【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(理)精品课件：第二章 2.6对数与对数函数
(1) 函数 y ＝ 2log4(1 － x) 的图象
大致是( C )
函数 y ＝ 2log4(1 － x) 的定义域 为(－∞，1)，排除A、B； 又函数y＝2log4(1－x)在定义 域内单调递减，排除D.选C.
题型分类·深度剖析
题型二
例2
对数函数的图象和性质
解析
答案
思维升华
(1) 函数 y ＝ 2log4(1 － x) 的图象 研究对数型函数的图象时， 大致是( C ) 一般从最基本的对数函数的
)
题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
解析
答案 思维升华
例1 (1)若x＝log43，
由x＝log43，得4x＝3，
则(2x－2－x)2等于(
9 A. 4 10 C. 3 5 B. 4 4 D. 3
)
3 即 2 ＝ 3，2 ＝ ， 3
x
－x
2 32 4 所以(2 －2 ) ＝( )＝ . 3 3
2
又 f(x) 是定义在 ( － ∞ ，＋ ∞)
上的偶函数，
且在(－∞，0]上是增函数，
故f(x)在[0，＋∞)上是单调
c的大小关系是( B )
A．c<a<b B．c<b<a
递减的，
2
C．b<c<a
D．a<b<c
∴f(0.2 － 0.6)<f(log 1 3)<f(log47) ， 即c<b<a.
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0] 上是增函数，设a＝f(log47)，b＝ f(log 13)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，
2
又 f(x) 是定义在 ( － ∞ ，＋ ∞)
上的偶函数，
且在(－∞，0]上是增函数，
故f(x)在[0，＋∞)上是单调
c的大小关系是(
A．c<a<b
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( － ∞ ，
解析 答案 思维升华
＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0] 对数函数值大小的比较一般 上是增函数，设a＝f(log47)，b＝ f(log 13)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，
2
有三种方法：①单调性法，
在同底的情况下直接得到大
c的大小关系是( B )
2 2 和(0,1)，则a＝________ ，b＝________.
解析 f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．
则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，
b－1＝1， ∴ b＝a， b＝2， 即 a＝2.
题型分类·深度剖析
解析 思维升华
成同底的形式再进行运算．
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
例1 (2)已知函数
log2x，x>0， f(x)＝ －x 3 ＋1，x≤0，
1 则 f(f(1))＋f(log3 )的值是( 2
)
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
例1 (2)已知函数
log2x，x>0， f(x)＝ －x 3 ＋1，x≤0，
)
B．c<b<a
递减的，
2
C．b<c<a
D．a<b<c
∴f(0.2 － 0.6)<f(log 1 3)<f(log47) ， 即c<b<a.
题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( － ∞ ，
解析 答案 思维升华
＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0] 上是增函数，设a＝f(log47)，b＝ f(log 13)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，
2
个数，一般是用 “0” ， “1”
或其他特殊值进行 “ 比较传
递 ” ．③图象法，根据图象 观察得出大小关系．
c的大小关系是( B )
A．c<a<b B．c<b<a
C．b<c<a
D．a<b<c
题型分类·深度剖析
跟踪训练2 A．c<b<a
(1)已知a＝21.2，b＝ －0.8，c＝2log
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
例1 (2)已知函数
log2x，x>0， f(x)＝ －x 3 ＋1，x≤0，
因为f(1)＝log21＝0， 所以f(f(1))＝f(0)＝2.
1 则 f(f(1))＋f(log3 )的值是( A ) 2
1 因为 log3 <0， 2 1 log 3 1 2 3 所以 f(log3 )＝ ＋1 2
数学 B（理）
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.6 对数与对数函数
基础知识·自主学习
题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高
练出高分
基础知识·自主学习
1．对数的概念
知识梳理
如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 b＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
2
1
52，则a，b，c的大
小关系为( A ) B．c<a<b
C．b<a<c
D．b<c<a
1－0.8 解析 b＝ 0.8 1.2 ＝ 2 <2 ＝a， 2
c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b， 故c<b<a.
题型分类·深度剖析
(2)已知函数f(x)＝loga(x＋b) (a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)
知识梳理
(2)2log510＋log50.25＝5.( × )
(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2.( √ )
基础知识·自主学习
知识梳理
(4)当x>1时，logax>0.( × )
(5)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.( × )
x－2 (6)函数f(x)＝lg 与g(x)＝lg(x－2)－lg(x＋2)是同一个函 x＋2
A．c<a<b
)
B．c<b<a
C．b<c<a
D．a<b<c
题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( － ∞ ，
解析 答案 思维升华
＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0] 上是增函数，设a＝f(log47)，b＝ f(log 13)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，
2
log 1 3＝－log23＝－log49，
1 则 f(f(1))＋f(log3 )的值是( A ) 2
形，多个对数式要尽量先化
成同底的形式再进行运算．
题型分类·深度剖析
跟踪训练1
1 24 值为________ ．
1x ，x≥4， 已知函数 f(x)＝ 2 则 f(2＋log23)的 fx＋1，x<4，
解析 因为2＋log23<4， 所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)， 而3＋log23>4，
基础知识·自主学习
2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝
知识梳理
logaM＋logaN
；
；
②loga M＝ logaM－logaN
n logaM n m n ③logaM ＝ nlogaM (n∈R)；④ logam M ＝
N
数．( × )
基础知识·自主学习 题号
1
考点自测
答案
C B
解析
2
3
D
1 0， ∪(2，＋∞) 2
4
∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
由f
1 ＝0，得 3
1 8
f
1 － ＝0. 3
2
b ＝ f(log 1 3) ＝ f( － log49) ＝
2
f(log49)，
c的大小关系是(
A．c<a<b
)
B．c<b<a
log47<log49,0.2
5 5
－ 0.6
＝
1 5
3 5
＝
C．b<c<a
D．a<b<c
125> 32＝2>log49，
题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( － ∞ ，
x
－x 2
题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
解析
答案 思维升华
例1 (1)若x＝log43，
由x＝log43，得4x＝3，
3 即 ＝ 3，2 ＝ ， 3
x
－x
则(2x－2－x)2等于( D )
9 A. 4 10 C. 3 5 B. 4 4 D. 3
2 32 4 所以(2 －2 ) ＝( )＝ . 3 3
log3 2 3 ＝ ＋1＝2＋1＝3.
1 所以 f(f(1))＋f(log3 )＝2＋3＝5. 2
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
例1 (2)已知函数
log2x，x>0， f(x)＝ －x 3 ＋1，x≤0，
在对数运算中，要熟练掌握
对数的定义，灵活使用对数
的运算性质、换底公式和对
数恒等式对式子进行恒等变
新步步高高考物理(全国用)大一轮复习讲义课件：第二章 相互作用 专题强化二
4
盘查拓展点
生活中平衡问题的实例分析 力的平衡问题在日常生活中有许多实例，解答的关键是要建立正确的物 理模型，选择合适的的解题方法，一般按以下步骤进行：
【典例】 一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹 簧C(劲度系数为k)、锁舌D(倾角θ＝45°)、锁槽E以及连杆、锁头等部件 组成，如图甲所示.设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为 μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN(FN为正压力)求得.有一次放学后，当某同 学准备关门时，无论用多大的力， 也不能将门关上(这种现 象称为自锁)，此刻暗锁 所处的状态的俯视图如 图乙所示，P为锁舌D与 锁槽E之间的接触点，弹 簧由于被压缩而缩短了x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2.(多选)如图所示，粗糙水平面上有一长木板，一个人站在木板上用力F 向右推箱子，木板、人、箱子均处于静止状态.三者的质量均为m，下列 说法正确的是 答案 A.箱子受到的摩擦力方向向右
√B.人受到的摩擦力方向向右 √C.箱子对木板的摩擦力方向向右
D.若水平面光滑，人用同样大小的力F推箱子，能使长木板在水平面上 滑动
√A.B对A的摩擦力大小为Ff，方向向左
B.A和B保持静止，C匀速运动
√C.A保持静止，B和C一起匀速运动 √D.C受到地面的摩擦力大小为F－Ff
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
√D.支持力小于(M＋m)g
Ff
mg
2
命题点二
动态平衡问题
1.共点力的平衡 (1)平衡状态：物体处于 静止 或 匀速直线运动 状态，称为平衡状态. (2)平衡条件：物体所受合力 为零 ，即 F合＝0 .若采用正交分解法求平 衡问题，则平衡条件是 Fx合＝0，Fy合＝0 . (3)常用推论： ①二力平衡：二力等大反向. ②三力平衡：任意两个力的合力与第三个力等大反向. ③多力平衡：其中任意一个力与其余几个力的合力等大反向.
【2016版】新步步高 人教A版 大一轮复习讲义 数学(理)精品课件：第十二章 第2节古典概率
第十二章 概率、随机变量及其分布
§12.2 古典概型
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
基础知识·自主学习
1.基本事件的特点
知识梳理
(1)任何两个基本事件是 互斥 的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和． 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典 概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ． (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华
题型一 基本事件与古典概型的判断 例1 袋中有大小相同的5个白球，3 个黑球和3个红球，每球有一个区别 于其他球的编号，从中摸出一个球. (1) 有多少种不同的摸法？如果把每 个球的编号看作一个基本事件建立 概率模型,该模型是不是古典概型？
题型分类·深度剖析
解
由于11 个球共有3种
颜色，因此共有 3个基本 事件，分别记为 A ： “ 摸
到白球”，
B：“摸到黑球”，
C：“摸到红球”，
题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 思维升华
例1
(2) 若按球的颜色为划分
又因为所有球大小相同 , 所以 一次摸球每个球被摸中的可能 1 性均为 ，而白球有 5 个， 11
故一次摸球摸到白球的可能 5 性为 ， 11
的元素个数为 n ，所有的基本事件构成集合 I ，且集合 I 中元素个 n 数为m，则事件A的概率为 .( √ ) m
基础知识·自主学习 题号
1
考点自测
答案
D
A
2 3 2 5
解析
2
3
4
步步高大一轮复习讲义第课时PPT学习教案
【高考佐证2】 (2010·全国Ⅱ·20)频率
不同的两束单色光1和2以相同的入射
角从同一点射入一厚玻璃板后，其光
路如图9所示，下列说法正确的是( )
图9
A．单色光1的波长小于单色光2的波长
B．在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2的传播速度
C．单色光1通过玻璃板所需的时间小于单色光2通过玻璃板
________(填“能”、“不能”或“无法确定能否”)发生全
反射．
第20页/共49页
解析 (1)如图所示，单色光照射到EF弧面
上时刚好发生全反射，由全反射的条件得
C＝45°
①
由折射定律得
n＝ssinin9C0°
②
联立①②式得
n＝ 2.
(2)能
答案 (1) 2 (2)能
第21页/共49页
题型互动探究
第19页/共49页
【高考佐证3】 (2010·山东理综·37(2))如图10
所示，一段横截面为正方形的玻璃棒，中间
部分弯成四分之一圆弧形状，一细束单色光
由MN端面的中点垂直射入，恰好能在弧面
EF上发生全反射，然后垂直PQ端面射出．
图10
(1)求该玻璃棒的折射率．
(2)若将入射光向N端平移，当第一次射到弧面EF上时
介质射向 光疏
介质．
(2)入射角 大于
临界角．
3．临界角：折射角等于90°时的入射角．设光线从 某介质
射向 空气
时的临界角为C，则sin C＝n1.
第4页/共49页
五、棱镜 1．常用的棱镜是横截面为三角形或梯形的三棱镜，通常简
称为棱镜． 2．棱镜对光线的控制作用
让一束单色光从空气射向玻璃 棱镜的一个侧面，光线经过棱 镜两次折射从另一侧面射出时， 将向棱镜的底部方向偏折，如
(步步高)大一轮复习讲义：Book 2 Unit 3 Computers 课件 新人教
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/302022/1/30
3．And my memory became so large that even I couldn’t believe it！我的储存容量变得如此巨大，甚至连我自己都 不能相信！ 句式分析 so＋adj./adv.＋that...意为“如此……以致 于……”，引导结果状语从句。 句式仿写 他说得太快以致于我们跟不上他。 He speaks so fast that we can’t follow him.
5．What’s more，you can use the Internet to learn English. 而且，你还能利用因特网学英语。 句式分析 what is more意为“更重要的是；而且”，常 作插入语。 句式仿写 那辆车非常昂贵，而且外形非常独特。 That car is very expensive，and what’s more ，its shape
【2016版】新步步高 人教A版 大一轮复习讲义 数学(文)精品课件：第一章 1.1集合的概念与运算
题型分类·深度剖析 题型一
例1
集合的基本概念
思维点拨
解析
答案
思维升华
(1)(2013· 江西 ) 若集合 A ＝
{x∈R|ax2 ＋ ax ＋ 1 ＝ 0} 中只有一 个元素，则a等于( )
A.4
C.0
B.2
D.0或4
题型分类·深度剖析 题型一
例1
集合的基本概念
思维点拨
解析
答案
思维升华
(1)(2013· 江西 ) 若集合 A ＝ 不要忽视集 合 中 元素 的 互异性.
A⊆B(或B⊇A)
真子集 集合B中至少有一个元素
A B(或 B A)
不在集合A中
基础知识·自主学习
知识梳理
集合 集合A，B中元素相同 相等 或集合A，B互为子集
A＝B
基础知识·自主学习
3.集合的运算 集合的并集 图形 符号 集合的交集
知识梳理
集合的补集
A∪B＝{x|x∈
A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈
题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华
例1 (2)设 a，b∈R，集合{1，a
b ＋b，a}＝0，a，b ，则
因 为 {1 ， a ＋ b ， a} ＝
b 0， ，b，a≠0， a
b－a＝
________.
b 所以 a＋b＝0，得a＝－1，
当 a ＝ 0 时，方程化为 1 ＝ 0 ，
无解，集合A为空集，不符
A.4
C.0
B.2
D.0或4
合题意；
当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝
0，解得a＝4.
题型分类·深度剖析 题型一
步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.2.2(二)
2．2.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系思考 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有几种位置关系？答案 点P 与椭圆有三种位置关系：在椭圆外、在椭圆内、在椭圆上．梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1·x 2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.类型一 直线与椭圆的位置关系例1 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交． (2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33答案 (1)C (2)C解析 (1)因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点． (2)把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.类型二 直线与椭圆的相交弦问题例2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一 设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系． 跟踪训练2 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练3 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值． 解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心， 1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1答案 A解析 由题意知a 24＋12＜1，解得－2＜a ＜ 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交 答案 C解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析 椭圆的右焦点为F (1,0)，由点到直线的距离公式得d ＝33＋1＝32.选B. 4．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10答案 D解析 设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m )2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得2y 2＋my －4＋m 24＝0.Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫m24－4＝0, 即－m 2＋32＝0， ∴m ＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时， d max ＝|2＋42|5＝10. 5．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |＝________.答案423解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1， 解得A ，B 两个不同的点的坐标分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－43，－13，故|AB |＝ 169＋169＝4 23.(1)点P (x 0，y 0)和椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的关系①P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；②P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；③P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.(2)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a，称为通径．(3)如图，P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2·tan θ2.(4)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0)有相同的离心率．一、选择题1．线段|AB |＝4，N 为AB 的中点，动点P 满足条件|P A |＋|PB |＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN |的最大值M ，最小值m 分别是( ) A ．M ＝4，m ＝ 3 B ．M ＝3，m ＝ 5 C ．M ＝5，m ＝ 5 D ．M ＝3，m ＝ 3答案 B解析 由|P A |＋|PB |＝6>|AB |＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点，N 为中心的椭圆． 则M ＝|PN |max ＝a ＝3，m ＝|PN |min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 答案 C解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8答案 D解析 显然m >0且m ≠4， 当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2； 当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 4．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)答案 D解析 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2， 即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．5．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B. 2 C.32 D. 3答案 D解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 6．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．[12，1)B ．(0，12]C ．[22，1) D ．(0，22] 答案 B解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， ∴只需⎩⎪⎨⎪⎧2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.7．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为2，则nm 的值为( )A.22 B.12C. 2 D ．2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)， 由题意可得y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 0x 0＝2，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，①因为A ，B 在椭圆上，所以mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1，两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.② 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，即－1＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，所以－1＝－m n ·22，即n m ＝22.二、填空题8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2. 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0， 由此解得k ＝23或k ＝38. 三、解答题11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)方法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .方法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1， 即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2， 则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋3k 2， 所以AB 的中点D 的坐标为(6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2)， 因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1， 解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3， 因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以F 2M →·F 2N →＝0.即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0， 所以4－2(9k 2＋1)1＋3k 2＝0.解得k ＝±33. 故直线l 的方程为y ＝±33(x －2)． 13．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程． 解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)， 所以1a 2＋94b2＝1.① 又因为离心率为12，所以c a ＝12， 所以b 2a 2＝34.② 解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A (－1，32)，B (－1，－32)， 2ABF S ＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3， x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以2ABF S＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k | (－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
新步步高高考物理(全国用)大一轮复习讲义课件：第二章 相互作用 第1讲
2.在图中，a、b(a、b均处于静止状态)间一定有弹力的是 答案
√
3.(粤教版必修1P74第9题改编)(多选)关于摩擦力，有人总结了四条“不
一定”，其中说法正确的是 答案
√A.摩擦力的方向不一定与物体的运动方向相同 √B.静摩擦力的方向不一定与运动方向共线 √C.受静摩擦力或滑动摩擦力的物体不一定静止或运动
4.重心：物体的每一部分都受重力作用，可认为重力集中作用于一点即 物体的重心. (1)影响重心位置的因素：物体的几何形状；物体的 质量 分布. (2)不规则薄板形物体重心的确定方法： 悬挂 法.注意：重心的位置不一 定在物体上.
二、弹力 1.弹性形变：撤去外力作用后能够 恢复原状 的形变. 2.弹力： (1)定义：发生 形变 的物体由于要恢复原状而对与它接触的物体产生的 作用力. (2)产生条件： ①物体间直接接触； ②接触处发生 形变 . (3)方向：总是与施力物体形变的方向 相反 .
答案 瓶子受到与纸条运动方向一致的滑动摩擦力
2
命题点一
重力、弹力的分析与计算
1.弹力有无的判断“三法” 假设将与研究对象接触的物体解除接触，判断研究对象的运
思 动状态是否发生改变.若运动状态不变，则此处不存在弹力；
假路 若运动状态改变，则此处一定存在弹力
设 图中细线竖直、斜面光滑，因去掉斜面体，小球
与竖直方向成α角的细绳拴接一小球.当小车和小球相
对静止，一起在水平面上运动时，下列说法正确的是
A.细绳一定对小球有拉力的作用 Nhomakorabea答案
B.轻弹簧一定对小球有弹力的作用
C.细绳不一定对小球有拉力的作用，但是轻弹簧对小球一定有弹力
√D.细绳不一定对小球有拉力的作用，轻弹簧对小球也不一定有弹力
【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(文)精品课件：第一章 1.2命题与量词、基本逻辑联结词
当 x ＝ 1 时， ln x ＝0 ，所以排 除A； 因为y＝tan x∈R，所以命题 π “∃x∈R，tan x＝ ”为真命 2 题，所以排除B；
A．∃x∈R，ln x＝0 B．∃x∈R，tan x＝ π 2 C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，3x>0
(1)全称量词：短语“ 所有 ”在陈述中表示所述事物的 全体 ，逻
辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀ ”表示．
(2)全称命题：含有 全称量词 的命题．
基础知识·自主学习
(3)全称命题的符号表示：
知识梳理
形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为
“ ∀x∈M，p(x) ”． ”或“ 有些 ”或“至少有一个 ”
例1
题型分类·深度剖析 题型一 含有逻辑联结词命题 的真假判断
解析
答案
思维升华
函数 y＝sin 2x 的图象向右平 π 移 个单位后， 3
所得函数为
π y ＝sin2x－3＝
2π sin2x－ 3 ，
∴命题p是假命题．
(1)命题 p：将函数 y＝sin 2x 的 又 π 图象向右平移 个单位得到函数 y＝ π π π 3 ＝sinx＋6cos2－x＋6 π sin2x－ 的图象；命题 q：函数 y＝ 3 π 1 1 π π π 2 sinx＋ cos －x的最小正周期为 π， ＝sin x＋ ＝ － cos 2x＋ ， 6 3 6 2 2 3 则 命 题 “p∨q”“p∧q”“ 綈 p” 2π ∴其最小正周期为 T＝ ＝π， 2 中真命题的个数是( ) ∴命题q真． A．1 B．2 C．3 D．0
当 m ＋ n ＝ p ＋ q 时， an ＋ am ＝ap＋aq成立， ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q 成立，故q是真命题． 故 綈 p 是真命题， 綈 q 是假 命题，
【2016版】新步步高 人教A版 大一轮复习讲义 数学(理)精品课件：第四章 第1节任意角的三角函数
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
例1
(2) 如果 α 是第三象限角，
那么角2α的终边落在__________
____________________.
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
例1
(2) 如果 α 是第三象限角，
第一、二象 那么角2α的终边落在__________ 限或y轴的非负半轴上 ____________________.
y ＝ x ，tan α＝ x (x≠0).三个三角函数的初步性质如下表：
三角
函数
sin α
定义域
__ R R __
第一象 第二象 第三象 第四象
限符号 限符号 限符号 限符号
＋ ＋ － －
cos α
＋ ＋
－ －
－ ＋
＋ －
tan α ________________
基础知识·自主学习
知识梳理
4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴， 垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反 向延长线相交于点T.
∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.
题型分类·深度剖析 题型二
例2
三角函数的概念
思维点拨
解析
答案
思维升华
(1) 已知角 θ 的顶点与原点
重合，始边与 x 轴的正半轴重合， 终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等 于(
4 A.－5 3 C.5
)
3 B.－5 4 D.5
题型分类·深度剖析 题型二
解析
2
3
4
π π ∴x∈2kπ－3，2kπ＋3 (k∈Z).
题型分类·深度剖析
步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.2.1(一)
2．2.1椭圆及其标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆？答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆．梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在知识点二思考 若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？答案 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)．设P (x ，y )，依题意得|P A |＋|PB |＝10, 所以(x －3)2＋y 2＋(x ＋3)2＋y 2＝10，即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.梳理 (1)标准方程的两种形式形式一：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，其中b 2＝a 2－c 2.形式二：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，表示中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，其中b 2＝a 2－c 2.(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系b 2＝a 2－c 2类型一 椭圆定义的应用例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹．解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆． 反思与感悟 椭圆定义的双向运用(1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆．(2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a .跟踪训练1 (1)已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．点(2)已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .则动点P 的轨迹E 为____________． 答案 (1)C (2)以A ，F 为焦点的椭圆 解析 (1)因为|AC |＋|BC |＝10＝|AB |， 所以点C 的轨迹是线段AB ，故选C.(2)由题意得|P A |＝|PB |.所以|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以A ，F 为焦点的椭圆．类型二 求椭圆的标准方程例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程．解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆标准方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (13)2a 2＋(13)2b 2＝1，0＋(－12)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为： y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b 2＝1，(－12)2a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故标准方程为y 214＋x 215＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程的方法：(1)定义法：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值．(2)待定系数法：①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆方程一定是标准形式，就可以利用待定系数法先建立方程，然后依照题设条件，计算出方程中a ，b 的值，从而确定方程．②当不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常应进行分类讨论，但计算较复杂，此时，可设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必再考虑焦点的位置，用待定系数法结合题目给出的条件求出m ，n 的值即可．跟踪训练2 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253，由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5. 即a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609，∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.类型三 椭圆中的焦点三角形问题例3 已知点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2分别是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解 由椭圆方程y 25＋x 24＝1可得a ＝5，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝1.又|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2 ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°， ∴4＝(25)2－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)． ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3. 反思与感悟 由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，焦点三角形常和椭圆的定义、正(余)弦定理、内角和定理及面积公式等综合考查．跟踪训练3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积． 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|. 从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．直线C ．射线D ．圆答案 A解析 连接FP ，OF ，MF ，如图，由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |>|FO |，∴根据椭圆的定义可推断出点P 的轨迹是以F ，O 两点为焦点的椭圆．2．已知方程(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．2<m <72B.72<m <5 C ．2<m <5 D ．以上都不正确答案 A解析 原方程可化简为x 285－m ＋y 28m －2＝1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧85－m <8m －2，85－m >0，8m －2>0，解得2<m <72.3．已知|AB |＝25，M 是线段AB 的中点，点P 在平面内运动且|P A |＋|PB |＝6，则|PM |的最大值和最小值分别是( )A ．3， 5B ．3,2C ．3， 3D ．4,2 答案 B解析 由题意，知点P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的椭圆， 其长轴长为6，焦距为25，所以短轴长为4，易知|PM |的最大值为3，最小值为2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，线段OF 1(O 为坐标原点)的中点为B 1，椭圆与y 轴上半轴的交点为A ，且△AOB 1为等腰直角三角形，则椭圆C 的标准方程是________________． 答案 x 220＋y 24＝1解析 由题意，得c ＝4.又点B 1为线段OF 1的中点， A 为上顶点，△AOB 1为等腰直角三角形， 所以b ＝|OA |＝|OB 1|＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝20， 所以椭圆C 的标准方程为x 220＋y 24＝1.5．已知椭圆的方程为：x 225＋y 216＝1，若C 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，并且|CF 1|＝2，则|CF 2|＝________. 答案 8解析 根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为10，因为|CF 1|＝2，所以|CF 2|＝8.(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算．(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．(3)凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．一、选择题1．已知椭圆x 29＋y 25＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．4C ．3D ．25－2 答案 B解析 由椭圆的定义知P 到两焦点的距离之和等于2a ＝6， 故所求距离为6－2＝4，故选B.2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 答案 B解析 原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因c 2＝5k－1＝4，得k ＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 答案 D 解析 由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1. 4．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．5．设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( )A ．(0，π4]B ．(π4，π2)C ．(0，π4)D ．[π4，π2)答案 C解析 由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1， ∵α∈(0，π2)，∴0<α<π4.故选C.6．过椭圆9x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的三角形ABF 2的周长是( ) A.43 B ．4 C ．8 D ．2 2 答案 B解析 方程可化为x 219＋y 2＝1，∴焦点在y 轴上，且a 2＝1，∴a ＝1.∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＋|BF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝4.故选B. 二、填空题7．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________． 答案 15解析 由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|， 而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5， 所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.8．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________. 答案 8解析 由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20.又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＝8.9．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________． 答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10， ∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线， ∴|ON |＝12|ME |＝4.10．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________． 答案6433解析 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°， 即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433. 三、解答题11．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解 两定圆的圆心与半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R .则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.12．已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围． 解 (1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，① 且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以12PF F S＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33. (2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得F 1P →·F 2P →<0， 即(x ＋3，y )·(x －3，y )<0， 又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2， 解得－263<x <263，所以点P 横坐标的取值范围是－263<x <263.13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．11 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A, ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。