【高中数学选择性必修】求曲线的方程
高中数学选择性必修一(人教版)《3.2.1双曲线及其标准方程》课件
法二：(定义法) 由题意知双曲线的两个焦点分别为 F1(0，－3)，F2(0,3)，且 A(4，－5)在双曲线上， 则 2a＝||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5， ∴a＝ 5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
(2)法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2， 0)．
由正弦定理，得 sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR(R 为△ABC 的外接圆半径)． 因为 2sin A＋sin C＝2sin B， 所以 2a＋c＝2b，即 b－a＝2c， 从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝2 2<|AB|.
[提醒] (1)分清双曲线的焦点所在的坐标轴是哪个． (2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
[对点练清]
已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同
时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 解：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B， 根据两圆外切的条件，得 |MC1|＝|AC1|＋|MA|， |MC2|＝|BC2|＋|MB|. ∵|MA|＝|MB|， ∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点 M 与两定点 C2，C1 的距离的差是常数 2，且 2<|C1C2|. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支，则 2a＝2， a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8. 因此所求动点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1)．
高中数学选择性必修一双曲线(习题课)
题型四 双曲线的综合问题
例 4 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 F1(－ 17，0)， F2( 17，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记 M 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两 点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2 17， 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，半焦距为 c，则 2a＝2，c＝ 17， 得 a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－1y62 ＝1(x≥1)． (2)设 T(12，t)，由题意可知直线 AB，PQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y－t＝k1(x－12)(k1≠0)，直线 PQ 的方程为 y－t＝k2(x－12)(k2≠0)，
＋2kx－2＝0.
4k2＋8（1－k2）＞0，
由题设条件得－1－2kk2＜0，
∴－ 2＜k＜－1.
－1－2 k2＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
则 Qx1＋2 x2，y1＋2 y2， y1＋y2
kPQ＝x1＋2 2x2＋2＝（x1y＋1＋x2y）2 ＋4. ∵x1＋x2＝k22－k 1，
( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B
>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围． 【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 由已知得 a＝ 3，c＝2，∴b＝1. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.
高中数学选择性必修第一册 专题研究二 求曲线的轨迹方程
探究 2 (1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个 是被动的．
(2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方 程：
①某个动点 P 在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点 M 随 P 的变化而变化； ③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律．
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专题研究二 求曲线的轨迹方程
专题讲解
例 1 设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的 轨迹方程．
【解析】 方法一(直接法)：设 OQ 为过 O 的一条弦，P(x，y)为其中点，则 CP⊥OP，OC 中点为 M12，0，
则|MP|＝12|OC|＝12，得方程x－122＋y2＝14，考虑轨迹的范围知 0<x≤1. 方法二(定义法)：∵∠OPC＝90°， ∴动点 P 在以 M12，0为圆心，OC 为直径的圆上，|OC|＝1，再利用圆的方 程得解．
探究 1 本题中的四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几 节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可．
例 2 设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x2＋2y2＝4 交于 A，B 两点，P 是 l 上满足P→A·P→B＝1 的点，求点 P 的轨迹方程．
【解析】 设 P(x，y)，A，B y2＝t2，1<t<3 与椭圆 C2：x92＋y2 ＝1 相交于 A，B，C，D 四点，点 A1，A2 分别为 C2 的左、右 顶点．求直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程．
【解析】 由椭圆 C2：x92＋y2＝1，知 A1(－3，0)，A2(3，0)． 设点 A 的坐标为(x0，y0)，由圆和椭圆的对称性，得点 B 的坐标为(x0，－y0)． 设点 M 的坐标为(x，y)，
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 本章总结提升
回到原来的位置,则该直线 l
2
的斜率为-3
解析 2a-2a+1=1,所以点(2,1)在直线上,A正确;
对3x-2y+4=0,令x=0,得y=2,直线3x-2y+4=0在y轴上的截距为2,B错误;
直线 3x+y+1=0 的斜率为- 3,倾斜角为 120°,C 正确;
因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①
又因为PQ垂直于直线x+y=2,
-1
所以 =1,即
- 1
x-y+y1-x1=0.②
联立①②解得
3
2
1
2
1 =
1 =
+
+
1
-1,
2
3
-1.④
2
③
又点 Q 在双曲线 x2-y2=1 上,所以12 − 12 =1.⑤
将③④代入⑤,得动点P的轨迹方程是2x3;64=0,得|BF|=8.
又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5.
根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.
又|OF|=c=5,故离心率
5
e= .
7
(2)点P是双曲线
2 2
− 2
2
=1(a>0,b>0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,且
解 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
高中数学选择性必修一2 5 直线与圆、圆与圆- (解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典2.5直线与圆、圆与圆 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。
一、单项选择题（本题共6小题，每小题满分5分）1．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 圆的圆心为原点，半径，原点到直线的距离，当时，，所以，直线与圆相交；反之，若直线与圆相交，则有，即，解得：，因此，根据充分、必要条件的概念，“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件，故选A ．主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法.2．若关于x 24430x x kx k -+-=有且只有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是( )A ．55,126⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦C ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．53,124【答案】D 【解析】 【分析】()2443x x k x -=-+由且只有两个不同的实数根，看成24y x x =-与()43y k x =-+有且只有两个不同的交点，即过()4,3的直线与以()2,0为圆心，2为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率k 的范围. 【详解】24430x x kx k -+-=有且只有两个不同的实数根，得()2443x x k x -=-+有且只有两个不同的实数根， 即24y x x =-与()43y k x =-+有且只有两个不同的交点，即过()4,3的直线与以()2,0为圆心，2为半径的半圆有且只有两个交点， 当直线与半圆相切时，圆心()2,0到直线430kx y k --+=的距离为2即22321k k -+=+，解得512k =， 当直线过()0,0时，斜率为34， 所以k 的取值范围为53,124. 故选：D. 【点睛】本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题.3．已知圆229x y +=的弦过点P （1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ）A ．250x y +-=B ．20y -=C ．20x y -=D ．10x -=【答案】A 【解析】由题意可得该直线与直线OP 垂直，又2OP k =，所以直线的斜率为12-，由点斜式可求得直线方程为250x y +-=，故选A.4．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．42C ．6D ．210【答案】C 【解析】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.考点：切线长5．过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的交点，且面积最小的圆的方程为（ ）.A ．22136165525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22138165525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．221384555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】由已知圆的标准方程，可得圆心、半径，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，再根据点到直线的距离公式和勾股定理可求出半径，由此即可求出圆的方程． 【详解】由题知，圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心为(1,2)C -，半径2r.设直线l 与圆C 的交点为A 、B ，如图所示，过C 作CD AB ⊥，则经过A 、B 两点面积最小的圆是以AB 为直径的圆. 由直线l 的方程为240x y ++=，CD AB ⊥可得，12CD k =， 所以CD 所在直线的方程为12(1)2y x -=+， 联立24012(1)2x y y x ++=⎧⎪⎨-=+⎪⎩，得13565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即136,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即D 为以AB 为直径的圆的圆心.又圆心C 到直线l 的距离5d ==，所以||BD ===，所以以AB ； 所以以AB 为直径的圆的方程为221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．6．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设()00,P x y ，根据点到直线的距离公式得出22000021x y x y +-=，再结合点P 在圆C上，得出2200021x y y +-=，联立两式，求解方程组，即可得出答案. 【详解】设()00,P x y ，由点P 到直线y x =的距离为22=两边平方整理得到22000021x y x y +-=①()00,x y 在圆C 上，()220012x y ∴+-=，即2200021x y y +-=②联立①②得()0010y x -= 解得00y =或01x =当00y =时，由①②可得201x =，解得01x =或01x =-，即(1,0)P 或(1,0)P -当01x =时，由①②可得20020y y -=，解得00y =或02y =，即(1,0)P 或()1,2P综上，满足条件的点P 的个数为3个 故选：C 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，属于中档题. 7．已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线420x y ++=相切.点P 在直线8x =上，过点P 引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如图所示，则直线AB 恒过定点的坐标为（ ）A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(1,0)D ．(0,1)【答案】A 【解析】 【分析】由圆C 的圆心为原点且与直线420x y ++=相切即得圆的方程，又PA ，PB 是它的切线，可知A ，B 一定在以OP 为直径4,2b ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆上，即AB 为两圆的公共弦，即可求出直线AB 的方程，进而找到定点 【详解】依题意知，圆C 的半径2242411r ==+且圆心为O∴圆C 的方程为2216x y += ∵PA ，PB 是圆C 的两条切线∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，即A ，B 在以OP 为直径的圆上若设点P 的坐标为(8,)b ，b R ∈，则线段OP 的中点坐标为4,2b ⎛⎫⎪⎝⎭∴以OP 为直径的圆的方程为2222(4)422b b x y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b R ∈，化简得2280x y x by +--=，b R ∈∵AB 为两圆的公共弦∴直线AB 的方程为816x by +=，b R ∈，即8(2)0x by -+= ∴直线AB 恒过定点(2,0) 故选：A 【点睛】本题考查了圆的切点弦过定点问题，首先根据已知条件求出两圆方程，由两圆过相同的两点，即有公共直线求出切点弦的直线方程，进而确定定点 8．已知点(,1),P t t t R -∈，点E 是圆2214x y +=上的动点，点F 是圆229(3)(1)4x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】由于两圆不在直线的同侧，先做出圆O 关于直线对称的圆1O ，把PF PE -转化为PF PE '-，若PF PE '-最大，必须PF 最大，PE '最小.【详解】 如图：依题意得点(,1),P t t t R -∈在直线1y x =-上， 点E 关于直线1y x =-对称的点E ', 点E '在圆2214x y +=关于直线1y x =-对称的圆2211:(1)(1)4O x y ++-=上，则PE PE '=，设圆229(3)(1)4x y -++=的圆心为2O ， 因为11PE PO E O ''≥-，22PF PO FO ≤+， 所以22112112()()224PF PE PF PE PO FO PO E O PO PO OO ''-=-≤+--=-+≤+=，当12,,,,P E F O O '五点共线，E '在线段1O 上，2O 在线段PF 上时“=”成立. 因此，PF PE -的最大值为4. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．已知圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=，直线:l y kx =．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点B ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切C ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D ．存在实数k 与θ，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为3 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得圆心(cos ,sin )M θθ-，半径1r =，且圆过原点，求出圆心到直线的距离，逐项判断，即可得出结论. 【详解】选项A ，圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=恒过原点(0,0)O ， 所以A 正确；圆心(cos ,sin )M θθ-到直线l 的距离为d ，|sin()|1d θϕ==+≤∴对于任意实数k ，直线l 与圆相交或相切，所以选项C 正确，选项B 不正确；圆上的点到直线l 距离最大值为12d +≤， 所以选项D 不正确. 故选:AC. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意点到直线距离公式的合理应用，属于中档题. 10．以下四个命题表述正确的是（ ） A ．直线()4120mx y m R +-=∈恒过定点()0,3B ．圆C ：2228130+--+=x y x y 的圆心到直线4330x y -+=的距离为2 C ．圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +--+=恰有三条公切线D ．两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为：260x y ++=【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线过的定点判断A 选项的正确性，根据圆心到直线的距离判断B 选项的正确性，根据两个圆的位置关系判断C 选项的正确性，根据相交弦所在直线方程判断D 选项的正确性. 【详解】对于A 选项，当0x =时3y =，所以直线过定点()0,3，故A 选项正确. 对于B 选项，圆C 的圆心为()1,4，到直线4330x y -+=的距离为412315-+=，所以B 选项错误.对于C 选项，圆1C 的圆心为()1,0-，半径为11r =；圆2C 的圆心为()2,4，半径为24r =.125r r ==+，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C 正确.对于D 选项，由22224402120x y x y x y x ⎧++-=⎨++-=⎩两式相减并化简得260x y -+=，所以D 选项错误.综上所述，正确的选项为AC. 故选：AC【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，考查直线过定点问题，属于中档题.11．如图()()()()2,0,1,11,12,0A B C D --,,，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω.则下面说法正确的是( )A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32π B ．CB 与BA 的公切线方程为：12=0x y +-- C ．AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程为：0x y -= D ．用直线y x =截CD 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由题知曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个四分之一圆，求面积和，可判断A ；设CB 与BA 的公切线方程，由直线与圆相切的条件，列方程组，可求得直线方程，即可判断B ；由两圆方程联立相减，则可求出AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程，可判断C ；由弦长公式求出弦长，可判断D. 【详解】各段圆弧所在圆方程分别为：CD ：22(1)1x y ++=，CB ：22(1)1y x +-=，BA ：22(1)1x y -+=曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个14圆，面积为22224πππ++⨯=+，故选项A 错误；设CB 与BA 的公切线方程为：(0,0)y kx b k b =+<>， 则221111b k b k k -++==++，解得1,12k b =-=+，所以CB 与BA 的公切线方程为：12y x =-++， 即120x y +--=，故选项B 正确；由22(1)1y x +-=及22(1)1x y -+=两式相减得：0x y -=即为交点弦所在直线方程，故选项C 正确；CD 所在圆的方程为22(1)1x y ++=，圆心为(1,0)-，圆心到直线y x =的距离为1222d -==， 则弦长为2221()22-=，故选项D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查圆的方程的运用，直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力，综合性较强，运算较繁杂..评卷人得分三、填空题12．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为________． 【答案】x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0 【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再联立直线和圆的方程求出公共点坐标，进而求出圆的半径和圆心，写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再利用圆系方程进行求解.试题解析：解法一：联立两圆方程22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由221221304320x y x y x y ⎧+---=⎨+-=⎩， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为221(51)(62)52++--=， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)． 可求得圆心1212162(,)2(1)2(1)C λλλλ----++．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴121216243202(1)2(1)λλλλ---⨯+⨯-=++，解得λ＝12. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________； （2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________．【答案】3 125【解析】 【分析】（1）设出公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可； （2）设出方程，分别表示出圆心到直线的距离1d，2d =，3d =，结合弦长公式求得k ，m 即可【详解】解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4,0)-，(4,0)，设公切线方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则22==，解得3k =±，0m =，故公切线方程为y x =，则Q 到直线l的距离d =， 故l 截圆Q的弦长3==； （2）设方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：1d2d，3d ，则22221234(4)4(4)4(9)d d d d =-=-=-，即有22=，①2249-=-，②解①得0m =，代入②得2421k =， 则2416144214(4)425121d ⨯=-=+，即125d =，故答案为：3；125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，公切线方程，方程思想，数形结合思想，属于中档题．14．定义：点()00,M x y 到直线22:0(0)l ax by c a b ++=+≠的有向距离为已知点(2,0)A-，(2,0)B，直线m过点(4,0)P，若圆22(6)36x y+-=上存在一点C，使得A，B，C三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m的斜率的取值范围是________.【答案】4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先设直线m的方程为(4)y k x=-，(,)C x y，根据A，B，C三点到直线m的有向距离之和为0得到120kx y k--=，再根据点C在圆22(6)36x y+-=上，即可得到直线m的斜率的取值范围.【详解】因为直线m的斜率存在，设直线m的方程为(4)y k x=-，即40kx y k--=，设(,)C x y，则A，B，C三点到直线m的有向距离之和为++=，化简得120kx y k--=.又点C在圆22(6)36x y+-=上，所以直线120kx y k--=与圆22(6)36x y+-=有交点，6≤，解得403k-≤≤.故答案为：4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，同时考查学生的分析问题的能力，属于中档题. 四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．在直角坐标系xOy中，直线l：40x-=交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切.（1）求圆O的方程；（2）设点()00,N x y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）03322x -≤≤；（3）()1,0，证明见解析 【解析】 【分析】（1）已知圆心()0,0O ，由点到直线的距离为半径，求出半径，即可得到圆O 的方程； （2）当NP 与圆O 相切时ONP ∠最大，可得2sin 452ON ≥︒=，求解出0x 的取值范围；（3）讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，易知点S 存在；当斜率存在时，由AMO BMO ∠=∠可得0AM BM k k +=，设直线方程并代入圆方程，由韦达定理求出m k =-，即可求出定点S . 【详解】（1）由题意，圆心()0,0O ，直线l 与圆O 相切，所以圆心到直线l 的距离即半径422r ===， 所以圆O ：224x y +=；（2）由题意，当NP 与圆O 相切时ONP ∠最大， 此时2sin OP ONP ON ON∠==， 在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，即2sin 45ON ≥︒=，ON ≤ 设点()00,3N x x -，则ON =，≤0x ≤≤（3）当直线L 斜率不存在时，L 与圆O 交于A 、B 两点， 则点A 和点B 关于x 轴对称，点M 在x 轴上，当0y =时，4x =，所以()4,0M ， 所以AMO BMO ∠=∠成立，点S 存在； 当直线L 斜率存在时，设直线L ：y kx m =+，代入圆O 方程，并整理得，()2221240k x kmx m +++-=， 设点()11,A x y ，点()22,B x y ，则12221km x x k +=-+，212241m x x k -⋅=+，若AMO BMO ∠=∠成立，即0AM BM k k +=，故1212044kx m kx m x x +++=--，整理得()()12122480kx x k m x x m --+-=， 将12221km x x k +=-+，212241m x x k -⋅=+代入得，()22242248011m kmk k m m k k -+--=++，化简得m k =-，所以直线L ：()1y k x =-，恒过定点()1,0. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和求定点问题，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.16．已知两个定点(4,0),(1,0)A B --，动点P 满足||2||PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-. （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的,C D 两点，且90COD ∠=（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1,2k Q =是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点为,M N ，探究：直线MN 是否过定点.【答案】（1）224x y +=（2）k =3）线MN 过定点1(,1)2-【解析】试题分析：（1）设点P 坐标为(),x y ，由2PA PB =，得：=整理即可得轨迹方程；（2）依题意圆心到直线l 的距离d =l 的斜率k ；（3）由题意可知：,,,O Q M N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设1,42Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其方程为()1402x x t y y t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，即：22402t x tx y y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，又,M N 在曲线22:4E x y +=上，4402MN t l tx y ⎛⎫=+--=⎪⎝⎭，即()4102y x t y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩可解得定点坐标. 试题解析：（1）设点P 坐标为(),x y 由2PA PB ==整理得：曲线的E 轨迹方程为224x y += （2）依题意圆心到直线l的距离d ==k ∴=（3）由题意可知：,,,O Q M N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设1,42Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 其方程为()1402x x t y y t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，即：22402t x tx y y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭又,M N 在曲线22:4E x y +=上，4402MN t l tx y ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即()4102y x t y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由0210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线MN 过定点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.17．如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）.规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于．．．圆O 的半径.已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C ，D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）.（1）若道路PB 和桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P ，Q 两点间的距离.【答案】（1）道路PB 的长为15（百米）；（2）不能，答案见解析；（3）(17321)+百米. 【解析】 【分析】（1）当道路PB 和桥AB 垂直，先确定出点P 的位置，根据题目条件，采用几何法求解；（2）分别假设点P 或点Q 位于点D ，分析道路PB 和QA 上的点到圆心O 的距离是否均不小于．．．圆O 的半径； （3）由题意分析可知，当PB 上所有点到圆心的距离均不小于圆O 的半径时，90OPB ∠≥，且当PB AB ⊥时，PB 最小，验证PB QA d ==时，QA 上的点到圆心O 的距离均不．小于．．圆O 的半径. 【详解】解：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E . 由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6DE BE AC ===，8AE CD ==.因为PB AB ⊥，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==， 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）不能，理由如下：①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连接AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以BAD ∠为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当90OBP ︒∠<时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当90OBP ︒∠≥时，对线段PB 上任意一点F ，OF OB ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当90OBP ︒∠>时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，15d ≥. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得15QA ≥，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当15QA =时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB AB ⊥点Q 位于点C 右侧，且321CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离17321PQ PD CD CQ =++=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为(17321)+百米. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系综合题，难度较大.解答时注意数形结合，灵活运用题目所给几何条件求解.18．已知()0,3A ，,B C 为222(0)x y r r +=>上三点.（1）求r 的值；（2）若直线BC 过点(0，2)，求ABC 面积的最大值；（3）若D 为曲线22(1)4(3)x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+，试问直线AB 和直线AC 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）3r =；（25（3）定值为：15-.【解析】 【分析】（1）由(0,3)A 为圆222:()0O x y r r +=>上的点即可得r ；（2）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，根据1211||2ABCSx x =-利用韦达定理即可求解； （3）直线AB 和直线AC 的斜率之积为m ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，0(D x ，0)y ，即可得121233y y m x x --=⇒2121223(1)()91m y y y y m +=-+--，12121(3)(3)x x y y m =--，由AD AB AC =+可得1212(3),D x x y y ++-，代入222125(1)4(3)()01m mx y y y y m +++=≠-⇒+=-，求得m 即可．【详解】解：（1）∵()0,3A 为圆()2220x y rr +=>上，所以()222030r r +=>∴3r =（2）由题意知直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为2y kx =+，()11,B x y ，()22,C x y 将2y kx =+代人229x y +=得，()221450kx kx ++-=所以1211||2ABCS x x =⋅⋅-=△令21k t +=，则ABC S ==△1t ≥ 当1t=，即0k =时ABC （3）设直线AB 和直线AC 的斜率之积为(0)m m ≠ 设()11,B x y ，()22,C x y ，()00,D x y 则121233y y m x x --⋅= ()()1212133x x y y m =--①，()()22122221233y y m x x --=因为B ，C 为圆222:O x y r +=上，所以22119x y +=，22229x y +=()()()()22122221233y y mq y q y --=--化简得()()()()222113333y y m y y --=++整理得()()2222113191m y y y y m +=-+--② 因为AD AB AC =+，所以()()()112200,,3,33x y x y x y -+-=-从而()1212,3D x x y y ++-，又因为D 为曲线()2214(3)x y y +-=≠-的动点 所以()()22121224x x y y +++-=展开得 ()()22221122121212224()44x y x y x x y y y y +++++-++=将①代入得 ()()()21121229933240y y y y y y m++--+-+=化简得 ()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=将②代人得()2121223(1)1()9(23)()9(1)01m m y y m y y m m ⎡⎤++-+--++++=⎢⎥-⎣⎦，整理得 ()212501m m y y m +⋅+=-， 因为2133y y +≠--所以120y y +≠从而250m m +=又0m ≠所以15m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．。
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3.2.1 双曲线及其标准方程(精讲)考点一 双曲线的定义及运用【例1】2．(2021·全国高二课时练习)动点P 到点(1,0)M 及点(5,0)N 的距离之差为2a ，则当1a =和2a =时，点P 的轨迹分别是( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线(2)(2021·全国高二课时练习)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为( ) A ．9B ．5C ．8D ．4(3)(2021·全国)设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F P 是双曲线C 上一点，且1260F PF ∠=︒.若12F PF △的面积为a =( )A ．1B ．2C ．4D (4)．(2021·全国高二课时练习)已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，()0,2M ，则PFM △的周长的最小值为( )A ．2+B ．4+C ．D ．3【答案】(1)C(2)A(3)D(4)A【解析】(1)由题意，知4MN =，当1a =时，||||224PM PN a -==<，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当2a =时，||||24||PM PN a MN -===， 点P 的轨迹为以N 为端点沿x 轴向右的一条射线．故选：C.(2)设右焦点为F '，则(4,0)F '，依题意，有||4PF PF '=+，||||||44549PF PA PF PA AF ''∴+=++≥+=+=，(当P 在线段AF '上时，取等号)．故||||PF PA +的最小值为9. 故选：A.(3)设2PF m =，1PF n =.由1260F PF ∠=︒，12F PF △的面积为可得222242cos601sin 602n m a c m n mn mn ⎧⎪-=⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，∴()2224416c n m mn a =-+=+①ca=a =故选：D.(4)设双曲线C 的左焦点为1F ，则12PF PF a -=．由题可知1a =，2c =， ∴12PF PF =+，()12,0F -，()2,0F ，∴MF =PFM △的周长为12MF MP PF MP PF ++=++． ∵当M ，P ，1F 三点共线时，1MP PF +最小，最小值为1MF = ∴PFM △的周长的最小值为2+ 故选：A 【一隅三反】1．(2021·河北定兴第三中学)已知双曲线221916x y -=的左右焦点1F ，2F ，P 是双曲线上一点，17PF =，则2PF =( ) A ．1或13 B ．1C ．13D ．9【答案】C【解析】根据双曲线定义可得1226PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =或213PF =， 又22225c a b =+=，解得5c =，即12210F F c ==， 又121210PF PF F F +≥=， 所以213PF =. 故选：C2．(2021·鹤山市第二中学)P 是双曲线x 2－y 2＝16左支上一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝( ) A ．4 B ．-4C ．8D ．－8【答案】D【解析】因为双曲线方程为x 2－y 2＝16，化为标准方程得2211616x y -=，即4a =，所以2128PF F a P -==，而点P 在双曲线左支上，于是12PF PF <， 所以218PF PF -=-． 故选：D ．3(2021·全国)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】不妨设P 是双曲线右支上一点，在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12， ∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，∴8＝4＋|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝4.故选：B考点二 求曲线的轨迹方程【例2】(1)(2021·全国高二课时练习)已知动点(),P x y 2，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支(2)(2021·全国高二课时练习)已知1F ，2F 为平面内两个定点，P 为动点，若12-=PF PF a (a 为大于零的常数)，则动点P 的轨迹为( ) A ．双曲线 B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线【答案】(1)D(2)D【解析】2=表示：动点(),P x y 到两定点()12,0F -，()22,0F 的距离之差等于2， 而1224F F <=，由双曲线的定义，知动点P 的轨迹是双曲线的右支． 故选：D (2)两个定点的距离为12F F ，当12a F F <，即1212PF PF F F -<时，点P 的轨迹为双曲线的一支； 当12a F F =，即1212PF PF F F -=时，点P 的轨迹为射线； 不存在1212PF PF F F ->的情况．综上所述，动点P 的轨迹为双曲线的一支或射线． 故选：D ． 【一隅三反】1．(2021·浙江丽水·高二期中)已知点Q 是圆22:16O x y +=(O 为坐标原点)上一动点，点)(5,0P ，若线段PQ 的垂直平分线交直线OQ 于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】D【解析】依题意，||4,||5OQ OP ==，因线段PQ 的垂直平分线交直线OQ 于点M ，于是得||||MP MQ =， 当点M 在线段QO 的延长线上时，||||||||||4MP MO MQ MO QO -=-==，如图，当点M 在线段OQ 的延长线上时，||||||||||4MO MP MO MQ QO -=-==，如图，从而得||||||45||MP MO OP -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线. 故选：D2．(2021·全国高二课时练习)已知圆1C ：()2231x y ++=和圆2C ：()2239x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为______．【答案】()22118y x x -=≤-【解析】如图所示，设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的条件，得11MC AC MA -=，22MC BC MB -=． 因为MA MB =，所以1122MC AC MC BC -=-， 即21212MC MC BC AC -=-=，所以点M 到两定点2C ，1C 的距离的差是常数且小于126C C =．根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支，其中1a =，3c =，则28b =．故点M 的轨迹方程为()22118y x x -=≤-．故答案为：()22118y x x -=≤-.考点三 双曲线的标准方程【例3】(1)．(2021·全国高二课时练习)等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则其标准方程为( )A ．22199x y -=B ．22199y x -=C ．2211818y x -=D ．2211818x y -=(2)(2021·全国高二课时练习)已知双曲线过点1⎛- ⎝⎭P和2⎫⎪⎪⎝⎭P ，则双曲线的标准方程为( ) A ．221916x y -= B ．221916y x -=C ．221169x y -=D ．221169y x -=(3)(2021·全国高二课时练习)中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【答案】(1)D(2)B(3)A【解析】(1)∵等轴双曲线的一个焦点为()16,0F -，∴6c =，且a=b ，又222c a b =+，∴2236a =，即218a =，∴双曲线的标准方程为2211818x y -=．故选：D(2)因为双曲线的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为()2210mx ny mn +=<．因为1⎛- ⎝⎭P，2⎫⎪⎪⎝⎭P 两点在双曲线上， 所以454141121619m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得11619m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是所求双曲线的标准方程为221916y x -=.故选：B ．(3)设等轴双曲线的方程为2222x y a b-，且22a b =，令y ＝0，得x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选：A. 【一隅三反】1．(2021·内蒙古乌兰浩特一中高二期末(文))已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到顶点的距离为1，且双曲线的一条渐近线与直线430x y +=垂直，则双曲线C 的方程为( )A ．22132x y -=B ．221169x y -=C ．22198x y -=D ．22123x y -= 【答案】B【解析】由题意得222134c a b a a b c-=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线的方程为221169x y -=．故选：B ．2．(2021·全国)已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |＝( ) A ．x 2－y 2＝6 B ．x 2－y 2＝9 C ．x 2－y 2＝16 D ．x 2－y 2＝25【答案】B【解析】设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB |＝a ＝3，故选B.3．(2021·全国高二课前预习)已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为( )A ．2212525x y -=B ．22199x y -=C ．2211616y x -=D ．2211616x y -=【答案】D【解析】解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x 2-y 2=16，即-=1.4．(2021·全国高二专题练习)已知双曲线22x a －22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为线的标准方程为( )A．24x－216y＝1 B．x2－24y＝1C．22x－23y＝1 D．x2－26y＝1【答案】A【解析】因为双曲线22xa－22yb＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，cac＝b4，则双曲线的标准方程为24x－216y ＝1.故选：A5．(2021·云南丽江第一高级中学高二月考(理))与椭圆C：2211612y x+=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为( )A．2212yx-=B．2221y x-=C．22122y x-=D．2212yx-=【答案】C【解析】因为椭圆C：2211612y x+=的焦点为()()0,2,0,2-；所以设双曲线的标准方程为()222210,0y xa ba b-=>>，则有22224311a ba b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得222a b==，所以方程为22122y x-=.故选：C.6．(2021·云南昆明·高二期末(理))双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的顶点焦点到C的一条渐近线的距离分C的方程为( )A．221123yx-=B．22143x y-=C．221312x y-=D．221412x y-=【答案】D【解析】双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点,()0F c±到渐近线0bx ay±=b==顶点(,0)A a±到渐近线0bx ay±=bac==由222b bac c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得224,12a b == 所以双曲线的方程为221412x y -=．故选：D。
高中数学选择性必修一课件：3.2.3双曲线的方程与性质的应用
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解：(1)由已知可设双曲线E的方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
c＝2， 则a42－b92＝1，
c2＝a2＋b2，
解得ba22＝＝31，，
所以双曲线E的方程为x2－y32＝1.
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(2)当直线l斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设直线l方程为y＝kx＋1.
3 3
，且右焦点为
F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°.根据
双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝ 3(x
－2)，分别与两条渐近线y＝
3 3
x和y＝－
3 3
x联立，求得M(3，
3 )，
N32，－ 23，所以|MN|＝
3－232＋ 3＋ 232＝3.
A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|. 提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况．
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2．中点弦问题 与弦中点有关的问题主要用点差法、根与系数的关系解决．另外， 要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题 解决．
－
y2 b2
＝1⇒y＝±ba2
.对于过双曲线一个焦点的弦
长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于x轴的弦，长度为
2ab2；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴2a.
过双曲线x2－y22＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点．
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若l⊥x轴，则AB为通径，而通径长度
高中数学选择性必修一课件：双曲线及其标准方程(第2课时)
(2)已知 F1，F2 分别为双曲线x52－y42＝1 的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一
点，点 A 在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( C )
A. 37＋4
B. 37－4
C. 37－2 5
D. 37＋2 5
【解析】 因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2 5，所以要求|AP|＋|AF2|的最小 值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
【解析】 双曲线的两个焦点 F1(－4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且 两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM| －|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
(2)如图，已知双曲线的方程为 x2－y42＝1，点 A 的坐标为(－ 5，0)，B 是圆 x2＋(y－ 5)2＝1 上的点，点 C 为其圆心，点 M 在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB| 的最小值．
思考题 1 (1)如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满 足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程． 【解析】 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
如图，连接 F1P 交双曲线的右支于点 A0.当点 A 位于点 A0 处时，|AP|＋|AF1| 最小，最小值为|PF1|＝ [3－（－3）]2＋12＝ 37.故|AP|＋|AF2|的最小值为 37－ 2 5.
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求曲线的方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.动点P到点(-1,2)的距离是3,则动点P的轨迹方程为( )A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=32.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=03.等腰三角形ABC底边两端点是A(-错误!未找到引用源。
,0),B(错误!未找到引用源。
,0),顶点C的轨迹是( )A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )A.9πB.8πC.4πD.π5.在平面直角坐标系中,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足错误!未找到引用源。
=α错误!未找到引用源。
+β错误!未找到引用源。
,其中α,β∈R,且α+β=1,O 为坐标原点,则点C的轨迹为( )A.射线B.直线C.圆D.线段二、填空题(每小题8分,共24分)6.直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=4,则点P的轨迹方程是.7.(2013·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-错误!未找到引用源。
,0),B(错误!未找到引用源。
,0)连线的斜率的积为定值-错误!未找到引用源。
,则动点P的轨迹方程为.8.(2013·揭阳高二检测)已知直线l:错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P 是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么?10.已知A,B分别是直线y=错误!未找到引用源。
x和y=-错误!未找到引用源。
x 上的两个动点,线段AB的长为2错误!未找到引用源。
,P是AB的中点.求动点P 的轨迹C的方程.11.(能力挑战题)在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.答案解析1.【解析】选A.由条件可知,点P的轨迹是以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆,方程为(x+1)2+(y-2)2=9.2.【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0. 【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),则x=错误!未找到引用源。
,y=错误!未找到引用源。
, ∴x0=2x+1,y0=2y-2.∵点P在直线2x-y+3=0上,∴2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.3.【解题指南】利用等腰三角形的性质知|CA|=|CB|.【解析】选B.∵△ABC为等腰三角形,∴|CA|=|CB|,∴点C的轨迹应是AB的中垂线,又∵C为AB中点时不能构成三角形,∴C的轨迹应是一条直线去掉一点.4.【解析】选C.设P(x,y),由|PA|=2|PB|,知错误!未找到引用源。
=2错误!未找到引用源。
.化简整理,得(x-2)2+y2=4,所以动点P的轨迹是圆心为(2,0),半径为2的圆,此圆的面积为4π.5.【解题指南】利用向量的坐标运算,建立方程组,把α,β用动点坐标(x,y)表示后代入α+β=1,整理即得点C的轨迹.【解析】选B.设C(x,y).∵错误!未找到引用源。
=α错误!未找到引用源。
+β错误!未找到引用源。
,∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),∴(x,y)=(3α-β,α+3β),∴错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。
∵α+β=1,∴错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1,即x+2y-5=0,∴点C的轨迹是一条直线.6.【解析】由错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=4知,x+2y=4⇒x+2y-4=0,∴P点的轨迹方程是x+2y-4=0.答案:x+2y-4=07.【解析】设P(x,y),由题意知,x≠±错误!未找到引用源。
,k AP=错误!未找到引用源。
,k BP=错误!未找到引用源。
,由条件知k AP·k BP=-错误!未找到引用源。
,∴错误!未找到引用源。
×错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
,整理得x2+2y2-2=0(x≠±错误!未找到引用源。
).答案:x2+2y2-2=0(x≠±错误!未找到引用源。
)【误区警示】解答本题时容易漏掉“x≠±错误!未找到引用源。
”这个条件.这是因为忽略了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避免因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.【变式备选】与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是.【解析】设P(x,y),则错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=-1,整理得x2+2xy=1(x≠±1).答案:x2+2xy=1(x≠±1)8.【解题指南】利用相关点法.【解析】如图,设P(x,y),∵P是线段AB上靠近A的一个三等分点,∴A(错误!未找到引用源。
x,0),B(0,3y),也即M(错误!未找到引用源。
x,3y).又∵M在直线错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=1上,∴错误!未找到引用源。
×错误!未找到引用源。
x+错误!未找到引用源。
×3y=1, 整理得3x+8y-8=0,这就是点P的轨迹方程.答案:3x+8y-8=09.【解析】设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得|AC|=|AB|,由两点间距离公式,得错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.化简,得(x-4)2+(y-2)2=10. 因为A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,且B,C不能为☉A的一直径的两个端点.因为B,C不重合,所以点C的坐标不能为(3,5).又因为点B,C不能为☉A的一直径的两个端点,由错误!未找到引用源。
=4,错误!未找到引用源。
=2,得x=5,y=-1.点C的坐标不能为(5,-1).故点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(点(3,5)和(5,-1)除外).点C的轨迹是以点A(4,2)为圆心,以错误!未找到引用源。
为半径的圆除去(3,5)和(5,-1)两点.【一题多解】∵△ABC为等腰三角形,∴|AB|=|AC|,又∵A(4,2),B(3,5)且|AB|=错误!未找到引用源。
,∴|CA|=错误!未找到引用源。
,即C的轨迹是以A为圆心,以错误!未找到引用源。
为半径的圆,∴方程为(x-4)2+(y-2)2=10.又A,B,C不能共线,故轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,5),其轨迹是以A(4,2)为圆心,以错误!未找到引用源。
为半径的圆除去(3,5)和(5,-1)两点.【拓展提升】轨迹方程中的“补点”与“去点”曲线的方程、方程的曲线的定义中要满足以下两点:(1)曲线上点的坐标都是方程的解.(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上.求动点轨迹方程要同时满足这两个条件,因此就要学会适时“补点”与“去点”:“补点”是指有时求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件作出补充.“去点”是求轨迹方程时,有些方程整理、变形会产生不合题意的点,应去掉.10.【解析】设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴错误!未找到引用源。
∵A,B分别是直线y=错误!未找到引用源。
x和y=-错误!未找到引用源。
x上的点,∴y1=错误!未找到引用源。
x1,y2=-错误!未找到引用源。
x2,∴错误!未找到引用源。
又∵|AB|=2错误!未找到引用源。
,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+错误!未找到引用源。
x2=12,∴动点P的轨迹C的方程为错误!未找到引用源。
+y2=1.11.【解题指南】解答本题应首先建立适当的平面直角坐标系,分别设出动点P,Q,R的坐标,采用平面几何的知识构造等式,消去参数变量即可以得到P的轨迹方程.【解析】分别以AB,AD边所在的直线为x轴,y轴建立直角坐标系.如图所示,则点A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设动点P(x,y).设|AQ|=t(0≤t≤1),则Q(t,0),由|BQ|=|CR|知|AQ|=|BR|,所以R(1,t).当t≠0时,直线AR方程:y=tx ①直线DQ方程为错误!未找到引用源。
+y=1 ②由②式得1-y=错误!未找到引用源。
③①×③得y(1-y)=tx·错误!未找到引用源。
,化简得x2+y2-y=0.当t=0时,点P与原点重合,坐标(0,0)也满足上述方程.故点P的轨迹方程为x2+y2-y=0(0≤x≤错误!未找到引用源。
,0≤y≤错误!未找到引用源。
).关闭Word文档返回原板块。