高考数学常用结论集锦

高考数学常用结论集锦一. 函数1.函数()y f x =的图象的对称性:①. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-= ②. 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--2.两个函数图象的对称性:①. 函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②. 函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称.特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④. 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--3. 对数的换底公式 log log log m am N N a=. 推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log aNa N =（0,1a a >≠）4. 导数： ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；⑵常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④. x x sin )(cos '-=；⑤a a ax x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )log a a x e x=；⑧. xx 1)(ln '= ；⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v v u v u vu v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 二.数列 1. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。

如图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n nn S S b a 。

等比数列{}n a 的通项公式1*11()n nna aa q q n N q-==⋅∈；等比数列{}n a 的变通项公式m n m n qa a -= 其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q qs na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩三.三角函数1． 同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=2211tancos αα+=2. 正弦、余弦的诱导公式：212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数 212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()sin ,sin()cos 22sin()sin ,cos()cos ππααααπααπαα+=-+=-=-=- 3. 和角与差角公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.)sin(cos sin 22ϕααα±+-±b a b a .(ϕ)2,0(π∈,tan ba ϕ= ).4. 二倍角公式 sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）；221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）； 22tan tan 21tan ααα=-. 5.万能公式:22tan sin 21tan ααα=+, 221tan cos 21tan ααα-=+ 6.半角公式:sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+7. 三函数的周期公式 函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y A x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，)的周期2||T πω=.函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期Tπω=.8.sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈9. cos y x =的单增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈单减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈10.tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为(,0)()2k k Z π∈11. 正弦定理2sin sin sin a b cR A B C=== 12．面积定理（1）111222a b cS ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=1tan 2OA OB θ.13.三角形角和定理：在△ABC 中，有：()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+.四.平面向量1.平面两点间的距离公式：,A B d =||AB AB AB =⋅11(,)x y ，B 22(,)x y ).2.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则：a ∥b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.3．线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 4．若OA xOB yOC =+,O 不在直线AB 上,则A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1。

五.直线和圆的方程1．直线方程的五种形式:（1）点斜式11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). （4）截距式1(,x ya b x y a b+=≠≠分别为轴轴上的截距,且a 0,b 0).（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2．两条直线的平行和垂直 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,①121221122100l l A B A B AC A C ⇔-=-≠且；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；3.夹角公式 2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)12211212tan A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.直线l 1到l 2的角是2121tan 1k k k k α-=+(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)4．点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).5．两条平行线的间距离 ：d =直线l 1：122120,0,)Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠).5.圆中有关重要结论: (1) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--= 特例:若P(0x ,0y )是圆222x y r +=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200xx yy r +=(2) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=特例: 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为200xx yy r +=(3) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=一点,以过P(0x ,0y )的弦的端点为切点向圆作两条切线,则两切线的交点的轨迹方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=特例: 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=一点, 以过P(0x ,0y )的弦的端点为切点向圆作两条切线,则两切线的交点的轨迹方程为200xx yy r +=六.圆锥曲线1. 椭圆：(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.(2)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式 10PF a ex =+，20PF a ex =-.()12,F F 分别为左右焦点 (3)椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的准线方程为2a x c=±,椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的准线方程为2a y c=±(4)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为22ba(5)P 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ ,则△P F 1 F2的面积=2tan 2b θ , 当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大；P 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点,A,B 是长轴的两端点,当点P 在短轴端点时,APB ∠最大.(6)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,则112mn ep+=2. 双曲线： (1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为2a x c =±双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2a y c =±(2) 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为0x y a b±=,双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的的渐近线方程为0x y b a ±=(3) P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ则△P F 1 F 2的面积=2cot 2b θ(4)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,AB 交在同支时,112mn ep +=,AB 交在两支时,112m n ep-=(设m n <)（5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。