数学建模算法大全层次分析法
第八章 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。
可以建立如下的层次结构模型。
目标层O 选择旅游地准则层C 景色 费用 居住 饮食 旅途措施层P 1P 2P 3P 1.2 构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。
此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成n 小块，你可以精确称出它们的重量，设为n w w ,,1 ，现在，请人估计这n 小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。
设现在要比较n 个因子},,{1n x x X 对某因素Z 的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。
即每次取两个因子i x 和j x ，以ij a 表示i x 和j x 对Z 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵n n ij a A )(表示，称A 为X Z 之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。
容易看出，若i x 与j x 对Z 的影响之比为ij a ，则j x 与i x 对Z 的影响之比应为ijji a a 1。
定义1 若矩阵n n ij a A )(满足 （i ）0 ij a ，（ii ）ijji a a 1（n j i ,,2,1, ） 则称之为正互反矩阵(易见1 ii a ，n i ,,1 )。
关于如何确定ij a 的值，Saaty 等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。
下表列出又容易因此而提供虚假数据。
Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。
最后，应该指出，一般地作2)1( n n 次两两判断是必要的。
有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作1 n 个比较就可以了。
这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。
进行2)1( n n 次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。
1.3 层次单排序及一致性检验判断矩阵A 对应于最大特征值m ax 的特征向量W ，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。
但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。
如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A 的元素还应当满足：ik jk ij a a a ，n k j i ,,2,1,, （1） 定义2 满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。
需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵A 是否严重地非一致，以便确定是否接受A 。
定理1 正互反矩阵A 的最大特征根m ax 必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。
A 的其余特征值的模均严格小于m ax 。
定理2 若A 为一致矩阵，则 （i ）A 必为正互反矩阵。
（ii ）A 的转置矩阵TA 也是一致矩阵。
（iii ）A 的任意两行成比例，比例因子大于零，从而1)(rank A （同样，A 的任意两列也成比例）。
（iv ）A 的最大特征值n max ，其中n 为矩阵A 的阶。
A 的其余特征根均为零。
（v ）若A 的最大特征值m ax 对应的特征向量为T n w w W ),,(1 ，则jiij w w a，n j i ,,2,1, ，即n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A 212221212111定理3 n 阶正互反矩阵A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根n max ，且当正互反矩阵A 非一致时，必有n max 。
根据定理3，我们可以由m ax 是否等于n 来检验判断矩阵A 是否为一致矩阵。
由于特征根连续地依赖于ij a ，故m ax 比n 大得越多，A 的非一致性程度也就越严重，m ax 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出},,{1n x x X 在对因素Z的影响中所占的比重。
因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下： （i ）计算一致性指标CI1maxn nCI（ii ）查找相应的平均随机一致性指标RI 。
对9,,1 n ，Saaty 给出了RI 的值，n 1 2 3 4 5 6 7 8 9RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45RI 数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值max ' ，并定义1'maxn nRI 。
（ⅲ）计算一致性比例CRRICI CR 当10.0 CR 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
1.4 层次总排序及一致性检验上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。
我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。
总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
设上一层次（A 层）包含m A A ,,1 共m 个因素，它们的层次总排序权重分别为m a a ,,1 。
又设其后的下一层次（B 层）包含n 个因素n B B ,,1 ，它们关于j A 的层次单排序权重分别为nj j b b ,,1 （当i B 与j A 无关联时，0 ij b ）。
现求B 层中各因素关于总目标的权重，即求B 层各因素的层次总排序权重n b b ,,1 ，计算按下表所示方式进行，即mj jiji ab b 1，n i ,,1 。
对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。
这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。
但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。
设B 层中与j A 相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为)(j CI ，（m j ,,1 ），相应的平均随机一致性指标为)(j RI （)()(j RI j CI 、已在层次单排序时求得），则B 层总排序随机一致性比例为mjjmjjajRIajCICR11)()(当10.0CR时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
§2 层次分析法的应用在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（i）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（ii）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。
但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（i）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
（ii）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。
AHP至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。
在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。
现再分析一个实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。
例2 挑选合适的工作。
经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。
该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示。
A1B2B3B4B5B6B1B 1 1 1 4 1 1/22B 1 1 2 4 1 1/23B 1 1/2 1 5 3 1/24B1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/35B 1 1 1/3 3 1 16B 2 2 2 3 3 11B1C2C3C2B1C2C3C1C 1 1/4 1/21C 1 1/4 1/52C 4 1 32C 4 1 1/23C 2 1/3 13C 5 2 13B 1C 2C 3C 4B 1C 2C 3C1C 1 3 1/3 1C 1 1/3 5 2C 1/3 1 7 2C 3 1 7 3C 3 1/7 1 3C 1/5 1/7 1 5B 1C 2C 3C 6B 1C 2C 3C1C 1 1 7 1C 1 7 9 2C 1 1 7 2C 1/7 1 1 3C 1/7 1/7 1 3C 1/9 1 1计算程序如下： clca=[1,1,1,4,1,1/2 1,1,2,4,1,1/2 1,1/2,1,5,3,1/21/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3 1,1,1/3,3,1,1 2,2,2,3,3,1];[x,y]=eig(a);lamda=max(diag(y)); [i,j]=find(y==lamda);ci1=(lamda-6)/5;cr1=ci1/1.24 w1=x(:,j)/sum(x(:,j))b1=[1,1/4,1/2;4,1,3;2,1/3,1];[x,y]=eig(b1);lamda=max(diag(y)); [i,j]=find(y==lamda);ci21=(lamda-3)/2;cr21=ci21/0.58 w21=x(:,j)/sum(x(:,j))b2=[1 1/4 1/5;4 1 1/2;5 2 1]; [x,y]=eig(b2);lamda=max(diag(y)); [i,j]=find(y==lamda);ci22=(lamda-3)/2;cr22=ci22/0.58 w22=x(:,j)/sum(x(:,j))b3=[1 3 1/3;1/3 1 1/7;3 7 1]; [x,y]=eig(b3);lamda=max(diag(y)); [i,j]=find(y==lamda);ci23=(lamda-3)/2;cr23=ci23/0.58 w23=x(:,j)/sum(x(:,j))b4=[1 1/3 5;3 1 7;1/5 1/7 1]; [x,y]=eig(b4);lamda=max(diag(y)); [i,j]=find(y==lamda);ci24=(lamda-3)/2;cr24=ci24/0.58 w24=x(:,j)/sum(x(:,j))b5=[1 1 7;1 1 7;1/7 1/7 1]; [x,y]=eig(b5);lamda=max(diag(y)); [i,j]=find(y==lamda);ci25=(lamda-3)/2;cr25=ci25/0.58 w25=x(:,j)/sum(x(:,j))b6=[1 7 9;1/7 1 1 ;1/9 1 1]; [x,y]=eig(b6);lamda=max(diag(y)); [i,j]=find(y==lamda);ci26=(lamda-3)/2;cr26=ci26/0.58 w26=x(:,j)/sum(x(:,j))w_sum=[w21,w22,w23,w24,w25,w26]*w1 ci=[ci21,ci22,ci23,ci24,ci25,ci26]; cr=ci*w1/sum(0.58*w1)习 题 八1. 若发现一成对比较矩阵A 的非一致性较为严重，应如何寻找引起非一致性的元素？例如，设已构造了成对比较矩阵161316153511A（i ）对A 作一致性检验。
数学建模(层次分析法(AHP法)
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通 过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标 C.I.：
一个典型的层次可以用下图表示出来：
几点注意
1.处于最上面的的层次通常只有一个元素， 一般是分析问题的预定目标或理想结果。 中间层次一般是准则、子准则。最低一层 包括决策的方案。层次之间元素的支配关 系不一定是完全的，即可以存在这样的元 素，它并不支配下一层次的所有元素。
2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽 程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因 一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带 来困难。
3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。 层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面 深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层 次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问 题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建 立一个合理的层次结构。
数学建模5-层次分析法
数学建模5-（离散模型）层次分析法层次分析法的基本步骤如下：层次结构分析模型实例：（选择旅游地）每次取两个因素C i和C j，用a ij表示C i和C j对上层因素O的影响之比，全部结果可用成对比较矩阵表示：a ij=1（i=j）由成对比较阵求权向量的特征根法：（原理）一致阵的概念：a ij·a jk=a ik，I,j,k=1,2,……,n一致阵的性质：1.R（A）=1，A的唯一非零特征根为n；2.A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。
若A不是一致阵在不一致容许的范围内，用对应于A最大特征根（记作λ）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=λw。
（实现方法）——和法例子：一致性检验：一致性指标：（CI越大A的不一致程度越严重）随机一致性指标：一致性比率：当时，认为A的不一致程度在容许范围内。
组合权向量的计算组合一致性检验：关于层次分析法的一些问题：1.不完全层次结构中组合权向量的计算：例：如何得到合理结果？用支配因素的数量对权向量进行加权修正2.成对比较阵残缺时的处理：设Θ表示残缺；3.本节讨论的内容主要是逐阶层次结构（层次内部因素无相互影响或支配，层次自上而下，逐层传递的支配关系）对于更复杂的层次结构，可能存在层次内部因素之间的相互影响，下层反过来对上层有支配作用，层次之间存在反馈作用等。
附：层次分析法的简单MATLAB实现clc;clear;A=[1 1.2 1.5 1.5;0.833 1 1.2 1.2;0.667 0.833 1 1.2;0.667 0.833 0.833 1];%因素对比矩阵A，只需要改变矩阵A[m,n]=size(A); %获取指标个数RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];R=rank(A); %求判断矩阵的秩[V,D]=eig(A); %求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量；tz=max(D);B=max(tz); %最大特征值[row, col]=find(D==B); %最大特征值所在位置C=V(:,col); %对应特征向量CI=(B-n)/(n-1); %计算一致性检验指标CICR=CI/RI(1,n);if CR<0.10disp('CI=');disp(CI);disp('CR=');disp(CR);disp('对比矩阵A通过一致性检验，各向量权重向量Q为：');Q=zeros(n,1);for i=1:nQ(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化endendQ。
建模常用方法
一、在数学建模中常用的方法：1.模糊评价方法2.层次分析法3.数据拟合法4.差分法5.变分法6.图论法7.二分法8.量纲分析法9.回归分析法10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划）11.机理分析12.排队方法13.对策方法14.决策方法15.类比法16.时间序列方法(指数平滑法、移动平均法、季节指数法等）17.灰色理论方法18.现代优化算法（禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络)二、用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
1.拟合与插值方法:（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
2.优化方法：决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。
其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
3.回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
4.逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止（主要用SAS、SPSS来实现，也可以用matlab软件来实现）。
层次分析法-数学建模
层次分析法一、分析模型和一般步骤二、建立层次结构模型三、构造成对比较矩阵四、作一致性检验五、层次总排序及决策一. 层次分析模型和一般步骤层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二. 建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例1〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：例2〕选拔干部模型对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型例3〕评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素：（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）（4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重来描述。
数学建模教材第9章层次分析法模型
数学建模教材第9章层次分析法模型第九章层次分析法模型层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP ）是对⼀些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易⽅法，它特别适⽤于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的⼀种简便、灵活⽽⼜实⽤的多准则决策⽅法。
9.1.1层次分析法的基本原理与步骤⼈们在进⾏社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，⾯临的常常是⼀个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂⽽往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了⼀种新的、简洁⽽实⽤的建模⽅法。
运⽤层次分析法建模，⼤体上可按下⾯四个步骤进⾏：（i）建⽴递阶层次结构模型；（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii）层次单排序及⼀致性检验；（iv）层次总排序及⼀致性检验。
下⾯分别说明这四个步骤的实现过程。
1递阶层次结构的建⽴与特点应⽤AHP分析决策问题时，⾸先要把问题条理化、层次化，构造出⼀个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素⼜按其属性及关系形成若⼲层次。
上⼀层次的元素作为准则对下⼀层次有关元素起⽀配作⽤。
这些层次可以分为三类：（i）最⾼层：这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般它是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此也称为⽬标层。
（ii ）中间层：这⼀层次中包含了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可以由若⼲个层次组成，包括所需考虑的准则、⼦准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这⼀层次包括了为实现⽬标可供选择的各种措施、决策⽅案等，因此也称为措施层或⽅案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，⼀般地层次数不受限制。
每⼀层次中各元素所⽀配的元素⼀般不要超过9个。
这是因为⽀配的元素过多会给两两⽐较判断带来困难。
下⾯结合⼀个实例来说明递阶层次结构的建⽴。
例1假期旅游有R、P2、P3 3个旅游胜地供你选择，试确定⼀个最佳地点。
数学建模方法归类(很全很有用)
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。
用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。
其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
【数学建模】1.层次分析法
【数学建模】1.层次分析法1.解决问题的类型⾸先，提出⼀个⽅法考虑的应该是他对应解决什么类型的问题，对于层次分析法来说，它是⽤来解决确定评价指标、形成评价体系的评价类问题.解决评价类问题需要考虑的三个问题1.评价⽬标是什么2.为了达到这种⽬标有⼏种可以选择的⽅案3.评价的准则是什么2.层次分析法的步骤第⼀步建⽴系统的递阶层次结构.注：如果⽤到了层次分析法，层次结构图要放在建模论⽂中.层次结构图可以⽤PPT的SmartArt⽣成层次结构图可以⽤专业软件：亿图图⽰⽣成第⼆步构造判断矩阵对于判断矩阵来说很重要的⼀点就是确定各个指标的权重，那么下⾯就来说⼀说怎么确定权重3.权重的确定（1）⾸先填写判断矩阵把评价准则（景⾊、花费、居住、饮⾷、交通）和可选择的⽅案（苏杭、北戴河、桂林）做成判断矩阵（制表）我们采⽤填写判断矩阵的⽅法确定权重，参考如图总的判断表格判断矩阵判断指标然后需要对总的判断表格中的评价准则和针对不同准则⽅案之间的差异重新制表写判断表格。
对⾓线均为1评价准则的判断矩阵针对不同准则⽅案之间的差异值得注意的⼀点，填写完判断矩阵后我们要判断矩阵是否为⼀致矩阵⼀致矩阵特点：各⾏（各列）成倍数关系注：判断矩阵中的元素只能是1-9和他们的倒数.（2）其次进⾏⼀致性检验⼀致性检验：检查我们构造的判断矩阵和⼀致矩阵是否有太⼤的差别。
检验的具体原理这⾥就不详细的叙述了，下⾯就直接讲⼀致性检验的步骤了注：matlab中可以进⾏特征值计算，如果特征值为虚数，那么就⽐较特征值的模长.如果得到的判断矩阵符合⼀致性检验，那么我们就可以计算⼀致矩阵的权重了。
（3）再次⼀致矩阵权重的计算有三种⽅法：算术平均法、⼏何平均法、特征值法。
通常采⽤特征值法计算权重如果⼀个矩阵是⼀致矩阵那么采⽤特征值法计算权重的⽅法为那么对于通过⼀致性检验的矩阵来说，也可以采⽤这种⽅法最后汇总权重，计算得分得到的表格(4)CR>0.1的修正上⾯说的都是判断矩阵经过⼀致性检验的步骤，那如果没有经过⼀致性检验呢，这就需要我们对判断矩阵进⾏修正调整的原则就是：往⼀致矩阵调整就OK了，⼀致矩阵隔⾏成倍数关系4.层次分析法的局限性5.模型拓展6.例⼦7.附录优先选择知⽹（万⽅、百度学术、⾕歌学术等平台）搜索⽂献。
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定义1:设 如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。 因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研 究 周 期 C5
财 政 支 持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；
数学建模讲义-层次分析法
优化建模
3、排序原理：
一组元素两两比较其重要性,计算元素相对
重要性的测度问题。
优化建模
二、层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型。 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按 照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素 从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下 一层的因素或受到下层因素的作用。
优化建模
将问题包含的因素分层： 最高层（解决问题的目的）； 中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑 的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）； 最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把 各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清 晰地表达这些因素的关系。
优化建模
成对比较阵 和权向量
优化建模
1.建立层次结构模型 1.
例. 选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择. 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
同样求第3层 方案 对第2层每一元素 准则)的权向量 方案)对第 层每一元素(准则 同样求第 层(方案 对第 层每一元素 准则 的权向量
方案层对C 景色 景色) 方案层对 1(景色 的成对比较阵
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
方案层对C 居住 居住) 方案层对 3(居住 的成对比较阵
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5
4 7 1 2 3
8.数学建模-层次分析法
各科目的权重不一 ：
数学 ：0.25 语文: 0.1
物理：0.2 英 语：0.3
化学：0.15
如何选拔优秀生？ 如何选拔优秀生？
的问题， 这是个可进行 量化决策 的问题，一般的做法是计算出他们各自 的加权平均成绩, 再进行比较挑选: 的加权平均成绩 再进行比较挑选 学生甲的平均成绩 = 85 × 0.25 + 80 × 0.2 + 75 × 0.15 + + 70 × 0.1 + 90 ×0.3 = 82.5 学生乙的平均成绩 = 72 × 0.25 + 80 ×0.2 + 85 × 0.15 + + 80 × 0.1 + 85 ×0.3 = 79.25 学生丙的平均成绩 = 90 × 0.25 + 70 × 0.2 + 60 × 0.15 + + 80 × 0.1 +95 × 03 = 82.4
…………………………………………………. wn/w1 wn/w2 wn/w3 ………………….. 1 这种矩阵的 最大特征值一定是 n ，从属于 n 的 特征向量 最大特征值一定是 一定是： 一定是： { w1 ，w2 ，…….. wn } 。
矩阵。 （ 这种矩阵称之为 “正互反 ” 的 “一致 ” 矩阵。“正互反 ” 指 素均为正数，且与主对角线对称的元素互为倒数； 矩阵各元 素均为正数，且与主对角线对称的元素互为倒数； 矩阵（ 之间成立下列关系： “ 一致 ” 指：矩阵（aij）各元 素 aij 之间成立下列关系： aij ·ajk = aik , i , j , k = 1, 2 , 3, …., n ）
实例 合理分配利润问题
某工厂有一笔留存利润，共计一百万。 可供选择的分配方案为： 某工厂有一笔留存利润，共计一百万。 可供选择的分配方案为： 以奖金形式发给工人， 以奖金形式发给工人， 扩建职工福利设施， 扩建职工福利设施， 引进新设备。 引进新设备。 假定需从以下三个准则来考虑问题: 假定需从以下三个准则来考虑问题 (1) 调动职工积极性; (2 ) 提高技术水平; (3 ) 改善职工生活条件. 调动职工积极性; 提高技术水平; 改善职工生活条件. 如何作出合理科学的分配决策方案？ 如何作出合理科学的分配决策方案？