中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (10)

2007—2008学年第一学期

《高等数学》（上）期末试卷

专业班级

姓名

学号

开课系室数学学院基础数学系

考试日期 2008年1月7日

说明：1本试卷正文共6页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分).

1. x x x 2sin )31ln(lim

0-→= .

2. 设函数)(arctan x f y =，其中)(x f 在),0(∞+内可导，则dy = .

3. 设0>a ，则⎰-dx x a 2

221

=____________. 4.

⎰

-+-21

2

111ln

dx

x x

=__________. 5. ⎰+π

42sin a a

xdx

= __________.

6. 微分方程 x y y sin 4=+''的通解是 .

二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).

1．设)(x f 为可导的奇函数，且5)(0='x f ，则=-')(0x f （ ）.

(A) 5-； (B) 5； (C) 25； (D) 25

-

.

2. 设函数)(x f 在点0x 的某邻域有定义，则)(x f 在点0x 处可导的充要条件是

（ ）.

（A ）

)(lim )(lim 0

x f x f x x x x +

-

→→=； （B ）

)

()(lim 00

x f x f x x '='→；

（C ）)()(00x f x f +-'='； （D ）函数)(x f 在点0x 处连续.

3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数)(t s ，一条是汽车的速度函数)(t v ，一条是汽车的加速度函数)(t a ，则（ ）.

（A ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v

的图形，曲线c 是)(t a 的图形； （B ） 曲线b 是)(t s 的图形，曲线a 是)(t v 的图形，曲线c 是)(t a 的图形；

（C ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线c 是)(t v 的图形，曲线b 是)(t a 的图形；

（D ） 曲线c 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v 的图形，曲线a 是)(t a 的图形.

4. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数，1x 、)(212x x x <是),(b a 内任意两点，则( ).

（A ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，其中ξ为),(21x x 内任意一点 ；

（B ）至少存在一点),(21x x ∈ξ，使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ；

（C ）恰有一点),(21x x ∈ξ，使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ;

（D ）至少存在一点),(21x x ∈ξ，使))()(122

1

x x f(ξdx x f x x -=⎰.

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

.00

,

;

0,)1()( .111的值处连续，求常数在设函数a x x a x e x x f x

x =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛+=

2. 求极限 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→n n n n n n πππ)1(sin 2sin sin 1lim .

3. 求定积分

⎰-41

dx

x x .

4. 求广义积分

⎰

∞+-+2

2)7(1

dx

x x .

四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1. 设函数)(x y y =是由方程 ⎰⎰

=2

2

cos x y t tdt

dt e 所确定的函数，求dx dy

.

2．设函数x x

x f sin 1sin 1)(+-=

，求)(x f 的原函数.

3．求微分方程

x

e

x

y

y sin

cos-

=

+'的通解．

4．判断曲线

3

3

5x

x

y-

+

=的凸性与拐点.

五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.

1.曲线

y

x=

，

2

2y

x-

=

及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转而成的立体

的体积.

2.求曲线

241:x y L -=

位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线L 以及两坐标轴所

围图形的面积最小.

3．有一半径为R 的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面h 的地方，

求薄板一侧所受的水压力.

六、证明题（本题4分）.

证明方程12

1=++++--x x

x x n n n )4,3,2( =n 在)1,0(内必有唯一实根n x ，