场论基础

场论基础附1 Hamilton 算子∇在直角坐标系中定义Hamilton 算子∇为x y z∂∂∂=++∂∂∂ijk∇ （附1.1）这里，∇既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘( )运算和叉乘(⨯)运算。

附1.1 梯度运算grad u u =∇对于一个标量场(,,)u x y z ，我们定义相关的梯度运算为grad u u u u u x y z∂∂∂==++∂∂∂ijk∇ （附1.2）那么标量函数(,,)u x y z 的梯度运算结果grad u 为一向量。

下面我们来看梯度运算的数学意义。

对于函数(,,)u x y z 的方向导数u n∂∂，我们有cos(,)cos(,)cos(,)()()grad x y z u u x u y u z nx n y nz n u u u n x n y n z xyzu u u n n n uxyy∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++++=∂∂∂ijki j k n （附1.3）因此有grad cos(,)u u u n∂=∂n ∇ （附1.4）从中可以看到，当单位向量n 的方向和梯度grad u 的方向一致时，u n∂∂取到极大值，而极大值就为grad u 。

这就是说，梯度grad u 为函数(,,)u x y z 变化最快的方向，也是等值函数(,,)u x y z C =的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。

从上面的分析我们可以看到，梯度grad u 的定义和坐标系是无关。

梯度grad u 在数值计算方法中有很重要意义。

附1.2 散度运算div =A A ∇对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个曲面S 的通量定义为d SS Φ=⎰⎰A n (附1.5)更进一步，如果S 是个封闭曲面，其所包围的区域Ω，体积为V ，那么当d div limlimd SV MSVVΦ→Ω→Ω==⎰⎰⎰⎰⎰A n A (附1.6)存在时，我们称相应的值为该向量的散度(此时区域Ω退化成一点M )。

下面我们来看散度和Hamilton 算子∇之间的关系。

在直角坐标中，如果向量场(,,)x y z A 为(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z =++A i j k那么由高斯公式d d d d d d d d SSS P y z Q x z R x yP Q R Vx y z ΦΩ==++⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A n根据中值定理*M P Q R V xyz Φ⎛⎫∂∂∂=++⎪∂∂∂⎝⎭ 其中*M 为区域Ω中某一点，当0V →时，*M M →，所以00lim lim V V P Q R V xy z V VP Q R xyzΦ→→⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭=∂∂∂=++∂∂∂ 从而有div =A A ∇ （附1.7）而高斯公式也可以表示为d div d SS VΩ=⎰⎰⎰⎰⎰A n A （附1.8）特别地，当在区域Ω内恒成立div 0==A A ∇时，则0Φ=。

这样的场我们称之为无源场。

在平面坐标系中，我们记通量为d n lA s Φ=⎰其中n A 为向量A 在曲线l 外法线n 的方向上的分量。

曲线l 的外法线方向为d d cos(,)cos(,)d d y x l x l y s s=+=-n i j i j容易得到 d d ,,0d d x y z y x n n n ss ==-=在三维问题中若记Ω为单位高的柱体，0R =，则(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+A i j而式(附1.5) 、(附1.6) 和(附1.8) 变为d d d lls P y Q x Φ===-⎰⎰A n (附1.9)d d i v l i m l i m d d l S M S MSsSx yΦ→→==⎰⎰⎰A n A (附1.10) d d ()d d lP P P x Q x x y xx∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ (附1.11)因此，平面上的格林公式也可以视为高斯公式在平面情形中的退化。

附1.3 旋度运算 rot =⨯A A ∇对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个封闭曲线l 的环量定义为d lW =⎰A s (附1.12)在直角坐标中，如果向量场(,,)x y z A 为(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q x y z R x y z =++A i j k那么环量为d d d lW P x Q y R z =++⎰如果M 为向量场中某一点，在M 点上有一个固定的方向n ，以n 为外法线取一个小曲面S ，曲面S 的面积为Γ，曲面S 的封闭边界为l ，l 的正向与n 一起构成右手坐标系。

我们定义环量面密度为d limlμΓΓ→=⎰A l(附1.13)根据斯托克斯(G . G . Stokes)公式，d ()d d ()d d ()d d ()cos(,)()cos(,)()cos(,)d llyz z x x y S yz z x x y SW Pdx Q dy RdzRQ y z P R z x Q P x yR Q n x P R n y Q P n z S==++=-+-+-⎡⎤=-+-+-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰A l根据中值定理*()cos(,)()cos(,)()cos(,)y z z x x y M W R Q n x P R n y Q P n z Γ⎡⎤=-+-+-⎣⎦从而有()cos(,)()cos(,)()cos(,)y z z x x y R Q n x P R n y Q P n z μ=-+-+-=R n(附1.14)其中()()()y z z x x y R Q P R Q P =-+-+-R i j k我们称该向量为向量场(,,)x y z A 的旋度，记为rot A 。

和标量场的方向导数类似，当外法线方向n 和旋度方向一致的时候，环量面密度的值最大，大小为旋度rot A 的模。

沿某一方向n 的环量面密度为旋度rot A 在该方向上的投影。

斯托克斯(G . G . Stokes)公式可以表示成旋度的形式d rot d lSS =⎰⎰⎰A s A n (附1.15)把旋度记成行列式形式有rot x y z PQR ⎛⎫⎪∂∂∂⎪= ⎪∂∂∂ ⎪⎝⎭i j k A 也就是说rot =⨯A A ∇ (附1.16)特别地当在某一区域内恒有ro t 0=A ，我们称该向量场为无旋场。

附1.4 几种比较重要的场 附1.4.1 有势场对于一向量场()A x ，存在一个单值函数()u x 使得()grad u u =-=-A x ∇ (附1.17)我们称该向量场是一有势场，或者是一个梯度场。

性质1 向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零。

附1.4.2 管形场(无源场)对于一向量场()A x ，如果其散度处处为零，div 0==A A ∇，我们称该向量场是一管形场。

性质1 管形场中任意一个矢量管上两个截面的通量保持不变。

性质2 矢量场为管形场的充要条件为它是另外一个矢量场的旋度场。

附1.4.3 调和场对于一向量场()A x ，如果恒有div 0==A A ∇及rot 0=⨯=A A ∇，我们称该向量场是一调和场。

也就是说，调和场既无源又无旋。

根据有势场性质，向量场为有势场的充要条件为其旋度在该区域内处处为零，所以对于调和场，一定存在势函数u ，使得grad u =A ，又根据定义有div 0=A ，因此有div(grad )0u = 写成Hamilton 算子形式为 ()0u = ∇∇或者记为0u ∆= (附1.18)其中∆= ∇∇为拉普拉斯(Laplace)算子, 上述方程称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数u 称为调和函数。

在直角坐标中，拉普拉斯算子为222222xyz∂∂∂∆=++∂∂∂在平面问题中，对于调和场， 我们可以找到一对调和函数u 和v ，它们满足0u ∆= 0v ∆=,u v u vxy y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ (附1.19) 我们称它们为共轭调和场。

附1.5 Hamilton 算子性质先引入两个关于向量的恒等式:向量的混合积和二重矢量积等式 (1)()(()⨯⨯⨯a b c =b c a)=c a b (附1.20)证明: 设某一平行六面体三条棱分别为,,a b c , 从平行六面体的体积出发可以证明上式。

(2)()()()⨯⨯-a b c =a c b a b c (附1.21)证明:很明显()=⨯⨯m a b c 必定在b 与c 所在的平面, 假设k h =+m b c那么()()()0k h =+=⨯⨯=m a b a c a a b c a从中可以得到()k h=-c a b a所以[]()()h =-+m a c b a b c上式对所有的,,a b c 都应成立。

为了求出h 的值, 我们假设,===a b i c j , 那么[]()()()()[()()]h h h =⨯⨯=⨯⨯=⨯=-=-+=-+=m a b c i i j i k jm a c b a b c i j i i i j j比较可得1h =-，从而，式(附1.21) 成立。

以下是哈密尔顿算子∇的常用公式∶1) ()=+A B A B B A ∇∇∇2) ()()()()()C ⨯=⨯+⨯=⨯-⨯C A B A B A B B A A B ∇∇∇∇∇ 3) ()()()C ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯C A B A B A B ∇∇∇ ()()()()=--+A B A B B A B A∇∇∇∇ 4) ()()()()⨯⨯=-=-∆A A A A A ∇∇∇∇∇∇∇∇ 5) 高斯公式 d d SS VΩΦ==⎰⎰⎰⎰⎰A n A ∇6) 格林公式d d n lSA s S =⎰⎰⎰A ∇7) 斯托克斯(G . G . Stokes)公式d d lSS =⨯⎰⎰⎰A s A n ∇附2 正交曲线坐标系正交曲线坐标系和直角坐标系的关系为123(,,),1,2,3i i q q x x x i ==或者123(,,),1,2,3i i x x q q q i ==沿曲线坐标线i q 的微元长度(平分)为()2233211d d d j j i i i j j i i x x s q q q q ==∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑ 如果记i H =(附2.1) 那么d d i i i s H q =我们把i H 称为Lame 系数。

同样我们可以得到在曲线坐标系中面元和体元分别为 d d d d d ,,1,2i j i j i j ij S s s H H q q i j === (附2.2)12312312d d d d d d d V s s s H H H q q q == (附2.3) 在直角坐标系统中一般弧线的长度为322221231d d d d d d ii i s x x x x x ==++=∑在曲线坐标系中的长度表示为222222112233d d d d s H q H q H q =++ (附2.4)空间中任意一点在直角坐标系中的表示为11223x x x =++r i i i (附2.5)其中j i 为直角坐标系中沿坐标轴的单位矢量。