高中数学圆锥曲线与方程的专项研究
高中数学圆锥曲线与方程的专项研究
作者：张宁刘成龙
来源：《新课程·教师》2015年第04期
在圆锥曲线的专项研究中我们要认真贯彻落实课改基本理念，要充分发挥学生的主动性，使学生在自主对比、灵活应用中掌握基本的圆锥知识。
一、圆锥曲线自主对比整理
在高中阶段，圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线三种，三者之间有着密切的联系。
所以，在专项研究时，我们首先要充分发挥学生的主动性，鼓励学生将相关的知识进行整理、对比。
鼓励学生自主将椭圆、双曲线、抛物线三者的基本知识点结合在一起，这样的对比不仅能够加深学生的印象，而且，对提高学生的学习效率也有着密切的关系。
二、圆锥曲线的题型总结
1.求轨迹问题
（1）求动点P的轨迹方程E。
这是一道求轨迹的试题，求解时主要是找到动点p的轨迹是一个怎样的曲线，在该题的求解中，我们可以得出点P的轨迹为椭圆。
之后，根据相关的条件求出轨迹方程。
所以，在实际解题过程中，我们要准确把握一些曲线的定义，要通过判断曲线的类型进行求解，这会对试题的解答起到事半功倍的效果。
2.直线与圆锥曲线的位置题目
直线与圆锥曲线的结合是数学习题练习中常见的一种题型，这类题型不仅考查了圆锥曲线的相关知识，而且，也有助于提高学生的平面几何解析能力，进而，大幅度提高学生的解题能力。
例：设双曲线C：-y2=1（a>0）与直线L：x+y=1相交于不同的两点A，B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）设直线L与y轴交点为P，且，求a的值。
分析：在该题的求解过程中，我们首先要弄清楚离心率e的概念，即e=c/a，然后，再通过将直线与双曲线的方程联立，列出一个一元二次方程，进行求解。
并通过根式之间的关系来求出e的取值范围。
（详细的解题过程略）但是，从这个过程来看，圆锥曲线与直线的结合涉及的题目类型较多，其中包括：求直线与圆锥曲线的位置关系；求直线的方程等等。
如，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上。
设直线L同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线L的方程。
在此不再进行详细的分析。
总之，在圆锥曲线专题的复习和研究中，我们要鼓励学生自主进行分析和探究，试着找到每种类型题目的解答规律，进而使学生的解题效率得到提高。
参考文献：
原慧芳.高中圆锥曲线与方程学习的问题研究[D].陕西师范大学，2011.
编辑马燕萍。
2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析
圆锥曲线是广泛应用于科学研究及生产和生活中的曲线，是高中数学中几何与代数知识的重要组成部分，是高中学生运用平面直角坐标系将曲线与方程、几何与代数融会贯通的重要载体，更是让学生体验和领悟数与形相互转化过程的重要途径，在高考数学中占有较大的比重.2020年高考数学试卷中圆锥曲线与方程专题部分的试题，着重考查圆锥曲线的定义、方程，以及简单的几何性质，立足“四基”，凸显基础性；注重对数形结合、代数方法与几何问题化归的考查，立意能力，在数与形之间彰显综合性、应用性；重视对数学运算、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养的考查，立旨素养，引导数学教学，实现数学学科的育人价值.同时，与往年相比，试题结构和难度保持稳定，既体现对主线内容、核心概念、数学本质考查的连贯性，也体现了对学生的人文关怀.一、考查内容分析2020年全国各地高考数学试卷共10套13份，具体为全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷.有的试卷由国家统一命题，也有的由各省市自主命题，无论是延续2019年模式的全国卷和地方卷高考试题，还是2020年首次亮相的立足《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的全国新高考卷试题，都是重视基础，突出能力，并围绕学生的数学学科核心素养展开全方位考查.1.布局合理，考点紧扣标准2020年高考数学试卷，以圆锥曲线的定义、基本量、标准方程、简单几何性质、位置关系等核心内容为载体，重点考查学生对平面解析几何问题基本解决过程的掌握情况：用代数语言把几何问题转化为代数问题，根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论并给出代数结论合理的几何解释解决几何问题.突出考查学生运用代数方法研究上述曲线之间的基本关系、运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题的能力，旨在考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题紧扣《标准》，以基础题、中档题为主，在总共的26道（相同试题算1道）试题中：基础题有10道、中档题有12道，占比约85%；难题4道，其中2020年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析段喜玲1摘要：2020年高考数学试题中的圆锥曲线与方程部分考查内容紧扣高中数学课程标准，分值、结构稳定，试题突出对“四基”的考查，注重圆锥曲线与其他知识的结合，注重对数学思维和数学学科核心素养的考查.试题体现基础性、应用性、综合性等特点，以基础知识的考查为载体，将对学生分析问题、解决问题能力的考查蕴含在解题过程之中，以实现对学生数学学科核心素养的考查.基于2020年高考试题的命题分析，给出高考复习建议，有效引导高三复习．关键词：圆锥曲线；命题分析；数形结合；数学运算收稿日期：2020-08-01基金项目：重庆市教育科学“十三五”规划2017年度规划课题——课堂教学中自主学习实施途径与策略的研究（2017-MS-13）.作者简介：段喜玲（1979—），女，中学高级教师，主要从事高中数学课堂教学研究.全国新高考Ⅰ卷第22题、全国Ⅰ卷文科第21题（同理科第20题）、全国Ⅲ卷文科第21题（同理科第20题）为压轴题，布局合理.2.分值稳定，多选双填增新彩高考试题对本专题内容的考查一般是两道客观题和一道主观题，共22分，占全卷分值的14.7%，其中北京卷24分，占全卷分值的16%，而全国Ⅰ卷文科、全国Ⅱ卷文（理）科、天津卷、江苏卷、上海卷中是一道客观题和一道主观题，共17分，占全卷分值的11.3%.考查形式、题型分布及分值比例与往年基本持平，有很高的稳定性.在全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷中出现多选题，北京卷中出现两个空的填空题，使试题形式更丰富.这是新高考题型的示范，为教学指引方向.3.文、理略异，趋同铺垫新高考2020年高考数学试卷中只有全国卷分别命制了文、理科试题.由于新高考将不再区分文科和理科，因此2020年全国卷的文、理科试题从内容到难度，差异较往年减小，姊妹题数量增加.在对圆锥曲线与方程的考查中：全国Ⅰ卷文科第21题与理科第20题相同，第11题不同，文科比理科少一道填空题；全国Ⅱ卷文科第9题与全国Ⅱ卷理科第8题相同，全国Ⅱ卷文、理科试卷第19题第（1）小题相同，第（2）小题的已知条件不同，但求解相同，方法相同；全国Ⅲ卷文科第7题、第21题与全国Ⅲ卷理科第5题、第20题相同，文科第14题不同.由此可以看出，文、理科试题虽有不同之处，但同根同源，体现趋同性，明确导向新高考.4.层次分明，数形结合思想贯穿始终《标准》对圆锥曲线与方程的要求有了解和掌握两个层次：圆锥曲线的实际背景、圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质、椭圆与抛物线的简单应用为了解；椭圆的定义、标准方程及简单几何性质为掌握.2020年高考数学试题对圆锥曲线与方程部分的考查层次分明，基础题和中档题均以抛物线和双曲线的定义、简单几何性质、位置关系为考查内容，部分较难的中档题和难题考查椭圆定义、标准方程、几何性质、简单应用，唯独上海卷的解答题考查圆和双曲线的组合，意在打破常规、力求创新，以考查学生的创新应用意识.同时，在试题中，数形结合思想这条主线贯穿始终，方程与曲线的表述与理解、代数与几何的转化与化归在数形结合中体现得淋漓尽致.5.综合性强，凸显思想育素养圆锥曲线与方程知识是平面几何、平面向量、直线与圆的知识的延续，可以将很多知识、方法（如三角形、直线位置关系、圆、向量、角度、长度、面积、坐标、方程、不等式及函数等）有机结合起来进行考查，体现在知识的交会处命题的基本原则.例如，全国Ⅰ卷理科第20题、全国Ⅲ卷理科第20题、全国新高考Ⅰ卷第22题、北京卷第20题、江苏卷第18题、浙江卷第21题，上海卷第20题综合性都较强，对学生要求较高.同时，试题凸显了数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想，为培育学生的数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养做好了指挥引领作用.二、命题思路分析1.注重对基础知识和基本方法的考查圆锥曲线的定义、方程、基本量、性质、位置关系是这部分知识的常规考查内容，要求学生既要对椭圆、双曲线、抛物线的共性建构良好的知识网络，又要对每种曲线的自身特点掌握得清楚准确，特别是区分不同曲线的定义、方程、基本量关系、性质、离心率的异同，这些知识容易混淆出错.借助平面直角坐标系将几何问题坐标化、用代数方法解决几何问题是解析几何的灵魂所在，因此建立方程或方程组、整体求解、设而不求等基本方法，通性、通法也是高频考点.命题围绕这些设置试题，突出考查学生对基本概念、基础知识、基本方法的掌握.例1（全国Ⅰ卷·理15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C 的离心率为.【评析】该题主要考查对双曲线的离心率、直线斜率、双曲线的几何性质的应用，属于基础题.可以用方程组求出||BF，或者联立方程求得点B的坐标，再或者直接用公式求得||BF，然后用斜率公式求得离心率.该题解法常规，在运算处理上较灵活，能够对学生数学思维、数学运算进行多角度考查.例2（全国Ⅱ卷·理19）已知椭圆C1：x 2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且||CD=43||AB.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若||MF=5，求C1与C2的标准方程.【评析】考查椭圆、抛物线的基本量a，b，c，p 之间的关系，相交弦长（通径），椭圆离心率，抛物线定义及方程，椭圆方程.注重学生对基本量、关系式、离心率、弦长等基础知识的掌握，要求学生弄清知识之间的区别与联系.该题求解方法简单，整体法求离心率亦常见，第（2）小题利用离心率得a，c的关系，化简方程是解答关键，很好地考查了学生的数学运算素养.除了联立方程求解外，还可以用圆锥曲线的统一定义表示焦半径，简化了运算，提高了解题速度和准确率.类似试题还有全国Ⅰ卷理科第4题、第15题，全国Ⅱ卷文科第19题，全国Ⅲ文科第14题，全国新高考Ⅰ卷第9题、第13题，全国新高考Ⅱ卷第9题，北京卷第7题、第12题、第20题，天津卷第7题，江苏卷第6题，浙江卷第8题，上海卷第10题.2.注重对圆锥曲线与其他知识的综合应用的考查在知识的交会处命题一直是高考数学命题的一大特点，圆锥曲线不仅是知识交会的高频考点，更是代数与几何的完美结合体，因此将圆锥曲线内容与章节内、章节间、学段间、学科间的知识综合，既体现知识的连贯性，又体现知识的交叉性，既考查学生学习的延续性，也考查学生的综合能力.2020年高考数学试题中综合考查了圆锥曲线的方程、离心率、渐近线、弦长、交点，以及三角形的面积、周长等，综合考查圆锥曲线与向量、不等式、函数、解三角形的交会，其中不乏对特殊三角形、圆、线段中垂线等初中平面几何知识的考查，以及几何性质与代数表达式之间互相转化的考查，能有效检测学生的思维能力与水平.例3（全国Ⅲ卷·理11）设双曲线C：x2a2-y2b2=1 ()a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a的值为（）.（A）1（B）2（C）4（D）8【评析】该题综合考查双曲线的定义、离心率、焦点直角三角形、三角形面积，要求学生不仅熟练掌握知识，还要熟悉求解方程组的方法，是一道题型常见、思路常规的综合性试题.例4（江苏卷·18）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B.（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP⋅QP的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标.【评析】考查椭圆的定义、直线与椭圆相交、向量数量积和点到直线的距离.第（2）小题中数量积的最值问题考查函数与方程思想，将最值问题转化为函数问题求解的关键点是选取变量，明晰点P，Q的主、被动关系，特别是OP的纵坐标为0，即点Q的纵坐标对数量积没有影响，从而可以不求点Q的纵坐标，这是降低该题难度的关键点，需要学生有极强的数学运算素养.第（3）小题考查三角形的面积关系，实质是考查点到直线的距离，需要学生看到问题的本质，即当三角形的一边为定值时，面积取决于这一边上的高，进一步将高的值转化为椭圆上的点到直线的距离，即直线和椭圆的位置关系.这一系列问题将圆锥曲线与三角形、向量、函数、直线，以及距离流畅地结合起来，在综合考查学生基础知识的同时，考查学生灵活运用转化与化归思想以及数形结合思想解决问题的能力.例5（全国Ⅲ卷·理20）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1()0<m <5的离心率为，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且||BP =||BQ ，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积.【评析】该题是以直线与椭圆相交成图，考查三角形面积的综合问题，试题表述简洁，脉络清晰，是常规题型，但是试题却不易找到解题突破口.利用垂直关系证得三角形全等，然后用三角形全等求得关键点P ，Q 的坐标是求解该题的切入点，要求学生认识知识的联系性，将圆锥曲线与初中三角形知识自然地糅合在一起，考查学生对初中所学知识的延伸及初高中知识的融合应用，对学生的跨学段知识综合应用能力要求较高.此类型的试题还有全国Ⅰ卷文科第11题、全国Ⅱ卷理科第8题、全国Ⅲ卷文科第21题、全国新高考Ⅱ卷第21题、天津卷第18题、上海卷第10题.3.注重对数学思维、核心素养的考查《标准》对高考数学命题提出明确要求：注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，充分考虑对教学的积极引导作用；要适度增加试题的思维量，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成.“一核”“四层”“四翼”的新高考评价体系也明确核心素养、关键能力等考查内容和要求.2020年高考圆锥曲线与方程的相关试题，以此为依据，注重考查数学思想方法、理性思维和学科核心素养，考查学生通过平面直角坐标系将图形定位、量化，利用代数（方程、方程组）研究平面图形的几何性质，将对数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想、分类讨论思想的考查不动声色地浸润在试题里，使学生在解题中充分展示分析问题、解决问题的能力，同时注重对数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的考查，对数学教学起到很好的引导作用.例6（全国新高考Ⅰ卷·22）已知椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1()a >b >0的离心率为，且过点A ()2，1.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值.【评析】该题为全国新高考Ⅰ卷的压轴题，第（2）小题是圆锥曲线中的定点、定值问题，特别之处是并不知道定点Q 的具体位置，需要学生自己寻找，增加了试题的难度.首先，学生要分析点M ，N 在椭圆上运动的过程中的变量和不变量，找出直线MN 过定点E ；其次，求得定点E 的坐标，并能在由点A ，D ，E 构成的直角三角形中找到定长.该题不仅在思维上起点高、难度大，在运算上亦是如此，设点、设线还需分类讨论验证，需要学生具有超强的运算功底.在解答过程中，充分体现对通性、通法的重视，对技巧的弱化，完整展现学生分析问题、解决问题的能力，对学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养有充分的检验作用.由于知识和思维跨度较大，数学运算繁杂，对学生综合能力要求较高，真正考查学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力.例7（上海卷·20）如图2，双曲线C 1：x 24-y 2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ，A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .图2（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F1PF2；（3）过点Sæèçöø÷0，2+b22且斜率为-b2的直线l交曲线Γ于M，N两点，用b的代数式表示OM⋅ON，并求出OM⋅ON的取值范围.【评析】该题是以双曲线系、圆系的交点为动点的轨迹问题，打破常规命题背景，有创新意识和应用意识.考查学生对曲线与方程的定义、双曲线的定义、直线与圆的位置关系、直线与直线的位置关系、向量数量积、函数最值的理解和综合应用.因为含有参数b使得轨迹不为学生所熟悉，所以要求学生对曲线方程的定义有较深的理解.第（3）小题中的直线l 与圆始终相切，切点为M是关键点，并观察直线l与一条渐近线平行，对学生的直观想象、逻辑推理素养要求较高，是一道以能力立意、考查素养、有创新意识的好题.此类型试题还有全国Ⅰ卷理科第20题、文科第21题，浙江卷第21题.三、复习建议通过对2020年高考圆锥曲线与方程试题的分析，可以看到试题对从基础知识、基本方法到运用基本数学思想解决数学问题的思维过程的考查，都体现了注重“四基”、能力立意、突出思维、落实素养的特点.因此，在高三复习过程中，要通过教学注重数学思想的渗透和学生思维能力的培养，让数学学科核心素养在课堂教学中生根发芽、开花结果.1.掌握知识，明辨异同，构建网络基础知识不仅是高考考查的重点，也是教学重点.高三复习首当其冲就是要把知识点弄清、理透、掌握牢.圆锥曲线部分的基本知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、位置关系，每个知识点所包含的内容很丰富.例如，圆锥曲线的定义，既有各自的定义，又有统一定义，还有其他方式的定义.又如，标准方程有焦点在x轴和焦点在y轴等.这些知识虽然靠记忆，但是学生容易混淆，因此复习时要让学生明晰同一知识点之间的联系与区别、圆锥曲线与圆锥曲线之间的联系与区别，牢固掌握基础知识.同时，复习不是知识点的简单重复与堆砌，复习是立足章节对所学知识的横向再认识，是站在数学学科角度对所学知识的纵向再认识，要高站位地建构横纵知识结构网络.2.注重通法，提升运算，渗透思想做题是复习课上必不可少的教学活动，《标准》在命题原则中明确提出：注重数学本质、通性和通法、淡化解题技巧.复习的例题、习题、试题要多选用通性、通法求解的题目，让学生熟练掌握通性、通法.圆锥曲线部分的内容特点决定了解题需要学生具有超强的运算能力，常用的运算方法、运算技巧、运算素养都需要在做题中提升.高中的运算不仅仅是简单的数的运算，更多的是式的运算，需要在理解运算对象的基础上，探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果，即数学运算素养.这需要依赖教师在教学中加强对学生运算能力的培养，不能只靠学生自己算，要重视学生在求解运算中的过程设计，如整体解法、方程思想、设而不求、点差法、同理法等.运算的速度、准确度在很大程度上决定解析几何试题的得分情况，提升运算能力、培养数学运算素养是圆锥曲线部分复习的重点和难点.教学中要有意识渗透数学思想，方程与函数思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想等在解题中贯穿始终，能很好地体现理性思维.3.提高能力，增强思维，培育素养能力立意，关注思维，培育核心素养是新高考命题的宗旨，也是高三复习的风向标.能力、思维、素养的培养都“润物细无声”地存在于教学过程之中，因此教学要从培育核心素养的角度思考复习方案和教学设计，并深入了解学生学习的困难，关注一题多解和多题一解的内容与题目，体现灵活性，放手让学生大胆尝试、引导学生有效反思，有助于强化学生思维，培养学生在面对新的问题情境时运用数学概念对问题进行抽象，用数学符号表达，用逻辑推理分析问题、解决问题的能力，让学生真正做到用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，以达到提炼学生思维品质，培养学生学科核心素养的课程目标.4.克服畏惧，锻炼意志，增强信心在高考数学试卷中，本专题试题繁冗的运算、大容量的思维使得学生有畏惧心理，很多学生给自己的定位是只做解答题第（1）小题，因此纵使有些试卷的解答题不难，考查结果却差强人意.例如，全国Ⅱ卷理科第19题，仍有很多学生没有做第（2）小题.高考不仅是对知识能力的检测，也是对心理素质的检测，复习中不能根据经验或规律，让学生将圆锥曲线与方程问题定性为难题而轻易舍弃，而要以此为契机培养学生面对较繁杂问题时耐心分析、善于转化的能力与勇气，要有意识选择一些基础题和中档题，引导学生在求解的过程中磨炼意志和耐心，克服畏惧心理，以平常心对待，增强“只要有足够的时间，我一定会做出来”的信念和信心.四、模拟题欣赏1.已知F 1，F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左、右焦点，点M 在E 上，若△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 1F 2=12，则双曲线E 的离心率为（）.（A ）3-1（B ）3（C ）3+1（D ）3或3+1答案：D.2.设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，则 OA ⋅OB 的值为.答案：-2716.3.若F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左、右焦点，且离心率为12，若过右焦点F 2的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求当△ABF 1面积的最大值为12时的椭圆标准方程.答案：x 216+y 212=1. 4.已知过椭圆x 24+y 2=1左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点，求直线l 的方程.答案：3x +10y +6=0.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知1是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的右焦点，离心率为，过点F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过椭圆左焦点F 2且斜率为k ()k >0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点M ，交直线x =-3于点N .求证：||OE ，||OM ，||ON 构成等比数列.答案：（1）x 23+y 22=1；（2）略.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］吴彤，徐明悦.2019年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（9）：24-27.［3］任佩文，张强，霍文明.2018年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：122-128.［4］范美卿，张晓斌.2016年高考“直线和圆”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2016（9）：2-8.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(答案解析)(5)
一、选择题1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．22．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（ ）A B C D 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞4．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．12C 1D 16．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．43D ．97．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．28．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ） A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：221x y +=和点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点()4,2B ，M 为圆O 上的动点，则2MA MB +的最小值为（ ）A ．B ．C D 11．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为A B ．2C D 12．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）A B C D ．2二、填空题13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．14．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.15．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.16．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．17．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.18．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2212x y -=相交于A ，B 两点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.19．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与椭圆：2212x y +=的右焦点重合． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）记(4,0)P ，若抛物线C 上存在两点B ，D ，使PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，求直线BD 的斜率的取值范围．22．椭圆2212x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，经过1F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆相交于A B ，两点． 求（1）线段AB 的长； （2）2ABF 的面积．23．如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，222:O x y b +=，点A 是椭圆C的左顶点，直线AB 与O 相切于点()1,1B -．（1）求椭圆C 的方程；（2）若O 的切线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的取值范围．24．已知椭圆222:1(1)x C y m m+=>，点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．（1）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（2）已知直线:5l y x =-，如果P 到直线l 的最小值为2，求m 的值． 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-． （1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右顶点，22AB =，离心率22e =.F 是右焦点，过F 点任作直线l 交椭圆于M ，N 两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线AM 与直线BN 的交点P 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴y p +1=2， 解得y p =1． 故选C ．考点：抛物线的简单性质．2．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)0到双曲线C 的渐近线223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．3．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.4．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.5．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故22c a +=，即)1c a =，故离心率12c e a ===. 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法： （1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=； （2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.6．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号， 故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.7．C解析：C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x =【详解】已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =， 可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=124y y ∴=-，()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选：C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12pAF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．B解析：B 【分析】 当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A B M，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =， 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+，所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长为AB ===k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．10．B解析：B 【分析】令2MA MC =，则12MA MC=，所以12MAMC==，整理22222421333m n m n x y x y ++-+++=，得2m =-，0n =，点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小可得答案.【详解】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=， 由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=， 设点(),C m n，则12MAMC==，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=， 即2m =-，0n =，点()2,0C -， 当点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小，最小为210.故选：B.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短.11．C解析：C 【分析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|PF 1|2 =|F 1F 2|2，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围． 【详解】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =， 所以122,4PF a PF a ==.在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，代入得()()()222242a a c +=，所以225c a =，即5e =故选C. 【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率.12．C解析：C【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.二、填空题13．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题【分析】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a∠=∠=，4tan tan 2bBOA BOF a∠=∠=，解方程即可求解. 【详解】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =， 由题得tan tan b BOF AOF a∠=∠=， ∴24tan tan 21()b b ba a BOA BOFb a a+∠==∠=-， 整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，232e =，即e =．【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.14．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.15．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，则(0312x ⨯=-， 解得023x =，则200143x y ==，所以，点M 的坐标为2313⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】设得到代入曲线整理得到答案【详解】设则即代入曲线得到即故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生的计算能力和转化能力确定坐标的关系是解题的关键 解析：24y x =【分析】设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案.【详解】设(),N x y ，()00,P x y ，则00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线得到()221221y x +=⋅+，即24y x =.故答案为：24y x =. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.17．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】先求出准线方程为代入双曲线方程可得AB 的坐标再由为直角三角形设中点为则即进而求解【详解】由题可知准线方程为因为与双曲线相交于AB 则为为因为为直角三角形由双曲线的对称性可得设中点为则即解得即所 解析：1y =-【分析】先求出准线方程为2py =-,代入双曲线方程可得A ,B 的坐标,再由ABF ∆为直角三角形,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =进而求解.【详解】由题可知准线方程为2p y =-, 因为与双曲线2212x y -=相交于A ,B ,则A为2p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,B为2p ⎫-⎪⎪⎭, 因为ABF ∆为直角三角形,由双曲线的对称性可得90AFB ∠=︒,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =解得24p =,即2p =, 所以准线方程为1y =-, 故答案为:1y =- 【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.19．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； （2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=； （3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=.故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了1【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121||2OP F F c ==， 又直线OP 的斜率为ba，∴(,)P a b ， 又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭， 又 ,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=， ∴2240e e --=，因为1e >，故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）方程为24y x =，准线为1x =-；（Ⅱ）2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0，即可求出p ，得出抛物线方程和准线； （Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程，可得1km <，表示出BD 中点M ，由题可得PM BD ⊥，由1PM k k=-建立关系可求. 【详解】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0， 抛物线与椭圆右焦点重合，12p∴=，即2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =，准线为1x =-； （Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+， 联立直线与抛物线方程24y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得()222240k x km x m +-+=， 则()2222440km k m ∆=-->，可得1km <，设()()1122,,,B x y D x y ，212122242,km m x x x x k k-∴+==， 设BD 中点为()00,M x y ，则120222x x km x k +-==，002y kx m k=+=，PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，则PM BD ⊥，则222212244PMk k k km km k k k -===-----，整理可得222km k =-， 1km <，则2221k -<，解得k <或k >，故直线BD的斜率的取值范围为2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.22．（1）7；（2）7. 【分析】（1）求出椭圆的左焦点1(1,0)F -，根据点斜率式可得AB 的方程，直线方程与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB 的长；（2）利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合（1）的结论，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】椭圆方程为2212x y +=，∴焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线AB 过左焦点1F 倾斜角为60︒，∴直线AB 的方程为1)y x =+，将AB 方程与椭圆方程消去y ，得271240x x ++= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12127x x +=-，1247x x =12||x x ∴-=因此，12||||AB x x =-=． (2）2F （1，0)到直线AB 的距离为：d ==212ABF SAB d == 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.23．（1）22142x y +=；（2）(OMN S ∈△. 【分析】（1）由点()1,1B -在O 上可得22b =，然后由OB AB ⊥可求出a ；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时利用弦长公式表示出MN 并求出其范围即可. 【详解】（1）由直线AB 与O 相切于点()1,1B -，可知点()1,1B -在O 上，则22b =， 又点(),0A a -，且OB AB ⊥，则10101101a--⨯=----+，解得2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=．（2）若切线斜率存在，设切线为0kx y m -+=，其中0k ≠，切线l 与椭圆C 交点()11,M x y ，()22,N x y ，则圆心到直线l的距离d ==()2221m k ∴=+，联立方程220142kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k()0,2MN ====，当切线斜率不存在时，此时2MN =，故O 的切线l 与椭圆C 相交弦长取值范围为(]0,2，又12OMN S d MN =⋅⋅=△，可得(OMN S ∈△． 【点睛】关键点睛：在解决圆锥曲线中的面积问题时，要善于观察图形的特点，怎么表示出面积是解题的关键.24．（1）min ||2PA =；max ||5PA =；（2）m =. 【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点间的距离公式，将问题转化为二次函数求最值.（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时，切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题，设与l 平行的直线方程为y x t =+，将直线与椭圆方程联立，则0∆=，可得t =，根据图形观察可知，当t =时，直线l 与其平行线距离最小，根据最小值即可求解. 【详解】解：（1）3m =，椭圆方程为2219x y +=，设(,)P x y ，则22222||(2)(2)19x PA x y x =-+=-+-2891(33)942x x ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭， ∴94x =时min 22PA =； 3x =-时max 5PA =．（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时， 切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题． 设与l 平行的直线方程为y x t =+，显然5t ≥-． 联立方程y x t =+和22220x m y m +-= 得：()222222120mxm tx m t m +++-=，由()()4222224410m t mm tm ∆=-+-=，得：22222210m t t m t m -+-+=， 即221t m =+，所以21t m =±+． 根据图形观察可知，当21t m =-+时，直线l 与其平行线距离最小．25122m -++=5t ≥-． 215m +≤，所以2512m +=， 213m +=，因此28m =， 故22m =±22m =． 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出21t m =±+5t ≥-，考查了计算求解能力.25．（1）24y x =；（2）2. 【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p=，则2p =， 因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --， 由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124y y k+=，1284y y k =-.因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PBy k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴， 所以()()122244PAPBPA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅()1212884424244y y y y k k-+++++===， 所以MF NF ⋅的值为2. 【点睛】 思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.26．（1）2212x y +=；（2）直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【分析】（1）根据题中条件，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到12y y +，12y y ，表示出直线AM 和BN 的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果. 【详解】 （1）2AB =2a ∴=a =设焦距为2c ，离心率e =2c a ∴=，1c ∴=， 2221b a c ∴=-=因此所求的椭圆方程为2212x y +=（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222210m y my ++-=， 12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+， 直线AM方程是y x =+，直线BN方程是y x =，由y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-+--⎡⎤ ⎪ ⎪-++--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭21312mm y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-+++⎣⎦=⎡⎤-+++⎣⎦((()(213121m m y ⎡⎤-+-+++=()221121m m y⎡⎤--++=(213==+3=+2x = 此直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【点睛】 关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据点P 为两直线交点，联立两直线方程，结合直线MN 与椭P 横坐标为定值，即可求解.。
新课程标准下高中数学圆锥曲线教学分析与研究
新课程标准下高中数学圆锥曲线教学分析与研究摘要：在高中数学教学实践中，圆锥曲线是非常核心的教学内容，更多以压轴题的形式出现。
作为高中数学中的难点内容，在圆锥曲线的教学实践中，教师应该充分全面的依托于新课程标准，全面变革圆锥曲线的教学方式，更好的提升圆锥曲线的教学成效，全方位提升高中数学的整体教学质量以及教学成效。
关键词：新课程标准；高中数学；圆锥曲线；教学分析伴随着新课程标准的落实，圆锥曲线的教学要求不断提升。
但部分教师在圆锥曲线的教学实践中，仍习惯采用传统的教学方法，这在很大程度上影响和制约着圆锥曲线的整体成效，也影响着学生的学习质量。
为此，在高中数学圆锥曲线的教学实践中，教师应该充分全面的依托于新课程标准，积极变革和创新圆锥曲线的教学方式，更好的提升圆锥曲线的教学成效，全方位优化学生的数学素养以及核心能力。
1以新课程标准为依托明确圆锥曲线教学要求作为高中数学中的教学重难点，在圆锥曲线的教学过程中，教师应该充分全面的依托于新课程标准的要求，不断实现圆锥曲线教学的“屡新”。
对比旧的课程标准，新课程标准对圆锥曲线的教学提出了新的要求，也增加了很多新的内容，这在很大程度上增加了教学难点，同时也影响着教师的教学思路。
若教师仍以旧的课程标准为基础来开展圆锥曲线的教学，势必会在很大程度上影响和制约着教学成效，也难以符合新课改以及新的考试大纲的要求。
为此，教师在圆锥曲线的教学实践中，应该充分对比与研究新的课程标准，继而完整全面的把握新的知识点。
比如在新课程标准下，圆锥曲线在以往知识的基础上，增加了一些天文方面的知识，利用天文知识和卫星的运转轨迹引出要讲解的知识点。
同时，在新课程标准下，教师应该充分全面的突出学生的主体性地位，不断优化和提升学生的自主学习能力。
学生才是学习的主体，在新课程标准下，教师应该充分全面的突出学生的主体性地位，引导学生积极主动的投身于数学学习实践中，更好的提升和优化学生的自学意识，引导学生深入开展数学探究工作。
高中数学平面几何中的圆锥曲线与方程解析
高中数学平面几何中的圆锥曲线与方程解析在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个重要的内容，它是解析几何的一个分支，与方程解析密切相关。
本文将以高中数学的角度，详细介绍圆锥曲线的基本概念、性质以及解析方程的应用。
一、圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是平面上一个点与一个定点的距离与一个定直线的距离之比为定值的点的轨迹。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的定义是一个点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的解析方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
在解析几何中，椭圆有许多重要的性质。
例如，椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部，且椭圆是对称的。
这些性质在解题过程中起到了重要的作用。
2. 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它的定义是一个点到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的解析方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$双曲线的性质与椭圆有很大的不同。
双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部，且双曲线也是对称的。
这些性质在解析几何中起到了重要的作用。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的定义是一个点到一个定点的距离等于一个定直线的距离的点的轨迹。
抛物线的解析方程为：$y^2 = 2px$抛物线的性质与椭圆和双曲线也有所不同。
抛物线是对称的，焦点在抛物线的内部，且抛物线的开口方向由系数p的正负决定。
二、解析方程的应用解析方程是研究圆锥曲线的重要工具，通过解析方程可以确定圆锥曲线的形状、位置以及与坐标轴的交点等。
1. 求解焦点坐标对于给定的圆锥曲线，可以通过解析方程来求解其焦点坐标。
以椭圆为例，已知椭圆的解析方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，我们可以通过求解方程组$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$和$(x - c)^2 + y^2 = a^2$来确定焦点的坐标。
研究圆锥曲线的参数方程和应用
研究圆锥曲线的参数方程和应用圆锥曲线是数学中一类重要的曲线形式，具有广泛的应用价值。
其中，参数方程是圆锥曲线研究中非常重要的工具，可以将曲线的表达式转化为方便求解的参数形式。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程以及它们在实际应用中广泛的使用情况。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个直接的平面截过一个圆锥体而形成的曲线。
圆锥曲线包括三种基本形式：椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆：指的是圆锥体上大于一个圆的平面截面。
在椭圆中，所有到两个焦点距离之和相等的点构成了曲线。
双曲线：指的是圆锥体上小于一个圆的平面截面。
在双曲线中，所有到两个焦点距离之差相等的点构成曲线。
抛物线：指的是圆锥体上与底面平行的平面截面。
在抛物线中，所有到定点距离等于焦距的点构成曲线。
这三种基本形式的圆锥曲线向往往都有许多重要的应用，比如在椭圆轨道问题、天文学、工程建筑等。
2. 圆锥曲线的参数方程一般情况下，我们用代数方程来表示曲线，但是在某些情况下，采用参数方程能够更好地揭示曲线的性质。
圆锥曲线也可以用参数方程来表示。
以椭圆为例，它的参数方程为：x=a*cosθy=b*sinθ其中，a、b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长度，θ是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
参数θ确定了曲线上的每一个点，这个点的坐标(x，y)可以通过参数θ计算出来。
同理，对于双曲线和抛物线，也可以采用参数方程来表示。
以双曲线为例，其参数方程为：x=a*coshθy=b*sinhθ同样，a、b表示双曲线在x 轴和y轴上的半轴长度，θ为参数。
抛物线的参数方程则为：x=a*ty=bt²其中，a和b为常数，t为参数。
不同的a和b可以绘制出不同的抛物线。
3. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在科学和技术领域中都有广泛的应用。
以下是圆锥曲线在不同领域的应用：（1）数学：圆锥曲线是数学中重要的研究对象，它们不仅具有许多美妙的性质，还可以被用于解决科学和工程中的各种问题。
通过求解参数方程，我们可以推导出圆锥曲线的各种性质，例如面积、周长、离心率、焦距以及抛物线的焦点等。
高中数学圆锥曲线教学的研究
高中数学圆锥曲线教学的研究一、教材的地位和作用在必修2中我们学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念及求法己经有一定理解，前面又详细学习了圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质，以及简单应用，通过抛物线的学习加深了学生对圆锥曲线统一的认识，提高对坐标法这一解析几何基本方法的应用能力，提高学生综合能力。
二、教材处置由于前面己经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质，己积累一定经验，对统一定义这一部分己有一定的自学能力，故本节在抓好基础知识的同时，注重激发学生学习的兴趣，同时注重学生在自我探索过程中发现知识，培养探究意识。
让学生成为一名自主的学习者和探索者，让学生处在一种对知识的追求状态中。
特别注重学生在课外研究性学习的开展(这是课内传统教学模式的有益补充)。
圆锥曲线统一定义很直观但非常关键，自学时指导学生特别注意和抛物线定义二者联系。
由抛物线定义引入新课，将比值1发生改变，曲线可以就是什么形状?学生先悖论，后从形和数两个方面展开检验。
从悖论——观测——检验——概括这一过程中，学生以获取了科学知识，而且增进了认知。
通过例题对科学知识展开运用，稳固了所学科学知识。
通过一题多求解，一题多样，并使学生产生了自学兴趣。
教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，留给学生更多的思考和探索，转变学习方式。
验证学生的结果。
三、顺利之处：1、教学方法上：参照巴班斯基的“教学过程最佳化”理论：“注重教学内容中主要的、本质的东西;将每堂课具体任务与整个教学任务合理地融合出来;挑选最合理的教学方法和手段。
”融合本节课的具体内容，奠定鼓舞探究式教学、互动式教学法展开教学这两种教学方法，彰显了心智心理学的基本理论。
2. 自学的主体上：课堂不再沦为“一言堂”，学生也不再就是教师转化成科学知识的“容器瓶”，课堂上以学生的主动参予提供更多充份的时间和空间，使相同程度的学生敢于刊登自己的各种观点(无论高下)，挑选出代表上讲台传授等作法，真正努力做到了“六使”：凡是学生能自己自学的、观测的、谈的(口头抒发)、思索探究的、合作交流的、动手操作方式的，尽量都认输让出学生回去搞、回去活动、回去顺利完成，这样可以调动学生自学积极性，加深师生距离，提升科学知识的可以接受度，使学生体会至他们就是自学的主体。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”(解析版)
圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF1+S△OPN S △OF 2N 为定值.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y1,Q x2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2x1-x2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A2,3；②该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；③点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1⊥PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合，过点P4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M m,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=m m>2交于点M，若直线MB，MF，MA的斜率k MB，k MF，k MA构成等差数列，求m的值.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x=12，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1，F2，F1F2=2，面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程；(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，△ABF2的周长为8.(1)若△ABF2的面积为1227，求直线AB的方程；(2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.10(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.11(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是4,且过点B0,1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：y=k x+2交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.14(2022届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.15(2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为2,两准线间的距离为26 3.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.16(2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C1:x24+y23=1,椭圆C2:y29+x24=1,A-2,0、B2,0.P为椭圆C2上动点且在第一象限,直线PA、PB分别交椭圆C1于E、F两点,连接EF交x轴于Q点.过B点作BH交椭圆C1于G,且BH⎳PA.(1)证明：k BF⋅k BG为定值；(2)证明直线GF过定点,并求出该定点；(3)若记P、Q两点的横坐标分别为x P、x Q,证明：x P x Q为定值.17(2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考)已知圆O ：x 2+y 2=2,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >2 的离心率为22,P 是C 上的一点,A 是圆O 上的一点,PA 的最大值为6+2.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点,PM 与圆O 相切于点N ,证明：PO 2=PM ⋅PN .18已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为8,离心率e =54.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为A 8,3 ,求直线l 的方程.圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N为定值.【解析】(1)由题意得a =2，设PF 1 ，PF 2 的长分别为m ，n ，m +n =2a =4则cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2-4c 22mn =m +n 2-4c 2-2mn 2mn =2b 2mn-1≥2b 2m +n 22-1=2b 2a2-1，当且仅当m=n 时取等号，从而2b 2a 2-1=12，得b 2a 2=34，∴b 2=3，则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)得F 1-1,0 ，F 21,0 ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线PM 的方程为x =x 0+1y 0y -1，直线PN 的方程为x =x 0-1y 0y +1，由x =x 0+1y 0y -1x 24+y 23=1，得3x 0+1 2y 02+4 y 2-6x 0+1 y 0y -9=0，则y 0y 1=-93x 0+1 2y 02+4=-9y 023x 0+1 2+4y 02=-9y 023x 02+4y 02+6x 0+3=-3y 022x 0+5，∴y 1=-3y 02x 0+5，同理可得y 2=-3y 05-2x 0，所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N =12OF 1 y 0 12OF 1 y 1 +12OF 2y 0 +y 2 12OF 2 y 2 =-y 0y 1+y 0y 2+1=-y 0-3y 02x 0+5+y 0-3y 05-2x 0+1=133.所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N 为定值133.2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由已知得b =1，c =1，所以a =2，椭圆的方程为y 22+x 2=1，当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1⋅x 2=-1k 2+2，∴CD =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+22+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时，AC ⎳BD ，不符合题意，当l 与x 轴不垂直时，设l ：y =kx +t ，则P -tk ,0 ，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1 得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0，∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2，x 1x 2=t 2-22+k 2，又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1)，直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1)，由y =y2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1) 可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1)，即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1)，kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1)，kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ，k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ，k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2，4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k 2-k x 2-x 1 ，即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ，得x =-k t，∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ，∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1，所以OP ⋅OQ=1为定值.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】(1)∵椭圆离心率e =c a =22，∴c 2=12a 2，则b 2=a 2-c 2=12a 2，当C 为椭圆右焦点时，PC =b 2a =12a ；∵S △PAC =2S △POC =2×12c ⋅12a =12ac =24a 2=2，解得：a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1.(2)由题意可设直线AP :y =kx k >0 ，P x 0,kx 0 ，B x 1,y 1 ，则A -x 0,-kx 0 ，C x 0,0 ，∴k AC =kx 0x 0+x0=k2，∴直线AC :y =k2x -x 0 ；由y =k 2x -x 0x24+y22=1得：k 2+2 x 2-2k 2x 0x +k 2x 20-8=0，∴-x 0+x 1=2k 2x 0k 2+2，则x 1=2k 2x 0k 2+2+x 0，∴y 1=k 2x 1-x 0 =k 22k 2x 0k 2+2+x 0-x 0=k 3x 0k 2+2，∴B 2k 2x 0k 2+2+x 0,k 3x 0k 2+2；∴PB =2k 2x 0k 2+2,-2kx 0k 2+2，又PA =-2x 0,-2kx 0 ，∴PA ⋅PB =-2x 0⋅2k 2x 0k 2+2+-2kx 0 ⋅-2kx 0k 2+2=0，则PA ⊥PB ，∴∠APB 为定值90°.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点坐标为x 0,y 0 ，AB :y =32x +m 所以有x 0=x 1+x 22y 0=y 1+y 22，联立x 24+y 29=1y =32x +m，得9x 2+6mx +2m 2-18=0，得Δ=6m 2-4×92m 2-18 >0，得m 2<18，由韦达定理可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以y 1+y 2=32x 1+m +32x 2+m =32x 1+x 2 +2m =m ，所以x 0=-m 3y 0=m 2，化简得：y 0=-32x 0，所以线段AB 的中点在直线y =-32x 上.(2)由题可知PA ，PB 的斜率分别为k PA =y 1-322x 1-2，k PB =y 2-322x 2-2，所以k PA +k PB =y 1-322x 1-2+y 2-322x 2-2=y 1-322 x 2-2 +y 2-322 x 1-2x 1x 2-2x 1+x 1 +2，因为y 1=32x 1+m ,y 2=32x 2+m 得k PA +k PB =3x 1x 2+m -32 x 1+x 1 -22m +6x 1x 2-2x 1+x 1 +2由(1)可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以k PA +k PB =32m 2-189 +m -32 -23m -22m +62m 2-189-2-23m+2=0，又因为P 2,322在直线l 的左上方，所以∠APB 的角平分线与y 轴平行，所以△PAB 的内切圆的圆心在x =2这条直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ,因离心率为32,则c a =32,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线F 1F 2的距离最大,则有S △F 1PF 2max =12⋅2c ⋅b =bc ,于是得bc =3,又a 2=b 2+c 2,联立解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1.(2)由(1)知,点F 23,0 ,当直线斜率存在时,不妨设l :y =k (x -3),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k (x -3)x 2+4y 2=4消去y 并整理得,(1+4k 2)x 2-83k 2x +12k 2-4=0,x 1+x 2=83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k2,假定在x 轴上存在定点Q 满足条件,设点Q (t ,0),则QA ⋅QB=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+k 2(x 1-3)(x 2-3)=(1+k 2)x 1x 2-(3k 2+t )(x 1+x 2)+t 2+3k 2=(1+k 2)⋅12k 2-41+4k 2-(3k 2+t )⋅83k 21+4k 2+t 2+3k2=(4t 2-83t +11)k 2+t 2-41+4k 2,当t 2-4=4t 2-83t +114,即t =938时,QA ⋅QB =t 2-4=-1364,当直线l 斜率不存在时,直线l ：x =-3与椭圆C 交于点A ,B ,由对称性不妨令A 3,12 ,B 3,-12,当点Q 坐标为938,0时,QA =-38,12 ,QB =-38,-12 ,QA ⋅QB =-38,12⋅-38,-12 =-1364,所以存在定点Q 938,0,使得QA ⋅QB 为定值-1364.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 代入圆锥曲线方程作差,得到关于y 1-y 2x 1-x 2,x 1+x 2,y 1+y 2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±bax ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得ba=3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 23,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1 ,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．【解析】(1)由题意可得b =3e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得a =2b =3c =1，故椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)λ+μ为定值-83，理由如下：由(1)可得F 1,0 ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y =k x -1 ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则M 0,-k ，联立方程y =k x -1x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，则Δ=-8k 2 2-44k 2+3 4k 2-12 =144k 2+1 >0,x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3，MP =x 1,y 1+k ,PF =1-x 1,-y 1 ,MQ =x 2,y 2+k ,QF=1-x 2,-y 2 ，∵MP =λPF ，MQ =μQF ，则x 1=λ1-x 1 x 2=μ1-x 2 ，可得λ=x11-x 1μ=x 21-x2，λ+μ=x 11-x 1+x 21-x 2=x 1+x 2 -2x 1x 21-x 1+x 2 +x 1x 2=8k 24k 2+3-24k 2-12 4k 2+31-8k 24k 2+3+4k 2-124k 2+3=-83(定值).2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可知2a =4,a =2，则椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 即x 24+y 2b 2=1，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23，故设P x 0,22x 0 ，∴x 20+22x 0 2=3，解得x 20=2，将P x 0,22x 0 代入x 24+y 2b 2=1得x 024+x 022b 2=1，即24+22b2=1，故b 2=2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P (x 0,y 0),x 0∈[-2,2]，则Q (-x 0,-y 0)，则x 204+y 202=1,∴x 20+2y 20=4，由椭圆方程x 24+y 22=1可得A (-2，0)，∴直线PA 方程为︰y =y 0x 0+2(x +2)，令x =0可得M 0,2y 0x 0+2，直线QA 方程为：y =y 0x 0-2(x +2)，令x =0得N 0,2y 0x 0-2，假设存在定点T ，使得∠MTN =90°，则定点T 必在以MN 为直径的圆上，以MN 为直径的圆为x 2+y -2x 0y 0x 02-42=16y 02x 20-42,即x 2+y 2-4x 0y 0x 20-4y +4y 20x 20-4=0，∵x 20+2y 20=4，即x 20-4=-2y 20,∴x 2+y 2+2x 0y 0y -2=0，令y =0，则x 2-2=0，解得x =±2，∴以MN 为直径的圆过定点(±2,0)，即存在定点T (±2,0)，使得∠MTN =90°．3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22-x 2=1的焦点重合，过点P 4,0 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点.【解析】(1)由双曲线y 22-x 2=1得焦点0,±3 ，得b =3，由题意可得b =3a 2=b 2+c 2e =c a =12 ，解得a =2，c =1，故椭圆C 的方程为；x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =k x -4 ，点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则点E x 2,-y 2 .由y =k x -4x 24+y 23=1，得4k 2+3 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，Δ=32k 2 2-44k 2+3 64k 2-12 >0，解得-12<k <12，从而x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2-124k 2+3，直线AE 的方程为y -y 1=y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 ，令y =0得x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2，又∵y 1=k x 1-4 ，y 2=k x 2-4 ，则x =kx 1x 2-4 +kx 2x 1-4 k x 1-4 +k x 2-4 =2x 1x 2-4x 1+x 2x 1+x 2-8，即x =2⋅64k 2-124k 2+3-4⋅32k 24k 2+332k 24k 2+3-8=1，故直线AE 与x 轴交于定点1,0 .4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1经过点2,-3 ，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2，是否存在x 轴上的定点M m ,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率±b a =±3或±33，即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时，由4a 2-9b 2=1得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时，方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ，假设存在定点M m ,0 满足题意，则MA ⋅MB =0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l :y =k x -2 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0，∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0，整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0，由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时，MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l :x =2，则A 2,3 ，B 2,-3 ，当M -1,0 时，MA =3,3 ，MB =3,-3 ，∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，l :y =0，则A -1,0 ，B 1,0 ，∵M m ,0 ，∴MA =-1-m ,0 ，MB=1-m ,0 ，∴MA ⋅MB=m 2-1=0，解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ，∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2+m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1，即m =-1时，MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P 到定直线x =4的距离，是它与定点F 1,0 的距离的两倍.(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)过F 点作两条互相垂直的直线l 1，l 2(直线l 1不与x 轴垂直).其中，直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，直线l 2交曲线C 于E ，N 两点，直线l 2与直线x =m m >2 交于点M ，若直线MB ，MF ，MA 的斜率k MB ，k MF ，k MA 构成等差数列，求m 的值.【解析】(1)设点P x ,y ，由题，有PFx -4 =12，即x -1 2+y 2x -4=12，解得3x 2+4y 2=12，所以所求P 点轨迹方程为x 24+y 23=1(2)由题，直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y =k x -1 ，与曲线C 联立方程组得y =k x -1x 24+y 23=1，解得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则有x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3依题意有直线l 2的斜率为-1k ，则直线l 2的方程为y =-1k x -1 ，令x =m ，则有M 点的坐标为m ,-m -1k，由题，k MF =m -1k 1-m =-1k ，k MA +k MB =y 1+m -1kx 1-m+y 2+m -1kx 2-m=y 1x 1-m +y 2x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k x 1-1 x 1-m +k x 2-1 x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k ×2x 1x 2-1+m x 1+x 2 +2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2+1k ×m -1 x 1+x 2-2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2=k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2，因为2k MF =k MA +k MB ，所以k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2=-2k解得m -4 k 2+1 =0，则必有m -4=0，所以m =4.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l :x =12，点M 到l 的距离为d ，若点M 满足|MF |=2d ，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)过点F (2,0)且斜率不为0的直线与C 交于P ，Q 两点，设A (-1,0)，证明：以P ，Q 为直径的圆经过点A ．【解析】(1)设点M x ,y ，则d =x -12,MF =(x -2)2+y 2，由MF =2d ，得(x -2)2+y 2=2x -12，两边平方整理得3x 2-y 2=3，则所求曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)设直线m 的方程为x =ty +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程x =ty +2,3x 2-y 2=3，消去x 并整理得3t 2-1 y 2+12ty +9=0,，因为直线m 与C 交于两点，故t ≠±33，此时Δ=(12t )2-43t 2-1 ⋅9=36t 2+1 >0，所以y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，而x 1+x 2=t y 1+y 2 +4,x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4.又AP =x 1+1,y 1 ,AQ=x 2+1,y 2 ，所以AP ⋅AQ=x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+93t 2-1-36t 23t 2-1+9=9-3t 2+1 3t 2-1+9=0.所以AP ⊥AQ ，即以P ，Q 为直径的圆经过点A .7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2 =2，面积为487的正方形ABCD 的顶点都在M 1上.(1)求M 1的方程；(2)已知P 为椭圆M 2:x 22a 2+y 22b 2=1上一点，过点P 作M 1的两条切线l 1和l 2，若l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x ,x ，由x 2a 2+x 2b 2=1，得x 2=a 2b 2a 2+b 2，所以2a 2b 2a 2+b 2×2a 2b 2a 2+b2=487，整理得12a 2+b 2 =7a 2b 2.①又a 2-b 2=F 1F 222=1，②由①②解得a 2=4，b 2=3，故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)由已知及(1)可得M 2:x 28+y 26=1，设点P x 0,y 0 ，则y 20=61-x 208.设过点P 与M 1相切的直线l 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，与x 24+y 23=1联立消去y 整理可得4k 2+3 x 2+8k y 0-kx 0 x +4y 0-kx 0 2-3 =0，令Δ=8k y 0-kx 0 2-4×4k 2+3 ×4y 0-kx 0 2-3 =0，整理可得x 20-4 k 2-2kx 0y 0+y 20-3=0，③根据题意k 1和k 2为方程③的两个不等实根，所以k 1k 2=y 20-3x 20-4=61-x 28 -3x 20-4=-34x 20-4 x 20-4=-34，即k 1k 2为定值-34.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1(-1,0)且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，△ABF 2的周长为8.(1)若△ABF 2的面积为1227，求直线AB 的方程；(2)过A ,B 两点分别作直线x =-4的垂线，垂足分别是E ,F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.【解析】(1)因△ABF 2的周长为8，由椭圆定义得4a =8，即a =2，而半焦距c =1，又a 2=b 2+c 2，则b 2=3，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，依题意，设直线AB 的方程为x =my -1，由x =my -13x 2+4y 2=12消去x 并整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m 3m 2+42+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，因此S △F 2AB =12F 1F 2 ⋅y 1-y 2 =12×2×12m 2+13m 2+4=1227，解得m =±1，所以直线AB 的方程为x -y +1=0或x +y +1=0.(2)由(1)知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则E -4,y 1 ，F -4,y 2 ，设直线EB 与AF 交点为M (x ,y )，则FA =(x 1+4,y 1-y 2),FM =(x +4,y -y 2)，EB =(x 2+4,y 2-y 1),EM =(x +4,y -y 1)，而FA ⎳FM ，EB ⎳EM ，则(x +4)(y 1-y 2)=(y -y 2)(x 1+4)，(x +4)(y 2-y 1)=(y -y 1)(x 2+4)，两式相加得：y (x 1+x 2+8)-y 2(my 1+3)-y 1(my 2+3)=0，而x 1+x 2+8>0，则y (x 1+x 2+8)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ⋅-93m 2+4+3⋅6m3m 2+4=0，因此y =0，两式相减得：2(x +4)(y 1-y 2)=-y 2(x 1+4)+y 1(x 2+4)=-y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)=3(y 1-y 2)，而y 1-y 2≠0，则x =-52，即M -52,0 ，所以直线EB 与AF 交于定点M -52,0 .9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.【解析】(1)由题意得2c =4，得c =2，所以a 2+b 2=4，因为点P 2,33在双曲线上，所以4a 2-13b 2=1，解得a 2=3,b 2=1，所以双曲线方程为x 23-y 2=1，(2)F (-2,0)，设直线l 1方程为y =k 1(x +2)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由y =k 1(x +2)x 23-y 2=1，得(1-3k 12)x 2-12k 12x -12k 12-3=0则x 1+x 2=12k 121-3k 12,x 1x 2=-12k 12-31-3k 12，所以x 1+x 22=6k 121-3k 12，所以AB 的中点M 6k 121-3k 12,2k 11-3k 12，因为k 1⋅k 2=-1，所以用-1k 1代换k 1，得N 6k 12-3,-2k 1k 12-3，当6k 121-3k 12=61-3k 12，即k 1=±1时，直线MN 的方程为x =-3，过点E (-3,0)，当k 1≠±1时，k MN =2k 11-3k 12--2k 1k 12-36k121-3k 12-6k 12-3=-2k 13(k 12-1)，直线MN 的方程为y -2k 11-3k 12=-2k 13(k 12-1)x -6k 121-3k 12，令y =0，得x =3(k 12-1)1-3k 12+6k 121-3k 12=-3，所以直线MN 也过定点E (-3,0)，所以S △OMN S △FMN =12y N-y M OE 12y M-y N FE =OE FE =310(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.【解析】(1)将点A 0,-1 代入x 23+y 2b 2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1又c 2=a 2-b 2=3-1=2,离心率e =c 2a 2=23=63(2)联立y =k x -1x 23+y 2=1,整理得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0设点E ,F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)由韦达定理得：x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ,令x =3,得y =3y 1+3x 1-1,即M 3,3y 1+3x 1-1直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ,令x =3,得y =3y 2+3x 2-1,即N 3,3y 2+3x 2-1MN =3y 2+3x 2-1-3y 1+3x 1-1=3×x 1y 2-x 2y 1+x 1-x 2x 1x 2 =3×k -1 x 1-x2x 1x 2=3×k -1x 1+x 22-4x 1x 2x 1x 22=3×k -1 ×232k 2+1k 2-1 =23×2k 2+1k +1 所以△AMN 的面积S =12×MN ×3=32×MN =33×2k 2+1k +1 =33即2k 2+1k +1 =1⇒2k 2+1=k +1 ,解得k =0或k =2所以k 的值为0或211(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长是4,且过点B 0,1 .(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l ：y =k x +2 交椭圆于P ,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意,得2a =4,b =1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =k (x +2)x 24+y 2=1,得x 2+4k 2(x +2)2-4=0,即(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,则x 1+x 2=-16k 21+4k 2,因为直线y =k x +2 恒过椭圆的左顶点(-2,0),所以x 1=-2,y 1=0,则x 2=-16k 21+4k 2+2=2-8k 21+4k 2,y 2=k (x 2+2)=4k1+4k 2,因为点B 始终在以PQ 为直径的圆内,所以π2<∠PBQ ≤π,即BP ·BQ <0,又BP =-2,-1 ,BQ=(x 2,y 2-1),则BP ·BQ=-2x 2-y 2+1<0,即4-16k 21+4k 2+4k 1+4k 2-1>0,即20k 2-4k -3<0,解得-310<k<12,所以实数k的取值范围为-310<k<12.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=p2,则C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2ac,所以4ac=42,则有ac=2ca=12a2=b2+c2,所以a=2,b=3,所以椭圆C1的方程为x24+y23=1,抛物线C2的方程为y2=8x.(2)依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,由x=ty-43x2+4y2=12,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=24t3t2+4,y1y2=363t2+4.根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).因为k NQ=k EQ,所以y2x2-m=-y1x1-m,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·363t2+4-(m+4)·24t3t2+4=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.。
高中数学圆锥曲线教学的分析和研究
园丁沙龙高中数学圆锥曲线教学的分析和研究■李佳摘要：圆锥曲线为高中数学解析几何部分的重点，其围绕坐标系、曲线方程等理论分析了椭圆、双曲线以及抛物线的相关性质。
不过，圆锥曲线部分的难度较大，学生若没有掌握学习技巧，非常容易混淆。
本文将对高中数学圆锥曲线部分的教学方法进行分析研究，仅供参考。
关键词：高中数学；圆锥曲线；教学圆锥曲线为高中数学课程中不可忽视的教学内容，通常情况下，教师会遵循由简到繁的原则组织课堂教学，以便于学生掌握基础知识，进而不断提升。
然而，在实际教学中可以发现，学生往往未灵活应用之前学过的知识，又要马不停蹄地理解、吸收新知识，容易引起多种问题，比如，学生错用、混用相关知识。
鉴于此，对圆锥曲线部分的教学方法进行探究非常必要，本文将着重探讨圆锥曲线的教学手段。
一、借助合作学习激发学生的学习热情就当前的情况来看，圆锥曲线依然是高中数学教学中的难点，这里的难不止涉及教学方法，还强调了教学语言的选择。
站在学生的角度，有相当一部分学生对圆锥曲线的理解不够深入，因为不懂、不会，他们的学习积极性不足，可能会从主观上放弃这一部分知识内容的学习，阻碍学生的进步。
对此，教师应善于使用合作学习这一有效手段来激发学生的学习热情，帮助学生不断克服学习过程中遇到的困难，降低学习难度，增强学生战胜难点的信心。
笔者认为，合作学习能为学生创造良好的学习氛围，提高圆锥曲线部分的课堂教学效果。
以人教版教材为例，教师组织教学时首先可以将学生分为不同小组，每个小组人数相同，组间同质，组内异质。
然后，要求学生以小组为单位构建相对简单的立体图形，其他小组则依据图形来画出该立体图形的三视图。
整个教学过程中，教师主要负责组织与引导，尽可能少干预小组内和小组间的交流沟通，让学生在开放的学习环境中逐渐建立空间观念。
需要注意的是，有些学生的空间想象能力存在欠缺，教师切忌操之过急，要尽可能为学生安排简单的学习任务，当他们形成一定的基本能力之后再适当提高难度，为后续的教学奠定基础。
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧深入研究
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧深入研究在研究圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧之前，我们先了解一下什么是圆锥曲线。
圆锥曲线是二维的曲线，它取决于一个平面和一个点，该点位于平面上，即曲线的焦点，而平面是曲线的准线。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
在研究圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧之前，我们需要了解一些前提知识。
首先，我们需要知道圆锥曲线的一般方程和参数方程。
对于椭圆和抛物线，它们的一般方程可以分别表示为：(1) 椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(2) 抛物线：$y^2=2px$其中，a和b分别代表椭圆的长轴和短轴长度，p代表抛物线的焦距。
对于双曲线，它的一般方程可以表示为：(3) 双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别代表双曲线的半轴长度。
除了一般方程之外，我们还可以使用参数方程来表示圆锥曲线。
对于椭圆和双曲线，它们的参数方程可以表示为：(4) 椭圆参数方程：$x=a\cos t, y=b\sin t$(5) 双曲线参数方程：$x=a\sec t, y=b\tan t$在掌握了圆锥曲线的一般方程和参数方程之后，我们可以进一步研究切线和法线的求解技巧。
切线是与曲线相切于一点的直线，而法线是与切线垂直的直线。
对于椭圆和双曲线，我们可以使用导数的方法来求解切线和法线的方程。
首先，我们需要求解曲线在给定点的导数。
然后，根据切线的定义，我们可以使用点斜式或者斜截式来表示切线的方程。
对于法线，我们可以使用斜截式或者点斜式来表示。
以椭圆为例，假设我们要求解椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$在点P($x_0, y_0$)处的切线和法线。
我们首先需要求解椭圆在点P处的导数。
根据导数的定义，我们可以得到：$\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})=\frac{d}{dx}(1)$$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0$然后，我们可以将导数代入点斜式的方程来表示切线的方程。
关于高二数学教学实践的研究——以圆锥曲线方程的教学为例
关于高二数学教学实践的研究——以圆锥曲线方程的教学为例摘要: 高中数学难点颇多，学生很难理解。
教师在授课时也要反复讲解多次，所以对于高中数学的教学，一定要具备多元化、科学化。
作为教师应该合理设计科学方案，适当的提高学生的兴趣。
触发学生的想象力，不断开拓思维，才可以充分理解高二数学中的内容。
高中数学在高考时占有150分的分值，每个学生都非常重视，每一位老师也很重视。
但是难点颇多的数学科目，的确让很多学生困惑。
关键词:高二数学；圆锥；引言:高中三年，高二数学课本中囊括的知识点最多，同时所有的难点也会在这本书中体现，尤其是针对于圆锥曲线方程这一部分，有很多学生在这里会遇到瓶颈。
看到题目以及图片的时候，根本没有解题思路。
数学存在于很多的抽象性，所以学生要具备创造能力，才可以开拓思维，在高二数学教学中，首先要改变不想以及模式，找到更为合理的方法引导学生学习圆锥曲线方程。
在高中数学具有较强的抽象性，例如圆锥这一课时，有些学生在没有读懂题目的时候，看到图形就已经糊涂了。
这说明高数真的有很多难点，所以对教师提出了更大的挑战。
作为教师，首先在教学方面要具有创造性，才可以让学生理解本课时的内容。
本文主要以高二数学的教学模式展开研究，力求让学生扎实掌握知识点。
一、高二数学问题解决教学主要模式1.充分利用教材内容在教材中包含了许多公式，而这些公式都可以成为最好的工具，教师应适当转变自身观念，同时以教材为主与学生展开研究。
例如在讲解圆锥问题时，有些同学注意力不集中，此时教师应该有针对性的对学生展开提问，例如:标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心(a,b),半径=r>0，中的xy分别代表什么，作为基础公式，学生首先应该将其背记，并且也要分析每一个字母以及等式两边的含义，最终要达到对公式理解记忆。
2.补充与所学知识相匹配的内容补充对于学习数学来讲也非常重要，具有连带关系的公式以及问题可以作为补充。
让学生大胆去创新，动手去画圆锥图形，在大脑中形成抽象图形，会发现公式并不是死记硬背的，而是要充分理解的。