中国石油大学(华东)第二十一届高等数学竞赛试卷
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(2)
A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1． 求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。
中国石油大学华东期末(2—2)高数题1
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面与平面的夹角为 .2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 .3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时，.4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：______________________________________.6.将函数展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（ ）(A) ； (B) ； (C)； (D).8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（ ）(A)； (B) ；(C)； (D).0:1=-∏z y 0:2=+∏y x 22y x z +=)2,1()2,1()32,2(+(,)f x y 222:a y x D ≤+0→a =⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20πΩ222x y z +=1=z f dVΩ⎰⎰⎰Γ32,,t z t y t x ===t 01R Q P ,,ΓPdx Qdy Rdz Γ++=⎰)0(1)(π≤≤+=x x x f ),(y x f z =K y x f xy=''),((,)y f x y '=22K Ky )(x Ky ϕ+)(y Kx ϕ+)(x f )(x g {}xy x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(0)()(=⎰⎰Ddxdy x g y f 0)()(=⎰⎰Ddxdy y g x f 0)]()([=+⎰⎰Ddxdy y g x f 0)]()([=+⎰⎰Ddxdy x g y f9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .10. 曲面积分在数值上等于( )(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量； (C) 向量场穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场沿Σ边界所做的功.11．( )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数的敛散性为 ( )(A) 当时，绝对收敛； （B ）当时，条件收敛；(C) 当时，绝对收敛； （D ）当时，发散. 三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设确定，求全微分. 题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -ABC ∆29379273⎰⎰∑dxdyz2i z v 2=2z =ρk z F 2=k z F 2=处则此级数在处是收敛的在若级数1,4)2(1=-=+∑∞=x x x c n n n ∑∞=--121)1(n pn n p >12p >12210≤<p 012<≤p ()x y z x y z e -++++=(,)z z x y =dz 2223023540x y z x x y z ++-=⎧⎨⎩-+-=nn x n ∑∞=+0)12(⎰⎰∑++=dSz y x I )(∑5=+z y 2522=+y x 222(24)(2)LI x xy dx x y dy=++-⎰L上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.18.（本题满分8分）计算，其中是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：.答 案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面与平面的夹角为.2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为.3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时，.4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为.5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：.22355()()222x y -+-=(1,1)(2,4)⎰⎰∑+++=xydxdydzdx z x y yzdydz I )(22∑224y x z -=+0=y Ω1222222=++c z b y a x )(),(x g x f []b a ,])(][)([])()([222⎰⎰⎰≤b abab adx x g dx x f dx x g x f 0:1=-∏z y 0:2=+∏y x 3π22y x z +=)2,1()2,1()32,2(+321+(,)f x y 222:a y x D ≤+0→a =⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f Ω222x y z +=1=z f dVΩ⎰⎰⎰211()rd dr f r rdzπθ⎰⎰⎰Γ32,,t z t y t x ===t 01R Q P ,,ΓPdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数展开成余弦级数为.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
历届高等数学竞赛试卷
第二十届高等数学竞赛试卷专业年级：学 号： 姓 名： 成 绩：说明：1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.2. 题目所在页背面为草稿纸.3. 试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办 2006年6月4日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则=a .解题过程是：2. =+→)1l n (102)(c o s lim x x x .解题过程是：3. 设函数2301sin d,0,(),0,xt t xf x xa x⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x=处连续，则a=.解题过程是：4.=∂∂+∂∂=yzyxzxxyxyz则设,sin. 解题过程是：5.的解为：满足微分方程91)1(ln2-==+'yxxyy x.解题过程是：_______)()(,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰DdxdyxygxfIDxaxgxfa则表示全平面，而其他若设16解题过程是：7..dtan)cos(22222005=+⎰-xxxxππ解题过程是：8..sin 2sin sin 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n n n n πππ解题过程是： 9. .,1222=≤++Ω⎰⎰⎰Ωdv e z y x z计算所界定由设空间区域解题过程是：10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则..),(),(=-⎰dy y x f x x d y x f y L解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换21010102='==+'-''-<<===x x y yy y x y x t t x π解题过程是：2. 设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，计算曲面积分d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰..解题过程是：.,),(.的值和数图形有拐点，试确定常处函数的，且在点处有极小值在设函数c b a x cx bx ax y 20012323=+++=解题过程是：.)(d d )()()(),()(.x f t y x y x f y x t f t x f t y x 求函数满足下式：上连续，且对任意的在设函数4222222224+++=∞-∞⎰⎰≤+解题过程是：..之间的最短距离．与平面求旋转抛物面22522=-++=z y x y x z解题过程是：要多少时间？厘米的雪堆全部融化需问高为）系数侧面积成正比，（比例已知体积减少的速率与，小时设长度为厘米，时间为其侧面满足方程的雪堆在融化过程中，为时间设有一高为130,9.0)()()(2)())((.622t h y x t h z t t h +-=解题过程是：.86,)1,1,1(632.722222处的梯度的方向导数和在点处沿方向在点计算函数处指向外侧的法向量在点是曲面设P n P zy x u P z y x n+==++解题过程是：三、证明题（本题8分）：.)()(022)(0)(22)()(4242的表达式求函数；，有简单闭曲线内的任意分段光滑证明：对右半平面的值恒为同一常数，曲线积分上，单闭曲线原点的任意分段光滑简有连续的导数，在围绕设函数y II yx xydydx y C x I yx xydydx y L y CLϕϕϕϕ=++>++⎰⎰中国石油大学（华东）第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则=a ..解 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a x ax x x ax x x ，故a=-4.2. =+→)1ln(12)(cos lim x x x .解 )1ln(102)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故 原式=.121e e =-3. 设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =.解 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =.4.='+'⎪⎭⎫⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,..20sin 202,1,:2z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y z x y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z yx =+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛='+'∴⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解5.的解为：满足微分方程91)1(ln 2-==+'y x x y y x ...91ln 31091)1(191ln 31]ln [1]ln [ln 222222x x x y C y x C x x x C xdx x x C dx ex e y x y xy dxx dx x -==-=+-=+⋅=+⎰⋅⎰==+'⎰⎰-，故所求通解为：得，由，于是通解为：解：原方程等价为：._______)()( ,,)()(,.=-=⎩⎨⎧≤≤==>⎰⎰Ddxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设01006解：本题积分区域为全平面，但只有当 10,10≤-≤≤≤x y x时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 .⎩⎨⎧+≤≤=-⇒⎩⎨⎧≤-≤=-,,0;1)(,,0;10)(其他若其他若x y x a x y g x y a x y g⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≤≤=-其他,0,1,10)()(2x y x x a x y g x f.])1[(0)()(2121012221a dx x x a dydx a dxdy dxdy a dxdyx y g x f I x xD D D=-+==+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+7..d tan )cos (22222005=+⎰-x x x xππ.22212d sin 20d tan cos d d tan d tan )cos (2022222222200522222005πππππππππ=⋅⋅=+=+==+⎰⎰⎰⎰---x x xx x x x x xx x x x解：8..sin 2sin sin 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→n n n n n n πππ⎰∑∑=∆=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-+++=→∞=→∞→∞1011d sin )(lim 1sin lim )1(sin2sin sin 1lim xx x f n n i nn n n n i ni i n ni n n πξππππ 解：n in x n n n i n n n x x f i i ==∆<<<<<<=ξπ,1 ,210]10[, sin )(取等份，分点为分为，把区间看作().20cos cos 101cos d sin 1`0ππππππ=+-=-==∴⎰x x x 原式9..,1222=≤++Ω⎰⎰⎰Ωdv e z y x z计算所界定由设空间区域.2)1(22211210222ππ=-===-≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdz e z dxdy dz e dv e dv ez y x D z z D z z zz z上法．，故采用＂先二后一＂为圆域的函数，截面被积函数仅为解：10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty tf x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则..),(),(=-⎰dy y x f x x d y x f y L解2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导得 3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-.令 1t =，则 (,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-,. 即11(,)(,)(,)22x y f x y xf x y yf x y ''=-- ①设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q Pf x y xf x y f x y yf x y x y ∂∂''=--=+∂∂.则由①可得 11(,)(,)22y x Q P yf x y xf x y xy ∂∂⎛⎫''==- ⎪∂∂⎝⎭. 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有.0),(),(=-⎰dy y x xf x d y x yf L二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换21010102='==+'-''-<<===x x y yy y x y x t t x π，解：dt dyt dx dt dt dy y si n 1-=⋅='，代入原方程得0),sin 1(]sin 1sin cos [22222=+-⋅-=⋅'=''y dty d t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y 。
高数竞赛试题集
高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(14)
A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。
中国石油大学(华东)高等数学___期末考试真题___版
4.设 f(x)在区 [0,1间 ]上连续，则下 不列 正等 确_式 的 _._中 是
1
1
(A) f(x)dx f(t)dt;
(B)
1
f(x)dx
1f(x2)dx2;
0
0
0
0
(C)
1
f(x)dx
1f(x2)dx2;(D)
1
f(x)dx
1
f(sinx)dsin x.
旋转体的体 __积 __为 ___. ___
5.曲 线 zzx2 2 2 y2 y2在 xO 面 y 上的投 _影 ___ 曲 ._
一、
2;
2 (1 x)3 ;
( x 2)ln( x 2)
x C;
x2 ;
3y2 z0
2
二、单项选择（每小题 4 分， 共 20 分） 1.设lxim （ 0 1xx） 12,则有 ___. (A) 1,1; (B) 2,1;
1
1
0 2xf ( x)dx 0 f ( x)dx.
1 1 y2
在x轴的总的分力为
kdy .
(1 y 2 )3
1
y dy y
o
1 y2
•
1
x
1
Fx
0
kdy
y tan t k 4 cos tdt
2 k.
(1 y 2 )3
0
2
1
七. (8分）设函数 f ( x) xe x2，填下表并作图.
四、求导数与积分（每小题 7 分， 共 21 分）
| 1.设y
f(x)由参数方 xy程aacsion33stt所确,定 求dd2xy2
高等数学竞赛最新试题及答案
高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(3) (1)
A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。
一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
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中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若+→0x 时，x x-+11ln与αx是等价无穷小，则=α.解题过程是：2. =-→3s i n a r c t a n limxxx x .解题过程是：3. 曲线)1ln(1xe x y ++=，渐近线的条数为： .解题过程是：4. =∂∂+∂∂=yz yxz xx y xy z 则设,tan.解题过程是：5.微分方程2='+''y y y ,10==x y满足初始条件:210的特解是='=x y.解题过程是： 6.的值为：，则二重积分为若平面区域y x y x y x D Dd d )cos(20,20:⎰⎰+≤≤≤≤ππ.解题过程是： 7..d )33(0cos cos =-⎰-x xxπ解题过程是：8. 设函数)(x f 的一个原函数是22x ，则x x f x d )(⎰'= .解题过程是：9.⎰⎰⎰+--=+=ΩΩVz x yxz yxz d )(,12222计算所围成与由设空间区域=.解题过程是：10. 设曲线AnO 0)((0,0),0)(22>--=+a O a A ax y x 一段到的下半圆周自为，()()=-+-⎰y y e x y y e x AnOx d 3cos d 3sin 计算.解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）： .38)2()1(),0()0)(,(),0,1(.1的值时，确定所围平面图形面积为与当直线的方程；求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上，连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠解题过程是：2. 设.)0(122的上侧是曲面≥--=z y xz Σ，计算曲面积分.d d )1(3d d 2d d 2233y x z x z y z y x I ⎰⎰∑-++=解题过程是：.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x zyx解题过程是：).(4,0d ]21([1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z Vy xf z t f t t x f 确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>+∞⎰⎰⎰ΩΩ解题过程是：{}.0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y yxy x D y x yxy x f解题过程是：6. 设曲面1:=++z y x ∑，计算曲面积分⎰⎰+∑Sy x d )(.解题过程是：).,(,),()()(2),(0.724224y x u y x u jy x x i y x xy y x A x 并求的梯度为某二元函数上的向量使在右半平面确定常数 λλλ+-+=>解题过程是：三、证明题（本题8分）：).()(),(),()(),()(),(],[)(),(ξξξg f b a b g b f a g a f b a b a x g x f ''=''∈==使得，存在证明：相等的最大值，内具有二阶导数且存在上连续，在在设函数中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若+→0x 时，x x-+11ln与αx 是等价无穷小，则=a .解题过程是：若+→0x 时，x x -+11ln与αx是等价无穷小， ())()()(1ln )1ln(11lnx o x x o x x o x x x xx +=+++=--+=-+，则+→0x ，,~)(αx x o x +故21=α.2. =-→3s i n a r c t a n limx xx x .解题过程是：61)](6[)](3[limsin arctan lim333333-=+--+-=-→→xx o xx x o xx xxx x x .3. 曲线)1ln(1xe x y ++=，渐近线的条数为： 3 ..解题过程是：曲线)1ln(1xe xy ++=渐近线有3条：垂直渐近线0=x ，水平渐近线)(0-∞→=x y ，斜渐近线)(+∞→=x x y . 4.='+'⎪⎭⎫⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,..20tan 202,1,:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y zx y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y x =+=+⎪⎭⎫⎝⎛='+'∴⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解5.微分方程2='+''y y y ,10==x y满足初始条件:210的特解是='=x y.解题过程是：.1,1:,1,1,,d d 2,21d d .2,121,21,1d d ,1ln ln ln ,d d ,d d d d 0,0d d ,d d ,),(220221101112+=+==⇒=+=⇒=⇒=∴=⇒=⇒='=∴=⇒+-=-=⇒-=⇒-=≠=+='''='=''==⎰⎰x y x y C yC x yx y y yxy C C y yC xy y C P C y P yyP P y y P P P y P y P Py P yP yP P y y P y y f y x x 或通解，，时，代入型，令解：6.的值为：，则二重积分为若平面区域y x y x y x D Dd d )cos(20,20:⎰⎰+≤≤≤≤ππ.解题过程是： .2)1(cos)sin 1()cos()cos()cos()cos(.22020222020202121-=---=+-+=+-+==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--πππππππππdx x dx x dyy x dx dy y x dx dxdyy x dxdy y x I D D D y x x xD D 两个区域、分为把区域解：用直线7..d )33(0cos cos =-⎰-x xxπ解题过程是：解：令tx -=2π， ttsin sin 33--是奇函数，得xxx d )33(0cos cos ⎰--π=.0d )33()d ()33(22sin sin 22sin sin =-=--⎰⎰----t t ttttππππ8. 设函数)(x f 的一个原函数是22x ，则x x f x d )(⎰'= .解题过程是：x x f x d )(⎰'==-=⎰⎰)()()(d x f x xf x f x C x xx+-2222ln 222.9.⎰⎰⎰+--=+=ΩΩdV)(,12222z x yx z y xz 计算所围成与由设空间区域=解题过程是：.8sin cos )(.0),,(124020πϕϕϕθΩππΩΩΩ=⋅==+∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr rr d d zdv dv z x xdv x x z y x f yoz 利用球面坐标系的奇函数，有为面为对称，关于10. 设曲线AnO 0).((0,0),0)(22>-=+a O -a A ax y x 一段到的下半圆周自为，()()=-+-⎰dy y e dx y y e x AnO x 3cos 3sin .计算.解题过程是： (),83221333cos cos ,22a a dxdy dxdy y e y e dxdy y P x Q OA D D xx D AnOOAAnOAππ=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，组成闭曲线解：补上线段()⎰⎰⎰⎰=⋅-+⋅⋅-=-=∴axOAAnOAAnOa edx e a 0228303083 ππ.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.38)2()1()0(,)0)(,(),0,1(.1的值时，确定所围平面图形面积为与当直线的方程；求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上，连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠解题过程是：,),()1(ax xyy x f y L =-'=由题设得，的方程为设曲线解：由通解公式，这是一阶线性微分方程.,Cxax C ax x C x axee y xxx x+=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-2d 1d 1)(d又,,0)1(a C f -=∴=故曲线L 的方程为：)0(2≠-=x ax ax y .围成的平面图形面积与直线)0()2(>=a ax y L()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰()220482d 33a x x x a =-==⎰2.a =故2. 设.)0(122的上侧是曲面≥--=z y xz Σ，计算曲面积分.)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=解题过程是： .1122，组成闭曲面的下侧为平面圆域解：补充Σyx xoy =+.)1(322)1(32211233233dxdy zdzdx y dydz x dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-++--++=dxdydzz yxdxdy zdzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰++=-++∑+∑Ω)(6)1(322222331.2)]1()1(21[12)(62322102011022ππθπ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰-dr r r r r rdz r z dr d r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdydxdy zdzdx y dydz x π故.32πππ-=-=I.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x zyx解题过程是：),,,(,932),,(:000222z y x M z y x z y x F 切点设解-++=,.},2,3,2{},2,6,4{},2,6,4{},,{000000n n n z y x n z y x F F F n z y x∥由题意-==='''=,,2,2,223624000000λλλλ=-====-=z y x z y x.2,92322,132),,(222202020000±==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++λλλλ解得在椭球面上z y x z y x M.),2,1,1(),2,1,1(代入得切平面方程切点---.9232,9232-=+-=+-z y x z y x 及).(4,0d ]21([1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z Vyxf z t f t t t f 确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>∞⎰⎰⎰ΩΩ解题过程是： dz)]2r f([zrdr dθ1f(t)式可写为解：在柱坐标系下，等2π2th2⎰⎰⎰++=⎰++=2t2)]dr2r f(3hr[2πh1即，f(t) 等式两边对t 求导得)],(3[8)(2t f hht t f +='π⎰⎰=+'8πhtdtdt f(t)3h(t)f 分离变量并积分2C4πh t f(t))3hln(得22+=+1),3hln(C 1,f(t)lim f(0)由原等式可得2t +=⇒==+→.3h )e h 31(1f(t)24πht22-+=∴{}.0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y yxy x D y x yxy x f解题过程是：解：（1）,24,2222y x y f xy x f y x-='-='22222),(y x y x y x f -+=求函数的驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='024,02222y x y f xy x f y x {}0,4),(22≥≤+=y y x y x D 区域内的驻点为：)1,2(±.（2）.2),(2222边界上的极值在区域求函数D y x y x y x f -+=构造拉格朗日函数： )4(2),,(222222-++-+=y x y x y x y x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+-=∂∂=+-=∂∂040)2(240)2(222222y x L y y x y y L x xy x x L λλλ条件极值驻点为：)23,25(±（3）比较.2),(2222在这些点的值的大小，函数y x yx y x f -+=最小值为0。