动 金属、半导体、绝缘体能带的差别 二、学习要点
熟练掌握以下内容 布洛赫定理及能带的一般性 能带的起因的物理解释，能带的一般特点 固体导电性与能带结构的关系
金属、绝缘体、半导体的能带特征
Eg
导带 Eg 价带
金属
绝缘体
半导体
4.7布洛赫电子在外场中的运动
金属、绝缘体、半导体的能带特征
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚解
布洛赫波示意图
4.2 布洛赫（Bloch）定理
三、Bloch定理的严格证明
引进平移算符
ˆ ( R) f (r ) f (r R) T ˆ ,T ˆ] 0 [H
平移算子和哈密顿可以有相同的本证函数，设平移算子的本证函数为：C(R)
4.4 能带的基本性质
一、
4.4 能带的基本性质
二、
4.4 能带的基本性质
能带的表示方法
Eg
Eg
周期区图示
简约区图示
4.4 能带的基本性质
能带的表示方法
每个能带的状态总数
由周期性边界条件可以得出 每个能带所能填充的能带总 数为单胞数目的2倍
周期区图示
4.5 能带的空晶格模型
物理上理解能带的一种方法
金属中的准自由电子（价电子）模型
金属中的自由电子除去与离子实相互碰撞的瞬间外，无相互作用。 电子所受到的势能函数为常数。
电子波函数仍然为自由电子波函数 电子受到晶格的散射，当电子的波矢落到布里渊区 边界时，发生Bragg衍射
4.5 能带的空晶格模型
r (x) = |f
|2
f = Aeikx