《金融数量分析 》第20章 非线性优化理论与方法
金融经济学非线性回归分析
图 3.1 yt =ae
bxt ut
, (b > 0)
图 3.2 yt ae =
bxt ut
, (b < 0)
⑵ 对数函数模型 yt = a + b Ln xt + ut (3.4)
b>0 和 b<0 两种情形的图形分别见图 3.3 和 3.4。 xt 和 yt 的关系是非线性的。 令 xt* = Lnxt, 则 yt = a + b xt* + ut 变量 yt 和 xt* 已变换成为线性关系。 (3.5)
Ln (k/yt) = ， 令 y*= Ln[Ln(k/yt)], b* = Lnb，则 y* = b* - a t 上式可用最小二乘法估计 b* 和 a。
Ln[Ln(k/yt)] = Lnb - a t
图 3.15
yt =
at be ke
Cobb-Douglas 生产函数 下面介绍柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数。其形式是 Q = k L C 1- (3.24)
图 3.5 yt = a xt be
ut
b 图 3.6 yt = a xt e
ut
⑷ 双曲线函数模型 1/yt = a + b/xt + ut 也可写成， yt = 1/ (a + b/xt + ut) yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中 ut 表示随机误差项。 (3.9) (3.10)
200 Y 150
0.08 1/Y 0.06
100
0.04
50
0.02
0 0 50 100 150 200
X
0.00
数学中的非线性优化算法
数学中的非线性优化算法非线性优化算法是一类应用于非线性优化问题的算法。
这类算法的优化目标函数通常是一个非线性函数，因此，在进行非线性优化时，需要考虑到函数本身的非线性性质，而不像线性优化问题那样只简单地寻找合适的线性方案即可。
在实际应用中，非线性优化算法与线性规划算法同样具有重要的地位。
例如，在工程中，我们经常需要通过优化非线性目标函数来寻找最优的工艺流程、产品材料、资源分配和生产布局等方案。
在金融领域，也需要使用非线性优化算法来找到投资组合中最理想的比例分配，以最大化收益并降低风险。
非线性优化算法的几类基本模型在非线性优化算法中，存在着多种基本模型。
这里简要介绍其中几种：1. 无约束优化模型无约束优化模型是指当目标函数的变量不受任何约束限制时所求的最优解。
在数学中，这种模型通常用以下形式表示：min f(x)，x∈R^n其中，x是自变量向量，f(x)是目标函数。
尽管看起来这是一个简单的问题，但实际情况并非如此。
在很多情况下，目标函数都是非线性函数，而且非常复杂，无法直接求出最小值。
因此，需要使用非线性优化算法来解决这个问题。
2. 约束优化模型与无约束优化模型相比，约束优化模型多出了一些约束条件。
在数学中，它通常会表示为以下形式：min f(x)，x∈R^ns.t. g_i(x)≤0,i=1,…,m其中，g_i(x)是约束函数，表示限制x必须满足的条件。
在这种情况下，我们需要使用不同的非线性优化算法来寻找满足约束条件的最小值。
常用的算法包括SQP算法、罚函数法等。
3. 二次规划模型另一个常见的优化问题是二次规划模型。
在这种情况下，目标函数和约束条件都是二次函数。
通常，二次规划模型会用以下形式表示：min 0.5x'Qx+px，x∈R^ns.t. Gx≤h其中，Q、p、G和h是矩阵或向量，表示二次函数的系数和约束条件。
在解决二次规划问题中，最常见的算法是内点法。
这个算法的核心思想是在可行空间的内部进行搜索，而不是沿着表面“爬山”。
金融数据分析中的非线性变量选择算法研究
金融数据分析中的非线性变量选择算法研究随着金融市场的不断发展，越来越多的金融机构开始使用数据来分析、预测和管理风险。
然而，在金融数据分析中，非线性变量常常是不可避免的。
如何选择合适的非线性变量，成为了金融数据分析中的一个重要问题。
因此，本文旨在探讨金融数据分析中非线性变量选择算法的研究现状和存在的问题，并提出相应的解决方法。
一、研究现状1.1 定义在金融数据分析中，非线性变量是指在变量之间不存在线性关系的变量。
而变量选择算法也是金融数据分析中的一项重要技术，主要应用在多元统计分析、特征选择以及建立模型等方面。
1.2 研究方法目前，国内外学者在非线性变量选择算法的研究方面，主要采用以下两种方法：（1）基于统计学方法。
这种方法的核心在于利用各种统计学工具（如偏相关系数、半准则等）来衡量变量之间的相关性和重要性，从而筛选出对模型影响最大的变量。
（2）基于机器学习方法。
这种方法主要采用各种机器学习算法（如决策树、支持向量机等）来计算变量权重，找出对模型影响最大的变量。
然而，这两种方法在应对非线性变量时，仍存在一定的局限性。
因为非线性变量之间常常存在高度复杂的非线性关系，统计学和机器学习方法往往无法准确刻画，从而导致变量选择不准确，影响最终的分析结果。
二、研究问题在金融数据分析中，非线性变量选择算法存在一些问题，主要有以下三类：2.1 算法不准确如前所述，非线性变量之间存在复杂的非线性关系，使得传统的统计学和机器学习方法很难准确选择变量。
一些研究者尝试采用深度学习算法来解决这个问题，但这也面临着数据拟合难度大、计算量大等问题。
2.2 耗时随着数据量的不断增加，变量选择算法的计算复杂度也呈现指数级增长，这导致变量选择算法的时间成本也越来越高。
因此，如何快速、准确地选择非线性变量也成为了一个重要问题。
2.3 模型的有效性非线性变量在金融分析中通常包含大量信息，但同时也会带来噪声和冗余。
如果选择不当，可能会导致模型的失效，影响预测的准确性。
非线性优化问题的求解研究
非线性优化问题的求解研究一、引言非线性优化问题是数学和工程学中一个十分重要的课题，它们在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在工程和物理学中，需要优化设计和控制系统；在金融学中，需要优化投资组合；在医学中，需要优化药物剂量等。
对于这些问题，我们需要建立数学模型，并且寻找最优解。
因此，如何高效地解决非线性优化问题一直是一个热门的研究领域。
二、非线性优化问题非线性优化问题是指在无约束或有约束条件下，目标函数为非线性函数的问题。
通俗的说，就是在一个复杂的系统中，寻找一个能够达到最优状态的方案。
非线性优化问题包括多元函数非线性规划、不等式约束问题、等式约束问题等。
这些问题的特点在于目标函数或约束条件不能表示为简单的线性形式，需要使用非线性方法进行求解。
三、非线性优化问题的求解方法1. 牛顿法牛顿法被广泛用于求解非线性方程组和最优化问题。
在求解非线性优化问题中，其基本思路是将目标函数在当前点进行泰勒展开，然后求解导数为零的点所对应的下降方向，并对这个方向进行步长的控制，进行迭代。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是基于牛顿法的一种算法。
它通过逼近目标函数的海森矩阵或该矩阵的逆矩阵来获得下降方向。
由于在牛顿法中，需要求解复杂的海森矩阵的逆矩阵，因此在实际应用中比较困难。
而拟牛顿法则可以通过近似估算来解决这个问题，在保证解精度的基础上，减少计算时间。
3. 共轭梯度法共轭梯度法主要用于解决对称正定线性方程组。
在非线性优化问题中，共轭梯度法通常被用作拟牛顿法的一个变体，用于求解目标函数梯度的方向。
4. 遗传算法遗传算法是一种基于遗传学的算法，其主要思路是模拟自然界中的进化过程来获得最优解，包括基因的突变、遗传操作等。
在非线性优化问题中，遗传算法被广泛用于寻找最优解的搜索和优化。
四、非线性优化问题的应用非线性优化问题有着广泛的应用。
以下是一些应用案例：1. 金融学：非线性优化问题被用于优化投资组合和资产定价等问题。
2. 工程学：非线性优化问题被用于优化设计和控制系统等问题。
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
非线性优化的基本理论
非线性优化的基本理论引言非线性优化是数学和计算机科学领域的一个重要研究方向。
它研究的是在给定约束条件下，如何寻找某个目标函数的最优解。
与线性优化问题不同，非线性优化问题涉及非线性函数的优化，更具有挑战性。
基本概念1.目标函数（Objective Function）：非线性优化问题中需要优化的目标函数，通常表示为f(x)，其中x表示自变量。
2.约束条件（Constraints）：非线性优化问题中限制目标函数的函数或等式，通常表示为g(x) <= 0和h(x) = 0。
3.最优解（Optimal Solution）：非线性优化问题中使目标函数取得最小（或最大）值的自变量的取值。
4.局部最优解（Local Optimum）：非线性优化问题中某个点附近的最优解，但不一定是全局最优解。
5.全局最优解（Global Optimum）：非线性优化问题中使目标函数取得最小（或最大）值的自变量的取值，是优化问题的最优解。
基本原理非线性优化的基本原理是寻找目标函数在给定约束条件下的最优解。
常用的方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种基于目标函数梯度信息的迭代优化方法。
它的基本思想是通过不断迭代调整自变量的取值，使目标函数逐渐收敛到最优解。
具体步骤如下：1. 初始化自变量的取值。
2. 计算目标函数在当前自变量取值下的梯度。
3. 根据梯度的方向和步长，更新自变量的取值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则。
2. 牛顿法（Newton’s Method）牛顿法是一种基于目标函数二阶导数信息的迭代优化方法。
它的基本思想是通过将目标函数进行二阶泰勒展开，以二阶导数的倒数作为步长，调整自变量的取值。
具体步骤如下： 1.初始化自变量的取值。
2. 计算目标函数在当前自变量取值下的一阶导数和二阶导数。
3. 根据一阶导数和二阶导数，更新自变量的取值。
非线性优化理论及算法
非线性优化理论及算法随着人工智能、大数据、云计算等技术的快速发展，非线性优化理论及算法逐渐成为研究的热点。
非线性优化是指在满足一定限制条件的情况下，将目标函数最优化的问题，通常具有多个局部最优解，需要通过算法求解全局最优解。
一、非线性优化理论1.1 优化问题的数学形式非线性优化问题的数学形式可以表示为：$$\min_{\boldsymbol{x} \in \mathcal{S}} f(\boldsymbol{x})$$其中，$\boldsymbol{x}$ 是决策变量向量，$\mathcal{S}$ 是定义域，$f(\boldsymbol{x})$ 是目标函数。
1.2 优化问题的分类根据优化问题的约束条件，可以将其分类为以下几种：1）无约束优化问题：没有约束条件，即 $\mathcal{S} =\mathbb{R}^n$；2）等式约束优化问题：存在等式约束条件，即 $\mathcal{S} = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \, | \, g_i(\boldsymbol{x}) = 0, \, i = 1, \ldots, l\}$；3）不等式约束优化问题：存在不等式约束条件，即$\mathcal{S} = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \, | \,h_i(\boldsymbol{x}) \leq 0, \, i = 1, \ldots, m\}$。
1.3 最优解的性质对于一般的非线性优化问题，其最优解可能具有以下几种性质：1）局部最优解：在解空间中，存在一个局部范围内的最优解，但不一定是全局最优解；2）全局最优解：在解空间中，存在一个全局最优解，但不一定是唯一的；3）不可行解：在优化问题的约束条件下，不存在满足条件的解。
1.4 梯度和海森矩阵梯度和海森矩阵是非线性优化中常用的两个概念。
梯度是目标函数的导数，表示了函数在某个点处增长最快的方向，可用于确定优化问题的搜索方向。
非线性规划问题的数学算法设计与优化
非线性规划问题的数学算法设计与优化引言：非线性规划是数学优化领域中的一个重要分支，它研究的是在约束条件下寻找目标函数的最优解。
与线性规划相比，非线性规划问题更加复杂，因为它涉及到非线性函数的优化。
为了解决这类问题，数学家们提出了许多有效的算法，并不断进行改进和优化。
本文将介绍几种常见的非线性规划算法，并探讨它们的优化方法。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的非线性规划算法，它通过迭代的方式逐步优化目标函数。
该算法的基本思想是沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，直到找到最优解为止。
梯度下降法的优化过程可以分为两个步骤：计算目标函数的梯度和更新参数。
在计算梯度时，可以使用数值方法或者解析方法，具体选择取决于问题的复杂程度和计算效率的要求。
在更新参数时，可以采用固定步长或者自适应步长的方式，以控制搜索的速度和精度。
二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性规划算法，它利用目标函数的二阶导数信息进行搜索。
该算法的核心思想是通过构造二次逼近模型来近似目标函数，并求解该模型的最优解。
牛顿法的优化过程可以分为三个步骤：计算目标函数的一阶导数、二阶导数和更新参数。
在计算导数时，可以使用数值方法或者解析方法，具体选择取决于问题的复杂程度和计算效率的要求。
在更新参数时，可以采用精确求解或者近似求解的方式，以控制搜索的速度和精度。
三、拟牛顿法拟牛顿法是一种改进的非线性规划算法，它通过构造目标函数的拟牛顿方程来近似目标函数的二阶导数。
该算法的基本思想是利用历史搜索信息来更新参数，并通过迭代的方式逐步优化目标函数。
拟牛顿法的优化过程可以分为四个步骤：计算目标函数的一阶导数、构造拟牛顿方程、求解拟牛顿方程和更新参数。
在构造拟牛顿方程时，可以使用不同的方法，例如DFP方法、BFGS方法等，以逼近目标函数的二阶导数。
在求解拟牛顿方程时，可以采用精确求解或者近似求解的方式，以控制搜索的速度和精度。
四、全局优化方法除了上述的局部优化方法，全局优化方法也是解决非线性规划问题的一种重要途径。
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20.2 理论模型
20.2.1 无约束非线性优化
无约束优化的一般形式为
其中，f为非线性函数。 优化形式转换,无约束非线性最大化可以通过转换，将其转化为标准的无约束 非线性优化的一般形式：
例如，常用的BenchMark函数Banana function
20.2.2 约束非线性优化
约束非线性优化的一般形式为
函数语法：
x = fminsearch(fun,x0)
x = fminsearch(fun,x0,options) ［x,fval］ = fminsearch(...) ［x,fval,exitflag］ = fminsearch(...) ［x,fval,exitflag,output］ = fminsearch(...) 输入参数： ➢ fun：目标函数； ➢ x0：迭代初始点； ➢ options：函数参数设置。 输出参数： ➢ x:最优点（算法停止点）； ➢ fval:最优点对应的函数值； ➢ exitflag: 函数停止信息。
输入参数： ➢ fun：目标函数一般用M文件形式给出； ➢ x0：优化算法初始迭代点； ➢ options:参数设置。 输出参数： ➢ x：最优点输出（或最后迭代点）； ➢ fval：最优点（或最后迭代点）对应的函数值； ➢ exitflag：函数结束信息 （具体参见MATLAB help ）； ➢ output：函数基本信息，包括迭代次数、目标函数最大计算次数、使用
1函数收敛正常停止； 0迭代次数，目标函数计算次数达到最大数； -1算法被输出函数停止（output）。 ➢ Output：函数运算信息。
20. 3.3 fmincon函数
fmincon是MATLAB最主要内置的求解约束最优化的函数，该函数的优化问 题的标准形式为
这里x、b、beq、lb、ub为向量，A与Aeq为矩阵，f (x)为目标函数，c(x)、ceq(x)为 非线性约束，A·x≤b、Aeq·x=beq为线性约束，lb≤x≤ub为可行解的区间约束。
fmincon函数使用的约束优化算法都是目前比较普适的有效算法。
函数语法： x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) ［x,fval］ = fmincon(...) ［x,fval,exitflag］ = fmincon(...) ［x,fval,exitflag,output］ = fmincon(...) ［x,fval,exitflag,output,lambda］ = fmincon(...) ［x,fval,exitflag,output,lambda,grad］ = fmincon(...) ［x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian］ = fmincon(...)
f,gi,hj:Rn其中有一个为非线性函数，gi (x)≤0为不等式约束，hj(x)=0为等式约束。 优化形式可以转换。约束非线性最大化可以通过转换，将其转化为标准的约束非 线性优化的一般形式：
例如,非线性约束优化问题实例:
20.3 MATLAB实现
20. 3.1 fminunc函数（无约束优化）
在非线性科学大规模涌现之前，人们普遍认为自然界的任何问题 都可以线性地加以解决。现在看来，线性只是局部的，非线性才是普 遍存在的，因而直接面对非线性是不可避免的。然而，非线性科学并 非是包罗万象的科学。
20.1.2 非线性优化
非线性优化的一个重要理论是1951年KuhnTucker最优条件(简称KT条件)的 建立。此后的50年代主要是对梯度法和牛顿法的研究 。以Davidon(1959)、 Fletcher和Powell(1963)提出的DFP方法为起点, 60年代是研究拟牛顿方法的活跃 时期, 同时对共轭梯度法也有较好的研究。在1970年由Broyden、Fletcher、 Goldfarb和Shanno从不同的角度共同提出的BFGS方法是目前为止最有效的拟牛 顿方法。Broyden、Dennis和More的工作使得拟牛顿方法的理论变得很完善。
70年代是非线性优化飞速发展时期, 约束变尺度(SQP)方法(Han和Powell为 代表)和Lagrange乘子法(代表人物是Powell 和Hestenes)是这一时期的主要研究 成果。80年代开始研究信赖域法、稀疏拟牛顿法、大规模问题的方法和并行计 算, 90年代研究解非线性优化问题的内点法和有限储存法。 可以毫不夸张地说, 这半个世纪是最优化发展的黄金时期。
fminunc函数是 MATLAB求解 无约束 优化问 题的主 要函数，函数主要使用 BFGS拟牛顿算法（BFGS Quas Newton method）、DFP拟牛顿算法（DFP Quasi Newton method）、最速下降法等。 函数语法： x = fminunc(fun,x0) x = fminunc(fun,x0,ounc(...) ［x,fval,exitflag］ = fminunc(...) ［x,fval,exitflag,output］ = fminunc(...) ［x,fval,exitflag,output,grad］ = fminunc(...) ［x,fval,exitflag,output,grad,hessian］ = fminunc(...)
20.1 理论背景
20.1.1 非线性问题
对于非线性的理解，可以借助于对线性概念的掌握。线性是指两 个量之间所存在的正比关系，在直角坐标系上呈直线；而非线性是指 两个量不成正比关系，在直角坐标系中呈曲线。最简单的非线性函数 是一元二次函数，其图像是抛物线。可以说，一切含有二次项以上的 多项式函数都是非线性的。线性函数关系描述的系统叫线性系统，非 线性函数描述的系统称为非线性系统。
的算法名称、计算规模； ➢ grad：最优点（或最后迭代点）的导数； ➢ hessian：最优点（或最后迭代点）的二阶导数。
20. 3.2 fminsearch函数
fminsearch是MATLAB 中求解无约束的函数之一，其使用的算法为可变多面体算法 （Neldero-Mead Simplex）