中国石油大学高等数学精品课件

= ∫ x 1+ 4x2 dx
0
1 = 12
(
3 1 + 4x2 2
)
1
1 5 5 −1 = 12
(
)
0
例3 解
x = acos t, (第Ι象限). 求I = ∫ xyds, L: 椭圆 L y = bsin t,
I = ∫ a cos t ⋅ b sin t ( − a sin t ) 2 + ( b cos t ) 2 dt
∆si 表示小弧段的长度 . i = 1,2,L , n.
近似 取 (ξ i ,ηi ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,ηi ) ⋅ ∆si . 求和 取极限
M ≈ ∑ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
i =1 n
近似值
M = lim ∑ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
x = a cos t , 由于积分曲线L 解 :由于积分曲线L 参数方程 可得 : y = a sin t , I=
∫
L
xyds =
π
(a cos t )(a sin t ) (− a sin t )2 + (a cos t )2 d t ∫
2 0
π
= ∫2
0
(a cos t )(a sin t )adt
2
∴
e
∫
2
L
x ds = ∫ x
2 1
e
2
dy 2 1 + ( ) dx dx
2 e 2
1
e
=∫ x
1
1 x 1 2 x 1+ − dx = ∫ x + dx. 1 2 2x 2 2x
M (ξ 小，就可以用 i −1Mi小段上任意一点 i ,ηi )处的线密度 代替小段的线密度， 得小段的质量近似值为 : ρ(ξi ,ηi )代替小段的线密度，故
(2)近似替代：在线密度连 近似替代： 续变化的前题下， 续变化的前题下，只要 小段很
Mi ≈ ρ(ξi ,ηi )∆si
M ≈ ∑ρ(ξi ,ηi )∆si
λ →0
i =1
n
精确值
求曲线型物体的质量： 求曲线型物体的质量： 设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量， 设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量， 且曲线型物件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧 面内的一段曲线弧L 且曲线型物件所占的位置在 面内的一段曲线弧 它的端点为A、 ， 上,它的端点为 、B，在L上任一点 (x,y)处，线密度 上任一点 处 现要计算这物件的质量M。 为 ρ( x, y) ，现要计算这物件的质量 。 :( :(如图P152 10-1) P152
ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0, 则
∫
L
f ( x, y)ds = ∫
换限
β
α
′2 (t ) +ψ ′2 (t )dt f [ϕ(t ),ψ (t )] ϕ
用L的方程代换 的方程代换 弧微分
(α < β )
证明 : 设 t 连续的由 α 变到 β 时 , L 上点 M ( x , y )沿曲 线 L 从点 A 连续的变到 B . 分割L 分割L : A = M 0 , M 1 , L M n = B , 相应地 [α , β ]有分割 : α = t 0 < t1 < L < t n = β , M i (φ ( t i ),ψ ( t i )),
∫
L
f ( x, y)ds = ∫
d
b
a
( 2) L : x = ϕ ( y )
dy f [ x, y( x)] 1+ dx. dx c ≤ y ≤ d.
2
f ( x, y)ds = ∫ f [ϕ( y), y] 1 + ϕ′2( y)dy. (c < d) ∫L c
∫
L
f ( x,ห้องสมุดไป่ตู้y)ds = ∫
L L L
(2) ∫ kf ( x, y)ds = k∫ f ( x, y)ds (k为常数).
L L
(3) ∫ f ( x, y)ds = ∫ f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds.
L L 1 L2
(L = L + L2 ). 1
(4) ∫
) AB
f ( x, y)ds = ∫) f ( x, y)ds
1≤ i ≤ n
∑
i =1
n
f [φ (τ i ),ψ (τ i )] φ ′(τ i ) 2 + ψ ′(τ i ) 2 ∆t i
令λ ′＝max{∆t i }
n
则 λ ′ → 0 ⇒ λ = max {∆s i } → 0,
1≤ i ≤ n
取极限： 令 λ ′ → 0, 取极限：
n
分定义 由曲线积分定义和定积
π
0
= a3 ∫ 2
a3 sin t d(sint ) = . 2
例2 计算∫
L
yds，其中 是抛物线 = x2上 O(0,0)与B(1 1) L y 点 ，
之间的一段弧。 之间的一段弧。
x=x 解: L : y = x2 ∴
1
(0 ≤ x ≤ 1)
1
∫L
yds = ∫
0
x2 1+ ( x2 )'2 dx
s
L
z = f ( x, y)
S柱面面积 = ∫ f ( x , y )ds .
L
9.5.2第一类曲线积分的计算 9.5.2第一类曲线积分的计算
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续 ,
x = ϕ ( t ), (α ≤ t ≤ β )其中 L的参数方程为 y = ψ ( t ), ϕ ( t ), ψ ( t )在 [α , β ]上具有一阶连续导数 , 且
BA
几何与物理意义 几何与物理意义
(1) 当 ρ ( x , y )表示 L的线密度时 , L的质量为： 的质量为：
M = ∫L ρ ( x , y )ds ; ( 2 ) 当 f ( x , y ) ≡ 1时 , L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 当 f ( x , y )表示立于 L上的 柱面在点 ( x , y )处的高时 ,
d
c
dx f [ x( y), y] 1+ dy. dy
推广: 推广 空间曲线 Γ : x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ), z = ω ( t ). (α ≤ t ≤ β ) β f ( x, y, z)ds = ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2 (t ) +ψ ′2 (t ) + ω′2 (t )dt ∫Γ α
L
β
α
注意: 注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; α β
2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形: 特殊情形
(1) L : y = ψ ( x )
b
a ≤ x ≤ b.
2
f ( x, y)ds = ∫ f [ x,ψ ( x)] 1 +ψ′2( x)dx. (a < b) ∫L a
i =1
lim∑ f (ξ i ,ηi )∆si = lim ∑ f [φ (τ i ),ψ (τ i )] φ ′(τ i ) 2 + ψ ′(τ i ) 2 ∆t i
λ →0
i =1
λ ′→0
即 f ( x, y)ds = ∫ f [ϕ(t ),ψ(t )] ϕ′ 2 (t ) +ψ ′ 2 (t )dt ∫
在 L上有界 .用 L上的点 M 1 , M 2 , L , M n − 1把 L分成 n 个小段 .设第 i个小段的长度为 ∆ s i , 又 (ξ i ,η i )为第 i个小段上任意取定的一 点, y 作乘积 f (ξ i ,η i ) ⋅ ∆ s i , 并作和 ∑ f (ξ i ,η i ) ⋅ ∆ s i ,
n
(∆si 表示小段的长度 )
(3) 求和：整个构件质量近似值为 求和：
i =1
lim (4) 取极限：M = λ→0 ∑ρ(ξi ,ηi )∆si 取极限：
λ→
i =1
n
(λ表示 个小弧度的最大长度 n )
9.5.1对弧长 第一类) 9.5.1对弧长 (第一类)曲线积分的概念与性质
1.定义 定义 设 L为 xoy 面内一条光滑曲线弧 , 函数 f ( x , y )
∫
L
f ( x , y ) ds 存在 .
3.推广 推广
函数 f ( x , y , z ) 在空间曲线弧 Γ上第一类 曲线积分为
∫
Γ
f ( x, y, z)ds = lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i ) ⋅ ∆si .
λ→0
i =1
n
注意： 注意：
(1). 若 L (或 Γ )是分段光滑的 ( L = L1 + L2 ),
i =1 n
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
如果当各小弧段的 长度的最大值 λ → 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或 第一类曲 线积分 , 记作 ∫ f ( x , y )ds , 即
被积函数
Γ
α
(α < β )
y
B
曲线的弧长的计算公式 ： 直角坐标系下， 直角坐标系下， L : y = f ( x ), a ≤ x ≤ b, s = ∫ ds = ∫