高考数学常用结论大盘点

2015年高考数学常用结论大盘点 江苏省苏州中学 王思俭（215007）一、集合与逻辑常用用语 1. ()()();()()().U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==2. ;.AB A A B A B B A B =⇔⊆=⇔⊆3.集合{}123,,,,()n A a a a a n N *=∈,子集个数为2n ，真子集个数为21n -。

4.集合A ，则,A A A ∅⊆⊆;若A 为非空集合，则A ≠∅⊂.5.原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价；原命题、逆命题、否命题与逆否命题中，真命题个数是偶数个（即0，2，4）。

二、函数6.对称性与周期性(1)若()()f a x f b x +=-,,a b 为常数,则函数()f x 的图像关于直线2a bx +=对称. (2) 若()()2f a x f b x m ++-=,,,a b m 为常数, 则函数()f x 的图像关于点(,)2a bm +成中心对称.(3)若()()f x a f x b +=-,,a b 为常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为T a b =+. （4）若()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-，,a b 为不相等的常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为2T a b =-.(5) 若()()f a x f a x +=-，()()0f b x f b x ++-=，,a b 为不相等的常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为4T a b =-.(6) 若()()0f a x f a x ++-=，()()0f b x f b x ++-=，,a b 为不相等的常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为2T a b =-.7.函数的奇偶性（1）()f x 的定义域()(),0a a a ->（或[],a a -），()f x 为奇函数，则()00f =，反之未必；(2) ()f x 为奇函数()()()0f x f x f x ⇔-+=⇔的图象关于原点中心对称； （3）()f x 为偶函数()()()0f x f x f x ⇔--=⇔的图象关于y 轴对称； （4）()()()0f x x R f x =∈⇔既是奇函数又是偶函数，但不唯一.8.复合函数的单调性外函数()y f u =，内函数()u g x =，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦的单调性是：同性增，异性减. 三．数列9. {}n a 为等差数列1n n n a a d a an b +⇔=+⇔=+2n S an bn ⇔=+122n n n a a a ++⇔=+.10. {}n a 为等比数列()12111210n n n n n n n n a qa a a q a a a a qa -+++⇔=⇔=⇔=≠.11.配对原则：数列{}n a 为A P ，{}n b 为G P .(1)若m n s t +=+，则;m n s t m n s t a a a a b b b b +=+= （2）()()211232112321...21,...n n n n n a a a a n a b b b b b ---++++=-=12.派生数列（子数列）{}n a 为A P ，{}n b 为G P ..(1)若12,,...,...k n n n N +∈组成A P ，则12,,...,...k n n n a a a A P 成；12,,...,...k n n n b b b P 成G （特例13521,,...,n a a a a -成A P ；2462,...,n b b b b 成等比数列）.(2) {}1n n a a ++是A P ，{}1n n b b +⋅是G P ⋅（但{}1n n b b ++未必是G P ⋅，如公比是1q =-时）；1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是G P ；{}2n b 是G P . (3)数列{}na C是G P ；{}()log 0C n nb b>是A P ,其中0c >且1c ≠.(4) 123...n n S a a a a =++++，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是A P ，公差为2d . 13.分段和对应数列：（1）112321232...,...,n n n n n P a a a a P a a a a +++=++++=++++321223...,...n n n P a a a ++=+++若数列{}n a 是A P ,则{}n p 也是等差数列；若{}n a 是等比数列，则{}n p 也是等比数列（公比1q ≠-）. 14.递推数列(1) {}n a 满足()10,1n n a pa q pq p +=+≠≠，构造数列()1n n a p a q λλ++=++，其中1qp λ=-，则数列{}n a λ+是G P .(2) {}n a 满足()10,1n n n pa a pq p qa p +=≠≠+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列111()n n qa a p +=+. (3)数列{}n a 前n 项和n S ，若(),n n S f a n =，则11,1,, 2.n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩四．三角函数15.对称中心、对称轴：函数sin()(0,0).y A x B A ωϕω=++>≠（1）对称轴方程：由,2x k k Z πωϕπ+=+∈，解出1(),2k x k Z ππϕωω=+-∈。

（2）对称中心0(,)x B ，其中0,x k k Z ωϕπ+=∈，即0()k x k Z πϕω-=∈。

16.奇偶性：函数sin()(0,0).y A x B A ωϕω=++>≠ （1）()f x 为奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈且0B =. (2) ()f x 为偶函数()2k k Z πϕπ⇔=+∈。

17.函数()sin cos f x a x b x =+（其中a,b为常数）的最值：()y x ϕ=+，其中max min tan ,by y aϕ===18.三角形ABC 中的有关三角函数恒式与不等式：（1）sin()sin ;cos()cos ;tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-；（2）()()()sincos ;cos sin ;tan cot 222222A B C A B C A B C+++===； （3）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++=；（4）锐角ABC 中，sin cos ,sin cos ,sin cos 2A B A B B C C A π+>⇔>>>；sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++；（5）三边a,b,c成等差数列122sin sin sin tantan 223A C b a cB AC ⇔=+⇔=+⇔=; 60B ︒≤。

三边a,b,c 成等比数列⇔ 22sin sin sin ,60b ac B A C B =⇔=≤︒.（6）sin sin cos2cos2.A B a b A B B A >⇔>⇔>⇔>五．平面向量19.模：()2222222,2;()a a a b a b a b a b a b a b =+=++⋅-=+-。

20.平行四边形对角线性质：()22222a b a b a b++-=+.21.模的不等式：;a b a b a b a b a b a b -≤+≤+-≤-≤+. 22.不共线向量,a b ，若0a ub λ+=，则0,λ=且0u =. 23. ABC 中，G 为ABC 重心0GA GB GC ⇔++=. 24. ABC 中，D 是边BC 的中点，则2AB AC AD +=。

25.平面上四点 O 、A 、B 、C ，满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈，则A 、B 、C 三点共线充要条件是1αβ+=。

26.平移：曲线(),0,f x y =，按(),a m n =平移后曲线方程为(),0f x m y n --=. 六．不等式27.均值不等式：2,,112a b a b R a b++∈≤≤≤+. 28. ,,a b c R ∈,则222a b c ab bc ca ++≥++；()()22223()3ab bc ca a b c a b c ++≤++≤++.29.放缩变换 （1）()()()2111112111k k k k k k k k<<=-≥+--;（22=<=,2>=;(3) 1111 (22121)n n n n n n n n =<+++<++++; (4) 0,0,,b b m b b m a b m a a m a a m ++>>><>++;0,0,a b m >>>则b b ma a m->-.特例: 12342122,2345221n n n n ++<<<>+等等.七.解析几何 30.过圆()2220x y rr +=>上一点()000,P x y 的切线方程为：200x x y y r +=；若0P 在圆O外，则直线200x x y y r +=是切点弦所在直线方程.31.切线长公式：过圆220x y Dx Ey F ++++=外一点()00,P x y 引切线，切线长PT =32.椭圆、双曲线中的焦点三角形12PF F .(1)椭圆中当点P 在短轴端点时，12F PF ∠最大，12PF F 的面积最大。

（2）12F PF θ∠=，则椭圆中122tan2PF F Sb θ=；双曲线中122cot 2PF F Sb θ=。

（3）1221,PF F PF F αβ∠=∠=，则椭圆中1tantan221eeαβ-=+；双曲线中1tancot221e eαβ-=+。

33.焦半径公式，点00(,)P x y 在圆锥曲线上。

（1）椭圆221020221(0),,x y a b PF a ex PF a ex a b+=>>=+=-。

（2）双曲线221020221(,0),,,x y a b PF a ex PF ex a a b-=>=+=-点P 在右支上。

（3）抛物线22(0)y px p =>，02pPF x =+。