矢量代数与张量初步精品PPT课件
第1章(矢量分析)
矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。
矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。
矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。
如：温度、质量、角度、长度等。
如：力、速度、电场强度、力矩等。
矢量的模：矢量的大小。
矢量的模记为：或。
A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。
即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。
FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。
能不能平移？下面只讨论自由矢量。
如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。
U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。
R A A e A 三个：、和。
R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。
ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。
e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。
张量分析——初学者必看PPT
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
四、矢量的并乘(并矢)
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3e1 a3b2 e3e2 a3b3e3e3
ab a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
约定
S ai xi a j x j
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
五、张量的双点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk ei e j ek )( Brster es et ) Aijk Brst jr ks ei et Aijk B jkt ei et S
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brst er es et ) Aijk Brst ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
【张量分析ppt课件】张量分析课件第二章 矢量代数与矢量分析
（2.1-3）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
o 0 i1 0 i2 0 i3
同时长度为1的矢量称为单位矢量。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。
例2 ： 图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中 矢量a、 b。试求 2a +1.5b在{o；i1， i2 }中的表示。 a (3 1) i 1 (1 0) i 2 2 i 1 i 2 解：
a b ( ai i i ) (b j i j ) ai b j ij ai bi b a ; a , b V
（2.1-4） （2.1-5）
1 ; i j i i i j ij 0 ; i j
其中δij称为Kronecker符号。 定义矢量积
例6 ：
证明e—δ恒等式： eijk eimn jm kn jn km 证： 由（2.1-12）式有：i j ik e jkiii eijkii
im in emne ie eemn ie
eijkeemn ii ie (i j ik ) (im in ) (eijkii ) (eemnie ) (i j ik ) (im in ) eijkeemn ie (i j ik ) (im in )
X2
x2
x r2 o r1 x1 (a ) X1
x2 i2 x i1 x1 X1
X2
(b )
图2－3
设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与 数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y ∈ V；α，β ∈F有 x y xi yi
i i i i
( xi yi ) ii
电动力学——矢量和张量课件
矢量和张量vectors and tensors中山大学理工学院黄迺本教授(2005级,2007年3月)如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.——Galileo经典电动力学的研究对象——电磁相互作用的经典场论——狭义相对论——电动力学的相对论协变性主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.教材和参考书教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997参考书：[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004[2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978[3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005[4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003[6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005[7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和张量目录(contens)1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors)3.δ函数(δ function)4.球坐标系和柱坐标系1 矢量和张量代数在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是空间转动下的不变量.例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集合.例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量.2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序集合.例如，刚体的转动惯量→→I ,电四极矩→→D ,等.3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合.矢量表示印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r ,正交坐标系的基矢量正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为⎩⎨⎧≠===⋅ji j i ij 01δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成∑==++=31332211i i i A A A A ee e e A (1.2)矢量的乘积两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足A B B A ⋅=⋅ (1.3)A B B A ⨯-=⨯ (1.4))()()(B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ (1.5))()()(B A C A C B C B A ⋅⋅=⨯⨯- (1.6)并矢量与二阶张量两个矢量A 和B 并置构成并矢量j i e e e e e e e e AB j j i i B A B B B A A A ∑==++++=31,332211332211))(( (1.7)它有9个分量j i B A 和9个基j i e e ，一般地BA AB ≠.三维空间二阶张量也有9个分量ij T ，它的并矢量形式与矩阵形式分别为j i e e ∑=→→=31,j i ij T T (1.8)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (1.9) 张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：332211tr T T T T ++= (1.10)单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是332211e e e e e e ++=→→I (1.11)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I (1.12)因此(Ⅰ.1)式中的符号ij δ实际上是单位张量的分量.对称张量与反对称张量 若ij ji T T =，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若ij ji T T -=，称之为反对称张量，由于0332211===T T T ，反对称张量只有3个独立分量.任何张量ij T 均可写成一个对称张量ij S 与一个反对称张量ij A 之和，即ij ij ij A S T +=，只需使)/2(ji ij ij T T S +=，)/2(ji ij ij T T A -=.二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij j ij i j ki ij ji k k k ij ij k k T A e T A T A T e e e e A ji δ,, (1.13) ∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij i ij j i ij k j i k k k k ij ij T A e T A A T T e e e e A jk j i δ,, (1.14)一般地A A ⋅≠⋅→→→→T T . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：A A A =⋅=⋅→→→→I I (1.15) 并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：))(()()(D A C B CD AB ⋅⋅=: (1.16)2 矢量和张量分析（1）算符∇和2∇物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:温度T 、静电势ϕ的分布都构成标量场；电流密度J 、电场强度E 、磁感应强度B 、磁场矢势A 的分布都构成矢量场.∇是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，2∇=∇⋅∇是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ，2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 三个基矢量z y x e ,e ,e 均是常矢量.（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场ϕ在某点的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e (2.2)是一个矢量，它在数值上等于ϕ沿其等值面的法向导数，方向沿ϕ增加的方向，即n dnd ϕϕ=∇ (2.3) 例如静电势ϕ的分布是一个标量场,E =-∇ϕ即变成矢量场——静电场.（3）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场A 通过某曲面S 通量(flux)定义为⎰⋅=ΦSd S A (2.4) 其中n S dS d =是曲面S 某点附近的面积元矢量，方向沿曲面的法向n .对于闭合曲面(closed surface)，规定S d 的方向沿曲面的外法向.对于矢量场A 中包含任一点)(z y x ,,的小体积V ∆，其闭合曲面为S ，定义极限A S A ⋅∇=∆⋅⎰→∆Vd SV 0lim (2.5) 为矢量场A 在该点的散度，它是标量.在直角坐标系中zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (2.6) 若0≠⋅=Φ⎰S d S A , 则该点散度0≠⋅∇A ，该点就是矢量场A 的一个源点； 若0=⋅=Φ⎰Sd S A ，则该点散度0=⋅∇A ，该点不是矢量场A 的源点. 若处处均有0=⋅∇A ，A 就称为无散场(或无源场)，它的场线必定是连续而闭合的曲线.磁场B 就是无散场(solenoidal field ).高斯定理(Gaussl theorem ) 对任意闭合曲面S 及其包围的体积V ，下述积分变换定理成立⎰⎰⋅∇=⋅S V A S A dV d (2.7) 由此推知，若A 是无散场，即处处有0=⋅∇A ，则A 场通过任何闭合曲面的净通量均为零.（4）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场A 沿闭合路径(closed contour)L 的积分⎰⋅Ld l A 称为A 沿L 的环量(circulateon)，其中l d 是路径L 的线元矢量.若对任意闭合路径L ，均有0=⋅⎰Ld l A (2.8) 则称A 为保守场（conservative field ）.当闭合路径L 所围成的面积元S ∆是某点P 的无限小邻域，我们约定：路径积分的绕行方向即d l 的方向，与其所围成的面积元S ∆的法向n 成右手螺旋关系，并定义极限n LS S d )()(lim 0A n A l A ⨯∇=⋅⨯∇=∆⋅⎰→∆ (2.9)为矢量场A 在该点的旋度A ⨯∇在n 方向的分量.在直角坐标系中z x y y z x x y z yA x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (2.10) 它是矢量.按上述约定若()0>⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成右手涡旋；若()0<⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成左手涡旋；若()0=⨯∇n A ，A 线在该点不形成涡旋.如果所有点上均有0=⨯∇A ,A 就称为无旋场.例如静电场E 就是无旋场(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 对任意的闭合路径L 所围的曲面S ，下述积分变换成立()S A l A Sd d L ⋅⨯∇=⋅⎰⎰ (2.11) （5） 矢量场的几个定理标量场的梯度必为无旋场：0=∇⨯∇ϕ (2.12)【证】对任意标量场ϕ的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e 取旋度，可得[]0)()(=∂∂∂∂-∂∂∂∂=∇⨯∇yx x y x ϕϕϕ， []0=∇⨯∇y ϕ，[]0=∇⨯∇z ϕ 逆定理：无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即若0=⨯∇A ,必可令ϕ∇=A例如对于静电场强度E ，就可用标势ϕ的负梯度描写: ϕ-∇=E .矢量场的旋度必为无散场：0=⨯∇⋅∇A (2.13)【证】0)()()(=∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=⨯∇⋅∇y A x A z x A z A y z A y A x x y z x y z A 逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即若0=⋅∇B , 必可令A B ⨯∇=例如对于磁感应强度B ，就可用矢势A 的旋度描写.（6）算符运算标量函数ϕ的梯度ϕ∇是矢量，矢量函数f 的散度f ⋅∇是标量，旋度f ⨯∇是矢量，而f ∇是二阶张量：∑∑∑===∂∂=∂∂=∇31,3131j i i j j j i i x f f x j i j i e e e e f (2.14)若ϕ和φ是标量函数，f 和g 是矢量函数，有ϕφφϕϕφ)()()(∇+∇=∇ (2.15) ϕϕϕ)()()(f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ (2.16) ϕϕϕ)()()(f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇ (2..17) f g g f g f ⋅⨯∇⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(- (2.18) f g g f g f f g g f )()()()()(⋅∇+∇⋅⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇- (2.19) g f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ (2.20) g f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇ (2.21) f f f 2)()(∇⋅∇∇=⨯∇⨯∇- (2.22)上述运算不必采用化成分量的方法进行，只要抓住算符∇的微分作用及其矢量性质，便可快捷准确地写出结果.当∇作用于两个函数的乘积（或两个函数之和）时，表示它对每一个函数都要作微分运算，可以先考虑∇对第一个量的作用，并将这个量记为∇的下标，以示算符只对此量执行微分运算，第二个量则视为常数，再考虑∇对第二个量的作用，此时亦将第二个量记为∇的下标，第一个量则视为常数；必须注意的是，算符不能与其微分运算对象掉换次序.例如(2.16)式，)(f ϕ⋅∇是对矢量f ϕ求散度，故运算结果的每一项都必须是标量，我们有ϕϕϕϕϕϕ)()()()()(f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇f又如(2.20)式，)(g f ⋅∇是对标量g f ⋅求梯度，结果的每一项都必须是矢量，先把它写成)()()(g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇g f再根据三矢量的矢积公式(1.6)式，但结果中必须体现f ∇对f 的微分作用，以及g ∇对g 的微分作用，故有f g f g g f )()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇fg f g f g f )()()(∇⋅+∇⨯⨯=⋅∇gg f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇右方所得结果中第二项实际上是f g ∇⋅，第四项是g f ∇⋅.（7）积分变换⎰⎰⋅=⋅∇SV d dV S A A )( （高斯定理） (2.23.) →→→→⋅=⋅∇⎰⎰T d dV T SV S )( (2.24) ⎰⎰⋅=⋅⨯∇LS d d l A S A )( （斯托克斯定理） (2.25) ⎰⎰⋅∇=∇+∇SV d dV S )()(22φϕϕφφϕ（格林公式） (2.26) ⎰⎰⋅∇-∇=∇-∇SV d dV S )()(22ϕφφϕϕφφϕ（格林公式） (2.27) 3 δ函数一维δ函数定义为 ⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.1) 1)(='-⎰b adx x x δ ，当b x a <'< (3.2) 主要性质为：)(x x '-δ为偶函数，其导数是奇函数；又若函数)(x f 在x x '=附近连续，有)()()(x f dx x x x f ba '='-⎰δ，当b x a <'< (3.3) 这一性质由中值定理可以证明.三维δ函数定义为⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.4) 1)(='-⎰VdV x x δ，当x '在V 内 (3.5) 因此，位于x '的单位点电荷的密度可表示为)()(x x x '-=δρ. (4.3)式可推广到三维情形，若函数)(x f 在x x '=附近连续，便有)()()(x x x x '='-⎰f dV f V δ，当x '在V 内 (3.6)4.球坐标系和圆柱坐标系直角坐标系当坐标),,(z y x 变化时，三个基矢z y x e ,e ,e 的方向保持不变.常用的微 分运算表达式为z y x zy x e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.1) zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (4.2) z x y y z x x y z y A x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (4.3) 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.4)曲线正交坐标系任一点的坐标也可用曲线正交坐标系描述，沿三个坐标),,(321u u u 增加方向的基矢量321e ,e ,e 互相正交，随着坐标变化，一般地三个基矢量的取向将会改变.无限小线元矢量l d 、坐标i u 的标度系数i h ，以及微分算符分别为333222111332211e e e e e e l du h du h du h dl dl dl d ++=++= (4.5)21222])()()[(ii i i u z u y u x h ∂∂+∂∂+∂∂= (4.6) 333222111111u h u h u h ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e (4.7) )]()()([13321322132113213212u h h h u u h h h u u h h h u h h h ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇ (4.8) 球坐标系r u =1，θ=2u ，φ=3u ；11=h ，r h =2，θsin 3r h =.三个基矢r e e =1，θe e =2，φe e =3的方向均与坐标θ和φ有关，而与r 无关.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x e e e e e e r 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φφθφθφθθφθφθφθ (4.9) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin z y x (4.10)坐标变换为φθcos sin r x =，φθsin sin r y =，θcos r z = (4.11)常用的微分运算表达式为φϕθθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r re e e (4.12) φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r rr r sin 1)sin (sin 1)(122A (4.13) φθθφθφθφθφθθθe e e A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⨯∇r r r A A r r r A r r A r A A rsin -))-(1(sin 11)sin (1 (4.14) 2222222sin 1)sin (sin 1)(1φϕθθϕθθθϕϕ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r (4.15) 立体角元、球面积元与体积元分别为φθθd d d sin =Ω (4.16) Ω===d r d d r dl dl dS r 2232sin φθθ (4.17) φθθd drd r dl dl dl dV sin 2321== (4.18)柱坐标系r u =1，φ=2u ，z u =3； 11=h ，r h =2，13=h .三个基矢量r e e =1，φe e =2 ，z e e =3中，r e 和φe 的方向均与坐标φ有关，z e 则为常矢量.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z e e e e e e r 1000cos sin 0sin cos φφφφφ (4.19) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z z y x e e e e e e r φφφφφ1000cos sin 0sin cos (4.20)坐标变换为φcos r x =，φsin r y =，z z = (4.21)常用的微分运算表达式为z r zr r e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕφϕϕϕφ1 (4.22) z A A r A r r r z r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φφ1)(1A (4.23)z r z r r z A A r r r rA z A z A A r e e e A ]([1()1(φφφφφ∂∂-∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇))-- (4.24)2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇ϕφϕϕϕ (4.25) 体积元为dz rdrd dl dl dl dV φ==321 (4.26)例1．设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u dudfu f ∇=∇)( (1) dud u u AA ⋅∇=⋅∇)( (2) dud u u AA ⨯∇=⨯∇)( (3) 【证】对于)(u f ∇，注意到du df u f =∂∂，有u drdf z u y u x u du df zf y f x f u f z y x z y x∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)()(e e e e e e在直角坐标系中将矢量A 写成分量形式，便可证明(2)式和(3)式.例2．从源点（即电荷电流分布点）x '到场点x 的距离r 和矢径r 分别为222)()()(z z y x y x x r '-+'-+'-= z y x z z y -y x -x e e e r )-()('+'+'=)(对源变数x '和场变数x 求微商的算符分别为z y x z y x'∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'e e e ,zy x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e 证明下列结果，并体会算符∇'与∇的关系：rr r r=∇'-=∇ (单位矢量) (1) 3=⋅∇'-=⋅∇r r (2) 0=⨯∇'-=⨯∇r r (3)→→=∇'-=∇I r r (单位张量) (4) 311rr r r-=∇'-=∇(5)033=⋅∇'-=⋅∇rrr r ，（0≠r ） (6) 033=⨯∇'-=⨯∇r r r r (7)【证】 将算符∇与∇'分别作用于r 和矢径r 的表达式，可得到(1)至(4)式的结果.利用前面1.2题的第一式和本题(1)至(4)式的结果，得3211)(1rr r r dr r d r rr -=-=∇=∇- 0)(333=⋅∇+⋅∇=⋅∇-r r r -r r r ，（当0≠r ） 0)(333=⨯∇+⨯∇=⨯∇-r r r -r r r同理可证31r r r =∇'；03=⋅∇'rr ，当0≠r ；03=⨯∇'r r.事实上，对任意的标量函数)(r f 和矢量函数r )(r f ，不难证明)()(r f r f ∇'-=∇；])([])([r r r f r f ⋅∇'-=⋅∇ ])([])([r r r f r f ⨯∇'-=⨯∇；])([])([r r r f r f ∇'-=∇即算符∇与∇'存在代换关系∇'-→∇.这种代换将会经常用到.。
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数
按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中 称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j） （ Bmn imin） （Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四 阶单位张量。 上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称
数学张量分析PPT课件
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右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
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张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
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若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
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矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
矢量和张量
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
第一章 张量初步
1
上式两端同时点乘g1得到
所以 同理
g
2
1 g 1 g c g 1 ( g 2 g 3 ) c[ g 1
1
g2
g3 ] c
g
g
1
1 g
( g2 g3 )
1 g
( g 3 g1 ) ( g1 g 2 )
13
g
3
1 g
ppt/102
x
1
e 1
x
2
e 2
x
3
e 3
x
k
ek
16
空间点的局部基矢量
下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的
ppt/102
梯度，即
g x
i i
x x
i k
ek,
i , k 1, 2 , 3 x x
i k
i i ik ik
det( j ) det( g g kj ) 1
i ik
这再次证明(gij)与 (gij)互为逆矩阵。
12
ppt/102
g g j j,
i i
i , j 1, 2 , 3
由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2 、 g3垂直， 可以用协变基矢量g2 、 g3的叉积表示逆变基g1：
dr
g ij g
i
dx g idx
gi g j ,
i , j 1, 2 , 3
称为度量张量G=(gij)的分量。
9
ppt/102
g ij g i g j ,
i , j 1, 2 , 3
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A ex A yz A zy ey A zx A xz ez A xy A yx
ex x
ey y
ez z
Ax
Ay
Az
1
例1： r =？ rr x x2 yy2 z z2 2
解： r112(xx)xx r yy,r zz
x 2r
r y r z r
r e xx r x e yy r y e zz r z r r r
dt
dt dt
并矢与张量 A B （一般 ABBA）
3
3
TAB AiBjeiej Tijeiej
i,j1
i,j1
e i e j 为单位并矢，张量的基（9个分量）
矢量与张量的矩阵表示
A Aiei ,
A1
A
A2
A3
A(A1,A2,A3)
B 1
3
AB(A 1,A2,A3)B2A 1B 1A2B2A3B3 A iBi
r r 3 x x r 3 x y y r 3 y z zr 3 z
r 3 3 x x r 3 4x r x y y r 3 4y ry 0
证明 A A A
证： A xA x yA y zA z
A xx A yy A zz xA x yA y zA z
A A
五、斯托克斯公式与矢量场的旋度
矢量场的环量（环流）
矢量 A 沿任一闭合曲线 L 的积分称为环量 Adl L
0 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合
0 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合
ABCABC
CAB CAB 两并矢的一次点乘
并矢 并矢
A B C D A B C D A B C A D C D A B
两并矢的二次点乘
A B:C D B C A D
单位张量与矢量、 张量的点乘
CC C A B A B A B
:ABAB
第二节
矢量场论复习
§2 矢量场论复习
稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关
变化场（时变场）：场函数与时间有关
已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，
这是电动力学求解电磁场的主要方法。 已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变 化关系（梯、散、旋度）。
二、标量场的梯度
在空间任意靠近两点函数的全微分 在 空 间 某 点 的 任 意
ddxdydz
i1
B1 B2 B3
矢量代数中的两个重要公式
混合积
a ( b c ) b ( c a ) c ( a b )
双重矢量积 a ( b c ) ( a c ) b ( a b ) c
矢量微分
dAAˆ dAAdAˆ dt dt dt
d(AB)AdBdAB
dt
dt dt
注意顺序 不能颠倒
d(AB)AdBdAB
穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
矢量场的通量
面元 d s 的通量： dAds
有限面积 S 的通量
闭合曲面的通量
S
Ads
AdS s
0 0 0
有源 无源 负源
意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具
有局域性质，不能反映空间一点的情况。
高斯公式
SA d sV A d V V A x x A y y A zz d x d y d z
矢量场的散度
缩小到一点
AdS(A)VS来自AdSA lim S
V0 V
A
A A
0 0 0
该点有源 该点无源 该点为负源
若空间各点处处 A0 则称 A 为无源场。
例子：
求 r
r x x e x y y e y z z e z
r x 3 x
求
r r3
1
r x x 2 y y 2 z z2 2 (r 0 )
B3
i1
TAB
T11 T12 T13
T T21 T22 T23
T31
T32
T33
3
e i e j i1
1 0 0
0 0
1 0
0 1
张量的运算 TV (Tij Vij)eiej
i,j
ABCA BC A CB ACB
CB ACBA
BC ABCA
C A B C A B B C A B A C B A C
绪论及数学准备
第一节
矢量代数与张量初步
§1 矢量代数与张量初步
矢量定义
A AA ˆ,
AA,
A ˆA
A
直角坐标系中 AA xiA yjA zk
3
A Ai ei i 1
AA(A12A22A32)12
3
Ai2
i1
矢量的基本运算
3
e1 e2 e3
AB AiBi ABcos ABABsinen A1 A2 A3
一、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理 量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
场用一个空间和时间 标量场(x,y,z,t)(x,t) 坐标的函数来描述： 矢量场A(x,y,z,t)A(x,t)
等值面：(x) 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。
三、矢量微分算子
ex
xey
yez
z
exxey
yez
z
既具有矢量性质， 又具有微分性质
注意：
它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
A e x x e y y e z z e x A x e y A y e z A z A x x A y y A z z
r r
例2： ( ) =？
解：
()
x x x
() ()
y
y y
z
z z
() e x x e y y e z z e x x e y y e z z
()
四、高斯定理与矢量场的散度
矢量族
在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它 沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢 量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无
x y z
方向上，导数有无 穷多个，其中有一
d ex xey yez z d d
个值最大，这个方 向导数的最大值定 义为梯度：
dd xexd yeyd zez
d
d
el
cos
grad
梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率
，刻画了标量场的空间分布特征 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。