三角形面积的计算_典型例题一
第六单元三角形面积的实际应用“拓展型”专项练习-五年级数学(解析版)人教版
2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第六单元：三角形面积的实际应用“拓展型”专项练习1．图中平行四边形的面积是144平方分米，求阴影部分的面积。
【答案】27平方分米【分析】从图中可知，阴影部分是一个三角形，三角形和平行四边形的高都是9分米。
根据平行四边形的面积＝底×高可知，平行四边形的底＝面积÷高；用平行四边形的底减去10分米，即可求出阴影三角形的底，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求出阴影部分的面积。
【详解】平行四边形的底：144÷9＝16（分米）三角形的底：16－10＝6（分米）三角形的面积：6×9÷2＝54÷2＝27（平方分米）答：阴影部分的面积是27平方分米。
【点睛】本题考查平行四边形、三角形面积公式的灵活运用，求出三角形的底是解题的关键。
2．如图是一块梯形菜地的示意图。
张大叔把它分成一个平行四边形和一个三角形。
平行四边形里种大白菜，三角形地里种萝卜，萝卜地一共有10.8平方米。
（1）大白菜地一共有多少平方米？（2）如果每棵大白菜占地0.18平方米，一共可以种多少棵？【答案】（1）28.8平方米（2）160棵【分析】（1）由题意可知，平行四边形的高就是三角形的高，根据三角形的面积公式：S＝ab÷2，据此求出三角形的高，再根据平行四边形的面积公式：S＝ab，据此代入数值进行计算即可求出白菜地的面积；（2）用平行四边形的面积除以0.18即可求出共可以种多少棵。
【详解】（1）10.8×2÷（11.2－6.4）＝21.6÷4.8＝4.5（米）6.4×4.5＝28.8（平方米）答：大白菜地一共有28.8平方米。
（2）28.8÷0.18＝160（棵）答：一共可以种160棵。
【点睛】本题考查平行四边形和三角形的面积，熟记公式是解题的关键。
3．爱民小学有一块校内劳动基地（如图）。
二次函数中三角形面积问题
二次函数中三角形面积问题【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；令y=0, 则-x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），设AB所在直线的解析式为y=kx+b.求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3mS△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE=1/2×3( -m2+3m)=--3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3＝-3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。
解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。
专题13 焦点三角形的面积公式
专题13 焦点三角形的面积公式一、结论1、椭圆中焦点三角形面积公式在椭圆22221x y a b +=(0a b >>)中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,12F PF θ∠=,12PF F ∆的面积记为12PF F S ∆，则：①12121||||||2PF F p p S F F y c y ∆== ②12121|||||sin 2PF F S PF PF θ∆=③122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠.2、双曲线中焦点三角形面积公式在双曲线22221x y a b −=(0a >,0b >)中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,12F PF θ∠=，12PF F ∆的面积记为12PF F S ∆，则：①12121||||||2PF F p p S F F y c y ∆== ②12121|||||sin 2PF F S PF PF θ∆=③122tan2PF F b S θ∆=注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.二、典型例题1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知1F 、2F 是椭22:143x yC +=圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，则12PF F ∆的面积是（ ）A ．3B ．2C D 【答案】D 【详解】由椭圆22:143x y C +=的方程可得24a =，23b =，1c =，则1224PF PF a +==，因为1260F PF ︒∠=，则2221212122cos60PF PF PF PF F F +−⋅=，即()221212123PF PF PF PF F F +−⋅=，即121634PF PF −⋅=，解得124PF PF ⋅=，因此，121211sin60422PF F SPF PF =⋅=⨯故选：D.另解：根据焦点三角形面积公式，求122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠，由题意知23b =，6πθ=，代入122tan3tan26PF F S b θπ∆==⋅=【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，122tan2PF F S b θ∆=要特别注意记忆12F PF θ=∠表示的是哪个角.2．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知P 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上一动点，1F，2F 是椭圆的左、右焦点，当123F PF π∠=时，12F PF S =△1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ∠=，则点P 运动过程中，1211PF PF +的取值范围是（ ）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．82,153⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,215⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【详解】设12,PF m PF n ==. 在12F PF △中，当123F PF π∠=时，由椭圆的定义，余弦定理得：()22222cos 23m n a m n mn c π+=⎧⎪⎨+−=⎪⎩整理得：243b mn =由三角形的面积公式得：121sin 23F PF S mn π==△，解得：212b =. 因为线段1PF 的中点落到y 轴上，又O 为12FF 的中点，所以2//PF y 轴，即2PF x ⊥.由124tan 3F PF ∠=，得12243F F PF =，解得：232c PF =，所以3,2c P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入椭圆标准方程得：2222914c c a b+=.又有22212b a c =−=，解得：2216,4a c ==，所以椭圆标准方程为：2211612x y +=.所以8m n +=.因为a c m a c −≤≤+，所以26m ≤≤.所以1211118m n PF PF m n mn mn++=+==. 因为()()2288416mn m m m m m =−=−+=−−+， 当26m ≤≤时，1216mn ≤≤， 所以1211812.23PF PF mn ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.另解：根据焦点三角形面积公式，求122tan2PF F S b θ∆=,其中12F PF θ=∠，由题意知3πθ=，代入公式12222tantan1226PF F S b b b θπ∆=⇒=⇒=，又当线段1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ∠=，可知122F F P π∠=，从而有32n c =，52m c =，且212b n a a ==，进一步有：24431222a ca c c a =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩所以椭圆标准方程为：2211612x y +=. 所以8m n +=.因为a c m a c −≤≤+，所以26m ≤≤.所以1211118m n PF PF m n mn mn++=+==. 因为()()2288416mn m m m m m =−=−+=−−+， 当26m ≤≤时，1216mn ≤≤， 所以1211812.23PF PF mn ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】B 【详解】解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '， 因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ， 所以AF BF ⊥，圆心为()0,0O ，半径为c ，根据双曲线的对称性可得四边形AFBF '是矩形，设||AF m =，||BF n =，则222224122n m a n m c mn a ⎧⎪−=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，由()2222n m m n mn −=+−可得222484c a a −=， 所以223c a =，所以2223c e a==，所以e 故选：B.另解：解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '， 因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ，所以22AF F S a '∆=，且2F AF π'∠=,根据双曲线焦点三角形面积公式：122tan2PF F b S θ∆=得：222a b =，结合222c a b =+，得222222233a c a c a e e =−⇒=⇒=⇒=【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即||||||2AF AF a '−=,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式122tan2PF F b S θ∆=.4．(多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线C ：2214y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 双曲线C 右支上，若12F PF θ∠=，12PF F △的面积为S ，则下列选项正确的是（ ）A ．若60θ=︒，则S＝B ．若4S =，则2PF =C ．若12PF F △为锐角三角形，则S ∈D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22919143y x x ⎛⎫−=> ⎪⎝⎭ 【答案】ACD 【详解】由2214y x −=，得221,4a b ==，则1,2,a b c ==焦点三角形12PF F 的面积公式24tantan22b S θθ==，将60θ=代入可知S =，故A 正确．当S ＝4时，90θ=，由1222212122PF PF PF PF F F ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，可得22PF =，故 B 错误． 当1290F PF ∠=时，S ＝4，当2190PF F ∠=时，S =，因为12PF F △为锐角三角形，所以S ∈，故C 正确．设()()000(,),,1G x y P x y x >，则()2200114y x x −=>，由题设知12(F F ，则0033x x y y=⎧⎨=⎩，所以22919143y x x ⎛⎫−=> ⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：ACD【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即12||||||2AF AF a −=,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式122tan2PF F b S θ∆=.三、针对训练 举一反三一、单选题1．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F ∆的面积为（ ） A ．8B．C ．16D．2．（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F −，动点P 在椭圆上，若12PF F ∆的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F ∆的面积为（ ） A ．48B ．40C ．28D ．244．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设12,F F 是椭圆2211224x y+=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F ∆的面积为（ ）A ．6B．C ．8D．5．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））椭圆2214x y +=的左右焦点为1F ､2F ，P 为椭圆上的一点，123F PF π∠=，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．1BCD ．26．（2021·北京市第五十七中学高二阶段练习）已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（ ） A ．离心率45e =B ．12F PF ∆的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925−D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF ∆的面积为8 7．（2021·黑龙江·大庆中学高二期末）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得122OP F F =，设12F PF ∆的面积为S ，若()212S PF PF =−，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C D 8．（2022·山西运城·高二期末）已知点12F F ､是双曲线22221(0,0)x y a b ab−=>>的左､右焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则（ ） A ．1PF 与双曲线的实轴长相等B ．12PF F ∆的面积为232aC ．双曲线的离心率为52D ．直线320x y +=是双曲线的一条渐近线9．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））已知双曲线221916x y −=的两个焦点为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，212PF F F ⊥，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，则PI =（ ）A B C D10．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 12,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若12PF F ∆C 的实轴长为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．411．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知双曲线22:12y C x −=的左，右焦点为12,F F ，P为双曲线右支上的一点，1230PF F ∠=︒，I 是12PF F ∆的内心，则下列结论错误的是（ ）A ．12PF F ∆是直角三角形B ．点I 的横坐标为1C ．||2PI =D ．12PF F ∆的内切圆的面积为π12．（2022·天津和平·高二期末）双曲线221169x y −=的两个焦点分别是12,F F ，点P 是双曲线上一点且满足1260F PF ∠=，则12F PF ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线22:145x y M −=右支上的一点，1F ，2F 是左，右焦点，24PF =，则12PF F ∆的内切圆半径为（ ）A BC D。
五年级数学上册第二单元：三角形面积的实际应用专项练习(解析版)苏教版
2022-2023学年五年级数学上册典型例题系列之第二单元：三角形面积的实际应用专项练习（解析版）1．一个三角形的面积是15平方米，它的底是10米，则它的高是多少米？【答案】3米【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据此用三角形的面积乘2，再除以底即可求出高。
【详解】15×2÷10＝30÷10＝3（米）答：它的高是3米。
【点睛】本题考查三角形的面积。
牢记并灵活运用三角形的面积公式是解题的关键。
2．一块三角形地的底是10米，高是6米，一共收蔬菜960千克。
这块地平均每平方米收蔬菜多少千克？【答案】32千克【分析】根据三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入公式即可求出三角形地的面积，由于一共收蔬菜960千克，用收蔬菜的质量除以三角形地的面积即可求解。
【详解】10×6÷2＝60÷2＝30（平方米）960÷30＝32（千克）答：这块地平均每平方米收蔬菜32千克。
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式并灵活运用。
3．三角形的面积是216平方厘米，底是24厘米。
底边上的高是多少厘米？【答案】18厘米【分析】根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2；高＝三角形面积×2÷底，代入数据，即可解答。
【详解】216×2÷24＝432÷24＝18（厘米）答：底边上的高是18厘米。
【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。
4．一块三角形麦田，底长80米，高60米，如果每公顷收小麦5吨，这块地能收小麦多少吨？【答案】1.2吨【分析】根据三角形面积公式：底×高÷2，求出这块三角形麦田的面积；1公顷＝10000平方米，把平方米化成公顷，再乘5，就是这块地能收小麦的吨数。
【详解】80×60÷2＝4800÷2＝2400（平方米）2400平方米＝0.24公顷0.24×5＝1.2（吨）答：这块地能收小麦1.2吨。
第六单元三角形面积的实际应用“基础型”专项练习-五年级数学(解析版)人教版
2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第六单元：三角形面积的实际应用“基础型”专项练习1．给一块底1.6米、高0.9米的三角形广告牌的两面刷油漆。
如果每平方米需要油漆0.6千克，共需要多少千克油漆？【答案】0.864千克【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出三角形广告牌的面积，再乘2就是需要刷油漆的面积，再用需要刷油漆的面积乘每平方米需要油漆的重量即可求解。
【详解】1.60.9220.6⨯÷⨯⨯＝1.44÷2×2×0.6＝0.72×2×0.6＝1.44×0.6＝0.864（千克）答：共需要0.864千克油漆。
【点睛】本题考查三角形的面积，熟记公式是解题的关键。
2．某学校买来宽2.4米的红布394米，要做成底边和高都是0.8米的红色直角三角旗，可以做多少面？（不考虑损耗）【答案】2952面【分析】分别用红布的长和宽除以0.8，再把所得的商相乘，最后再乘2即可。
【详解】2.4÷0.8＝3（面）394÷0.8＝492.5≈492（面）3×492＝1476（面）1476×2＝2952（面）答：可以做2952面。
【点睛】本题考查小数除法，求出红布的长和宽分别可以做多少面是解题的关键。
3．一块三角形的稻田，底是160米，高100米，共收水稻6吨，平均每公倾稻田收水稻多少千克？【答案】7500千克【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出三角形稻田的面积，再用共收水稻的重量除以稻田的面积即可。
【详解】6吨＝6000千克160×100÷2＝16000÷2＝8000（平方米）＝0.8（公顷）6000÷0.8＝7500（千克）答：平均每公倾稻田收水稻7500千克。
【点睛】本题考查三角形的面积，熟记公式是解题的关键。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
第08讲 拓展三：三角形中面积(定值,最值,取值范围)问题 (精讲)(解析版)-2024年高考数学一
第08讲拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题）高频考点二：根据三角形面积求其它元素高频考点三：求三角形面积最值高频考点四：求三角形面积取值范围第三部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、三角形面积的计算公式：①12S =⨯⨯底高；②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==；③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）；④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径).2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤，再代入面积公式.3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题）1．（2022·河南·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos cos c C a B b B C =-+.(1)求角C ；(2)若6c =，ABC 的面积6sin S b B =，求S .【答案】(1)π3(2)(1)因为πA B C ++=，所以()cos cos B C A +=-，所以2cos cos cos c C a B b A =+，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin C C A B B A A B =+=+.因为()sin sin A B C +=，所以2sin cos sin C C C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =，则π3C =.(2)由6sin S b B =，根据面积公式，得16sin sin 3sin 2b B ac B a B ==，所以2a b =.由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，整理得2236a b ab +-=，即2336b =，所以b =a =.所以ABC 的面积11πsin 223S ab C ==⨯=2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 外接圆的面积为12π，6b =，求ABC 的面积.【答案】(1)3π(2)(1)因为()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=，由正弦定理，得()()3a b c a b c ab +++-=，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.(2)设ABC 外接圆的半径为R ，则212R ππ=，所以R =由正弦定理，得2sin cR C ==，所以6c C ==.因为6b c ==，3C π=，所以ABC 是等边三角形.所以ABC的面积为11sin 6622ab C =⨯⨯⨯.3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin sin2B C a C +=.(1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且33CD BD ==，π6BAD ∠=，求△ABC 的面积.【答案】(1)2π3A =；(2)19.(1)由已知及正弦定理得：sin sin sin sin 2B CA C C +，又πBC A +=-，∴π222B C A+=-，又sin 0C ≠，∴sin 2A A =，则2sin cos 222A A A=，而π022A <<，∴cos02A ≠，则sin 2A =，故π23A =，得2π3A =.(2)由2π3BAC ∠=，π6BAD ∠=，则π2DAC ∠=.法一：在△ABD 中，πsin sin 6BD cBDA =∠，①在△ADC 中，πsin sin 2CD bADC =∠，②∵πADB ADC ∠+∠=，∴sin sin BDA ADC ∠=∠，③由①②③得：2BD cCD b=，又33CD BD ==，得1BD =，∴23c b =，不妨设2c m =，3b m =，在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2222π423223cos3m m m m =+-⨯⨯，得21619m =，所以11sin 2322ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯△.法二：π1sinsin 621π2sin sin 22BADADCc c AD BAD S c S b b AD CAD b ⋅∠===⋅∠△△.∵△BAD 的边BD 与△ADC 的边DC 上的高相等，∴13BAD ADC S BD S DC ==△△，由此得：123c b =，即23c b =，不妨设2c m =，3b m =，在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2222π423223cos3m m m m =+-⨯⨯，得21619m =，所以11sin 2322219ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯⨯=△.4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos ba C c A C+=.(1)求tan C ；(2)若3c =，16sin sin 27A B =，求ABC 的面积.【答案】(1)tan C =ABC S = (1)解：由题意得：由正弦定理得sin sin cos sin cos 3cos BA C C A C+=，所以()sin sin sin()3cos BA CB Cπ+=-=，所以sin sin 3cos B B C=又因为sin 0B ≠，所以1cos 3C =.所以sin 3C ==，sin tan cos C C C ==(2)若3c =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin sin 4223a b A B ==，则a A =，b B =，则16216216sin sin 644161627ab A B A B =⋅==⨯=，所以11sin 622ABC S ab C ==⨯=△5．（2022·全国·高三专题练习）在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③2tan tan tan B b A B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角A 的大小；(2)已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．【答案】(1)选①3A π=；选②3A π=；选③3A π=(2)选①2；选②2；选③2(1)解：选①：()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，由正弦定理可得：()()()a b a b c b c +-=-，222a b c bc -=-，222a c b bc =+-，由余弦定理可得()2221cos ,0,22b c a A A bc π+-==∈，所以3A π=，选②：sinsin 2B Cb a B +=，由正弦定理得：sin sin sin sin ,sin 02B CB A B B +=>，所以sin sin ,sin sin 22B C AA A π+-==，cos2sin cos ,cos 02222A A A A=>，所以1sin22A =，()0,A π∈，3A π=，选③：2tan tan tanB bA B c=+，∴由正弦定理可得：2tan sin tan tan sin B BA B C=+，可得：sin 2sin cos ,sin sin sin cos cos BB B A B CA B⨯=+可得：()2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B BB A B B B A B B A A BC CA B A B===++，sin 0B ≠ ，sin 0C ≠，解得1cos 2A =，()0,A π∈ ，3A π∴=．(2)解：2AB = ，D 为AB 的中点，1AD BD ∴==，CDA CDB π∠+∠= ，cos cos 0CDA CDB ∴∠+∠=，222211022CD b CD a CD CD+-+-+=，即22222CD a b +=+，2CD ab = ，()22a b ∴-=，a b ∴-=)，a b ∴=，在ABC中，由余弦定理有22)422cos60b b b =+-⋅⋅⋅，解得1b，)121sin23ABC S π=⋅⋅⋅=△高频考点二：根据三角形面积求其它元素1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭ ，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角C ；(2)若ABC的面积为2a b +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3C =(2)()8,10(1)选择①：因为x y ，所以()()sin sin c a A b c B b c c a--=++，由正弦定理得，()()c a a b c b cc ab --=++，即()()2222a c a b b c -=-，即2233ac bc a b +=+，即()()()222c a b a b a ab b +=+-+，即222c a b ab =+-．因为2221cos 22a b c C ab +-==，又C 为锐角，所以π3C =．选择②：π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π2sin sin 3B C A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin sin sin cos B C A C A =．又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A =．因为sin 0A >sin C C =，又C为锐角，所以tan C =π3C =．(2)因为1sin 2ABC S ab C === ，所以8ab =，则822a b a a+=+．(法一)由余弦定理得，222222cos 8c a b ab C a b =+-=+-．①因为ABC 为锐角三角形，所以cos 0,cos 0,A B >⎧⎨>⎩即2222220,0.b c a a c b ⎧+->⎨+->⎩将①代入上式可得224,4,b a ⎧>⎨>⎩即2284,4,a a ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩解得24a <<．令()82f a a a =+，，则()()22224820a f a a a-=-=>'，所以()f a 在24a <<上单调递增，所以()()()24f f a f <<，即()810f a <<，即2a b +的取值范围为()8,10．(法二)由正弦定理得π1sin sin cos sin 11322sin sin sin 22tan B B Ba Ab B B B B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+，又288a a a b a==，所以211822tan a B=+．因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2A B B ⎧<=-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得ππ62B <<因为tan B10tan B<<1112222tan B<+<，即21228a <<，解得24a <<．令()82f a a a =+，24a <<，则()()22224820a f a a a -=-=>'，所以()f a 在24a <<上单调递增，所以()()()24f f a f <<，即()810f a <<，即2a b +的取值范围为()8,10．2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos b a c B =-(1)求C 的大小；(2)若ABC的面积为cos 2cos 2A B +的值.【答案】(1)3π;(2)56-.(1)因为22cos b a c B =-，所以由正弦定理得sin 2sin 2sin cos B A C B =-,所以sin 2sin()2sin cos B B C C B =+-，所以o s s in 2sin cos 2c sin 2sin cos B C B C C B B =+-,即sin 2sin cos B B C=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，(0,)C π∈ ，3C π∴=.(2)因为ABC的面积为1sin 2ab C =，解的8ab =，2sin cR C∴=，解得3c =，由余弦定理可得，2222cos c a b ab C =+-，所以2217a b +=，2222221cos 2cos 222(sin sin )22()()2()226ab A B A B a b RR ⎡⎤+=-+=-+=-+⎢⎥⎣⎦,5cos 2cos 26A B ∴+=-.3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在ABC 中，2AC =，120ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点.(1)若CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，求BD 的长；(2)若D 是边AB 的中点，ABC 的面积为23CD 的长.【答案】623(1)由120ACB ∠=︒，2AC =，CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形所以2CD =，30BCD ∠=︒，15B ∠=︒，则()62sin sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304B =︒-︒=︒︒-︒︒=.在△BCD 中，由正弦定理知sin sin BD CD BCD B =∠，则sin 62sin CD BCDBD B∠⋅==(2)由1sin 232ABC S CA CB ACB ∠=⋅⋅=△434sin BC CA ACB==⋅∠.又D 是边AB 的中点，所以()11112222CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+，则()2221111241622432222CD CA CBCA CB CA CB =+=++⋅=+-⨯⨯⨯= 故3CD =4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(23a a = ，(,sin )b c C =r ，且a b ∥．(1)求角A(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为332，求AC 边上的中线BM 的大小．【答案】(1)3A π=(2)132BM =(1)因为a b ∥，(23a a =，(sin )b c C =⋅r ，所以2sin 3a C c =．由正弦定理得2sin sin 3sin A C C =．因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以3sin 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=；(2)因为△ABC 的面积为2．所以1sin 22bc A =．因为c ＝2．3A π=．所以3b =．在三角形ABM 中，∵M 为AC 的中点．∴1322AM b ==，由余弦定理得2222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭．所以2BM =．5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos cos sin a B C A C a -=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求A ；(2)若a =123O O O ABC 的周长.【答案】(1)60︒(2)3+(1)解：由()()cos cos sin a B C A C a -=-，得()cos cos sin cos a B C a A C A -+=，即()()cos cos sin cos a B C a B C C A --+=，即()()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C B C a B C B C b C A +--=即2sin sin sin cos a B C C A =，∵sin 0C ≠，∴sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，∵sin 0B ≠，∴sin A A =，∴tan A =∵0180A <<︒︒，∴60A =︒.(2)解：如图，连接1AO ､3AO ，则13AO c =，33AO b =，正123O O O 面积2213131sin 60212S O O O =⋅⋅︒==，∴21373O O =，而60BAC ∠=︒，则13120O AO ∠=°，∴13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，有2271233332b c bc ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，则227b c bc ++=，在ABC 中，60A =︒，a 由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠，则223b c bc +-=，∴2bc =，225b c +=，∴3b c +=，所以ABC 的周长为3高频考点三：求三角形面积最值1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）ABC ∆中，60,A a =︒=(1)若2b c=，求(2)求三角形面积的最大值【答案】(1)已知60,A a =︒=2b =，，由余弦定理有：2222431cos242b c a c A bc c +-+-===，2210c c -+=，所以=1c .(2)由余弦定理有，222222cos 2a =b c bc A b c bc bc bc bc +-=+-≥-=，当且仅当“=b c ”时取等，所以3bc ≤.所以1sin 244S bc A bc ==≤，三角形面积的最大值为：4.2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在ABC 中，b ，c 分别为内角B ，C的对边长，设向量cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，且有2m n ⋅= ．(1)求角A 的大小；(2)若a =，求三角形面积的最大值．【答案】(1)4π(2))514(1)由m n ⋅=22cos sin 22A A -=；即cos 2A =因为()0A π∈，，所以4A π=(2)由2222cos a b c bc A =+-得：225b c +=又222b c bc +≥∴(52bc≥-∴(522bc ≤∴()52511()224ABC max S +=⋅ .三角形面积的最大值为)514.3．（2022·上海·高三专题练习）已知()21cos cos2f x x x x =-+.（1）若ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC 的三边分别是a ，b ，c ，周长为2，若()12f B =-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）12．（1）()211cos 21cos cos 2222x f x x x x x +=-+=-+sin 2coscos 2sin sin 2666x x x πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由()12f B =-可得，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而112,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以7266B ππ-=，解得23B π=．由于2222222cos3b ac ac a c ac π=+-=++，又2a b c ++=，所以()2222a c a c ac --=++，化简可得，()44ac a c +=+，而2a c >+≥，即1ac <，所以()44ac a c +=+≥a c =时取等号，解得4≥+4≤-28ac ≤-故ABC 面积的最大值为()max 1sin 122S ac B ==．4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()(),2,cos ,cos m a b c n B A =-= ，且m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若ABC 外接圆的半径为2，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）（1）依题意得：cos (2)cos 0a B b c A +-=，则sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，∴sin 2sin cos C C A =，又sin 0C ≠，∴1cos 2A =，()0,A π∈，故3A π=.（2）法一：由正弦定理得2sin 4sin b RB B ==，24sin 4sin 3cC B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴ABC 面积121sin sin cos sin2322S bc A B B B B B π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)26sin cos 3sin 2cos 2226B B B B B B π⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭由3A π=得：203B π<<，则72666B πππ-<-<，∴1sin 2126B π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，故262B ππ-=，即3B π=时，max S =.法二：由正弦定理得：2sin a R A ==2222cos a b c bc A =+-，∴22122b c bc bc +=+≥，当且仅当b c =时取等号，∴12bc ≤，max max 1()sin 23S bc π==5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【答案】(1)3π；(1)解：在ABC 中，因为cos sin 0a C C b c --=，所以由正弦定理有sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C-+-sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C =---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=，因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，cos 10A A --=，即1sin()62A π-=，因为(0,)A π∈，所以5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，解得：3A π=.(2)解：因为2a =，所以由（1）及余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则2242cos3b c bc π=+-，即224b c bc =+-，222b c bc +≥ ，则222b c bc bc bc +-≥-，即4bc ≥，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以()max 4bc =，所以ABC 的面积的最大值为11sin 4222S bc A ==⨯⨯=6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin b A B =，c (c ＋b )＝(a ＋b )(a －b )．(1)求A 和b ；(2)若点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF ＞BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，求△EAF 面积的最小值．【答案】(1);23π(1)由正弦定理得：sin sin b A B =即：22a bb R R⨯=(R 为三角形ABC 的外接圆半径)，故a =，由()()()c c b a b a b ＋＝＋－得：222c b a bc +-=-，则1cos 2A =-，因为(0,)A π∈，故23A π=；由等腰三角形ABC 可得6B π=，故622sin 3b ππ==；(2)由（1）知：2a b c ===，由点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF >BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，知点E 在点F 的左边,如图：设EAB θ∠=，3EAF π∠=不变，可知[0,]3πθ∈,在ABE △中，由正弦定理可得5sin sin(6)6AEAB ππθ=-，5sin()16AE πθ∴=-，在ABF 中，由正弦定理可得6sin sin()2AFAB ππθ=-，1cos AF θ∴=，故1||||sin 52cos s 1136in()AEF S AE AF ππθθ=⨯-12sin(2)6θ==++[0,]3πθ∈，∴16sin(2[,1]2πθ+∈，∴三角形AEF6πθ=．7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时，求护栏的长度（△MNC 的周长）；(2)当ACM ∠为何值时，鱼塘△MNC 的面积最小，最小面积是多少？【答案】(1)60203+；(2)15ACM ∠=︒，最小值为(2120023km .(1)由40m AC =，403m BC =，AC BC ⊥，则3tan AC B BC ==所以30B =︒，60A =︒，则280AB AC ==，在△ACM 中，由余弦定理得22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则203CM =所以222AC AM CM =+，即CM AB ⊥，又30MCN ∠=︒，所以tan 3020MN CM =︒=，则240CN MN ==，综上，护栏的长度（△MNC 的周长）为2040203603++=+.(2)设()060ACM θθ∠=︒<<︒，在△BCN 中，由()sin 30sin 90CN BC θ=︒︒+，得203cos CN θ=，在△ACM 中，由()sin 60sin 60CM CA θ=︒︒+，得()3sin 60CM θ=+︒，所以()1300sin 302sin 60cos CMN S CM CN θθ=⋅︒=+︒ ，而()213sin 60cos sin cos cos 22θθθθθ+︒=+()()13113313sin 21cos 2sin 2cos 2sin 26044222424θθθθθ⎛⎫=+⨯+=++=+︒+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2sin 2603CMN S θ=+︒+ ，仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，()2sin 2603θ+︒+最大值为23，此时△CMN 的面积取最小值为(2120023km .8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．(1)求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】(1)20sin cos AE αα=+米，cos AF α=米；(2)当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米.(1)由题意得，20AB AC ==米，90BAC ∠=︒，则45ABC ACB ∠=∠=︒，又由()045EAB αα∠=<<︒，180135AEB EAB ABE α∴∠=︒-∠-∠=︒-，9045CAF EAF EAB α∠=︒-∠-∠=︒-，所以18090AFC CAF ACF α∠=︒-∠-∠=︒+；在ABE △中，由正弦定理得：sin sin AE ABABE AEB=∠∠，即()2020sin 45sin 135sin cos AE AE ααα=⇒=︒︒-+米；同理，在ACF 中，sin sin AF ACACF AFC=∠∠，即()20sin 45sin 90cos AF AF αα=⇒=︒︒+米；综上所述：20sin cos AE αα=+米，AF .(2)由（1）知，综20sin cos AE αα=+米，AF 所以小老虎休息区AEF 面积为:1120sin sin 4522sin cos AEF S AF AE EAF αα=⨯⨯⨯∠=⨯⨯︒+△化简得：210010020011cos 2sin cos cos sin 221224AEF S αααααα===+π+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭△又()045EAB αα∠=<<︒ ，∴32444πππα<+<，则当242ππα+=，即8πα=时，AEF S取得最小值)20020012184=ππ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭；此时小老虎活动区面积S取得最大值，即)(12020200120022ABC AEF S S S =-=⨯⨯--=△△平方米.综上所述：当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米.高频考点四：求三角形面积取值范围1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()sin sin sin b c B c C a A -+=，cos cos 1b C c B +=.(1)求A 和a 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)π3A =，1a =(2)⎝⎦(1)因为()sin sin sin b c B c C a A -+=，由正弦定理得，()22b c b c a -+=，即222a b c bc =+-，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.因为cos cos 1b C c B +=，由余弦定理得，222222·122a b c a c b b c ab ac+-+-⋅+=，可得1a =所以π3A =，1a =.(2)由（1）知π3A =，1a =，由正弦定理得，sin sin B a B A b ==，sin 2πsin 3a C c C B A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32B C B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，得ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.从而ABC 的面积121sin sin sin πsin sin 233322S bc A B B B B B ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos 2sin sin cos sin 2322344B B B B B ⎫⎫-=+⋅=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2cos 22622126612B B B ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而ABC的面积的取值范围为64⎛ ⎝⎦.2．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，且2tan tan tan B bA B c=+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】(1)3A π=；(2)(2.(1)解：由2tan tan tan B bA B c =+得2sin cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B C=+，即()2cos 1sin sin A A B C=+，又sin()sin A B C +=，所以1cos 2A =因为0A π<<，故3A π=.(2)解：1sin 2ABC S bc A == ，由正弦定理知：2sin sin 31sin sin B b C c B B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭===因为ABC 是锐角三角形，所以022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,所以62B ππ<<，于是tan B 14c <<.ABC S << 3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎝⎭u r r ，且//m n .(1)求B ；(2)若ABC为锐角三角形，且a =，求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)3B π=(2)2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(1)解：由题意，向量(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎝⎭u r r ，因为//m n ，可得sin sin 2A Ca b A +=，又由正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=，因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin sin 2A CB +=，即sin sin cos22BB B π-==，所以2sin cos cos 222B B B =，可得cos2sin 1022B B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 02B=或1sin 22B =，又因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)解：由（1）结合正弦定理sin sin sin a b c A B C==sin sin 3b c C π==，所以()sin A B c A +===所以133cos 913sin 22sin 2tan 2ABC A A S ac B A A +===+，又由ABC 为锐角三角形，且3B π=，则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，因为tan y x =在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以tan 3A >，所以2ABC S <<，即ABC S ⎝∈ .4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin a b A C c A B--=+．(1)求角B 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求ABC 的面积S 的取值范围．【答案】(1)60B =︒(2)S ∈⎝⎭(1)由已知及正弦定理，得a b a c c a b--=+，即()()()a b a b c a c -+=-，即222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=．由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,180B ∈︒︒，所以60B =︒．(2)因为120A C +=︒，c ＝1，由正弦定理，得()sin 120sin sin 1sin sin 2sin 2tan 2C c A C C a C C C C ︒-+====+所以11sin sin 601228tan S ac B C ⎛⎫==︒=+ ⎪ ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则3090C ︒<<︒，从而tan ,3C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，所以82S ⎛∈ ⎝⎭5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B a c C a b--=+．(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 的面积S 的取值范围．【答案】(1)60°；(2)2⎛ ⎝﹒(1)∵sin sin sin A B a c C a b--=+，∴由正弦定理得a b a c c a b --=+，即()()()a b a b c a c -+=-，即222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,180B ∈︒︒，∴60B =︒；(2)∵B =60°，∴120A C +=︒，即A =120°-C ，又∵2c =，∴由正弦定理得()2sin 120sin 1sin sin C c A a C C ︒-====，∴1sin sin 60122tan ABC S ac B a C ⎫==︒=+⎪⎪⎝⎭△，∵△ABC 为锐角三角形，∴090090120A C A C ︒<<︒⎧⎪︒<<︒⎨⎪=︒-⎩，解得3090C ︒<<︒，从而tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，∴2S ⎛∈ ⎝．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2sin a b B A C c c+=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】(1)6C π=或56C π=(2))3(1)由正弦定理可得sin cos sin cos cos cos =2sin sin a b A B B A B A C c c C++=整理得2sin()sin 2sin A B C C+==因为(0,)C π∈，所以sin 0C >，所以1sin 2C =，所以6C π=或56C π=(2)因为4b =，所以1sin 26ABC S ab a π== ，由正弦定理可得54sin()sin 26sin sin tan B b A a B B Bπ-===+因为ABC 是锐角三角形，所以6C π=，所以,500262πππB B <<<-<所以32B ππ<<所以tan 0B >，10tan 3B <<可得3a <<即ABC面积的取值范围为)37．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B-=(1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长；(3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.【答案】(1)3π3⎛ ⎝(1)解：由()2cos cos a b C c B -=及正弦定理得()2sin sin cos sin cos A B C C B-=所以()2sin cos sin sin A C B C A=+=∴sin 0A ≠，∴1cos 2C =∵0C π<<，∴3C π=(2)解：设CD x =由+= ACD BCD ABC S S S得1111132622222x x ⋅⋅+⋅⋅=⨯.解得5x =，即角平分线CD的长度为5(3)解：设ABC 外接圆半径为R ，由cos cos 4a B b A +=2sin cos 2sin cos 4R A B R B A +=，即2sin 4R C =，即42sin sin c R C C ==，∴4c =所以ABC 的面积13sin 24S ab C ab ==∵sin sin b a B A ==3a A =，b B =∴2sin sin 33S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin sin cos sin 333A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭21cos sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos23444A A ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭26A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵02A π<<，02B π<<，23A B π+=，∴2032A <-<ππ，∴62A ππ<<，∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴3S ⎛∈ ⎝第三部分：高考真题感悟1．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B Ð；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC的周长为4+条件③：ABC【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析．（1）2cos c b B = ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin3B π∴==23C π= ，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin 21sin 2c C b B ===，与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211sin 22ABC S ab C a ==⨯ a =则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：2.2．（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A C a b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2).(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A C B +=．0<B π<，02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A CB π++=不成立，所以2AC B +=，又因为A B C π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a c A C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C C π-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <<故82ABC S << .故ABC S的取值范围是3．（2017·上海·高考真题）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A所对边a =角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．【答案】（1）,2p p ÷ê÷÷êøë；（2（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+Î，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p ÷ê÷÷êøë.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．【答案】（1）（2）57试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝.从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.5．（2015·山东·高考真题（理））设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆面积的最大值为24试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Zππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A=+-可得：2212b c bc+=+≥即：2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A ≤所以ABC ∆。
三角形面积的计算_典型例题四
典型例题
例1．一个三角形的底是18厘米，面积是126平方厘米，高是多少厘米？
分析：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形与拼成的平行四边形等底等
高．（如下图）先用三角形面积乘2，求出平行四边形面积，再用平行四边形面积除以底（18厘米），就是平行四边形的高，也就是三角形的高．
解：126×2÷18＝14（厘米）
答：三角形的高是14厘米．
☆例2．如图，正方形ABCD ，三角形（1）的面积比三角形（2）的面积大8平方厘米，10 AD
厘米，求DE 的长．
分析：正方形中包括梯形AOCD ，三角形ADE 中也包括梯形AOCD ．三角形（1）的面积比
三角形（2）大8平方厘米，说明三角形ADE 的面积比正方形ABCD 的面积大8平方厘米．正方形面积是10×10＝100（平方厘米），那么三角形ADE 的面积就是100＋8＝108（平方厘米），已知三角形ADE 的面积和高，就可以求出三角形的底（DE ）． 解：10×10＋8＝108（平方厘米）
108×2÷10＝21.6（厘米）
答：DE 的长为21.6厘米．。