6-6总体方差的置信区间
第四节正态总体的置信区间
第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1. 两正态总体均值差 µ1 − µ 2的置信区间
2 σ1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 σ2
3. 小结
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为 第一个总体 N ( µ1 ,σ 1 )的样本 , Y1 ,Y2 ,⋯,Yn 为第二
要点回顾
无偏性 1. 估计量的评选的三个标准 有效性 相合性 2. 置信区间是一个随机区 (θ , θ ), 它覆盖未知参 间 ( 数具有预先给定的概率置信水平) , 即对于任
意的θ ∈Θ, 有 P{θ < θ < θ } ≥ 1−α. 求置信区间的一般步骤(分三步 分三步). 求置信区间的一般步骤 分三步
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（ 计
工人 操作 机器人 操作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00
2 σ1 , 由 X , Y 的独立性及 X ~ N µ1 , n1 2 2 σ1 σ 2 , + 可知 X − Y ~ N µ1 − µ 2 , n1 n2
2 σ2 , Y ~ N µ2 , n2
或
( X − Y ) − (µ1 − µ 2 ) ~ N (0, 1),
2 s1 s12 1 1 2 , 2 s F (6,7) s F (6,7) = ( 2.87,46.81). 0.95 2 2 0.05
这个区间的下限大于1，在实际中， 这个区间的下限大于 ，在实际中，我们就认为
概率论-6-4单个正态总体的置信区间
§6-1 参数的点估计 §6-2 估计量的评选标准 §6-3 参数的区间估计 §6-4 单个正态总体均值与方差的置信区间 §6-5 两个正态总体均值与方差的置信区间 §6-6 单侧置信限
§6-4 单个正态总体均值的置信区间
均值μ的置信区间
方差 的2 置信区间
设总体 X ~ N (, 2 )，X1, X 2,, X n 为来自总体X的样本. 样本均值：X ，样本方差：S 2 ，给定置信水平为：1
区间，使可信程度为95%。
解：这是 2未知，求 的置信区间
x
1259,
S2
1 4
5 i 1
( xi
x)2
570 4
由1- 0.95，知 0.05
又 t /（2 n 1） t0.02（5 4） 2.776 的置信水平为0.95的置信区间为：
X t / 2 (n 1)
s n
1259
507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
若依此区间内任一值作为 的近似值,
其误差不大于 6.2022 2.1315 2 6.61 (克). 16
这个误差的可信度为95%.
练习：某仪器间接测量温度，重复测5次：1250℃, 1265 ℃,
1245 ℃, 1260 ℃, 1275 ℃ ，设测量值，求温度真值的置信
解：这是 未知，求 2的置信区间
由 题x
503.75,
S2
1 15
16 i 1
( xi
x)2
6.20222
由1- 0.95，知 0.05
查 表 得 20.02（5 15） 27.488 20.97（5 15） 6.262
的置信水平为0.95的置信区间为：
两正态总体方差比的优化置信区间
19
F c2; n1 1, n2 1 F c1; n1 1, n2 1 = 1 (3)
所惟一确定．
证 明 采 用 Lagrange 乘 数 法 . 令
L=
1 c1
1 c2
+
F c2; n1 1, n2 1
F c1; n1 1, n2 1 1 + ，
对 L 分 别求关于 c1 和 c2 的 偏导数并 令之为零 , 得
摘 要：用传统方法得到的两正态分布方差比的置信区间显然不是最短的，因而就此意义而言也不 是最佳的．本文得到优化后的置信区间，并将它与传统的置信区间比较. 结果表明：优化后的最短置信 区间比原置信区间有较明显的改进．
关键词：置信区间；方差比； F分布 中图分 类号：O212.1 文献 标识码 ：A 文章 编号：1673-0143 2006 01-0018-02
格 单 调 递 减 的 . 为 使 （2） 式 有 实 数 解 , 且 c1 < c2，
要 求 0 < c1 < x0， 此 时 由 任 意 的 c1 可 惟 一 地 决 定 与
之 相 对 应 的 c2． 易 知 ，F x; n1 1, n2 1 分 布 的 密 度 函 数 与
hx
有类似的性质，它的峰值在 x =
是最优的，因为我们使用的统计量
F=
2 1
/
n1
2 2
/
n2
服从F分布，而这个分布的密度函数关于它的峰
值是极不对称的. F 分布密度函数曲线的偏倚程
度 随 着 第 二 参 数 n2 的 增 大 而 减 小 ， 但 是 由
f x ; n1, n2
L
1 n1
x2 n 1
n2 →
解释置信区间的含义模板
解释置信区间的含义模板示例1:题目：解释置信区间的含义引言：在统计学中，置信区间是一种量化统计数据不确定性的方法。
当进行样本调查或实验研究时，我们通常不能得到完整的总体数据，而只能通过采样得到一部分样本数据。
置信区间就是基于样本数据，根据统计推断方法得出的一个数值范围，用于估计总体某个参数的取值范围，并表明这个估计的可信程度。
本文将详细解释置信区间的含义及其模板。
主体：1. 置信区间的基本概念- 定义：置信区间是对总体参数的一个区间估计。
通常以估计值加减一个误差范围来表示，这个误差范围就是置信区间。
- 含义：置信区间表示了对总体参数估计的不确定性，它告诉我们有多大的置信度认为总体参数落在该区间内。
- 置信水平：是一个数值，代表置信区间的可信程度。
常见的置信水平有95和99，表示我们有95或99的信心认为总体参数落在该区间内。
2. 置信区间的计算方法- 样本均值的置信区间：当我们要估计总体均值时，可以使用样本均值的置信区间。
根据中心极限定理，样本均值的分布接近正态分布，从而可以使用正态分布的性质计算置信区间。
- 样本比例的置信区间：当我们要估计总体比例时，可以使用样本比例的置信区间。
根据二项分布的性质，可以通过估计样本比例的标准误差来计算置信区间。
- 其他参数的置信区间：对于其他的总体参数（如总体方差、总体差异等），也有相应的统计方法计算置信区间。
3. 置信区间的解释- 一个例子：假设我们想估计某个产品的平均寿命。
通过抽取一部分产品进行寿命测试，我们得到了样本的平均寿命及其标准差。
根据样本数据，我们可以计算出95的置信区间为[10, 15]。
这意味着我们有95的信心认为总体的平均寿命落在10到15之间。
- 置信区间的解读：置信区间并不是单个数值，而是一个范围。
置信区间越宽，表示估计的不确定性越高；置信区间越窄，表示估计的不确定性越低。
同时，置信水平越高，置信区间越宽；置信水平越低，置信区间越窄。
结论：置信区间是统计学中十分重要的概念，通过估计总体参数的范围和可信程度，使得我们能够更准确地进行决策和推断。
总体均值的置信区间
利用置信区间进行假设检验步骤
构造置信区间
首先根据样本数据构造出总体 均值的置信区间。
计算p值
为了进一步量化检验结果，可 以计算p值，即观察到的样本结 果或更极端结果出现的概率。
判断原假设是否成立
如果置信区间完全位于原假设 的拒绝域内，则可以拒绝原假 设；否则，不能拒绝原假设。
中心极限定理
即使原始数据不服从正态分布，只要 样本量足够大，样本均值的分布也会 趋近于正态分布，从而可以使用Z分 布法。
小样本情况下构建方法
t分布法
当样本量较小且总体方差未知时，样本均值的分布将服从t分布。此时，可以使用t分布法来构建总体 均值的置信区间。
Welch修正
当两个样本的方差不同或样本量不相等时，可以使用Welch修正的t检验来构建总体均值的置信区间。
样本量增加到一定程度后，置信区间收窄速度减缓
当样本量已经足够大时，再增加样本量对置信区间宽度的减小作用将变得有限。
如何确定合适样本量
根据预期效应大小确定样本量
考虑可接受的误差范围
如果预期效应较大，则所需样本量相对较 小；反之，如果预期效应较小，则需要更 大的样本量来检测这种效应。
在确定样本量时，还需要考虑可接受的误 差范围。较小的误差范围需要更大的样本 量来保证估计的精度。
总体均值估计方法
点估计
点估计是用样本统计量直接作为总体参数的估计值，例如用样本均值估计总体 均值。
区间估计
区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数的一个估计区间，即置信区间。 通过构造合适的统计量，并利用抽样分布理论，可以确定置信区间的上下限。
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
如何确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间在统计学中，置信区间是一种用来估计参数真实值范围的方法。
当我们知道总体均值，但方差未知时，我们需要确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间。
在本文中，我将以从简到繁的方式来探讨这个主题，让您能更深入地理解。
1. 正态分布总体的概念让我们简要回顾一下正态分布总体的概念。
正态分布是最为常见的概率分布之一，其特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的中心位置和宽度。
在统计学中，我们常常使用正态分布来描述连续型随机变量的分布情况。
2. 总体均值已知的情况当我们已经知道正态分布总体的均值时，我们可以通过样本来估计总体的方差。
我们可以利用样本方差来估计总体方差，然后构建置信区间来确定总体方差的范围。
3. 方差的置信区间估计为了确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间，我们可以利用卡方分布来进行估计。
卡方分布是一种特殊的概率分布，用于描述正态分布总体方差的抽样分布。
通过卡方分布的性质，我们可以构建出方差的置信区间，从而对总体方差做出估计。
4. 个人观点和理解在我的个人观点中，确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间是统计学中非常重要的一部分。
这不仅可以帮助我们对总体方差进行估计，还可以为我们后续的推断统计提供重要的依据。
通过合理地构建置信区间，我们可以更准确地对总体参数进行推断，并且可以对我们的结论进行更加可靠的评估。
总结通过本文的阐述，我们可以深刻理解确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间的方法。
我们需要对正态分布总体及其性质有一个清晰的认识。
我们可以利用样本数据来对总体方差进行估计，并且通过卡方分布来构建置信区间。
我也共享了我个人的观点和理解，希望可以为您对这个主题提供更多的思考。
在知识的文章格式中，可以使用序号标注来清晰地展示每个步骤的逻辑关系。
我希望本文的内容能够帮助您更好地理解正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间的确定方法。
在统计学中，确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间是一项重要的任务。