中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷
（工科类）参考答案及评分标准
一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“?” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞
+→)(lim x f x .（ ? ）------------- （ 1分 ）
例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞
+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）
2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞
→n n n y x ，则0lim =∞
→n n x 或.0lim =∞
→n n y （ ? ）-------------- （ 1分 ）
例如：
,0,1,0,1:n x
,1,0,1,0:n y
有0lim =∞
→n n n y x ，但n n x ∞
→lim ，n n y ∞
→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ） 4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ? ）------------------- （ 1分 ）
例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3
)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ）
5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：??
?=.,0,1)(为无理数
当为有理数，
当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分 ） 二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）
1. 指出函数x x x f cot )(?=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(?=的间断点为：
,2,1,0,±±==k k x π ------------------------------------------------------- ( 3分 )
当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos lim
cot lim )(lim 0
===→→→x
x
x x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(?=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )
当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos lim
cot lim )(lim ∞===→→→x
x
x x x x f k x k x k x π
π
π
),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(?=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )
2．求极限?
-+∞
→+x x t x dt e t x 0
22
)1(1lim
解 ?
-+∞
→+x x
t x dt e t x 0
22
)1(1lim
??
?
??∞∞+=?+∞
→x
x t x e x dt e t 20
2)1(lim
-------------------（3分） x
x
x e x x e x )2()1(lim
22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 )
.121lim 2
2
=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分） 3．设方程)0,0(>>=y x x y y
x 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d y
dx
.
解1 对y
x x y =
两边取对数，得 x y
y x ln 1
ln 1=，
即 x x y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )
等式两边关于x 求导，得：x dx dy y ln 1)
ln 1(+=+，即y
x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 ) ???
??=∴dx dy dx d dx
y d 222
)
ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dx
dy
y x y x +??+-+=
---------------------------- ( 2分 ) 3
2
2)
ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=
.------------------------------------------------ ( 1分 ) 三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）
1．求不定积分?
+dx x
x
x 23sin 1cos sin . 解 ??+-=+)(s i n s i n 1)
s i n 1(s i n s i n 1c o s s i n 22
23x d x
x x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =?+-dt t t t 221)1(=???
? ??
++-dt t t t 212 ------------------（2分）
C t t +++-=)1ln(2
22=.)sin 1ln(sin 21
22C x x +++-----------------（3分）
2．设x 2
ln 是函数)(x f 的一个原函数，求?
'dx x f x )(.
解 )(ln 2)ln (2
x f x
x
x ==
' ，------------------------------------------------- ( 2分 ) C x dx x f +=∴?2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ) ??='∴)()(x df x dx x f x
?-=dx x f x f x )()(
.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )
3．求定积分
dx x x x )2cos sin (7434
4
+?
-
π
π
.
解
dx x x x )2cos sin (7
434
4
+?
-
π
π
?
?
-
-
+=44
7
4
344
2c o s s i n π
ππ
π
dx x dx x x ------- ( 1分 ) dx x 2cos 0744
?
-
+=π
π
-------------------------------------------------------（2分）
dx x 2cos 274
?
=π
----------------------------------------------------------（2分）
（令t x =2） dt t 720
cos ?
=π
----------------------------------------------------------------（1分）
.!
!7!
!6=
---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）
1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？
解：设长方形的对角线为y ，则 2
2
2
w l y += ----------------------------------- ( 2分 )
两边关于t 求导，得 dt dw
w dt dl l dt dy y ?+?=?
222， 即 dt
dw w dt dl l dt dy y ?+?=?------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dt
dw ,13512,5,1222=+=?==y w l 代入（1）式，得
对角线的增加率：
3=dt dy
（cm/s ）. -------------------------------------------------- ( 2分 ) 2．物体按规律2
x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.
解 ct dt
dx
t v 2)(== ----------------------------------------------------------- ( 2分 ) cx t c t c k x f 444)(2222===, -------------------------------------------------- ( 2分 )
?=a
cxdx W 0
4＝22ca . ------------------------------------------------------ ( 2分 )
五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，
拐点，渐近线
解 函数的定义域为.),(+∞-∞2
2214
151)(x x x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 )
,)
1(10)(2
2x x
x f +=
''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：
----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 )
,1)arctan 51(lim )(lim
1=-==∞+→∞
+→x
x
x x f a x x ,2
5)arctan 5(lim ])([lim 11π
-
=-=-=∞
+→∞
+→x x a x f b x x ,1)arctan 51(lim )(lim
2=-==∞-→∞
-→x
x
x x f a x x ,2
5)arctan 5(lim ])([lim 22π
=
-=-=∞
-→∞
-→x x a x f b x x 渐近线为：.2
5π
±
=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )
六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2
≥=
-
x e
x y x
与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到
无穷远处的旋转体的体积 . 解：
?
?
∞+-∞+==0
2dx xe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分）
[
]
x x x
e x e
x -+∞
→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0
πππ
ππππ=-=+-=+∞→01
lim
x
x e x ----------------------------------------------（3分）
2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.
解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x x e C e C y --+=------------------------------ ( 2分 ) 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )
代入原方程可得，.811,21=-
=B A .8
11
2*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8
112241+-+=--x e C e
C y x x
-------------------------------- ( 1分 ) 七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：
方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n
在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.
罗尔)(Ro lle
中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈?ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 )
令n
nx a x
a x a x f n sin 22sin sin )(21+++
= ，-------------------------------------- ( 2分 ) 在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，
0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈?,
使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，
即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )
各章所占分值如下：
第一章函数与极限13 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用20 %；第四章不定积分14 %；第五章定积分及其应用30 % . 第六章常微分方程7 % .
2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷
( 工科类 )
参考答案及评分标准
各章所占分值如下：
第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .
一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确
在 题后的括号内打“√”或“?” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .
1．极限x
x 1
sin
lim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）
证 设x x f 1sin )(= ，取π
n x n 21=，2
21
ππ+
=n y n ，),2,1( =n
0lim =∞
→n n x ，0lim =∞
→n n y ，
但)(lim n n x f ∞→n n x 1
sin lim ∞→=02sin lim ==∞
→πn n ，
)(lim n n y f ∞→n n y 1
sin
lim ∞→=1)22sin(lim =+=∞
→ππn n ， 由海涅定理，x
x 1
sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）
2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ? ）
--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.
---------------------------------------------------------（2分）
3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则
),(b a x ∈?有0)(>''x f . （
? ）
----------------------------------------------------------（2分）
例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .
. ---------------------------------------------------------（2分）
二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11
(
lim n n
n
n ?-∞
→ .
解 ,0)11(lim =-∞→n
n n
,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）
.0)!sin()11
(lim =?-∴∞
→n n
n n ----------------------------------------------------------------（3分）
2.求极限4
4)1(lim
x
dt
e t x x t x ?
-+∞
→+.
解 4
4
)1(l i m
x dt
e
t x x
t x ?-+∞
→+??
?
??∞∞+=?+∞
→x
x t x e x dt e t 40
4)1(lim
----------------------------（3分）
x
x
x e x x e x )4()1(lim
434++=+∞→.141lim 4
34
=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）
3．求极限)21(
lim 222222n
n n
n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222
n
n n
n n n n n ++++++∞→ ∑=∞→????
??+=n
i n n n i 121
11lim ------------------------------------------------------------------（3分） ?+=1
02
1x dx 4
arctan 10
π
=
=x
.-------------------------------------------------------（3分）
三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()x
x e
e
x f 11211++=
的间断点并判断其类型.
解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）
又 )(lim 0
x f x +→2
1211lim 11
=
++=+
→x
x x e
e
，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→x
x
x e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）
2．设??
???=≠-=0,00
,1
)(2
x x x e x f x ，求 .)(x f '
解 当0≠x 时，2
)
1(2)(2
2x e
x x e x f x x --?=
'2
1
22
2
x e
e x x --
=----------------- （3分 ）
当0=x 时，0
)
0()(lim
)0(0
--='→x f x f f x x
x e
x x 1
lim 2
0-=→
2
1
lim
2
x
e
x x -=→122lim
2
==→x
xe x x ，
?????=≠--='∴.0,1,
0,12)(2
2
2x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 ) 3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =??=+?
确定y 为x 的函数，求dy dx 与22
d y
dx . 解
()sin ()
dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）
22
d y d dy dx dx dx ??= ???
()sin d
t t dx =()sin d dt t t dt dx =?sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）
四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分?
+dx e x
x ln 2.
解 ?+dx e
x
x ln 2??=dx e
e x
x ln 2
?=dx x e x 2
-----------------------（3分）
)(2122?=x d e x .2
12
C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）
2．求不定积分?
dx x x 2
cos .
解
?dx x x 2
cos ?+=dx x
x
2
2cos 1-------------------------------------------------------（1分） ??+=xdx x dx x 2cos 2121 ?+=)2(sin 41
412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ?-+=dx x x x x 2sin 41
2sin 41412-------------------------------------（2分） C x x x x +++=
2cos 8
1
2sin 41412.------------------------------------（1分）
3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分
dx x x x f x f }1sin )]()([{211
-+-+?
-.
解1
dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+?
- dx x x f x f sin )]()([11
-+=?
-dx x 211
1-+?
-------------------------------（1分）
dx x 210
120-+=?
（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）
2
4
2π
π
=
?
=.------------------------------------------------------------------------------（2分）
五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）
(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）
解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）
.12
-=
e
--------------------（3分） （2） ??
---=-=1
210
2
21)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）
??
+---=1
2210
2
2
)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ
1
22
1
3
2
)22(3
)1(y
y
e ee y e y e
+----=ππ
.)3125(6
)2212(3222
+-=---=e e e e e π
ππ---------------------（2分）
x
x ?-=1
)()1(dy
y e e S y 1
2]
2[e y
e y -=
六．（共2小题，每小题6分，共计12分）
1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.
解 过球心的纵截面建立坐标系如图,
则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）
.4
4gR ρπ
=---------------------------------------------------------------------------（2分）
2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.
解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dt
dv
m
-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得
m dt
kv mg dv =- ， 两端积分 ??
=-m dt
kv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t m
k
kv mg --=-， t m
k Ce
kv mg -=- （其中1
kC e
C -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）
由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，
故 .)(0t
m k
e k
mg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）
y
,],0[R x ∈?所做功的微元：
取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ?-=)(22πρ分）
（3)(32 dx x x R g -=πρdx
x x R g W R
)((3
2
-=?πρ故
七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.
解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r
对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）
B Ax y +='21
,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,
比较同次幂的系数，得??
?
??=+--=-=.2652,10106,
66C B A A B A
解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴
故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）
八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,2
1
(. （1）试求曲线L 的方程；
（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，
由题意，得y x y y x '-=+2
2
，即dx dy x y x y -=??
?
??+2
1，)0(>x ------------（2分）
令
u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12??-=+?x dx
u
du )0(>x
C x u u ln ln )1ln(2+-=++?,C u u x =++?)1(2,将x
y
u =
代入并化简，得 C y x y =++2
2，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，
故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 2
4
1x y -=.----------------------------------（2分）
（2）曲线L ：2
4
1x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，
即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )2
10(4122
≤<+
+-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2x
x +
，).41,0(2+x -----------------------（2分）
所求面积?--+?=210222)41(2)41(21)(dx x x
x x S ，)0(>x
)413)(41(41)41
(2)41(441)(222
22222-+=+-+?='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：6
3
=
x ， 即6
3
=
x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++?
-=X Y ,即.3
1
33+-=X Y ---------------------------------------------（2分）
2015—2016学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试卷
答案及评分标准
( 工科类)
专业班级
姓名
学号
开课系室基础数学系
考试日期2016年1月11 日
注意事项：
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；
4. 本试卷正文共8页。
一．（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在 题后的括号内打“√”或“?”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明.
1．函数()f x 在(,)a b 内的驻点一定是极值点. （ ? ）
---------------------------- （ 2分 ）
反例：函数3)(x x f =在0x =处满足0)0(='f ，即0x =为驻点，但0x =不是()f x 在)1,1(-内的极值点． ---------------------------- （ 2分 ）
2．反常积分
1
11
dx x -?是发散的. （ √ ）
---------------------------- （ 2分 ）
证明：由于
1
011101
11=+dx dx dx x x x --???，又10011=ln lim ln 0x dx x x x +→=-=+∞?，故反常积分1
11
dx x -?发散. ---------------------------- （ 2分 ）
3．设函数)(x f 、()g x 在0x =的某邻域内连续，且当0x →时)(x f 是()g x 的高阶无穷小，则当0x →时，
()sin x f t tdt ?
是
()x tg t dt ?
的高阶无穷小. （ √ ）
---------------------------- （ 2分 ） 证明：由于当0x →时)(x f 是()g x 的高阶无穷小，即0
()
lim
0()
x f x g x →=，则 0
00
()sin ()sin lim
=lim 0()
()x x x x f t tdt
f x x
xg x tg t dt
→→=??
，即当0x →时，0()sin x f t tdt ?是0()x tg t dt ?的高
阶无穷小. ---------------------------- （ 2分 ）
1. 求极限22
02
2
(1)lim
(1cos )
x t x e dt
x x →--?
.
解：22
02
2
(1)lim
(1cos )
x t x e dt
x x →--?
=2
2
6
4(1)lim
x t x e dt
x →-? ------------- （ 1分 ）
4
504(1)2
=l i m 6x x e x x →- ------------- （ 3分 ） 55084
=lim .63
x x x →= ------------- （ 2分 ）
2. 求由参数方程3
3
cos ,
sin x a t y a t
?=??=??所确定的函数的一阶导数dy dx 及二阶导数22d y dx . 解：22
3sin cos =tan ,3cos sin dy
dy a t t dt t dx dx a t t dt
==-- ------------------------- （ 3分 ） 2
2422
()sec sec ().3cos sin 3sin d dy d y d dy t t dt dx dx dx dx dx a t t a t dt
-====- ------------------------ （ 3分 ）
3
．设arctan a x
y b
b =+，求,dy （其中,a b 为常数，0b ≠）.
解：221ln()ln()arctan 2a x
y x a x b b b
=+-
++，则 ----------------- （ 1分 ） 222221
11=+1x a a x b y x a x b b x a x b x b -'=-+++++??
+ ???，故 ----------------- （ 4分 ） 221
=+.a x dy dx x a x b -?? ?++??
----------------- （ 1分 ）
1．设函数()2
1sin ,0,,
x x f x x
ax b x ?>?
=??+≤?在0x =处可导，试确定常
数,a b 的值.
解：由于()f x 在点0x =处可导，故()f x 点0x =处连续，又 ----------------- （ 1分 ）
+
-+2
-0
01
(0)lim sin 0(0)lim()x x f x f ax b b x
→→===+=，，故 由(0)(0)(0)f f f -+==，得0b =. ----------------- （ 2分 ）
又0
(0)lim x ax
f a x
-
-→'==，201
sin (0)lim
0x x x f x
-+→'==， ----------------- （ 2分 ）
由(0)(0)f f -+''=，得0a =. ----------------- （ 1分 ） 2．设曲线的方程为33(1)cos()90x y x y π++++=，求此曲线在1x =-处的法线方程. 解：方程两边对x 求导，得
2233cos()(1)sin()0x y y y x y y πππ''++-+=， ----------------- （ 3分 ）
又当1x =-时，解得2y =-，代入上式得11
|3
x y =-'=-
，故 ----------------- （ 2分 ） 曲线在1x =-处的法线方程为23(1)y x +=+，即310.x y -+=----------------- （ 1分 ）
3．试确定曲线3
2
y ax bx cx d =+++中的,,,a b c d ，使得在2x =-处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，且点(2,44)-在曲线上.
解：由于曲线在2x =-处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，
故2|0x y =-'=，1|0x y =''=， ----------------- （ 2分 ） 又2
32y ax bx c '=++，62y ax b ''=+，可得
12-4=0620a b c a b ++=，， ----------------- （ 1分 ）
又由于(1,10)-为拐点，且点(2,44)-在曲线上，可得
=10,84244a b c d a b c d +++--+-+=，----------------- （ 2分 ）
联立解得1,3,24,16.a b c d ==-=-= ----------------- （ 1分 ）
1．设()arcsin xf x dx x C =+?，求不定积分
()
dx
f x ?
.
解：不定积分两边求导得：(xf x
，即(f x
----------------- （ 3分 ）
故3
22
1=(1).()3
dx x C f x =--+?? ----------------- （ 3分 ）
2
．求定积分32
2
62
sin 1x x dx x -? +??. 解：由定积分的对称性质，可得2326
2sin =01x x
dx x -+?， ----------------- （ 2分 ）
22
2
=2x dx x dx -?
?，令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，
----------------- （ 1分 ）
且当0x =时，0t =，当2x =时，2
t π
=
，故
22
2
24220
013=16sin cos 16(sin sin )=16(),
282
x
dx t t dt t t dt π
π
π
π=--=?
?
?
------------- （ 2分 ）
故
322
6
2
sin =2.1x x dx x π-? +??
-------------（1分 ） 3．已知2lim 2x
x
a x x a xe dx x a +∞-→∞-??= ?+??
?，求a 的值. 解：由于020lim 1lim =lim 1a
x
a
x x a a a a x x a x a x x a e e x a e a x --
→--→∞→??
??
??- ?????-????== ?+????????+ ???????
， ------------- （ 3分 ） 222222222=11
lim ()22x x x
x a
a
a
x a x a x xe dx xde xe e dx
a
xe ae e a e a +∞+∞+∞--------→∞+∞-=-++∞=-+-=+?
?
?
， ------------- （ 2分 ）
故12a +
=1，得1
=.2
a ------------- （ 1分 ）
课程表安排地优化模型
一类课表安排的优化模型 xxx （XXX大学理学院应数班贵阳550025） 摘要：本文采用逐级优化、0-1规划的方法，考虑多重约束条件，引入了偏好系数，建立了一个良好的排课模型，并根据题目给的数据，通过MATLA B编程，进行模型验证，求出了所需课表。且在方案合理性分析中用计算机模拟的方法分析了偏好系数的变化、教室的种类对排课结果的影响。最后给出了教师、教室的最优配置方案。 关键词：逐级优化；0-1规划；多重约束条件；排课模型
1.问题提出 用数学建模的方法安排我们峨眉校区合理的课表，做到让老师的教学效率达到最好和学生最有效率地学习，同时做到老师和学生的双向满意。为了提高老师满意度，就是要让每位家住贵阳和花溪的老师在一周内前往上课的天数尽可能少（家住民院的老师前往学院的次数尽可能少），同时还要使每位老师在学校逗留的时间尽可能少（家住贵阳和花溪的老师每天最多往返学校一次），比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段。 用数学建模的方法解决以下问题： 1)建立排课表的一般数学模型； 2)利用你的模型对本学期我院课表进行重排，并与现有的课表进行比较； 3)给出评价指标评价你的模型，特别要指出你的模型的优点与不足之处； 4)对学院教务处排课表问题给出你的建议。 2.问题分析 在学校的教务管理工作中，课程表的编排是一项十分复杂、棘手的工作。排
课需要考虑时间、课程、教学区域、教室、院系、班级、教师等等因素。经优化的排课，可以在任意一段时间内，教师不冲突，授课不冲突，授课的班级不冲突，教室占用不冲突，且综合衡量全校课表在宏观上是合理的。如何利用有限的师资力量和有限教学资源，排出一个合理的课程安排结果，对稳定教学秩序、提高教学质量有着积极的意义。 某高校现有课程50门，编号为5001~c c ；教师共有48名，编号为4801~t t ；教室28间，编号为2601~r r 。具体属性及要求见附录1； 课表编排规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排10节课，上午4节，下午4节，特殊情况下可以编排10节课，每门课程以2节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段。 本题的目标是将所有课程按照一定的约束条件安排到时间表中。 由于总周课时数为700，最少需要14张时间表。根据假设，学校要将其全部编排，则目标是排出14张课程表。假设14张表同时上课，那么要求教师不冲突、教室不冲突、课程全部排完以及所有软、硬约束。 由于目标是将所有课程排完，可以先将不同课程按照其时间要求随机分配至时间表中，形成“时间段-课程”组合；再建立该组合对教师的约束，通过“0-1规划”确定最优的“时间段-课程-教师”组合；同理，确定出“时间段-课程-教师-教室”的最优组合，最终得到所求课表。 3.模型的建立 3.1 模型假设
中国矿业大学部分专业单独招生数学考试说明及样卷
中国矿业大学部分专业单独招生考试说明（数学） Ⅰ、考试性质 中国矿大单独招生考试是由中等职业学校、技工学校以及职业高中的优秀应届毕业生（简称“三校生”）和煤炭企业优秀青年参加的选拔性考试。我校根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面考核，择优录取。 Ⅱ、考试内容及要求 关于考试内容的知识要求作如下说明： 对考试内容的知识要求分为三个层次：了解：对知识有感性的、初步的认识，能识别它；理解：对概念和规律达到理性的认识，能自述、解释和举例说明；掌握：能够应用知识的概念和方法解决一些相关问题。 一、集合与逻辑用语 1．理解集合及表示法； 2．理解集合之间的关系； 3．掌握集合的运算； 4．了解命题及命题联结词； 5．理解充要条件。 二、不等式 1．了解不等式的性质； 2．掌握一元二次不等式的解法； 3．掌握形如 )0(0><++b ax d cx 的分式不等式的解法； 4．掌握绝对值不等式)(c c b ax ><+的解法。 三、函数 1．了解映射的定义； 2．理解函数定义及记号； 3．了解函数的三种表示法； 4．理解函数的增量及其应用； 5．理解函数的奇偶性和单调性； 6．了解反函数的定义； 7．掌握简单函数的反函数的求法； 8．了解互为反函数的图象间的关系。 四、指数函数与对数函数 1．了解n 次根式； 2．理解分数指数幂；
3．理解有理数幂的运算性质； 4．理解指数函数的定义； 5．掌握指数函数的图象和性质； 6．理解对数的定义（含常用对数、自然对数的记号）； 7．了解两个恒等式：b a N N a b a a ==log ,log ； 8．了解积、商、幂的对数； 9．理解对数函数的定义； 10．掌握对数函数的图象和性质； 五、任意角的三角函数 1．理解角的概念的推广及弧度制； 2．理解正弦、余弦、正切的定义； 3．了解余切、正割、余割的定义； 4．掌握特殊角的正弦、余弦、正切的值，三角函数值的符号； 5．掌握同角三角函数的基本关系式： ;1cot tan ,a cos a sin a tan ,1a cos a sin 22=?= =+αα 6．掌握)sin(a -、)cos(a -、)tan(a -的简化公式； 7．掌握)2/sin(a -π、)2/cos(a -π、)2/tan(a -π的简化公式； 8．掌握)sin(πk a +、)cos(πk a +、)tan(πk a +的简化公式； 9．掌握两角和的正弦、余弦的加法定理； 10．了解两角和正切的加法定理； 11．了解二倍角公式； 12．掌握正弦函数的图象和性质； 13．了解余弦函数的图象和性质； 14．了解正切函数的图象和性质； 15．掌握正弦型函数的图象及其应用； 16．掌握已知三角函数值求指定区间内的角度。 六、数列 1．了解数列的概念； 2．理解等差数列的定义； 3．掌握等差数列的通项公式及等差中项； 4．掌握等差数列前n 项和的公式； 5．掌握等差数列的简单应用； 6．理解等比数列的定义； 7．掌握等比数列的通项公式及等比中项；
中国石油大学-高等数学第一次在线作业
中国石油大学高等数学（二） 第一次在线作业 第1题 您的答案：C 批注：考察的知识点：二元函数的连续的概念，二元函数的偏导数的概念 第2题 您的答案：C 批注：考察的知识点：二元函数全微分的存在条件
第3题 您的答案：D 批注：考察的知识点：二元函数的连续与偏导数存在之间的关系 第4题 您的答案：C 批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系 第5题 <／p> 您的答案：C 批注：考察的知识点：二重积分的计算。具体方法：式子两边做区域D上的二重积分的计算，令已知的等式中的二重积分为一个固定的字母，然后再求得此字母的值，代入初始给的等式中即得到结果。 第6题 您的答案：B 批注：考察的知识点：可微与偏导存在的关系 第7题 您的答案：D 批注：考察的知识点：二重积分的计算 第8题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的定义 第9题 您的答案：D
题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二重积分的定义 第10题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第11题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第12题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二重积分的定义 第13题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二重积分的定义 第14题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：二重积分的定义
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (10)
2007—2008学年第一学期 《高等数学》（上）期末试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室数学学院基础数学系 考试日期 2008年1月7日 说明：1本试卷正文共6页。 2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。
一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分). 1. x x x 2sin )31ln(lim 0-→= . 2. 设函数)(arctan x f y =，其中)(x f 在),0(∞+内可导，则dy = . 3. 设0>a ，则?-dx x a 2 221 =____________. 4. ? -+-21 2 111ln dx x x =__________. 5. ?+π 42sin a a xdx = __________. 6. 微分方程 x y y sin 4=+''的通解是 . 二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分). 1．设)(x f 为可导的奇函数，且5)(0='x f ，则=-')(0x f （ ）. (A) 5-； (B) 5； (C) 25； (D) 25 - . 2. 设函数)(x f 在点0x 的某邻域有定义，则)(x f 在点0x 处可导的充要条件是 （ ）. （A ） )(lim )(lim 0 x f x f x x x x + - →→=； （B ） ) ()(lim 00 x f x f x x '='→； （C ）)()(00x f x f +-'='； （D ）函数)(x f 在点0x 处连续. 3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数)(t s ，一条是汽车的速度函数)(t v ，一条是汽车的加速度函数)(t a ，则（ ）. （A ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v 的图形，曲线c 是)(t a 的图形； （B ） 曲线b 是)(t s 的图形，曲线a 是)(t v 的图形，曲线c 是)(t a 的图形； （C ） 曲线a 是)(t s 的图形，曲线c 是)(t v 的图形，曲线b 是)(t a 的图形； （D ） 曲线c 是)(t s 的图形，曲线b 是)(t v 的图形，曲线a 是)(t a 的图形. 4. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数，1x 、)(212x x x <是),(b a 内任意两点，则( ). （A ）))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，其中ξ为),(21x x 内任意一点 ； （B ）至少存在一点),(21x x ∈ξ，使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ；
中国矿业大学高等数学下册考试题
中国矿业大学高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3|| -===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+==的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________)0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则 ____________, __________=??=??y z x z 14. 设 ,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷 （工科类）参考答案及评分标准 一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“?” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞ +→)(lim x f x .（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞ +→x x x sin lim . ------- （ 2分 ） 2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞ →n n n y x ，则0lim =∞ →n n x 或.0lim =∞ →n n y （ ? ）-------------- （ 1分 ） 例如： ,0,1,0,1:n x ,1,0,1,0:n y 有0lim =∞ →n n n y x ，但n n x ∞ →lim ，n n y ∞ →lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ） 4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ? ）------------------- （ 1分 ） 例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3 )(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：?? ?=.,0,1)(为无理数 当为有理数， 当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分 ） 二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分） 1. 指出函数x x x f cot )(?=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(?=的间断点为： ,2,1,0,±±==k k x π ------------------------------------------------------- ( 3分 ) 当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos lim cot lim )(lim 0 ===→→→x x x x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(?=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )
中国矿业大学603《高等数学》
603《高等数学》初试自命题科目考试大纲 科目 代码 科目名称参考书目 考试大纲 603 高等数学 《高等数学》（上、 下册）（第六版）， 同济大学数学系 编，高等教育出版 社，2012 一、 考试目的与要求 （一）函数、极限、连续 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． （二）一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数． 4.会求分段函数的一阶、二阶导数． 5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数． 6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理． 7． 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 10．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． （三）一元函数积分学 1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念． 2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．
中国石油大学 高等数学(二)第三次在线作业
中国石油大学高等数学（二） 第三次在线作业 第1题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数的收敛与绝对收敛第2题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第3题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第4题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第5题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第6题
您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第7题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第8题 您的答案：C 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：交错级数的收敛域 第9题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：考察的知识点：级数敛散性的判别 第10题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：单位向量、共线的概念、数量积 第11题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5
批注：向量平行的性质 第12题 您的答案：D 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：单位向量、向量垂直、数量积第13题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：向量垂直的性质 第14题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：单位向量、共线的概念、数量积第15题 您的答案：A 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：向量的夹角 第16题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：向量垂直的性质 第17题
中国石油大学网络教育 高等数学二第一次在线作业答案
第一次在线作业 单选题 (共30道题) 展开 收起 1.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分2.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分3.（分） A、. B、. C、.
D、. 我的答案：D此题得分：分4.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分5.（分） <／p> A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分6.（分） A、. B、. C、. D、.
我的答案：B此题得分：分7.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分8.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：B此题得分：分9.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分10.（分）
A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分11.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分12.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分13.（分） A、.
B、. C、. D、. 我的答案：B此题得分：分14.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分15.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：B此题得分：分16.（分） A、. B、.
C、. D、. 我的答案：C此题得分：分17.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：D此题得分：分18.（分） A、. B、. C、. D、. 我的答案：C此题得分：分19.（分） A、. B、. C、.
2020年中国矿业大学考试大纲-数学分析自命题考试大纲
初试自命题科目考试大纲格式 招生单位名称（盖章）：数学学院填表人：
9. 定积分：定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充要条件，闭区间上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数的可积性，定积分性质，微积分学基本定理，牛顿—莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法，近似计算。 10. 定积分的应用：简单平面图形面积，曲线的弧长与弧微分，曲率，已知截面面积函数的立体体积，旋转体积与侧面积，平均值，物理应用(压力、功、静力矩与重心等)。 11. 数项级数：级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数，比较原则，比式判别法与根式判别法，拉贝(Raabe)判别法与高斯判别法，一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱不尼茨判别法，阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法，绝对收敛级数的重排定理，条件收敛级数的黎曼(Riemann)定理。 12. 反常积分：无穷限反常积分概念，柯西准则，线性运算法则，绝对收敛，反常积分与数项级数的关系，无穷限反常积分收敛性判别法。 无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。 13. 函数列与函数项级数：函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法*，函数列极限函数与函数项级数和的连续性，逐项积分与逐项微分。
14. 幂级数：阿贝尔第一定理，收敛半径与收敛区间，一致收敛性，收敛性，连续性逐项积分与逐项微分幂级数的四则运算。泰勒级数，泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开近似计算，用幂级数定义正弦、余弦函数。 15. 傅里叶(Fourier)级数：三角级数，三角函数系的正交性，傅里叶级数、贝塞尔(Bessel)不等式，黎曼—勒贝格(Riemann-lebesgue)定理，傅里叶级数的部分和公式，按段光滑且以2π为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理，奇函数与偶函数的傅里叶级数，以2L为周期的函数的傅里叶级数。 16. 多元函数的极限与连续：平面点集概念(邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等)。平面点集的基本定理—区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。重极限，累次极限，二元函数的连续性，复合函数的连续性定理，有界闭域上连续函数的性质。n维空间与n元函数(距离、三角形不等式、极限、连续等)。 17. 多元函数的微分学：偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件、全微分在近似计算中的应用，方向导数与梯度，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数及其与顺序无关性，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数极值。 18. 隐函数定理的及其应用：隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。 隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标
中国矿业大学高数A1试题A卷参考答案
中国矿业大学2018-2019学年第 1学期 《 高等数学A （1）》试卷（A ）卷答案供参考 一、填空题（每题4分，共20分） 1 ．2lim →∞? ?++=+n n 2 ． 2．1 23lim 21x x x x +→∞+? ? ?+?? e ． 3．设0(),0≠=??=?x f x a x 在0x =处连续，则=a 12 ． 4．设21sin ,0(),0 ? a ，则当0→x 是x 的（ C ）无穷小． A.等价； B.2阶； C.3阶； D.4阶 2．2设 ()f x 在0x 的某个邻域有定义，且在点0x 处间断，则在点0x 必间断的函数是（ D ）． A. ()f x ； B. 2()f x ； C. ()sin f x x ； D. ()sin +f x x 3．设21 ,0()0,0 x f x x x ≠=?=?，则()f x 在点0x =处（ C ）． A. 极限不存在； B. 极限存在不连续; C. 连续但不可导； D. 可导. 4．函数()f x 在1x =处可导的充分条件是（ B ）． A. 0(cos )(1) lim cos 1x f x f x →-- 存在； B. 0(1sin )(1) lim x f x f x →-- 存在； C. 220(1)(1)lim x f x f x →+- 存在； D. (1)f -' 与 +(1)f ' 存在． 5．设 ,0 ()sin 2,0?<=?+≥? a x e x f x b x x 在0=x 处可导，则（ A ）． A. 2,1==a b ； B. 1,2==a b ； C. 2,1=-=a b ； D. 2,1==-a b ．
2019中国矿业大学(徐州)统计学考研权威解析
一、学院介绍 中国矿业大学于1996年获得应用数学硕士点、2006年获得数学一级学科硕士点、2011年获得数学一级学科博士点（含基础数学、计算数学、概率论与数理统计、用数学、运筹学与控制论5个二级学科）与统计学一级学科硕士点。2016年学校成立数学学院，同年数学一级学科博士点顺利通过国家专项评估，数学学科被遴选为江苏省“十三五”省一级重点学科。 数学学院目前设有数学与应用数学系、统计学系、信息与计算科学系、高等数学教学中心和数学实验实践中心。数学学院现有专任教师90人，其中教授17人，博士生导师11人、硕士导师约50人，教师中有1人获得全国优秀博士学位论文奖、3人入选江苏省“青蓝工程”中青年学术带头人，3人入选省级优秀青年骨干教师，1人为全国煤炭系统专业技术拔尖人才，1人入选江苏省“双创计划”，1人获得全国教育系统职业道德建设标兵称号，1人获得全国大学生数学建模竞赛优秀指导教师称号。 2012 年以来数学学院教师共主持国家自然科学基金项目46项，主持省部级科研项目共27项，参加国家973重点基础研究计划项目1项，在国际前沿研究领域取得了多项高水平研究成果。 二、考试科目 027000统计学（管理学院）
①101 思想政治理论 ②201 英语一或202 俄语或203 日语或245德语（二外） ③303 数学三 ④891 统计学A 数学学院： 071400统计学 ①101 思想政治理论 ②201 英语一 ③643 数学分析 ④835 概率论与数理统计 三、专业课参考书目 891 统计学A： 《统计学》（第 4 版）贾俊平中国人民大学出版社，2011 年6月 《统计学》（第四版）贾俊平、何晓群主编中国人民大学出版社，2009 年11月 643、835： 《数学分析（上、下册）》(第四版）华东师范大学数学系编高等教育出版社
中国矿业大学高数模拟试卷
中国矿业大学2009—2010高等数学期末 姓名： 班级： 学号： 一、填空：（每小题4分，总16分） 1．极限2 2 23lim 3 2 --+→x x x = . 2．()=+→x x x sin 30 21lim . 3．函数2 x y =在3=x 处的微分为. ； 4．cos sin cos sin x x dx x x -+?= . 二、选择：（每小题4分，总16分） 1．判断下列变量在给定的变化过程中哪些不是无穷小量？ ( ) A ．13--x ()0→x ； B ．x x sin ()∞→x ； C ． 1 253 2+-x x x ()∞→x D. ?? ? ??++x x x 1sin 212 ()0→x ； 2．2 sin 1 1 2 )(x x arctg x x f ππ -?= 的间断点类型是（ ） （A ）可去； （B ）跳跃； （C ）无穷； （D ）A 、B 、C 都有. 3．对于不定积分?dx x f )(，在下列等式中正确的是 . （A ）)(])([x f dx x f d =?； （B ）)()(x f x df =?；
（C ）)()(x f dx x f ='?； （D ） )()(x f dx x f dx d =?. 4．()x x x x x x 1 sin lim 1lim 10∞ →-→++等于 A.e B.1-e C.1+e D.11+-e 三、 计算下列极限：（每小题5分，总20分） 1. x x x 5sin 2sin lim 0→; 2．求x x x tan 01lim ? ? ? ??+→. 3．2 5435lim 23231-+-+-+→x x x x x x x 4．求x x x x x sin tan lim 20-→. 四、求函数)]ln[ln(ln x y =的导数.（4分） 五、计算下列积分：（每小题5分，总20分） 1．?-dx x x 2 )2 sin 2 (cos 2．? dx e x x 3 3． 求dx x x ?ln 2 . 4.?dx e x 六、已知)(x f 的一个原函数为x x ln )sin 1(+,求?dx x xf )(' （本题8分） 七、求曲线x y ln =在[2，6]内的一条切线，使得该切线与直线 6,2==x x 和曲线x y ln =所围成的面积最小。（本题8分）
中国石油大学 高等数学二第二次在线
xx石油大学高等数学（二） 第二次在线作业 第1题 您的答案：D 题目分数： 此题得分： 批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算 题第2 C 您的答案：题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计算题第3 D 您的答案：题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：曲面积分，是了解的内容，本题可以不做题第4 您的答案：C 题目分数：此题得分：1/ 10 批注：考察的知识点：曲面积分，是了解的内容，本题可以不做 第5题 您的答案：C 题目分数： 此题得分： 批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算 题第6 B 您的答案：题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算7题第D 您的答案：题目分数：此题得
分：批注：考察的知识点：对坐标的曲线积分的计算8题第C 您的答案：题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算2 / 10 第9题 您的答案：A 题目分数： 批注：考察的知识点：正项级数敛散性的判别 第10题 您的答案：B 题目分数： 此题得分： 批注：考察的知识点：正项级数敛散性的判别 题第11 B 您的答案：题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：正项级数敛散性的判别题第12 您的答案：A 题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第13题您的答案：C 3 / 10 题目分数： 此题得分： 批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别
第14题 您的答案：B 题目分数： 此题得分： 批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别 题第15 C 您的答案：题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别题第16 D 您的答案：题目分数：此题得分：批注：考察的知识点：函数在闭曲线上对弧长的曲线积分的计算题第17 您的答案：A 题目分数：/ 410 此题得分： 批注：考察的知识点：对坐标的曲线积分的计算 第18题 您的答案：C 题目分数： 此题得分： 第19题 您的答案：B 题目分数： 此题得分： 批注：考察的知识点：对弧长的曲线积分的计算
中国矿业大学2020年硕士研究生招生自命题初试科目参考书目
中国矿业大学2020年硕士学位研究生招生专业目录 自命题初试科目参考书目 考试科目参考书目名称作者出版信息 211翻译硕士英语 《高级英语》（修订本）第1、2册张汉熙外语教学与研究出版社，2000年 《综合英语教程》第5、6册邹为诚高等教育出版社，2013年第三版242俄语（二外）《新大学俄语简明教程》蒋财珍主编高等教育出版社，2005年6月243日语（二外）《新世纪日本语教程》初级清华大学外语系编外语教学与研究出版社，2006年244法语（二外） 《简明法语教程》上下册孙辉商务印书馆，2006 《法语》1-3册马晓宏外语教学与研究出版社，1998 245德语（二外）《新编大学德语》1、2、3册（第2 版） 朱建华总编外语教学与研究出版社，2010年 337工业设计工程（概论）《工业设计概论》（第3版）程能林编机械工业出版社，2011年《工业设计史》（第4版）何人可编高等教育出版社，2010年 346体育综合（包括运动训练学、学校体育学和运动生理学）《运动训练学》体育院校通用教材田麦久高等教育出版社，第二版2017年《学校体育学》周登嵩人民体育出版社，2004年11月 《运动生理学》体育院校通用教材王瑞元、苏全生主编人民体育出版社，2012年版 355建筑学基础《中国建筑史》（第七版）潘谷西主编 中国建筑工业出版社，2015年4 月 《外国建筑史》（十九世纪末以前） （第四版） 陈志华著 中国建筑工业出版社，2010年1 月 《外国近现代建筑史》（第二版）罗小未主编 中国建筑工业出版社，2004年8 月 《建筑构造（上册）》（第五版）李必瑜等编 中国建筑工业出版社，2013年9 月 《建筑物理》（第四版）刘加平主编 中国建筑工业出版社，2009年8 月 357英语翻译基础《高级英汉翻译理论与实践》第二 版 叶子南清华大学出版社，2008年《英汉互译实践与技巧》第五版许建平清华大学出版社，2018年 436资产评估专业基础《资产评估学基础》周友梅、胡晓明主编上海财经大学出版社，2014年10月第三版
中国矿业大学(徐州)09级理学院数学分析卷参考答案
中国矿业大学大一第二学期 理学院数学卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 院系__ _______班级___ ______姓名__ ________学号___ _______ 一 单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 若函数()f x 在 [,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上（ ） A 连续 B 有间断点 C 有界 D 有原函数 2. () 2 2 2 20 lim d d x x t t x e t e t →∞ =? ? （ ） A 1 B 0 C 1- D 发散 3. 下列反常积分中，收敛的是（ ） A 1 x ? B 1 311 d x x -? C sin d x x +∞ ? D 1 x +∞ ? 4. 下列级数条件收敛的是（ ） A 1 2 (1)sin n n n ∞ =-∑ B 1 2(1)35 n n n n ∞ =-+∑一 C 1 (1)10n n n n ∞ =-∑ D 11(1)n n n ∞ =??- ??? ∑ 5. 下列命题正确的是（ ） A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等； B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等； C 若重极限不存在，则累次极限也不存在； D 重极限存在，累次极限也可能不存在
二、填空题（每空3分,共15分） 1． 222 22 lim[]12n n n n n n n n →∞++ + =+++ . 2． 10 d x =? . 3． 22 11 (1)n x n ∞ =+∑的收敛域为 . 4. 设22,0()0,0,0x x f x x x x ππ?<，且 11 1p q +=，又设,0a b >，试用函数的凸性证明： 11p q ab a b p q ≤ +.
中国矿业大学(徐州)0401级数学分析(1)期末试题A与答案
中国矿业大学理学院2004级课程考试试卷 2005.01.19. 一、叙述题(每题5分共20分) 1．叙述函数)(x f 在区间I 上有界、无界的定义，以及函数)(x f 在区间I 上的上确界和下确界的定义。 (答案略,见教材) 2． 叙述极限)(lim x f a x + →存在的Cauchy 准则，再据此叙述)(lim x f a x + →不存在的充要条件。 (答案略,见教材) 3．叙述)(x f 在区间I 上一致连续和不一致连续的定义。 (答案略,见教材) 4．用“δε-”语言叙述函数f 在区间],[b a 上Riemann 可积的定义。 (答案略,见教材) 二、计算题（每题8分共40分） 1． 设)0,0(lim >>=∞ →a a a a n n n ，求极限n n n a ∞ →lim 【解】取0ε满足a <ε<00，由a a n n =∞ →lim 知，+∈?N N ，当N n >时，有 00ε+<<ε-a a a n 从而 n n n n a a a 00ε+< < ε- 上式两边取极限并利用结论1lim =∞ →n n c (0>c 为常数)和迫敛性得1lim =∞ →n n n a 2．设?? ?<+≥=3 3)(2 x b ax x x x f ，求b a ,使f 在点3=x 可导。 【解】首先要在点3=x 连续知, 93=+b a （*） 下面可用导数极限定理或定义来做。 用导数极限定理来做： ?? ?<>=3 32)(x a x x x f ，6)03(=+'f ，a f =-')03( 从而6)03()3(=+'='+f f ，a f f =-'='-)03()3(
中国矿业大学(北京)2020年高等数学(下)期中测试
高等数学A2综合练习题 （时间：120分钟，满分：100分） 一、填空题（1-9题每题3分，第10题每空2分，共31分） 1 、已知,2,2 a b == 则22||||a b a b ?+?= __________。 2、已知方程)()(')(''x f y x q y x p y =++有三个特解x x x e e y e y x y +===2321,,，则该方程的通解为_____________。 3、平面曲线2290x z y ?+=?=?绕z 轴旋转一周所生成的曲面方程为 ____。 4、设12(sin cos )x y e c x c x =+为某个二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为______________。 5、过点(1,2,1)-且与向量1(1,2,3)s =-- 及2(0,1,1)s =-- 平行的平面方程为________________。 6、00lim x y →→=______。 7、设2sin()(1)arctan y z y xy y x e -=--+，则10 x y z x ==?=?______________。8、设2sin(923)23x y z x y z +-=+-，试求z z x y ??+??=__________________。9、设1(0,1)y z x x x +=>≠，则dz =______________。 10、设22(,)2f x y x y =+，则(1,1)grad f =_____，沿梯度方向的方向导数(1,1) f l ??=_______。 二、（9分）求微分方程3699x y y y e '''-+=+的通解。 三、（10分）求过点0(1,2,1)M -且与直线21: 211 x y z L +-==--垂直相交的直线方程。 四、（8分）设sin cos u u x e u v y e u v ?=+??=-??，求,.u v x x ????。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(3)
A卷 第二学期 《高等数学（2-2）》期末试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室基础数学系 考试日期 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共5页。 一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)
1． 22 (1,0) ln(), y z xe x y dz =++= 设则dy dx+ 3 2．设 xy y x y x f sin ) , (+ - =,则dx x x f dy y ? ?1 1 ) , ( = )1 cos 1( 2 1 - 3．设函数 2 1cos ,0 () 1,0 x x f x x x x π π π + ? << ? =- ? ?+-≤≤ ?以2π为周期，() s x为的() f x的傅里叶级数的和函 数，则 (3) sπ -=2 1 2+ π . 4．设曲线C为圆周 2 2 2R y x= + ,则曲线积分 ds x y x C ?+） — （3 2 2 =3 R 2π 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1.设直线L为 320 21030, x y z x y z ++= ? ? --+= ?平面π为4220 x y z -+-=,则（ C ） . (A) L平行于平面π (B) L在平面π上 (C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直 2．设有空间区域 2222 :x y z R Ω++≤ ，则Ω等于（ B ）. (A) 4 3 2 R π (B) 4 R π (C) 4 3 4 R π (D) 4 2R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）. (A) ∑∞ =+ - 1 ) 1 ( )1 ( n n n n n (B) ∑∞ =+ - + 11 )1 ( n n n n (C) n n e n- ∞ = ∑ 1 3 (D) ∑∞ = + 1 ) 1 1 ln( n n n n 4. 设∑∞ =1 n n a 是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ） （A）若∑∞ =1 n n a 收敛，则 ∑∞ =1 2 n n a 也收敛（B）若 ∑∞ =1 n n a 收敛，则 1 1 + ∞ = ∑n n n a a 也收敛 （C）若∑∞ =1 n n a 收敛，则部分和n S 有界（D）若 ∑∞ =1 n n a 收敛，则 1 lim1< = + ∞ → ρ n n n a a 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）