常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
常微分方程数值解法
介绍常微分方程数值解法常微分方程（ordinary differential equations，ODE）可用于描述许多日常存在的物理系统。
处理ODE问题常常被称为数值求解法，这指的是找到概括ODE或者其他适用于数学模型的解决方案来模括这些ODE。
这种解决方案可能在一系列不同方案中发挥重要作用，以此来提供更好的解释和预测。
常微分方程与几何图形更为相关，它利用二维或者三维空间中曲线的绘制以及分析。
通过引入一些不同的方法，可以对不同的常微分方程中的量进行描述，使得可以通过数值方法的解析来进行研究。
数值解法可能是时间消耗较多的，但有助于验证几何图形中的某些过程，以此帮助揭示数学模型。
四种常见的常微分方程数值解法四种常见的常微分方程数值解法是：前向差分法、向后差分法、中点法和全分方法。
•前向差分法：前向差分法的基本概念是利用ODE的特定解来表达时间步的影响。
这是一种基本的数值法，可以在ODE中确定任意位置的点作为终点。
在这里，任何这样的点都可以表示为ODE右边的时间步。
•向后差分法：它是反过来基于前向差分法。
它要求对ODE中的时间步进行逆向推导，以获得某一特定点的解。
向后差分法要求推导反向解中点，以便可以从每一步中获取该点的解。
•中点法：这是一种非常基本的数值解法，可以用来求解ODE中的某一步的解，但不具有直观的方法解释。
主要的思想是在每一次时间步中通过求出ODE的中点来寻找解。
•全分方法：这是一种更复杂的数值解法，它要求将ODE中的每一步解细分并解决。
与前面提到的三种解法不同，它首先要求将ODE分解成若干离散区间，然后计算每一段区间中的点。
这种解法可以更准确地进行处理，但时间消耗较多，因此比较少被使用。
优化方案在需要解决常微分方程时，为了得到最佳的结果，有必要考虑一些优化措施。
•首先，应考虑将一个复杂的ODE拆分成一些更易解决的问题。
这样做的结果是，预见到解决此ODR的总耗时将会降低。
•其次，为了加快计算速度，可以考虑使用预解算法。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法1. 引言常微分方程是自变量只有一个的微分方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
由于常微分方程的解析解不易得到或难以求得，数值解法成为解决常微分方程问题的重要手段之一。
本文将介绍几种常用的常微分方程的数值解法。
2. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上假设解函数为线性函数，即通过给定的初始条件在每个子区间上构造切线；- 使用切线的斜率（即导数）逼近每个子区间上的解函数，并将其作为下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
3. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的一种改进，主要思想是利用两个切线的斜率的平均值来逼近每个子区间上的解函数。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上构造两个切线，分别通过给定的初始条件和通过欧拉方法得到的下一个初始条件；- 取两个切线的斜率的平均值，将其作为该子区间上解函数的斜率，并计算下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
4. 二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是一种更为精确的数值解法，其基本思想是通过近似计算解函数在每个子区间上的平均斜率。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上计算解函数的斜率，并以该斜率的平均值近似表示该子区间上解函数的斜率；- 利用该斜率近似值计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
5. 龙格-库塔法（四阶）龙格-库塔法是目前常用的数值解法之一，其精度较高。
四阶龙格-库塔法是其中较为常用的一种，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上进行多次迭代计算，得到该子区间上解函数的近似值；- 利用近似值计算每个子区间上的斜率，并以其加权平均值逼近解函数的斜率；- 计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
常微分方程数值解
常微分方程数值解常微分方程数值解是数学中的一门重要学科，主要研究如何求解常微分方程，在科学计算中有着重要的应用。
常微分方程模型是自然界中广泛存在的现象描述方法，有着广泛的应用领域。
比如，在物理学中，运动中的物体的位置、速度和加速度随时间的关系就可以通过微分方程描述；在经济学中，经济变化随时间的变化也可以用微分方程来描述。
而常微分方程数值解的求解方法则提供了一种快速、高效的计算手段。
一、常微分方程数值解的基本概念常微分方程就是一个描述自变量（通常是时间）与其导数之间关系的方程。
其一般形式如下：$\frac{dy}{dt} = f(y,t)$其中 $f(y,t)$ 是一个已知的函数。
常微分方程数值解就是对于一个常微分方程，对其进行数字计算求解的方法。
常微分方程数值解常使用数值积分的方法来求解。
由于常微分方程很少有解析解，因此数值解的求解方法显得尤为重要。
二、常微分方程数值解的求解方法常微分方程数值解的求解方法很多，以下介绍其中两种方法。
1.欧拉法欧拉法是最简单的一种数值算法，其思想是通过将一个微分方程转化为一个数值积分方程来求解。
其数值积分方程为：$y_{i+1}=y_i+hf(y_i,t_i)$其中 $h$ 为步长，可以理解为每次计算的间隔。
欧拉法的主要缺点是其精度比较低，收敛速度比较慢。
因此，当需要高精度的数值解时就需要使用其他的算法。
2.级数展开方法级数展开法是通过将一个待求解的微分方程进行Taylor级数展开来求解。
通过对Taylor级数展开的前若干项进行求和，可以得到微分方程与其解的近似解。
由于级数展开法的收敛速度很快，因此可以得到相对较高精度的数值解。
但是，当级数过多时，会出现截断误差。
因此，在实际应用中需要根据所需精度和计算资源的限制来选择适当的级数。
三、常微分方程数值解的应用常微分方程数值解在现代科学技术中有着广泛的应用。
以下介绍其中两个应用领域。
1.物理建模常微分方程的物理建模是常见的应用领域。
常微分方程数值解法
ρ ρ
n+1 n
≤1
三、梯形公式
由 分 径 y ( xn+1) = y ( xn) + 积 途 ： xn+1
∫
f ( x, y)dt
（
积分 梯形 式 且令：yn+1 = y( xn+1), yn = y( xn) 用 公 ， h 则 yn+1 = yn + ( f (xn , yn) + f (xn+1 , yn+1)) 得： 2
第九章 常微分方程数值解法
§1 、引言
一 常 分 程 初 问 : 阶 微 方 的 值 题 dy dx = f (x, y) y( x0) = y0
'
a ≤ x ≤b
2 y 例 : 方 程 xy -2 y = 4 x ⇒ y = + 4 x 2 y 令 ：f ( x , y ) = + 4 且 给 出 初 值 y (1 )= -3 x 就 得 到 一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题 ： 2 y dy = f (x, y) = + 4 dx x y(1) = − 3
n n n n n 2 // n n+1
~
y
n+1
= yn + hf ( xn, yn ) = y(xn) + hf
n+1
~
y
n+1
( x , y( x ))
n n
则 T = y( x ) − = h y (ξ ) x y 2 ~
// n+1 n+1
2
n
< ξ < xn+1
令
常微分方程组数值解法
常微分方程组数值解法一、引言常微分方程组是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、生物等领域都有广泛应用。
对于一些复杂的常微分方程组，往往难以通过解析方法求解，这时候数值解法就显得尤为重要。
本文将介绍常微分方程组数值解法的相关内容。
二、数值解法的基本思想1.欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，它的思想是将时间连续化，将微分方程转化为差分方程。
对于一个一阶常微分方程y'=f(x,y)，其欧拉公式为：y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)其中h为步长，x_n和y_n为第n个时间点上x和y的取值。
2.改进欧拉法改进欧拉法是对欧拉法的改良，其公式如下：y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_n+hf(x_n,y_n))] 3.四阶龙格-库塔方法四阶龙格-库塔方法是目前最常用的数值解法之一。
其公式如下：k_1=f(x_n,y_n)k_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_1)k_3=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_2)k_4=f(x_n+h,y_n+hk_3)y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)其中，k_i为中间变量。
三、常微分方程组的数值解法1.欧拉法对于一个二阶常微分方程组：\begin{cases} y'_1=f_1(x,y_1,y_2) \\ y'_2=f_2(x,y_1,y_2)\end{cases}其欧拉公式为：\begin{cases} y_{n+1,1}=y_{n,1}+hf_1(x_n,y_{n,1},y_{n,2}) \\y_{n+1,2}=y_{n,2}+hf_2(x_n,y_{n,1},y_{n,2}) \end{cases}其中，x_n和y_{n,i}(i=1, 2)为第n个时间点上x和y_i的取值。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。
它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。
2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。
改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。
它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）计算各阶导数的导数值。
（4）根据权重系数计算下一个点的值。
与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。
4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。
亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。
5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。
多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。
而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。
《数值分析》第5讲：常微分方程数值解
1 2
y(3) ( xn )2 p2h3
o(h4 )
对照
y( xn1 )
yn
y'( xn )h
1 2
y''( xn )h2
第五章：常微分方程数值解
得
212 p2
1
1
可解得
yn1 yn h(1K1
K1 f ( xn , yn )
2
K
2
)
K
2
f ( xn p , yn
phK1 )
12
第五章：常微分方程数值解
§5.3 Lunge-Kutta方法
依据精度要求的待定系数法
x xn
x n p n1
1、二阶Lunge-Kutta方法（P114-P116)
令 xn p xn ph( xn, xn1), 0 p 1 yn1 yn h(1K1 2 K2 ) 加权平均斜率
K1 f ( xn , yn ) y(x) 在点 ( xn , 的yn斜) 率
例 P107
初值问题
y' y 2x / y
y(0)
1
0 x 1
补 充 ： 一 阶 线 性 方 程dy P( x) y Q( x)的 解
dx
常数变易法
y e p( x)dx
Q( x)e
p( x )dx
dx
C
非线性方程 dy P( x) y Q( x) yn Bernoulli型方程 dx
yn1 yn h(1K1 2 K 2 )
yn h[1 y'( xn ) 2 y'( xn p )]
yn
h1 y'( xn ) 2h
1 y'( xn ) 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
（其中 L 为 Lipschitz 常数）则初值问题（ 1 ）存 在唯一的连续解。
求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一 系列离散节点x1 < x2 <……< xn < xn+1 上的近似 值y1, y 2,…,yn 。 为了计算方便，可取 xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)， h称为步长。
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：
f1 ( x, y1 , y2 ) y1 ( x0 ) y10 y1 (4) f 2 ( x, y1 , y2 ) y2 ( x0 ) y20 y2
本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)~(4)只 作简单介绍。
得 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。 可用迭代法求解
二、梯形方法 由
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f ( x, y( x))dx
利用梯形求积公式： x h x f ( x, y( x))dx 2 f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 ))
常微分方程的数言 简单的数值方法 Runge-Kutta方法 一阶常微分方程组和高阶方程
引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
y f ( x, y, y) a x b y f ( x, y ) a x b (2) (1) (1) y ( x ) y , y ( x ) y 0 0 0 0 y ( x0 ) y0 y f ( x, y, y) a x b (3) y(a) y0 , y(b) yn
yn1
yn 2 yn h( 2 yn ) xn
数值解和解析解的图示比较如下：
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
O : 数值解；— : 准确解
若直接对y`=f(x,y)在[xn, xn+1]积分，
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
z ( x0 ) y 0 y ( x0 ) y 0
Euler方法的几何意义： （Euler折线法）
y
P2 P1 P0 Pn Pn+1
y=f(x) x
O
x0 x1
x2
xn
xn+1
例: 用Euler方法求解常微分方程初值问题
y 2 y 2 y x y (0) 0. (0 x3 )
并将数值解和该问题的解析解比较。 x 解析解： y ( x) 2 1 x 解：Euler方法的具体格式：
y( xn ) f ( xn , yn )
y( xn1 ) y( xn ) hf ( xn , yn ) y( xn ) yn , y( xn1 ) yn1
则上式可记为
yn1 yn hf ( xn , yn )
此即为求解初值问题的Euler方法，又称显式Euler 方法。
三阶Runge-Kutta方法
h y n 1 y n 6 ( K1 4 K 2 K 3 ) K1 f ( xn , y n ) K f ( x h , y h K ) n n 1 2 2 2 K f ( x h, y hK 2hK ) n n 1 2 3
常微分方程的数值解法有单步法和多步法之分：
单步法：在计算yn＋1 时只用到前一点yn 的值 ；
多步法：计算yn＋1 时不仅利用yn，还要利用yn-1, yn-2,…….，一般k步法要用到 yn, yn-1, yn-2,……., yn-k+1。
8.2 简单的数值方法
一、欧拉（Euler）方法
在x= x0 处，用差商代替导数：
一阶常微分方程组和高阶微分方程的 数值 解法简介
一、一阶常微分方程组的数值解法：
y f ( x, y , z ), y ( x0 ) y0 z g ( x, y , z ), z ( x0 ) z0
采用梯形公式的 预报-校正格式
预报
yn1 yn hf ( xn , yn , zn ) zn1 zn hg ( xn , yn , zn )
考虑一阶常微分方程初值问题
y f ( x, y ) (1) y ( x0 ) y 0
其中，y = y(x) 是未知函数，y(x0) = y0 是初值条 件，而f(x, y) 是给定的二元函数.
由常微分方程理论知，若f(x)在x[a,b]连续且 f 满足对 y 的Lipschitz条件：
h yn 1 yn [ f ( xn , yn , zn ) f ( xn 1 , yn 1 , zn 1 ) 2 h zn 1 zn [ g ( xn , yn , zn ) g ( xn 1 , yn 1 , zn 1 ) 2
校正
一、高阶常微分方程的数值解法：
n1 n
得
h yn 1 yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) 2
上式称梯形方法，是一种隐式方法。
隐式方法的计算比显式方法复杂，需要用迭代法 求解才能得出计算结果。 可采用将显式Euler格式与梯形格式结合使用的方 法来避免求解非线性方程。 记
f ( x, y( x))dx
利用数值积分中的左矩形公式：
xn1
xn
f ( x, y( x))dx h f ( xn , y( xn ))
设y(xn)= yn，则得
yn1 yn hf ( xn , yn )
此即为Euler公式。 若用右矩形公式：
xn1
xn
f ( x, y( x))dx h f ( xn1 , y( xn1 ))
yn1 yn hf ( xn , yn )
－－预测
再用梯形格式计算：
h yn 1 yn f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ) 2
上面两式统称预测－校正法， 又称改进的Euler方法。 －－校正
8.3 Runge－Kutta方法
Runge-Kutta方法的基本思想： 设法计算 f(x,y) 在某些点上的函数值，然后对这 些函数值作线性组合，构造近似计算公式，再 把近似公式和解的泰勒展开式相比较，使前面 的若干项吻合，从而获得达到一定精度的数值 计算公式 。 r 设 yn1 yn h ci K i
i 1 K1 f ( x n , y n ) i 1 K i f ( xn i h, yn h ij K j ), (i 2,3, , r ) j 1
ci , λi , μij 为待定常数。
二阶Runge-Kutta方法
y n 1 y n hK 2 K1 f ( xn , y n ) h h K 2 f ( xn , y n K1 ) 2 2
y( x1 ) y( x0 ) y( x1 ) y( x0 ) y( x0 ) x1 x0 h
由 y( x0 ) f ( x0 , y0 ), 得
y( x0 ) y0
y( x1 ) y0 hf ( x0 , y0 ) y1
同理，在x= xn 处，用差商代替导数： y( xn1 ) y( xn ) y( xn1 ) y( xn ) y( xn ) xn1 xn h 由 得 若记
四阶Runge-Kutta方法
h y n 1 y n 6 ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) K1 f ( xn , y n ) h h K 2 f ( xn , y n K1 ) 2 2 h h K f ( x , y K2 ) n n 3 2 2 K 4 f ( x n h, y n hK3 )
可化为一阶常微分方程组求解。 例如，二阶常微分方程初值问题
y f ( x, y, y) y ( x0 ) y0 y( x ) y 0 0
引进新的变量,令z=y`，即可将上述二阶方程 化为如下的一阶方程组的初值问题:
z f ( x, y, z ), y z,