离散数学屈婉玲版第十一章
07879离散数学-屈婉玲(形式语言与自动机)11.1
Chomsky谱系 谱系
0型语言 0 型文法生成的语言 型语言: 型文法生成的语言 型语言 1型语言 上下文有关语言 如果 型语言(上下文有关语言 可由1型文法 型语言 上下文有关语言): 如果L-{ε}可由 型文法 可由 生成, 生成 则称 L 是1型语言 型语言 2型语言 上下文无关语言 : 2 型文法生成的语言 型语言(上下文无关语言 型语言 上下文无关语言) 3型语言 正则语言 3 型文法生成的语言 型语言(正则语言 型语言 正则语言): 如 {1x00 | x∈{0, 1}*} 是正则语言 (例1) ∈ 例 {anbn | n>0} 是上下文无关语言 (例2,3) 例 2i | i ≥1} 是 0 型语言 (例4) { a 例 型语言 型语言 型语言 定理 0型语言1型语言2型语言3型语言 型语言 型语言 型语言 型语言
2i 2i
2i
(4) 2i 次(7) (8)
*
可以证明: 可以证明 L(G) = { a
2i
| i ≥1}
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形式文法的分类 —Chomsky谱系 谱系
0型文法 短语结构文法 无限制文法 型文法(短语结构文法 无限制文法) 型文法 短语结构文法,无限制文法 1型文法 上下文有关文法 型文法(上下文有关文法 型文法 上下文有关文法): 所有产生式α→β, 满足 |α|≤|β| 所有产生式 ≤ 另一个等价的定义: 另一个等价的定义 所有的产生式形如 ξAη→ξαη 其中A∈ 且 ≠ 其中 ∈V, ξ,η,α∈(V∪T)*,且α≠ε ∈ ∪ 2型文法 上下文无关文法): 型文法(上下文无关文法 型文法 上下文无关文法 所有的产生式形如 A→α 其中A∈ ∈ ∪ 其中 ∈V,α∈(V∪T)*,
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子字符串(子串 子字符串 子串): 子串 字符串中若干连续符号组成的字符串 前缀: 前缀 最左端的子串 后缀: 后缀 最右端的子串 例如 ω =abbaab a,ab,abb是ω的前缀 是 的前缀 aab,ab,b是ω的后缀 是 的后缀 ba是ω的子串 但既不是前缀 也不是后缀 的子串, 是 的子串 但既不是前缀, ω本身也是 的子串 且既是前缀 也是后缀 本身也是ω的子串 本身也是 的子串, 且既是前缀, ε也是 的子串 且既是前缀 也是后缀 也是ω的子串 也是 的子串, 且既是前缀,
离散数学习题答案耿素云屈婉玲_百度文库
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）(⌝p→q)∧(q∧r)解：原式⇔(p∨q)∧q∧r⇔q∧r⇔(⌝p∨p)∧q∧r ⇔(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m3∨m7，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）(p∧q)∨(⌝p∨r)解：原式⇔(p∨⌝p∨r)∧(⌝p∨q∨r)所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）(p∧q)∨r解：原式⇔⇔(⌝p∨q∨r)⇔M4，此即公式的主合取范式，p∧q∧(⌝r∨r)∨((⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r)⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为m0，m2，m4，所以主合取范式中含有三个极大项M0，M2，M4，故原式的主合取范式⇔M09、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）(p∨q)∨(⌝p∧r)解：公式的真值表如下：∧M2∧M4。
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式⇔m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：⌝p∨q,⌝q∨r,r结论：s 证明：① p 前提引入②④→s,p⌝p∨q 前提引入⌝q∨r 前提引入③ q ①②析取三段论⑤ r ③④析取三段论⑥15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：(p∨q)→(r∧s),(s∨t)→u 结论：r→s 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理p→u证明：用附加前提证明法。
① p 附加前提引入②③④⑥⑦p∨q ①附加(p∨q)→(r∧s) 前提引入r∧s ②③假言推理⑤ s ④化简s∨t ⑤附加(s∨t)→u 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理故推理正确。
高教离散数学修订版耿素云屈婉玲Part3代数系统部分
图11
第十三章 习题课
解 图12
图13
图12
解
解：
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第二节 整环与域
第十二章 习题课
第十三章 格与布尔代数
第一节 格的定义与性质
图1
图2
第二节 子格与格同态
图4
第三节 分配格与有补格
图5
图7
图8
图9
第四节 布尔代数
图10
第五节 正规子群与商群
第六节 群的同态与同构
第七节 循环群与置换群
பைடு நூலகம்
图2
第十一章 习题课
解：
解
第十二章 环与域
第一节 环的定义与性质
第三部分 代数结构
第十章 代数系统
第一节 二元运算及其性质
第二节 代数系统
第十章 习题课
解
第十一章 半群与群
第一节 半群与独异点
第二节 群的定义与性质
第三节 子群
图1
第四节 陪集与拉格朗日定理
屈婉玲高教版离散数学部分答案详解2[1]
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第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A ,全域关系E A ,小于或等于关系L A ,整除关系D A .解：I A ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}E A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}L A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} D A ={<2,4>}13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A ⋃B,A ⋂B, domA, domB, dom(A ⋃B), ranA, ranB, ran(A ⋂B ), fld(A-B). 解：A ⋃B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A ⋂B={<2,4>}domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A ∨B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A ⋂B)={4}A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求R R, R -1, R ↑{0,1,}, R[{1,2}] 解：R R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}16．设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中1R ={},,,,,a a a b b d{}2,,,,,,,R a d b c b d c b=求23122112,,,R R R R R R 。
离散数学 屈婉玲版 第十一章
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实例
例2 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出.
(1) 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y. (2) 是格. x,y∈Z，x∨y = max(x,y)，x∧y = min(x,y)， 图2 (3) 都不是格. 可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界
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格的性质：序与运算的关系
定理11.3 设L是格, 则a,b∈L有 a ≼ b a∧b = a a∨b = b
可以用集合的例子来验证 幂集格
<P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.
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格的性质：保序
定理11.4 设L是格, a,b,c,d∈L，若a ≼ b 且 c ≼ d, 则 a∧c ≼ b∧d, a∨c ≼ b∨d 证 a∧c ≼ a ≼ b, a∧c ≼ c ≼ d 因此 a∧c ≼ b∧d. 同理可证 a∨c ≼ b∨d 例4 设L是格, 证明a,b,c∈L有 a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c). 证 由 a ≼ a, b∧c ≼ b 得 a∨(b∧c) ≼ a∨b 由 a ≼a, b∧c ≼ c 得 a∨(b∧c) ≼ a∨c 从而得到a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c) （注意最大下界）
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布尔代数的性质
定理11.8 设<B,∧,∨, , 0, 1>是布尔代数, 则 (1) a∈B, (a) = a . (2) a,b∈B, (a∧b) = a∨b, (a∨b) = a∧b （德摩根律） 证 (1) (a)是a的补元, a也是a的补元. 由补元惟一性得(a)=a. (2) 对任意a, b∈B有 (a∧b)∨(a∨b) = (a∨a∨b)∧(b∨a∨b) = (1∨b)∧(a∨1) = 1∧1 = 1, (a∧b)∧(a∨b) = (a∧b∧a)∨(a∧b∧b) = (0∧b)∨(a∧0) = 0∨0 = 0 a∨b是a∧b的补元, 根据补元惟一性有(a∧b) = a∨b, 同理 可证 (a∨b) = a∧b. 注意：德摩根律对有限个元素也是正确的.
离散数学第三版-屈婉玲-课后习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语p q解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是（9）只有天下大雨，他才乘班车上班q p解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是（11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是(p q)r15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：(p q r)((p q)r)（4）解：p=1，q=1，r=0，(p q r)(110)1，((p q)r)((11)0)(00)1 (p q r)((p q)r)111 19、用真值表判断下列公式的类型：(p p)q（2）解：列出公式的真值表，如下所示：p p qq(p p)(p p)q0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）(p q)q解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：p0(p q) 1q0q0成真赋值有：01，10，11。
所以公式的习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）(p q)(q r)解：原式(p q)q r(p p)q rq r，此即公式的主析取范式，m m(p q r)(p q r)37所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）(p q)(p r)解：原式，此即公式的主合取范式，M(p p r)(p q r)(p q r)4所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）(p q)r解：原式p q(r r)((p p)(q q)r)(p q r)(p q)r(p q)r(p q)r(p q)r(pq r(p q r)(p q)r(p q)r(p q)r(pq r，此即主析取范式。
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧ 解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取式，所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取式，再用主析取式求主合取式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取式。
主析取式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取式024M M M ⇔∧∧。
9、用真值表法求下面公式的主析取式： （1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取式，故主析取式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s 证明：① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④q r ⌝∨ 前提引入⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u →证明：用附加前提证明法。
离散数学-屈婉玲-耿素云-张立昂-主编-高等教育出版社-课后最全答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。