人教版九年级上册数学22.1.3二次函数的图像和性质第5课时(52张ppt)课件
b x 2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开 口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值： b 如果a＞0，当 x 2a 时，函数有最小值，
b 如果a＜0，当 x 2a 时，函数有最大值， 2
4ac - b y最大＝ ; 4a
4ac - b 2 y最小＝ , 4a
（5）增减性：
2 2
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。 总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
1 2 1 例6已知函数 y x 3x 2 2
，当x为何值 时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
1 a 0 解法一： 2
， ∴抛物线开口向下，
1 2 1 1 2 1 y x 3 x x 6x 9 9 又 2 2 2 2 1 9 1 1 x3 2 5 2 x 3 2 2 2 2
的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐 标的值为0．所以应满足以下的条件组．
m 1 0， ① 2 4 m 1 3 m 2 2 m 0 4 m 1 ②
1 由②解方程得 m1 , m2 2 不合题意，舍去 2
2a 2 1
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 2 2 4 1 k 7 k 4 即 4ac b 0 ，整理得
4a 4 1
k 2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所
以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。
2 x 2 7 7
2
y最小值＝－7 。 所以当x＝2时，
解法二（公式法）： 因为a＝2＞0，抛物线 y 2 x2 8x 1有最低点， 所以y有最小值，
4 2 1 8 b 8 4ac b 7 因为 － 2a 2 2 2, 4a 4 2
化为 y a x h k 的形式。
2
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 数图像回答：
的图像，利用函
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
所以抛物线 y ax bx c 的顶点坐标是
2
b 4ac b 2 , ，对称轴是直线 x 4a 2a
b 。 2a
1 2 5 例2 用公式法把 y x x 化为 2 2 2 y a x h k 的形式，求出对称轴和顶点
2
c 2 b y ax bx c a x x a a
2
2 2 2 b b b c a x x a a 2a 2a 2 2 2 2 b 4 ac b b 4ac b a x a x 2 2a 4a 2a 4a
2
2
2
2
1 2 1 2 x 3 4 x 3 2 2 2
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
2 y 2 x 4 x 7 化为 练习1 用配方法把
y a x h k 的形式，求出顶点坐标
2
和对称轴。 答案：y 2 x 1 5 ，顶点坐标是(1，5)， 对称轴是直线 x＝1．
22.1 二次函数图象和性质(5)
复习提问
y a x h k 的顶点坐标是________ 1． ， （h，k） 直线x＝h 对称轴是__________ 2．怎样把 y 3x2的图象移动，便可得到 3 x 2 5 的顶点坐标是 (－2，－5)， 3． 对称轴是 直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
2
2 y ax bx c 化为 2．用公式法把抛物线
把 y ax bx c 变形为 y a x h k 的方法 和我们前面学过的用配方法解二次方程 2 ax bx c 0 ”类似．具体演算如下： “
2
2
y a x h k 的形式。
练习2 用公式法把y 2 x 8x 6 化成
2
y a x h k 的形式，并求出顶点坐标和
2
对称轴。
y 2 x 2 2 ，顶点坐标为 答案： （2，2）对称轴是直线 x＝2
2
3． y ax2 bx c 图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把 y ax2 bx c
1 1 2 1 所求函数解析式为 y 1 x 2 x 3 2 , 2 2 2
1 2 1 即y x x 。 2 2
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
解法一（配方法）：
y 2 x 2 8x 1 2 x 2 4 x 1 2 x 2 4 x 4 4 1
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)， 对称轴是x＝2. (2) 当x＝1时，y＝0，即图 象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容 易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当 x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0， －6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的 轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个 点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4， 的 －6)连结起来，就是 y 2 x2 8x 6 0图象。
2
新课 我们复习了将抛物线 y 3x2 向左平移2个单位 2 再向下平移5个单位就得到 y 3 x 2 5 的图 象，将 y 3 x 2 2 5 化为一般式为 2 2 ，那么如何将抛物线 的图 y 3 x y 3x 12x 7 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？ 那么一般地，函数y ax 2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
2 y 2 x 8x 6 0 解：列表
x y
… 0 1 … －6 0
2 2
3 4 0 －6
… …
y
（1,0）
· · ·
（2,2）y
2x 8x 6
2
（0,－6）
·
由图像知： （3,0） (1) 当 x ＝ 1 或 x ＝ 3 时， x y＝ 0； (2)当1＜x＜3时， y＞ 0； (3)当x＜1或x＞3时， y＜ 0； x=2 (4)当x＝2时， y有最大值2。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
x b 2a
，故
①若b＝0对称轴为y轴， ②若a，b同号对称轴在y轴左侧， ③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
坐标．
1 2 5 解：在 y x x 2 2
b 2a 1 1, 1 2 2
1 5 a , b 1, c 中， 2 2
1 2 y x 1 2 ， 2 ∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
1 5 2 4 1 2 4ac b 4 2 2 2 4a 2 1 4 2
b ①若a＞0，当 x 时，y随x的增大而增大； 2a
b 当 x 2a 时，y随x的增大而减小。
b ②若a＜0，当 2 a 时，y随x的增大而减小； b 当 x 2a 时，y随x的增大而增大。 x
(6)抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点 ①抛物线 y ax2 bx c 与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线 y ax2 bx c与x轴的交点坐标为
x1 ,0 , x2 ,0，其中 x1 , x2为方程 ax2 bx c 0
的两实数根
(7)抛物线 y ax bx c 与x轴的交点情况
2
可由对应的一元二次方程ax 2 bx c 0
的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为 2 y a x h k 的形式。 例1
1 2 5 用配方法把 y 2 x 3x 2
2
化为
y a x h k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
1 2 1 2 5 1 2 解： y x 3x x 6 x 5 x 6 x 9 9 5
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九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
第二十五页，共32页。
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
人教版九年级上数学22.二次函数的图像和性质课件(21张)
6
5
坐标平面中描点(x,y),
4
再用平滑曲线顺次连
3 2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
(2) 描点 y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(3) 连线
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
对称轴、顶点、最低点、最高点
y x2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
例2:在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称y轴轴 ,顶点(0是,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点(是0,0) ;
3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
(1) 求此抛物线的函数解析式 （2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向；
九年级数学上册教学课件《二次函数y=ax2的图象和性质》
对称 轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物 线的最高点还是最低点.
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.
1.正确理解抛物线的有关概念.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
探究新知
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
22.1 二次函数的图像和性质
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
22.1 二次函数的图像和性质
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6
-9
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
y
的取值范围是 k>1 .
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： O x
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上
y轴 （0,0）
y 3x 2 y 1 x2
3
y 1 x2 3
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.
1.正确理解抛物线的有关概念.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
探究新知
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
22.1 二次函数的图像和性质
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
22.1 二次函数的图像和性质
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6
-9
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
y
的取值范围是 k>1 .
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： O x
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上
y轴 （0,0）
y 3x 2 y 1 x2
3
y 1 x2 3
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版九年级上册数学二次函数课件
当a=0时，这个函数不是 二次函数，有可能是一次函数.
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
人教版九年级上册数学课件 22.1 二次函数的图象和性质(共50张PPT)
在对称轴的左侧，y随着x的增大而
在对称轴的左侧，y随着x的增大
减小。在对称轴的右侧，y随着x的增大 而增大。在对称轴的右侧，y随着x的
而增大。
增大而减小。
当x=0时，最小值为0
当x=0时，最大值为0
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象。
y=x2和y=-x2是 y=ax2当a=±1时的 特殊例子。a的符 号确定着抛物线
a x b 2 4ac b2
2a
4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是 x b ，顶点
坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
2a
这是确定抛物线顶点与对称轴的公式。
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变 化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
最大。
y x2
y x2
画出 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般怎样
2
画二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象。
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21的顶点是(6，3)， 2
对称轴是直线x=6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
··· 3 4 5 6 7 8 9 ···
y 1 x2 6x 21 2
···
7.5
5
3.5
3
3.5 5
7.5 ···
y
10
y 1 x2 6x 21
2
5
O
5
10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴。
人教版九年级上册22.《二次函数的图象和性质》ppt课件
新知讲解
②抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
-2 -1 0 1 2
x
-1
新知讲解
把抛物线y=2x2向__上___平移__1___个单位,就得到抛物线y=2x2+1,把抛 物线y=x2向__下___平移__1__个单位,就得到抛物线y=2x2-1.
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
（D ）
新知讲解 2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新知讲解
（左加右减，上加下减） （2）对称轴为________；
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、画图。
当a＜0时，开口向下．
当h＞0时，把抛物线y＝ax2向右平移h个单位，可以得到抛物线y＝a(x－h)2；
二次函数的图象 和性质
第3课时
人教版 九年级上册
导入新知
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质： 1.二次函数y=ax2的图象是什么？ 2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导入新知
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。 2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小， 当x＞0时，y随x的增大而增大；
新知讲解
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质： 一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
2
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
人教版九年级上数学22.1.3二次函数的图像和性质第5课时(52张ppt)课件
y=x2－2x＋2 x=1
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当a＞0时，抛物线开口
向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
式为 y 3 x 22 5
，y 那3x么2 如12x何将7 抛物线的图像移动，y得到3x的2 图
像呢？
y 3x2 12x 7
的那图 么象 一怎般样地平，移 函就 数得y 到ax2
y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；
判断b的符号
(2)因为对称轴在y轴右侧，所以 b 0 ，而a＜0，故b＞0；
2a
判断c的符号
(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点 的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正 半轴，即c＞0；
判断b2－4ac的符号
(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标 4ac b2 0，且a＜0，所以4ac b2 0，故
2 x 22 7 7
所以当x＝2时，y。最小值＝－7
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线有y 最2x低2 点8x，所1 以y有最 小值，
因为－ b
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y。最小值＝－7
人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)
o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。