离散数学(第1.6-1.7)陈瑜

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离散数学第一章命题逻辑

令Q表示：张亮是跳远运动员。
于是命题，张亮可能是跳高或跳远运动员就可以用P∨Q来表示，因为这里的或是可兼或。逻辑联结词析取也是个二元运算符。
1.1 命题和联结词
逻辑联结词单条件—“→”
设P是一个命题，Q是一个命题，由联结词→把P、Q连接成P→Q，称P→Q为P、 Q的条件式复合命题，把P和Q分别称为P→Q的前件和后件，或者前提和结论。 P→Q读作“如果P则Q”或“如果P那么Q”。其中P被称为前件，Q被称为为后件。很多时候联结词→也被称为蕴涵。 P→Q的真值是这样定义的，当且仅当P→Q的前件P的真值为T，后件Q的真值为F
1.1 命题和联结词
逻辑联结词否定—“┓”
设P是一个命题，则联结词┓和命题P构成┓P，┓P为命题P的否定式复合命题，读作“非P”。联结词┓是自然语言中的“非”、“不”和“没有” 等的逻辑抽象。其真值是这样定义的，若P的真值是T，那么┓P的真值是F；若P的真值是F，则┓P的真值是T。命题P与其否定┓P的如表1.1所示。
1.2 合式公式与真值表
例1.4 令P表示：小明现在正在睡觉。
令Q表示：小明现在正在打球。于是命题，小明现在正在睡觉或者正在打球不能用P∨Q来表示。因为这里自然语言陈述的或是排斥或，这种意义的或我们用另一个逻辑联结词“异或”“”来表示，后面我们将给出它的定义。
1.1 命题和联结词
逻辑联结词析取——“∨”
例1.5 将句子“他昨晚做了20或者30道作业题”表示为复合命题。在此例中，该句子不能被表示成复合命题，因为这里的“或”表示的是近似或者猜测的意思。例1.6 令P表示：张亮是跳高运动员。
P F F T T Q F T F T P∧Q F F F T P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1

离散数学(第五版)清华大学出版社第

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（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。
p∨q∨rp→(p∨q∨r)
p q r
0 0 0 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
⇔0↔q（矛盾律）
⇔(p→q)∧(q→0)（等价等值式）
⇔(¬0∨q)∧(¬q∨0)（蕴含等值式）
⇔(1∨q)∧¬q（同一律）
⇔1∧¬q（零律）
6
⇔¬q（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本
题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。
⇔¬((¬p∧q)∧(¬p∨q)∧(¬q∨p)∧(¬q∨q))⇔¬(1∧p∨q)∧(¬q∨p)∧1⇔¬((p→q)∧(q→p))
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⇔¬(p↔q).
读者填上每步所用的基本的等值式。1.9（1）

离散数学(第1章习题课)讲解

2019/6/13
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9/24
基本蕴含（关系）式
I1：PP∨Q ， QP∨Q ～PP→Q ， QP→Q 扩充法则(析取引入律)
I2：P∧Q P ， P∧QQ ～（P→Q）P ，～（P→Q）～Q 化简法则(合取消去律)
I3：P∧（P→Q） Q 假言推论（分离规则） I4：～Q∧（P→Q）～P
2019/6/13
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三、典型例题
1、证明 ((P∨Q) ∧～(P∧Q)) ～(PQ) ((P∨Q)∧～(P∧Q)) ((P∨Q)∧(～P∨～Q)) ((P∨Q)～P)∨ ((P∨Q)∧～Q)) ((P∧～P)∨(Q∧～P))∨((P∧～Q)∨(Q∧～Q)) (Q∧～P)∨(P∧～Q) (Q∧～P)∨(P∧～Q) ～(～Q∨P)∨～(～P∨Q) ～((Q→P)∧～(P→Q)) ～(PQ)
P∨Q∨R
～P∧～Q∧R
P∨～Q∨R
～P∧Q∧R P∧～Q∧～R P∧～Q∧R
～P∨～Q∨R P∧Q∧R
主析取范式=（～P∧～Q∧R）∨（～P∧Q∧R）∨
（P∧～Q∧～R）∨（P∧～Q∧R）∨（P∧Q∧R）
主合取范式=（ P∨Q∨R ）∧（ P∨～Q∨R ）∧（～P∨～Q∨R）
2019/6/13
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2019年6月13日星期四
第一章小结
一、基本概念
命题----具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以取一个“值”，
称为真值。
命题的解释----用一个具体的命题代入命题标识符P的过程,称为对
P的解释或赋值(指派)
原子命题、复合命题
逻辑联结词（～、∨、∧、、→、、与非↑、或非↓、条件否

《离散数学》(左孝凌-李为鉴-刘永才编著)课后习题标准答案---上海科学技术文献出版社

《离散数学》(左孝凌-李为鉴-刘永才编著)课后习题答案---上海科学技术文献出版社————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：21-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。

b)不是命题。

c)是命题，真值要根据具体情况确定。

d)不是命题。

e)是命题，真值为T。

f)是命题，真值为T。

g)是命题，真值为F。

h)不是命题。

i)不是命题。

（2）解：原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。

（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。

R:我有时间。

P:天下雨。

Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。

b)设R:我在看电视。

Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。

R:一个数不能被2除。

（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。

(5) 解：a)设P：王强身体很好。

Q：王强成绩很好。

P∧Qb)设P：小李看书。

Q：小李听音乐。

P∧Qc)设P：气候很好。

Q：气候很热。

P∨Qd)设P： a和b是偶数。

Q：a+b是偶数。

P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。

Q ：四边形ABCD的对边平行。

P Qf)设P：语法错误。

Q：程序错误。

R：停机。

（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。

Q:正在下雨。

P∧Qb)P:天气炎热。

R:湿度较低。

P∧Rc)R:天正在下雨。

S:湿度很高。

R∨Sd)A:刘英上山。

B:李进上山。

A∧Be)M:老王是革新者。

N:小李是革新者。

M∨Nf)L:你看电影。

M:我看电影。

┓L→┓Mg)P:我不看电视。

Q:我不外出。

R:我在睡觉。

P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。

Q:控制台打字机作输出设备。

P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。

离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案

第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。

并且，如果3是无理数，则2也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。

19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。

离散数学讲解第一章

B7=B000111={a4,a5,a6} B12=B001100={a3,a4}
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
2018/12/20
22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
2018/12/20
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1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
2018/12/20
25
2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A，这与空集的定义矛盾假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
16
定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
2018/12/20
5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立时，a∈A。

离散数学第151156陈瑜共228页

*>是含幺半群时，上述结论对任意非负整数m和n都
成立。
证明：设m是一个固定的正整数，对n进行归纳。
对于①：
当n=1时，由幂的定义可知结论成立；
设结论对n=k时成立，则
am*ak+1 = am*(ak*a) (由幂的定义)
证明：设m是一个固定的正整数，对n进行归纳。对于①：
当n=1时，由幂的定义可知结论成立；设结论对n=k时成立，则
am*ak+1 = am*(ak*a) (由幂的定义) = (am*ak)*a (可结合性） = (am+k)*a （归纳假设） = am+(k+1)
由归纳法可知，结论成立。
17.04.2021
一个小小的计算机)识别并执行，其动作原理就是图
15-1.1(b)所示的状态图，称为一个有限自动机，它反
映了电子表依令而行的规则。语言L被相应地称为这个
自动机所识别的语言。
17.04.2021
计算机科学与工程学院
12
幂
设<S, *>是一个半群,由于*满足结合律，可定义幂运算，即对xS，可定义：
x¹=x， x²=x*x， x³=x*x²=x²*x=x*x*x，
离散数学第151156陈瑜
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不穿。(名言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者的牢骚，这是羊群中的瘟疫，我不能被它传染。我要尽量避免绝望，辛勤耕耘，忍受苦楚。我一试再试，争取每天的成功，避免以失败收常在别人停滞不前时，我继续拼能是死水一潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候，睁大眼睛，千万别眨眼!你会看到世界由清晰变模糊的全过程，心会在你泪水落下的那一刻变得清澈明晰。盐。注定要融化的，也许是用眼泪的方式。

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由已知条件 AB 且 AC ，可知 : A→B和A→C都是永真式，于是(A→B)∧(A→C )也是永真式。但， (A→B)∧(A→C)( ～ A∨B)∧( ～ A∨C) ～ A∨(B∧C) A→(B∧C) ；所以A→(B∧C)是永真式，即A B∧C 。■
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2015/11/9
2015/11/9
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证明

根据前提假设，此处 B只可能取1
定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。证： 1)因AB，由蕴涵定义知：A取1，B也取1。此时，由→运算规则知A→B取 1 。此外， A 若为 0 ， A→B也必取1。因此， A→B为永真式。 2)如果A→B为永真式，那么A取1时必有B也取1，从而AB。（注：此处由假设“A→B为永真式” 也可得出A取0时，B取0或1，A→B也为1的结果，但根据蕴涵定义，我们不需要判断此情况。）
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C 以上三个性质根据定义和定理 1.11 是很容 ⑤ 如A B，A C，则A B∧C 易证明的（这些证明作为课外练习），下面我们来证明另外五个重要性质。 ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
2015/11/9
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证明：蕴含关系的性质由已知条件 AB 且 AC ，可知 : A→B和A→C都是永 ① 自反性 A A 真式，于是(A→B)∧(A→C )也是永真式。， (A→B)∧(A→C) (～～ A∨C) ～ ②但反对称性，如果 A BA∨B)∧ ，且B ( A，则必有： A∨(B∧C) A→(B∧C) ；所以A→(B∧C)是永真式， A B 即A B∧C 。■
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
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蕴含关系的性质
⑦ A∧B C 当且仅当 A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础 ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式该性质是反证法的基础证明：定理1-5.2:AB iff ～B～A 当A B时，AB是永真式，所以～（AB）是矛盾式，该定理提供了逆向思维的基础
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2015年11月9日星期一
主要内容
1.命题公式的蕴涵 1)九类蕴涵关系 2)蕴涵关系的基本性质 2.推理的基本概念和推理形式 3.推理规则 1)P规则 2)T规则 3)CP规则
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§1．6 命题公式的蕴涵
③ ④ ⑤ ⑥
A B 且A为永真式，则B必为永真式传递性，如果A B，B C，则A C 如A B，A C，则A B∧C 如A C，B C，则A∨B C
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蕴含关系的性质
① 自反性从证明过程看，性质 A A 5反过来也对，即由 AA B ∧C可知： ② 反对称性，如果 B，且 B A，则必有： A A B， A C B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C 证明： ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
即A∧～B是矛盾式。反之，当A∧～B是矛盾式时。～（A∧～B）是永真式，从而导致AB。 ■
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蕴含关系的性质
⑦ A∧B C iff A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础 ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式该性质是反证法的基础定理1.12:AB iff ～B～A （证明略）该定理提供了逆向思维的基础
由已知条件A B 且 B C，可知: (A→B)∧(B→C )应该是永真式；再根据假言三段论，应有(A→B)∧(B→C ) A→C ；再根据性质3， A→C也必是永真式，即A C 。■
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
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蕴含关系的性质
① 自反性 A A ② 反对称性，如果A B，且B A，则必有： A B ③ A B 且A为永真式，则B必为永真式 ④ 传递性，如果A B，B C，则A C ⑤ 如A B，A C，则A B∧C ⑥ 如A C，B C，则A∨B C
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蕴含关系的性质
⑦ A∧B C 当且仅当 A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础证明： ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式先设A∧B C，由定理1.11，A∧BC是永真式；但是该性质是反证法的基础 A∧BC～A∨～B∨C ～A∨（BC）A（BC），定理1-5.2:AB iff ～B～A 于是A（BC）是永真式，即有ABC。该定理提供了逆向思维的基础其次，设 ABC，则A（BC）是永真式，即
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§1．6 命题公式的蕴涵
定义 1.18 设 A 和 B 是两个合适公式，如果在任何解释下， A 取值 1 时 B 也取值 1 ，则称公式 A 蕴涵公式B，并记A B。定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。 1)→是命题联结词，A→B是一个命题公式； 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公式，仅表示A，B间的蕴含关系。
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§1．6 命题公式的蕴涵
定义 1.18 设 A 和 B 是两个合适公式，如果在任何解释下， A 取值 1 时 B 也取值 1 ，则称公式 A 蕴涵公式B，并记A B。定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。注意区别：定义 1.12 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ下，G与H的 1 )→是命题联结词，A→B是一个命题公式；真值相同，则称公式G、H是等价的，记作GH。 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公定理1.3 公式G、H等价的充分必要条件是公式式，仅表示 A，B间的蕴含关系。 GH是永真
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§1．6 命题公式的蕴涵
定义1.18 设A和B是两个合适公式，如果在任何解释下，A取值1时B也取值1，则称公式A蕴涵公式B，并记A B。（A取0时的情况不考虑）定理1.11: AB 当且仅当 A→B为永真式。注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。 1)→是命题联结词，A→B是一个命题公式； 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公式，仅表示A，B间的蕴含关系。
A∧BC是永真式，从而A∧BC。 ■
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蕴含关系的性质
⑦ A∧B C 当且仅当 A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础 ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式该性质是反证法的基础定理1-6.2:AB iff ～B～A 该定理提供了逆向思维的基础
公式。
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§1．6 命题公式的蕴涵
定义 1.18 设 A 和 B 是两个合适公式，如果在任何解释下， A 取值 1 时 B 也取值 1 ，则称公式 A 蕴涵公式B，并记A B。定理1.11: A B 当且仅当 A→B为永真式。注意：蕴含和条件联结词→是完全不同的。 1)→是命题联结词，A→B是一个命题公式； 2)是公式间关系符，AB不是一个命题公式，仅表示A，B间的蕴含关系。
证明：由AC且BC知道（AC）∧（BC）是永真式；进一步可变换为永真式(A∨B）C，即A∨BC。 ■
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蕴含关系的性质
⑦ A∧B C 当且仅当 A B→C 该性质是推理演绎中CP规则的基础 ⑧ A B, iff A∧～B是矛盾式该性质是反证法的基础定理1-6.2:AB iff ～B～A 该定理提供了逆向思维的基础