场论与张量

lim
S 0
L
a dr S a dr S
定义矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影为(微分形式的斯托克斯公式)：
rot a lim
n S 0
L
1.6 矢量的环量、旋度、斯托克斯定理
证明上述极限存在。设矢量a的三个分量具有连续一级偏导数，利用斯托克斯 公式，有：

L
a dr
an a n ax cos(n, x) a y cos(n, y) az cos(n, z )
为a在法线方向的投影，定义矢量a通过面积元dS的通量为andS，则沿曲面S积 分，可得矢量a通过S面的通量：

dS dSn
S
an dS
定义面积矢量dS是大小为dS、方向为法线正方向的量，则通量表达式可表示为如 下形式：
S1 S

•
S1
an dS an dS
S
应该指出，该性质仅在特定的区域内成立，在此区域内，任一球面形曲面不 超出此区域而缩成一点。
1.6 矢量的环量、旋度、斯托克斯定理
给定一矢量场a，在场内任取一曲线L，作线积分：
a dr (a dx a dy a dz)
L L x y z
1.2 场的几何表示
例子：TTU模型屋盖的平均风压系数分布等值线图。
1.2 场的几何表示
现在研究矢量场的几何表示。包括方向和大小，更为复杂。 矢量的大小是一个标量，可以采用等位面的形式表示。 矢量的方向可采用矢量线来表示。矢量线的定义：线上每一点的切线方向与 该点矢量方向重合。 作出同一时刻通过场内任意一点M的矢量线(绘图表示)。 下面研究矢量线的方程。设dr是矢量线的切向元素，根据矢量线的定义，有：
V
1.5 无源场及其性质
若diva＝0，则该矢量场称为无源场或管式场。具有如下性质： 1、无源矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。 • 如图所示，给定一矢量管，任取该矢量管的两横截面∑及∑1，两横截面之间 的矢量管侧面为∑’，对和三个封闭曲面围成的体积，有：

S
an dS divadV
grad
i j k x y x
1.3 梯度(标量场不均匀性的量度)
总结起来，梯度的主要特性如下： 梯度gradφ描写了场内任一点M领域内函数φ的变化状况，它是标量场不均匀 性的量度。 梯度gradφ的方向与等位面的法线重合，且指向φ增长的方向，大小是n方向上 的方向导数∂φ/∂n。 梯度矢量gradφ在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数。 梯度gradφ的方向，即等位面的法线方向，是函数φ变化最快的方向。 梯度grad φ在直角坐标系中的表达式为：
过M点作等位面： 过M点取法线方向n。n指向φ增长的方向，在 n上取无限邻近的M1点，过M1点做等位面：
过M点作任意方向s，和等位面φ=C1，交与M’点，有：
1.3 梯度(标量场不均匀性的量度)
也就是说：任意方向s上的方向导数，可以通过∂φ/∂n，及s与n之间夹角余弦来 表示。 沿法线方向的方向导数(大小为∂φ/∂n，方向为n)的矢量称为标量函数φ的梯度。
ay ax az ay ax az ( )cos(n, x) ( )cos(n, y) ( )cos(n, z) L a dr S z z x x y y Q
其中Q是S面上的一点。则a的沿n方向的旋度可表示为：
a y ax ax az az a y rotna ( ) cos( n, x) ( ) cos( n, y) ( ) cos( n, z) y z z x x y rot xa cos(n, x) rot y a cos( n, y) rot z a cos( n, z)
过M有无穷多个方向，每个方向都有对应的方向导数。但各个方向的方向导 数都不是相互独立的。 研究表明：只要知道过M点的等位面法线方向n上的方向导数∂φ/∂n，其它方 向s的方向导数均可表示出来。
cos( n, s ) s n
对上式进行证明。
1.3 梯度(标量场不均匀性的量度)
本课程几个部分
• • • • • • 1、场论与张量 2、流体力学基本概念 3、基本方程的推导 4、理想不可压缩流体 5、粘性不可压缩流体(层流、湍流、边界层) 6、CFD数值模拟(有限体积法)
场论和张量
李寿英 湖南大学风工程试验研究中心 二零壹肆年
一、场 论
1.1 场的定义与分类
如果空间中某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义此空间区域内的 函数为场。 标量场和矢量场：
1.4 矢量的通量、散度、奥高定理
若曲面为封闭曲面，采用积分号上加一小圆圈方法表示矢量a通过S面的通量：

S
an dS
取任意M点，以体积V包之，V的界面为S，作矢量a通过S的通量，然后除以体 积V，令体积V无限收缩于M点，得极限：
V 0
lim
S
an dS V
S
若此极限存在，定义其为矢量a的散度(奥高公式的微分形式)：
1.2 场的几何表示
采用几何方法来表示场有助与直观理解问题。 首先研究标量场。若每一时刻场的几何表示都已知，则整个场为已知(若为定 常场？)。取任意固定时刻t0，令：
(r , t0 ) 0 const
则称与之对应的曲面为等位面，在等位面上φ值都相等。取不同的φ0值，等到 不同的等位面。 根据疏密程度可以判断标量函数的变化状况：等位面靠的近的地方函数变化 快、靠得远的地方函数变化慢。 函数值的改变主要在等位面的法线方向发生，沿切线方向移动时，函数值不 变。 气象学中的等压线，等温线。结构风工程中也常采用等压线表示风压分布规 律。
grad
n n
梯度描述了M点领域内标量函数的变化状况，是标量场不均匀性的量度。任 意s方向的方向导数可表述为：
grad cos(n, s ) s 0 grad s
因此，s方向的方向导数等于梯度矢量在s方向的投影。梯度也可以理解为变 化最快的方向导数！ 在直角坐标系中，梯度可分别投影与x、y、z三个方向：

L
(ax dx a y dy az dz )
a y ax az a y ax az ( ) cos(n, x) ( ) cos(n, y) ( ) cos(n, z ) dS S z z x x y y
利用中值公式，有：
a dr 0
写成直角坐分量形式，则得到矢量线的微分方程：
dx dy dz ax ( x, y, z, t ) a y ( x, y, z, t ) a z ( x, y, z, t )
t为时间参数。 在场内任取一非矢量线的封闭曲线C，通过C上的每一点作矢量线，则这些矢 量线所包围的区域称为矢量管。 下面研究任一时刻场内每一点领域内的函数变化状况。
1.3 梯度(标量场不均匀性的量度)
在某一时刻t=t0研究标量场φ(r, t0)。在场内任取一点M，过 M点作曲线s，有下列极限：
MM 0
lim
( M ) ( M )
MM
上式表征标量函数φ 在M点上沿曲线s方向的函数变化，以偏导数表示，称为 方向导数：
( M ) ( M ) lim s MM 0 MM
grad
梯度的两个定理： 定理1： 定理2：
i j k x y x
利用两个性质，可以通过全微分和线积分求函数φ的梯度或研究梯度性质。
1.4 矢量的通量、散度、 奥高定理
下面来介绍矢量场不均匀性的表述。 取一曲面S，在S面上取一面积元素dS，在dS上任取一点M，作S面的法线。若 曲面封闭，则取外法线为正方向；若不封闭，则可任取正方向。n为S面上法 线方向的单位矢量，a表M点上的矢量函数的值，则：
dS cos(n, x) dydz dS cos(n, y) dzdx dS cos(n, z) dxdy
S

S
an dS a ndS a dS
S S S
ax cos(n, x) a y cos( n, y) az cos( n, z) dS ( ax dydz a y dzdx az dxdy)
为矢量a沿曲线L的环量。若曲线L为封闭曲线，则在积分符号中加小圆圈：

L
a dr

L
(ax dx ay dy az dz)
设M是场内一点，在M点附近取无限小封闭回线L，取定某一方向为L的正方 向，设张于L上的曲面S，S的法线方向n0(由右手螺旋系统确定)。作矢量a沿曲 线L的环量并除以曲面面积S，令L向M点收缩，使曲面矢量S=Sn0，大小趋于 零，方向趋于某固定方向n。于是有如下极限：
diva lim
V 0
an dS V
矢量a的散度是对单位体积而言，矢量a 通过体积元V的界面S的通量。是一个 标量。下面研究散度在直角坐标系中的具体表达式。 设矢量函数a的三个分量ax、ay、az具有连续的一阶偏导数，利用奥高定理：
1.4 矢量的通量、散度、奥高定理

S
an dS ax cos(n, x) a y cos(n, y ) az cos(n, z )dS
1.5 无源场及其性质
3、无源矢量a经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，亦即此通 量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。 • 设S和S1是任意两个张于周线L上的曲面，S和S1组成一封闭曲面设此封闭曲 面所包围的体积为V，应用奥高定理，

V
divadV an dS an dS 0
参考书
1、流体力学，吴望一编著，北京大学出版社 2、计算流体力学入门，John D. Anderson, JR.著，姚朝晖，周强编译，清华大学出版社 3、An introduction to computational Fluid Dynamics,Versteeg and Malalasekera著，世界图 书出版社 4、流体力学泵与风机，蔡增基，龙天渝主编，中国建筑工业出版社 5、空气动力学，吴子牛主编，清华大学出版社和Springer 6、粘性流体力学，章梓雄，董曾南编著，清华大学出版社 7、流体动力学，朗道和栗弗席兹著，李植译。