第一章能带理论-2分析
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能带理论课件
2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以在不考虑原 认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电 子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势 代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子
能带理论学习资料课件
Formal Charge High spin;
Automatic Low spin: 0
8: 0.00
eV P: 0.00
eV
0.00
eV
Formal spin
Spin state; Direction
High
Spin:
Help
Help
20
CASTEP Calculation
Setup Electronic] Propeties| Job Control
上面的右图可以发现， Pb 的 6s和 O2p 有态密度共振，也成键；另外 Pb6d 和 Pb6d 在 O2p 态密度处有明显的峰(有贡献),所以O2p 与Pb6s,6d 也是成键的。
15
七.识图
原则 1.能带和DOS一一对应，并相互印证 2.能带是分子轨道按能量大小排列
3.应结合PDOS进行分析
1
7.带宽：能带的最高和最低之间的能量差值。 其数值和几何构型有着密切的关系。
8.Caste和Dmol只能绘制散点图和线形图，并 且很不美观。后续通常需要origin进行处理。
2
二.费米能级
1.费米能级（fermi level ）是绝对零度下的最 高能级。
2.在Castep 中费米能级的默认值是0 。这给我 们带来了很大的方便。（在计算能带宽度 时）。
apha beta
5
四.性质
1.能带是能量关于d(k) 的函数 2.横坐标是布里渊区上的高对称性点（其距
离受到smearing 的影响） 3.在计算过程中只能简单的调节G点
6
4.有多少条线就有多少个轨道，就有多少条
能带。
5.能带的底部主要是成键，中部为非键，上
半导体物理基础第一章课件
42
1.7.5只有一种杂质的半导体
• 2、P型半导体
• 在杂质饱和电离的温度范围内有：p N a • 导带电子浓度为： n ni2 ni2
p Na
• 费米能级为
EF
EV
KT ln
NV Na
EF
Ei
KT
ln
Na ni
43
1.7.5只有一种杂质的半导体
• 结论：对于P型半导体，在杂质饱和电离 温度范围之内，费米能级位于价带顶之上， 本征费米能级之下。随着掺杂浓度提高， 费米能级接近价带顶；随着温度升高，费 米能级远离价带顶。
成共价键时，将因缺少一个价电子而形 成一个空穴，于是半导体中的空穴数目 大量增加。
22
1.6杂质能级
• Acceptor，掺入半导体的杂质原子向半导 体中提供导电的空穴，并成为带负电的 离子。
• 掺入受主杂质的半导体为P（Positive）型 半导体。施主杂质的浓度记为NA。
23
1.6杂质能级
• 受主接受电子称为受主杂 志，提供了一个局域化的 电子态，相应的能级称为 受主能级—Ea。
NV
2 2mdp KT
h3
3 2
• 称为价带有效状态密度
34
1.7.3能带中电子和空穴的浓度
• 导带电子浓度和价带空穴浓度之积
Eg
np Nc NV e KT • 式 把中它E写g为成禁经带验宽关度系。式与E温g 度有E关g0 ， 可T以
• 其 时中的Eg值为。禁带宽度温度系数，Eg0为0K
Chap1 半导体物理基础
1
1.2 能带
一、能带的形成 • 能级：电子所处的能量状态。 • 当原子结合成晶体时，原子最外层的价
1.7.5只有一种杂质的半导体
• 2、P型半导体
• 在杂质饱和电离的温度范围内有：p N a • 导带电子浓度为： n ni2 ni2
p Na
• 费米能级为
EF
EV
KT ln
NV Na
EF
Ei
KT
ln
Na ni
43
1.7.5只有一种杂质的半导体
• 结论：对于P型半导体，在杂质饱和电离 温度范围之内，费米能级位于价带顶之上， 本征费米能级之下。随着掺杂浓度提高， 费米能级接近价带顶；随着温度升高，费 米能级远离价带顶。
成共价键时，将因缺少一个价电子而形 成一个空穴，于是半导体中的空穴数目 大量增加。
22
1.6杂质能级
• Acceptor，掺入半导体的杂质原子向半导 体中提供导电的空穴，并成为带负电的 离子。
• 掺入受主杂质的半导体为P（Positive）型 半导体。施主杂质的浓度记为NA。
23
1.6杂质能级
• 受主接受电子称为受主杂 志，提供了一个局域化的 电子态，相应的能级称为 受主能级—Ea。
NV
2 2mdp KT
h3
3 2
• 称为价带有效状态密度
34
1.7.3能带中电子和空穴的浓度
• 导带电子浓度和价带空穴浓度之积
Eg
np Nc NV e KT • 式 把中它E写g为成禁经带验宽关度系。式与E温g 度有E关g0 ， 可T以
• 其 时中的Eg值为。禁带宽度温度系数，Eg0为0K
Chap1 半导体物理基础
1
1.2 能带
一、能带的形成 • 能级：电子所处的能量状态。 • 当原子结合成晶体时，原子最外层的价
能带理论 PPT课件
电阻率为 10-8Ω•m 以下的物体为导体 电阻率为108Ω•m以上的物体为绝缘体 电阻率介乎上面两者之间的为半导体
引子： ★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立 的能级所表征； ★原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而 形成能带； ∴★因一为个在固原体子是内否层导能电级取上决充于满同电价子电，子所能以级相相应对的应的 能内带层能→带价是带满是带否→被电不子参填与满导电；
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅 为 10-22eV，几乎可以看成是连续的，N 个新能 级具有一定的能量范围，通常称为能带。 即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的 能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，2p 带等！
三、能带结构
1、能带
★通常情况下，价带为能量最高的 能带；
★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满
带或半满带。
空带
带隙
价带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
导带
（1）导体：能带结构有三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如： 金属Li 电子排布1s22s1 每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带中 的电子 —— 电子导电型导体
这些允许的范围称为能带 不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带
关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的 相互影响来说明： 能 级：
引子： ★孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立 的能级所表征； ★原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而 形成能带； ∴★因一为个在固原体子是内否层导能电级取上决充于满同电价子电，子所能以级相相应对的应的 能内带层能→带价是带满是带否→被电不子参填与满导电；
由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅 为 10-22eV，几乎可以看成是连续的，N 个新能 级具有一定的能量范围，通常称为能带。 即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的 能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，2p 带等！
三、能带结构
1、能带
★通常情况下，价带为能量最高的 能带；
★价带可能被电子填满，成为满带； ★也可能未被电子填满，形成不满
带或半满带。
空带
带隙
价带
在绝缘体中，价电子刚好填满 最低的一系列能带，最上边的 满带 —— 价带
绝缘体
再高的各能带全部都是空的 —— 空带
导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能 带称为导带
导带
（1）导体：能带结构有三种形式
形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用 下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较 高能级 —— 从而形成电流
导带中电子的转移
例如： 金属Li 电子排布1s22s1 每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只 能添满半个价带 —— 实际参与导电的是不满带中 的电子 —— 电子导电型导体
这些允许的范围称为能带 不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带
关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的 相互影响来说明： 能 级：
能带理论及其应用ppt课件
分布向电场反方向移动。因为有
dk
e
dt
•
（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于
v(k )
是
k
的周
期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空
间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。
• （b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷 的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。 此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考 虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡
位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格 具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处
理——即能带理论，研究固体中的电子状态。
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
•
出,
l1,
k
l2,l3 为整数），
相邻取值相差很小。
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12
•
2． 能带： 对于同一个n的
En(k)
由不同的
k
组成许多靠得很
近的能级组，称为能带。
• 3． 能带结构 对于不同的n，En(k) 形成单电子能谱。En(k) 的总体 称为晶体的能带结构。
1．
所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应 一个能带）。 • 对值一，个靠能得带很中近的为准En(k连)是续）k 相的邻准能连带续E函n(k)数和（分立 En1(k) 之间可以相接，重叠或分开。
23
紧束缚近似的晶格势场
A
rRm
注：
V(rR m)
r
Rm
Rm 处格点对A处
电子的作用；
a
V
能带理论基础2
所以， uk(r) 是一个周期函数。 同时也说明：
ik r (r ) k (r ) Ce u k (r )
是一个满足布洛赫定理要求 的波函数。它是由原子波函 数的线性组合来表示的。所 以又称为原子轨道线性组合 近似。是紧束缚近似的出发 点。 (r ) Cli (r Rl ) （2）
注意：该图不能用 来讨论近邻原子波 函数之间的相互重 叠的情况
12
能带宽度随原子间距离变化示意图
由于能带的宽度取决于γ。 而 γ 的大小取决于近邻原子波函 数之间的相互重叠的程度。所以， 当原子间的距离逐渐增大时，γ 的值会逐渐减小，能带的宽度也 随之变窄，最终会收缩为孤立原 子的能级。反之亦然。
Rm
r Rm
r
Eis —— 原子 s 态的能量本征值（ s 能级的能量值）。 二、原子轨道线性组合近似 (LCAO) ：
（1）原子轨道线性组合近似 (LCAO) ： 晶体中的单电子 ：它被认为是属于 N 个处在不同格点上的 原子，其零级波函数可以用这些原子波函数的线性组合来表示。
R2 ai R4 aj R6 ak
所以有：
Rn Nearest
e
i k Rn '
e
ik x a
e
ik x a
e
ik y a
e
ik y a
e
ik z a
e
ik z a
对简单立方可得： 讨论：
2(cosk x a cos k y a cos k z a)
2 2 [ Va (r Rm )] k (r ) [V (r ) Va (r Rm )] k (r ) E k (r ) 2m 2 2 [ Va (r Rm )] k (r ) V (r Rm ) k (r ) E k (r ) 2m 2 2 Ha Va (r Rm ) 定义： 2m
研究生课件-能带理论
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
26
从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
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从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
(完整word版)能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带"中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的,因而其能量与波失间的关系E （k ）较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容.本章采用一些近似讨论能带的形成,并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时,可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似:让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似: 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型(1）近自由电子模型1、模型概述 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的.因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似，(222U m ∇+)()(r U R r U n=+而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似）2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E （K ）是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E （K ）在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带,连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式.由于周期势场的微扰，E （k ）函数将在 处断开，本征能量发生突变,出现能量间隔2︱V n ︱,间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。
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1 = A + B →E1
2 = A - B
→E2
四个原子的能级的分裂
ñ ¡
± µ Ð Ó Nö · Ô Ó ×± Ê ¹ £
相互间隔的很远时： 是N度简并的。 相互靠近组成晶体后： 它们的能级便分裂成N个彼此靠得很 近的能级－－准连续能级，简并消失。 这N个能级组成一个能带，称为允带。
dE Fds FVdt
dE 1 dE FV F dt h dk
dE dE dk dt dk dt
dk dk F h dt dt d (hk ) d (moV ) F mo a dt dt F a mo
二、半导体中的电子：
1.速度 V 晶体中作共有化运动的电子平均速度:
m*为导带底或价带顶电子的有效质量
导带底
价带顶 电子的m*>0; 电子的m*<0;
得到能带极值附近电子的速度为
1 dE hk V * h dk m
(1)在整个布里渊区内，V~K不是线性关系.
(2)正负 K 态电子的运动速度大小相等, 符 号相反.
E (k ) E (k )
1 dE (k ) 1 dE (k ) V (k ) V (k ) h d (k ) h dk
2.绝缘体和半导体的能带
6#C电子组态是:1s22s22p2
sp3反键态 sp3成键态
1s
2p 2s 1s
（1）满带中的电子不导 电 I（k）=-I（-k） 即是说，+k态和-k态的 电子电流互相抵消。 （2）对部分填充的能带， 将产生宏观电流。
半导体能带图可简化成:
电 子 能 量
Ec Eg Ev 禁带宽度
Eg EC EV
绝缘体、半导体和导体的能带示意图 导带
半满带
导带 禁带
禁带 价带
绝缘体 Eg: 6-7 eV
价带
半导体 1-3eV
满带
导体
常温下Eg：Si（1.12 eV）、Ge（0.67 eV）、 GaAs（1.43 eV）
本征激发 当温度一定时，价带电子受到激发而成为导 带电子的过程 。
原子间无电负性差,它们通过共用 一对自旋相反而配对的价电子结 合在一起.
共价键的特点
饱和性 方向性 正四面体结构
共价键是原子通过电子云的重叠形成的 作用，所以，既有方向性，也有饱和性， 即电子云要按照一定的方向重叠，才能 保证最大重叠，保证共价键的稳定性， 所以导致了分子中的共价键间的键角。 另外，原子都有自己特定的成键数目， 如H原子只能形成1个共价键，O原子可 以形成2个键，即饱和性
2
ikx
* A , 其波矢 k
2
电子在空间是等几率分布的，即自由电子在 空间作自由运动。
2. 晶体中的电子
一维理想晶格 的势场和电子能量E（ｋ）
孤立原子的势场是：
N个原子有规则的沿 x轴方向排列： v
a
晶体的势能曲线
x
电子的运动方程（薛定谔方程）为
2 d 2 V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
纤锌矿结构（四面体间隙）
S Cd
1 5 3 2 4
典型晶体：ZnS、CdS
4、氯化钠型结构
不以四面体结构结晶
材料: IV-Ⅵ族二元化合物半导体
例: 硫化铅、硒化铅、 碲化铅等
简单化合物晶体（填隙） NaCl结构（八面体间隙）
Cl-
典型晶体：NaCl、LiF、KBr
§ 1.2 半导体中电子的状态 与能带的形成
组成晶体后，p 能级分裂成 3N 个能级。
c. d 能级（l=2, ml=0,1,2）
d 能级，N 个原子组成晶体后，d 能级 分裂成 5N 个能级。
原子能级分裂为能带的示意图 能带 原子级能 能量E
允带
{ {
{
原子轨道
d
禁带 p 禁带
s
s 能级：共有化运动弱，能级分裂 晚，形成能带窄； p、d 能级：共有化运动强，能级 分裂早，形成的能带宽。
2
1 d2 E 2 k E (k ) E (0) 2 2 dk k 0
令
1 d E 1 2 , 2 * h dk k 0 m
2
得导带底或价带顶附近 E (k ) 为
1hk E ( k ) E ( 0) * 2 m
2
2
研究固态晶体中电子的能量状态的方法
单电子近似
单电子近似
假设每个电子是在周期性排列且固定不动的 原子核势场及其他电子的平均势场中运动， 该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。
能带论
用单电子近似法研究晶体中电子 状态的理论。
一.能带论的定性叙述
1.孤立原子中的电子状态 主量子数 n:1,2,3,…，决定能量的主要因素
2
2
微观粒子具有波粒二象性
由粒子性
p m0V 1 1 p 2 E m0V 2 2 m0
2
由德布罗意关系
E h p hk
hk V , m0
hk E 2m0
2
2
波矢k描述自由电子的运动状态。
1.自由电子
h d ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
( x) Ae
E（k）
自 由 电 子
-1/2a 0 1/2a
}允带
}允带
k
} 允带
称第一布里渊区为简约布里渊区
禁带出现在布里渊区边界（k = n/2a）上。 每一布里渊区对应于每一能带。
布里渊区的特征：
n E(k) 是 k 的周期性函数 E (k ) E (k ) a
（1）每隔 1/a 的 k 表示的是同一 个电子态； （2）对有限晶体，波矢 k 只能取一系列分立的 值，每个 k 占有的线度为1/L；
p hk
1.能量 E(k)
德布罗意关系
E
1 (hk ) 2 E moV 2 2m0
2
0
k
自由电子E与k 的关系
2. 速度 V(k)
对 E(k)微分, 得到
dE hk h dk mo
3. 加速度 a
p hk 1 dE V mo mo h dk
当有外力 F 作用于电子时, 在 dt 时间内, 电子 位移了ds 距离, 那么外力对电子所作的功等于 能量的变化, 即:
角量子数 l：0，1，2，…（n－1），决定角
动量，对能量有一定影响（s球形、p哑铃形、 d梅花形……） 磁量子数 ml：0，±1，±2，…±l，决定 L的空间取向，引起磁场中的能级分裂 自旋量子数 ms：±1/2，产生能级精细结构
2.晶体中的电子
（1）电子的共有化运动
在晶体中，电子由一个原子转移到相 邻的原子去，因而，电子将可以在整 个晶体中运动。
与晶体中含的原子数目无关,
但每个能带中所含的能级数目与
晶体中的原子数有关。
电子填充允许带时,可能出现: 电子刚好填满最后一个带 →绝缘体和半导体
最后一个带仅仅是部分被电子占有
→导体
三、 导体、绝缘体和半导体的能带
1.导体的能带
3s
2p 2s 1s
11#Na,它的电子组态是:1s22s22p63s1
电子共有化运动示意图
3s
○
3s
○
3s
○
3s
○
○
2p
2p
2p
2p
○
○ ○
○ ●○ ○
○
○
○
(2)能级分裂 设有A、B两个原子
孤立时, 波函数（描述 微观粒子的状态）为 A和B,不重叠.
孤立原子的能级
简并度=状态/能级数=2/1=2 (不计原子本身的简并)
A . B 两原子相互靠近, 电子波函数应是A和B 的线形叠加:
激 发 前： 激 发 后：
导带电子
价带电子
空的量子态（ 空穴）
空穴
将价带电子的导电作用等效为带正电荷的准 粒子的导电作用。
空穴的主要特征：
A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、vp=vn D、EP=-En E、mP*=-mn*
因此，在半导体中存在两种载流子： （1）电子； （2）空穴； 而在本征半导体中，n=p。
V ( x) V ( x na)
布洛赫定理: ( x) e
其中：
ikx
uk ( x)
uk ( x) uk ( x na)
布洛赫函数 uk(x), 是一个具有晶格
周期的周期函数, n 为任意整数, a 为晶 格周期.
k k u ( x)u ( x)
k k
分布几率是晶格的周期函数，但对每个原胞 的相应位置，电子的分布几率一样的。 波矢k描述晶体中电子的共有化运动状态。
化学键: 共价键离子键
(共价键占优势）
闪锌矿结构的结晶学原胞
立方对称性
沿着[111]方向看，（111）面以双原子 层的形式按ABCABCA…顺序堆积起来。
3、纤锌矿型结构
材料: Ⅱ-Ⅵ族二元化合物半导体
例: ZnS、ZnSe、CdS、CdSe
化学键: 共价键+离子键 (离子键占优势）
(001)面是两类原子各自 组成的六方排列的双原子 层按ABABA…顺序堆积
1 dE (k ) V h dk
设导带底或价带顶位于 k=0, 则
dE 0, V 0 dk
以一维情况为例：
设 E(k)在 k=0 处取得极值，在 极值附近按泰勒级数展开：
dE E (k ) E (0) ( ) k 0 K dk
1 d E 2 ( 2 ) k 0 k ...... 2 dk
2 = A - B
→E2
四个原子的能级的分裂
ñ ¡
± µ Ð Ó Nö · Ô Ó ×± Ê ¹ £
相互间隔的很远时： 是N度简并的。 相互靠近组成晶体后： 它们的能级便分裂成N个彼此靠得很 近的能级－－准连续能级，简并消失。 这N个能级组成一个能带，称为允带。
dE Fds FVdt
dE 1 dE FV F dt h dk
dE dE dk dt dk dt
dk dk F h dt dt d (hk ) d (moV ) F mo a dt dt F a mo
二、半导体中的电子：
1.速度 V 晶体中作共有化运动的电子平均速度:
m*为导带底或价带顶电子的有效质量
导带底
价带顶 电子的m*>0; 电子的m*<0;
得到能带极值附近电子的速度为
1 dE hk V * h dk m
(1)在整个布里渊区内，V~K不是线性关系.
(2)正负 K 态电子的运动速度大小相等, 符 号相反.
E (k ) E (k )
1 dE (k ) 1 dE (k ) V (k ) V (k ) h d (k ) h dk
2.绝缘体和半导体的能带
6#C电子组态是:1s22s22p2
sp3反键态 sp3成键态
1s
2p 2s 1s
（1）满带中的电子不导 电 I（k）=-I（-k） 即是说，+k态和-k态的 电子电流互相抵消。 （2）对部分填充的能带， 将产生宏观电流。
半导体能带图可简化成:
电 子 能 量
Ec Eg Ev 禁带宽度
Eg EC EV
绝缘体、半导体和导体的能带示意图 导带
半满带
导带 禁带
禁带 价带
绝缘体 Eg: 6-7 eV
价带
半导体 1-3eV
满带
导体
常温下Eg：Si（1.12 eV）、Ge（0.67 eV）、 GaAs（1.43 eV）
本征激发 当温度一定时，价带电子受到激发而成为导 带电子的过程 。
原子间无电负性差,它们通过共用 一对自旋相反而配对的价电子结 合在一起.
共价键的特点
饱和性 方向性 正四面体结构
共价键是原子通过电子云的重叠形成的 作用，所以，既有方向性，也有饱和性， 即电子云要按照一定的方向重叠，才能 保证最大重叠，保证共价键的稳定性， 所以导致了分子中的共价键间的键角。 另外，原子都有自己特定的成键数目， 如H原子只能形成1个共价键，O原子可 以形成2个键，即饱和性
2
ikx
* A , 其波矢 k
2
电子在空间是等几率分布的，即自由电子在 空间作自由运动。
2. 晶体中的电子
一维理想晶格 的势场和电子能量E（ｋ）
孤立原子的势场是：
N个原子有规则的沿 x轴方向排列： v
a
晶体的势能曲线
x
电子的运动方程（薛定谔方程）为
2 d 2 V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
纤锌矿结构（四面体间隙）
S Cd
1 5 3 2 4
典型晶体：ZnS、CdS
4、氯化钠型结构
不以四面体结构结晶
材料: IV-Ⅵ族二元化合物半导体
例: 硫化铅、硒化铅、 碲化铅等
简单化合物晶体（填隙） NaCl结构（八面体间隙）
Cl-
典型晶体：NaCl、LiF、KBr
§ 1.2 半导体中电子的状态 与能带的形成
组成晶体后，p 能级分裂成 3N 个能级。
c. d 能级（l=2, ml=0,1,2）
d 能级，N 个原子组成晶体后，d 能级 分裂成 5N 个能级。
原子能级分裂为能带的示意图 能带 原子级能 能量E
允带
{ {
{
原子轨道
d
禁带 p 禁带
s
s 能级：共有化运动弱，能级分裂 晚，形成能带窄； p、d 能级：共有化运动强，能级 分裂早，形成的能带宽。
2
1 d2 E 2 k E (k ) E (0) 2 2 dk k 0
令
1 d E 1 2 , 2 * h dk k 0 m
2
得导带底或价带顶附近 E (k ) 为
1hk E ( k ) E ( 0) * 2 m
2
2
研究固态晶体中电子的能量状态的方法
单电子近似
单电子近似
假设每个电子是在周期性排列且固定不动的 原子核势场及其他电子的平均势场中运动， 该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。
能带论
用单电子近似法研究晶体中电子 状态的理论。
一.能带论的定性叙述
1.孤立原子中的电子状态 主量子数 n:1,2,3,…，决定能量的主要因素
2
2
微观粒子具有波粒二象性
由粒子性
p m0V 1 1 p 2 E m0V 2 2 m0
2
由德布罗意关系
E h p hk
hk V , m0
hk E 2m0
2
2
波矢k描述自由电子的运动状态。
1.自由电子
h d ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
( x) Ae
E（k）
自 由 电 子
-1/2a 0 1/2a
}允带
}允带
k
} 允带
称第一布里渊区为简约布里渊区
禁带出现在布里渊区边界（k = n/2a）上。 每一布里渊区对应于每一能带。
布里渊区的特征：
n E(k) 是 k 的周期性函数 E (k ) E (k ) a
（1）每隔 1/a 的 k 表示的是同一 个电子态； （2）对有限晶体，波矢 k 只能取一系列分立的 值，每个 k 占有的线度为1/L；
p hk
1.能量 E(k)
德布罗意关系
E
1 (hk ) 2 E moV 2 2m0
2
0
k
自由电子E与k 的关系
2. 速度 V(k)
对 E(k)微分, 得到
dE hk h dk mo
3. 加速度 a
p hk 1 dE V mo mo h dk
当有外力 F 作用于电子时, 在 dt 时间内, 电子 位移了ds 距离, 那么外力对电子所作的功等于 能量的变化, 即:
角量子数 l：0，1，2，…（n－1），决定角
动量，对能量有一定影响（s球形、p哑铃形、 d梅花形……） 磁量子数 ml：0，±1，±2，…±l，决定 L的空间取向，引起磁场中的能级分裂 自旋量子数 ms：±1/2，产生能级精细结构
2.晶体中的电子
（1）电子的共有化运动
在晶体中，电子由一个原子转移到相 邻的原子去，因而，电子将可以在整 个晶体中运动。
与晶体中含的原子数目无关,
但每个能带中所含的能级数目与
晶体中的原子数有关。
电子填充允许带时,可能出现: 电子刚好填满最后一个带 →绝缘体和半导体
最后一个带仅仅是部分被电子占有
→导体
三、 导体、绝缘体和半导体的能带
1.导体的能带
3s
2p 2s 1s
11#Na,它的电子组态是:1s22s22p63s1
电子共有化运动示意图
3s
○
3s
○
3s
○
3s
○
○
2p
2p
2p
2p
○
○ ○
○ ●○ ○
○
○
○
(2)能级分裂 设有A、B两个原子
孤立时, 波函数（描述 微观粒子的状态）为 A和B,不重叠.
孤立原子的能级
简并度=状态/能级数=2/1=2 (不计原子本身的简并)
A . B 两原子相互靠近, 电子波函数应是A和B 的线形叠加:
激 发 前： 激 发 后：
导带电子
价带电子
空的量子态（ 空穴）
空穴
将价带电子的导电作用等效为带正电荷的准 粒子的导电作用。
空穴的主要特征：
A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、vp=vn D、EP=-En E、mP*=-mn*
因此，在半导体中存在两种载流子： （1）电子； （2）空穴； 而在本征半导体中，n=p。
V ( x) V ( x na)
布洛赫定理: ( x) e
其中：
ikx
uk ( x)
uk ( x) uk ( x na)
布洛赫函数 uk(x), 是一个具有晶格
周期的周期函数, n 为任意整数, a 为晶 格周期.
k k u ( x)u ( x)
k k
分布几率是晶格的周期函数，但对每个原胞 的相应位置，电子的分布几率一样的。 波矢k描述晶体中电子的共有化运动状态。
化学键: 共价键离子键
(共价键占优势）
闪锌矿结构的结晶学原胞
立方对称性
沿着[111]方向看，（111）面以双原子 层的形式按ABCABCA…顺序堆积起来。
3、纤锌矿型结构
材料: Ⅱ-Ⅵ族二元化合物半导体
例: ZnS、ZnSe、CdS、CdSe
化学键: 共价键+离子键 (离子键占优势）
(001)面是两类原子各自 组成的六方排列的双原子 层按ABABA…顺序堆积
1 dE (k ) V h dk
设导带底或价带顶位于 k=0, 则
dE 0, V 0 dk
以一维情况为例：
设 E(k)在 k=0 处取得极值，在 极值附近按泰勒级数展开：
dE E (k ) E (0) ( ) k 0 K dk
1 d E 2 ( 2 ) k 0 k ...... 2 dk