场论基础
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
场论基础
场论基础附1 Hamilton 算子∇在直角坐标系中定义Hamilton 算子∇为x y z∂∂∂=++∂∂∂ijk∇ （附1.1）这里，∇既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘( )运算和叉乘(⨯)运算。
附1.1 梯度运算grad u u =∇对于一个标量场(,,)u x y z ，我们定义相关的梯度运算为grad u u u u u x y z∂∂∂==++∂∂∂ijk∇ （附1.2）那么标量函数(,,)u x y z 的梯度运算结果grad u 为一向量。
下面我们来看梯度运算的数学意义。
对于函数(,,)u x y z 的方向导数u n∂∂，我们有cos(,)cos(,)cos(,)()()grad x y z u u x u y u z nx n y nz n u u u n x n y n z xyzu u u n n n uxyy∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++++=∂∂∂ijki j k n （附1.3）因此有grad cos(,)u u u n∂=∂n ∇ （附1.4）从中可以看到，当单位向量n 的方向和梯度grad u 的方向一致时，u n∂∂取到极大值，而极大值就为grad u 。
这就是说，梯度grad u 为函数(,,)u x y z 变化最快的方向，也是等值函数(,,)u x y z C =的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。
从上面的分析我们可以看到，梯度grad u 的定义和坐标系是无关。
梯度grad u 在数值计算方法中有很重要意义。
附1.2 散度运算div =A A ∇对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个曲面S 的通量定义为d SS Φ=⎰⎰A n (附1.5)更进一步，如果S 是个封闭曲面，其所包围的区域Ω，体积为V ，那么当d div limlimd SV MSVVΦ→Ω→Ω==⎰⎰⎰⎰⎰A n A (附1.6)存在时，我们称相应的值为该向量的散度(此时区域Ω退化成一点M )。
第0章 矢量分析和场论基础
13
0.6 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理(Helmholtz Theorem)：
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。
矢量A的通量源密度 电荷密度 在电磁场中 矢量A的旋度源密度 场域边界条件
已知
电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
例：判断矢量场的性质
F ? =0 F ? =0
E 质：
以根据净通量的大小判断闭合面
ÑE gdS ，可
S
矢量场的通量
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
8
矢量场的通量
2、散度 如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时，通量与体积之比的极限存在，即 1 divA lim A dS V 0 V S A A A 计算公式 div A A x y z 散度(divergence)
( , , ) x y z
梯度(gradient)
6
式中
哈密(尔)顿算子
2、 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函 • 梯度的物理意义
数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向。 例1 高度场的梯度h =f(x,y) 例2 电位场的梯度 (金属球在正电荷产生的场中—电场线)
环量的计算
流速场 水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
11
2、旋度 (1) 环量密度 过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方 向与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时，存在极限
量子场论基础
量子场论基础量子场论是物理学中一种描述微观粒子行为的理论框架，已经成功地解释和预测了多个粒子物理现象。
本文将介绍量子场论的基础概念、原理和应用。
一、量子力学回顾在介绍量子场论之前，我们需要回顾一下量子力学的基本原理。
量子力学是描述微观世界的物理理论，通过波函数描述粒子的状态，并通过算符描述物理量的测量。
二、经典场与量子场在量子场论中，我们将经典场与量子力学相结合，用场的算符来描述粒子的产生和湮灭。
经典场是宏观的连续实体，可以用实数描述；而量子场是微观粒子的概率振幅，需要用算符描述。
三、二次量子化二次量子化是将经典场转化为量子场的过程。
通过将经典场量子化，我们可以得到一组满足玻色子统计或费米子统计的场的算符，用于描述粒子的产生和湮灭。
四、自由场理论自由场理论是量子场论的基础，用于描述不受外力作用的粒子系统。
通过对自由场的二次量子化，我们可以得到场的哈密顿量，并通过求解场的运动方程得到场的本征解。
五、相互作用场论相互作用场论是在自由场理论的基础上引入相互作用项，用于描述粒子之间的相互作用。
相互作用场论可以采用微扰论的方法进行计算，通过级数展开来计算物理量的期望值。
六、重正化重正化是量子场论中的一种技巧，用于处理计算过程中出现的无穷大值。
通过引入参数重正化和场重正化，并通过适当的计算，我们可以得到有限的物理结果。
七、应用量子场论在粒子物理学中有着广泛的应用。
它成功地解释了电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用，并预测了很多新粒子的存在。
同时，量子场论也在宇宙学和凝聚态物理等领域有着重要的应用。
八、总结量子场论是描述微观粒子行为的重要理论框架，它将经典场与量子力学相结合，用场的算符描述粒子的产生和湮灭。
通过对自由场和相互作用场的描述，我们可以计算出物理量的期望值，并解释和预测粒子物理现象。
九、展望量子场论仍然是一个活跃的研究领域，仍然存在许多未解决的问题和待发现的物理现象。
随着技术的发展和理论的深入，相信量子场论将会继续为我们揭示微观世界的奥秘。
第01章 矢量分析和场论基础
cos ϕ e y
− sin ϕ e x
cos ϕ e x ϕ
e ρ cos ϕ sin ϕ 0 e x e = − sin ϕ cos ϕ 0 e ϕ y ez 0 0 1 e z − sin ϕ cos ϕ 0 0 e ρ 0 eϕ 1 e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3.体、面和线微分元 体 体微分元 dV = ρ d ρ dϕ dz
dS ρ = ρ dϕ dze ρ 面微分元 dSϕ = d ρ dz eϕ dS = ρ d ρ dϕ e z z
Z
ez
线微分元 dl = d ρ e ρ + ρ dϕ eϕ + dze z
P( ρ ,θ , ϕ )
er eϕ
θ是位矢 与正 轴之间的夹角， 是位矢r与正 轴之间的夹角， 与正Z轴之间的夹角
θ
in rs
eθ
r sin θ sin ϕ
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位矢量， 构成的平面的单位矢量，并遵循 右手螺旋法则，见图1-3。 右手螺旋法则，见图 。
图1-3 矢量的标积和矢积
矢量的矢积不满足交换律： 矢量的矢积不满足交换律： A × B = −B × A (1-18) 矢积满足分配律和数乘， 矢积满足分配律和数乘，即
ϕ
ez
P( ρ , ϕ , z )
ρ
eϕ
eρ
图1-10 圆柱坐标
0 ≤ ρ < +∞ 取值范围 0 ≤ ϕ ≤ 2π −∞ < z < +∞
z = 常数
场论的基本概念
场论：物理空间与时间的理论
场论是物理学中的一个基本概念，它描述了物理现象中空间和时间的性质，以及物质和能量在空间和时间中的分布和运动。
场论提供了一种数学语言，用于描述物理现象中的变化和演化，以及物质和能量之间的相互作用。
场是一种物理量，它在空间和时间上具有变化。
例如，温度场、电场、磁场等都是场的一种表现。
场论中，场是一个广义的物理量，它可以表示任何类型的物理现象。
场论的基本概念包括场、场量、场值、场的变化、场的梯度、散度、旋度等。
场是一种广义的物理量，场量是场在不同点上的值，场的变化是场在不同点之间的大小和方向的差异。
场的梯度是场在不同点之间的变化率，散度是场在不同点上的向外扩散程度，旋度是场在不同点上的旋转程度。
在场论中，物理现象可以用场的方程来描述。
例如，牛顿第二定律和运动方程可以用场来描述物体的运动状态和受力情况。
麦克斯韦方程组可以用场来描述电磁现象中的电场和磁场的变化和相互作用。
场论在物理学中有着广泛的应用，它可以描述物理现象中的变化和演化，提供了一种数学语言来描述物理现象中的相互作用。
场论也为物理学中的其他领域提供了一种基础理论和工具，例如量子场论、相对论、凝聚态物理等。
总之，场论是物理学中的一个基本概念，它描述了物理现象中空间和时间的性质，以及物质和能量在空间和时间中的分布和运动。
场论提供了一种数学语言，用于描述物理现象中的变化和演化，以及物质和能量之间的相互作用。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
量子场论的数学基础
量子场论的数学基础量子场论是理论物理学的一支重要学科，研究微观粒子之间的相互作用以及它们在空间中的传播规律。
要理解量子场论，首先需要了解它的数学基础，这是建立于量子力学和场论的数学框架上的。
量子力学作为描述微观世界的理论，使用波函数来描述粒子的状态。
而场论将物质和力场统一在一起，认为物质和力场都是由场来描述的。
量子场论则将这两个理论结合起来，使用场算符来描述量子体系。
在量子场论中，对场算符的操作与波函数的算符操作非常相似。
量子场论的数学框架主要基于量子力学中的算符和对易关系。
算符是一种数学对象，它可以对波函数进行操作。
在量子力学中，波函数描述了系统的状态，而算符则描述了关于这个系统的可测量量。
这些算符满足一些特定的代数关系，即对易关系。
对易关系是量子力学中的基本原理之一，它描述了两个算符的乘积与它们的交换顺序之间的关系。
例如，位置和动量算符之间的对易关系就是著名的海森堡不确定性原理的数学表达式。
在量子场论中，对易关系也起着重要的作用。
量子场论的核心是场算符，它可以用来创建和湮灭粒子。
例如，对于一个实标量场，我们可以定义一个场算符，它的作用是在某个位置创建一个粒子，并且可以用湮灭算符来消灭已经存在的粒子。
这些场算符满足对易关系，从而给出了场的动力学。
量子场论还涉及到费曼图的计算方法。
费曼图是一种用来描述粒子和相互作用的图形表示方法，它是通过连接场算符的线来表示粒子的传播和相互作用过程。
通过对费曼图的计算，我们可以获得粒子的散射振幅和概率等物理量。
除了对易关系和费曼图，量子场论中还涉及到其他数学工具，比如路径积分和重整化等。
路径积分是一种积分方式，它在量子场论中被广泛应用。
重整化则是一种用来处理场论中发散问题的方法，它使得理论的计算结果更加稳定和可靠。
总的来说，量子场论的数学基础包括对易关系、场算符、费曼图、路径积分和重整化等多个方面。
这些数学工具的运用使得量子场论能够给出关于粒子之间相互作用和传播的准确结果，为理论物理学的研究提供了坚实的基础。
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( A) 0
推论：如果一个矢量场是无散的，则
该场可用矢量场的旋度表示
B 0 B A
51
亥姆霍兹定理应用举例
根据亥姆霍兹定理，任意矢量场可以分解 成无散场部分和无旋场部分的叠加
F Fcurl Fgrad
其中：
Fcurl 0 F Fgrad
其中， cosα、 cos β、 cos γ为l方向上的方向 余弦。
27
梯度的引入
u u u u cos cos cos l x y z
u u u u ( ex ey ez ) (cos ex cos ey cos ez ) l x y z
Fgrad 0 F Fcurl
52
亥姆霍兹定理应用举例
Fcurl 0 Fcurl A
Fgrad 0 Fgrad
任意矢量场可以表示为
F A
53
应掌握内容
三个坐标系统：直角坐标系、圆柱坐标 系和球坐标系；
A d l
L
该环量表示绕线 旋转趋势的大小。
43
环量面密度
d 1 lim dS S 0 S
L
A dl
取不同的路径，其环 量面密度不同。
44
引入旋度的原因
环量面密度描述的是一个面积上“旋转” 强度的情况，是一个“宏观”的物理量， 如果要知道场中一点处“旋转”最强的方 向，应如何考虑？
其中， el cosex cos ey cos ez 是l方向上的 单位矢量；
u u u ex ey ez 定义梯度：gradu x y z
28
标量场梯度的特点
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的 函数； 梯度各坐标轴上的分量分别代表u在该坐标 轴上的变化率。 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率， 即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即 与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向。
标量（Scalar）是只有大小的物理量（可 以包括相位），例如：电压，电流，电 荷量，能量，温度 矢量（Vector）是同时具有大小（可以 包括相位）和方向的物理量， 例如：速 度，电场强度，磁场强度
4
矢量的模和单位矢量
矢量的大小用绝对值表示，叫做矢量的 模。 模为1的矢量叫作单位矢量，用e表示。 如ex、 ey、 ez分别表示与x、y、z三个坐 标同方向的单位矢量。
三个计算方法：梯度、散度和旋度的计 算方法； 三个重要定理：散度定理、旋度定理和 亥姆霍兹定理。
54
作 业（1）
1.求矢量场A=xex+yey+zez经过点M（1， 2，3）的矢量线方程。 2.设有标量场u=2xy-z2，求u在点（2，1，1）处沿该点至点（3，1，-1）方 向的方向导数。在点（2，-1，1）沿 什么方向的方向导数达到最大？其值 是多少？
12
直角坐标系
13
场分量与单位向量
14
圆柱坐标系
15
圆柱坐标与直角坐标的转换
16
球坐标系
17
场的等值面和矢量线
标量场和矢量场的基本概念 标量场的等值面 矢量场的矢量线
18
标量场和矢量场
从场的空间特性来看，
场是一个标量或
一个矢量的位置函数，场中任一点都有 一个确定的标量值或矢量值与之对应。
29
电位场的梯度（例）
电位场梯度特点
与过该点的等位线 垂直； 数值等于该点的最 大方向导数； 指向电位增加的方 向。
30
利用梯度求方向导数
根据矢量点积的定义，梯度在l方向上的投影， 即为u在l方向上的方向导数。 设梯度的方向沿en方向，那么， u在en方向 的方向导数为
u gradu en gradu en en gradu n
45
矢量旋度
类比梯度和方向导数之间关系，定义旋度矢 量，其模值等于环量面密度的最大值；方向 为最大环量面密度的方向。
rot A A
它与环量面密度的关系为
d rot A en dS
46
旋度的说明
矢量的旋度仍为矢量，为微分量，其是空间 坐标点的函数；旋度的大小是该点环量面密 度的最大值；旋度的方向是该点最大环量面 密度的方向； 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或 涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；若矢量 场处处A=0，称之为无旋场。
5
矢量的表示法
在正交坐标系如直角坐标系中，矢量可 以用坐标来表示。则从O指向终点P的 矢量A可以表示为：
A( x, y, z) Axex Ay ey Az ez
矢量A的模：
A A A A
2 x 2 y
2 z
6
矢量的加减法
A( x, y, z) Axex Ay ey Az ez 设 则： B( x, y, z) Bxex By ey Bz ez
矢量的点积为标量
矢量的点积运算满足如下公式： AB BA
A( B C ) AB A C ( A)( B) ( AB)
9
矢量的叉积
A B ( Ay Bz Az By )ex ( Az Bx Ax Bz )e y ( Ax By Ay Bx )ez ex Ax Bx ey Ay By ez Az A B sin ABen Bz
20
标量场和矢量场的数学形式
直角坐标下，标量场只需一个方程描述
直角坐标下，矢量场需三个分量方程描述
21
方向角和方向余弦
矢量A与三个坐标轴正向之间的夹角α、β、 γ，称为方向角。 cosα、 cos β、 cos γ称为方向余弦。
A( M ) A cos ex A cos ey A cos ez Ay Ax Az cos , cos , cos A A A
此，其面积分后，环量为
l
A dli
i
Si
( A) dSi
49
零场恒等式（标量场）
定理：任意标：如果一个矢量场是无旋的，则
该场可用标量场梯度表示
A 0 A
50
零场恒等式（矢量场）
定理：任意矢量场旋度的散度恒等于零
根据亥姆霍兹定理，必须研究电磁场
中基本场量（如电场强度、磁场强度） 的散度特性和旋度特性——掌握了这
些特性，才能完全掌握了整个场的特
性。
34
矢量场的通量与散度
矢量场通量定义
矢量E沿有向
S E dS
曲面S的面积分
S E dS
矢量场的通量
35
通量应用例子
根据闭合曲面净通量的大小可以 判断曲面内源的性质
AV AdV
n V
41
高斯散度定理
高斯散度定理
S
A dS AdV
V
矢量函数的面积分与体积分的互换。 上式表明了区域V 中场A与边界S上的场A 之间的关系。
散度定理使用条件：场量连续可微。
42
矢量场的环量
矢量A沿空间闭合 有向曲线L的线积分
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )ey ( Az Bz )ez
C B B C A 0
A 0
7
矢量的数乘
A Axex Ay ey Az ez
其中，λ 为实数。
8
矢量的点积
AB Ax Bx Ay By Az Bz A B cosAB
1 divA lim v 0 v
S
A dS
divA A
Ax x
A y y
Az z
38
散度的物理意义
矢量的散度是一个标量，是空间
坐标点的函数；
散度是微分量，代表矢量场各点
处的通量源的分布特性。
39
散度的物理意义（续）
A ＝0 无源
A 0 正源
在其他方向的方向导数为
u gradu el gradu en el gradu cos l
31
如何确定矢量场？
确定矢量场的必要条件： 必须同时确定该矢量场散 度和旋度，否则场的解答不 唯一。
32
亥姆霍兹定理
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度
及边界条件唯一地确定。
33
亥姆霍兹定理的意义
47
斯托克斯(Stockes)定理
l
A dl
S
( A) dS
矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A与边界l上的场 A之间的关系。 旋度定理使用条件：场量连续可微，积 分路径方向。
48
斯托克斯(Stockes)定理
A是环量面密度，即围绕
单位面积环路上的环量。因
A 0 负源
矢量场中，若 A 0，则该场为无源场； 若 A 0，则该场为有源场，为场源密度
40
高斯散度定理
由于▽· A是通量体密 度，对▽· A进行体积 分后，所得的结果为 整个体积的通量。
A dS lim
S
n Vn 0 n 1
5.1矢量场通量和散度，高斯散度定理 5.2矢量场环量和旋度，斯托克斯定理 5.3零场恒等式（Null Identities），亥姆霍兹 （Helmholtz ）定理