离散数学 第11章形式语言与自动机

第11章形式语言与自动机
1．写出字符串011的全部前缀、后缀和子串。

解：前缀：{0，01，011，ε}，后缀：{1，11，011，ε}，子串：{0，01，011，ε，11，1} 2.以合理的顺序展开下列语言，把它们写成带省略号的列举法表示。

(1){ab }*
，(2){a ，b }*
，(3){a }*
{b }*
，(4){a n b 2n |n ≥0}。

解：（1）{ε，ab ，abab ，ababab ，…} （2）{ε，a ，b ，aa ，ab ，ba ，bb ，aaa ，aab ，aba ，abb ，…} （3）{ε，a ，b ，ab ，aa ，bb ，aaa ，aab ，bbb ，abb ，…} （4）{ε，abb ，aabbbb ，…} 3.现有文法G [S ]：S →aAb ，A →BcA ，A →B ，B →idt ，B →ε，给出下面几个句子的推导过程。

(1)aidtccb (2)ab (3)aidtcidtcidtb
解：(1) S →aAb →aBcAb →aidtcAb →aidtcBcAb →aidtccAb →aidtccBb →aidtccb (2)S →aAb →aBb →ab
(3) S →aAb →aBcAb →aidtcAb →aidtcBcAb →aidtcidtcAb →aidtcidtcBb →aidtcidtcidtb
4.指出G ＝({S }，{a ，b }，P ，S )属于哪一型文法，其中P ＝{S →bSS ，S →a }，并用集合的形式写出它产生的语言。

解：该文法属于上下文无关文法。

{以b 开头以aa 结尾且字符a 的个数比字符b 的个数多1的所有符号串}
5.设M ＝({p ，q ，r }，{a ，b }，δ，p ，{r })为有限自动机，其中δ如表11-1所示，画出M 的状态转换图，并用格局转换推导式证明字符串abaab ∈L (M )。

表11-1
解：M 的状态转换图如图11-1所示：
(p ,abaab )├(q ,baab )├(p ,aab )├(q ,ab )├(r ,b )├(r ,ε) 其中r ∈F ，即(r ,ε)是终止格局
6.设有一个NFA ：M =({
p ，q ，r ，S }，{0，1}，δ，p ，{S })，其中状态转换函数δ如表11-2
所示，试构造与它等价的DFA 。

表11-2
图11-1
解: DFA 如表11-3所示：
表11-3
7.已给文法G [S ]：S →aAcB ，S →BdS ，B →aScA ，B →cAB ，A →BaB ，A →aBc ，A →a ，B →b ，给出下面句子的最左推导、最右推导和相应的导出树。

ω=(bd )2
(ab )2c 2
ab
解：(1) 最左推导: S →BdS →bdS →bdBdS →(bd )
2
S →(bd
)2
aAcB →
(
bd )2
aBaBcB →(bd )2
abaBcB →(bd )2
ababcB →(bd )2
ababc 2
AB →(bd )2
ababc 2
aB →(bd )2
(ab )2c 2
ab
(2) 最右推导: S →BdS →BdBdS →BdBdaAcB →BdBdaAc 2
AB →BdBdaAc 2
Ab →BdBdaAc 2
ab →BdBda BaB c 2
ab →BdBdaBabc 2
ab →BdBd (ab )2c 2
ab →Bdbd (ab )2c 2
ab →(bd )2
(ab )2c 2
ab (3)相应的导出树如图11-1所示：
8.构造一个接受语言L ＝{0n 1n ｜n ≥1}的图灵机。

解：识别过程如下：开始时输入带上的符号序列为0n 1n 。

M 把最左的0替换成X ，读写头右移到最左的1，将之替换成Y 。

然后左移找到最右的X ，右移一格找到最左的0，重复前面的循环。

如果当寻找1时M 找到的却是空白，M 停机拒绝；而当M 把一个1替换成Y 后，却再也找不到0，则检查有无剩余的
S
B
S
S
B
B b d
B b d a A B a B b
b
c A a
b
图11-2
1，若没有则接受。

综上所述，M＝(Q，Σ，Γ，δ，q0，B，F)为所求的图灵机(识别器)，其中Q＝{q0，q1，q2，q3，q4}，Σ＝{0，1}，Γ＝{0，1，X，Y，B}，F＝{q4}，δ由表11-4给出：
表11-4。