792场论初步

给出了数学上判定保守场的多种方法； 特别还给出了求势函数的方法：相当于
求某些二元函数的原函数的方法，同时 为解全微分方程提供了一种有效的方法。
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例4 验证向量场 A (3x2 6xy) i (3 y2 3x2 ) j
是有势场，并求其势函数.
解 因 P 3x2 6xy , Q 3 y2 3x2
x
y
30
由得 u( x, y) ( x2 3 y2 )dx ( y)
x3 3xy2 ( y)
3
式两边对y求偏导数得
u 6xy ( y)
y
将结果与: u 6xy 2 y2 比较,可得
y
( y) 2 y2
(
y)
2 3
y3
C1
u( x,
y)
x3 3
3xy2
2 3
y3
C1
AQB
BQA
APB
Pdx Qdy 0 Pdx Qdy Pdx Qdy
APBQA
APB
BQA
无其它交点,则因 成立， A
Q
右图两曲线除A, B两点外
P
曲线 APB 和 AQB, 如果象
B
点,B为终点的任意连续的属于 的两条
设A, B为 中任意两点，以 A为始
若如右图两曲线除 A,B 两点外还有其它交点, 则 可从A出发另作一条曲线 弧ARB, 使其与弧 APB和 弧 AQB 均不相交, 从而
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沿 内沿任一分段光滑简单闭曲线C
的线积分 cPdx Qdy 0 ； 在 内线积分 (B)Pdx Qdy与路径
( A)
无关(只与始终点有关)；
在 内存在u u( x, y),使du Pdx Qdy.
(u为场A的势函数，也简称“势”) 以下证明.
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证：我们用循环推证法来证明这四个等价命题.
按 的顺序证.
因在 内,处处成立 Q P ;
x y
由Green公式，立即有：
C
c x y
Pdx Qdx ( )dxdy 0
Q P
其中 C 为 内任一分段光滑简单闭曲线，
C
区域
，以 C 为其边界曲线。
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Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
则 A (x, y, z) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
的散度定义为
3
div A P Q R A
x y z
向量场 A的散度原始定义作
lim S A dS
SM V
可以证明，
(存 在)
lim
A dS
S
(存在) P Q R div A .
解 此例若用第二型曲线积分的基本方法计算是
很难算的，但由于 P cos(x y2 ) , Q 2 y cos(x y2 ) 1
1 y4
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P 2 y sin( x y2 ) Q
y
x
因此积分与路径无关，于是可选一路
径使线积分的计算最简单. 现选沿 x 轴从
O A的路径 OA: ( y 0, dy 0)
代入 (c) 式
u( x, y) x3 3x2 y y3 C .
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例5 计算线积分
cos(x y2 )dx [2 y cos(x y2 ) 1 ]dy
C
1 y4
其中C为摆线：x a(t sin t), y a(1 cos t)
上由 O(0,0)点到 A(2a, 0)点的有向弧段。
Stokes公式与场论初步(2)
1
二、Stokes公式的向量形式、场论初步 1. 梯度、散度、旋度 梯度 (Gradient )
定义1 实函数 u u( x, y, z)的梯度场
grad u u u i u j u k x y z
梯度 u { u , u , u }的实际意义——
x y z
SM V
x y z
简单地说,散度是单位体积上的发散量的极限，
4
当散度 div A (M ) 0,表示M点是发散通量的
正源（Sourse）,当divA (M ) 0 表示M点是 是吸收通量的负源(Sink)，当div A (M ) 0 ,
则表示M点不是源。
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旋度(Rotation or Curl)
线积分 A ds Pdx Qdy Rdz
C
C
称为 A沿闭曲线C 的环量。
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利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋 转的强度)，我们可以用向量的形式重写 Stokes公式。
A ds rot A dS A dS
C
S
S
或
A ds rot A endS ( A en )dS
定义3 向量场 A (x, y, z)的旋度定义为
i jk
rot A A
x y z PQR
R Q
P R
Q P
( )i ( ) j ( ) k
y z
z x
x y
简单地说,旋度是个向量，它的物理意义
是场在该向量方向上旋转性的强弱。
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2. 旋度与环量，Stokes公式的向量形式
定义4. 向量场 A沿空间有向闭曲线 C 的
x
y
先对(a)式，视 y为定数，两边对 x 积分：
u x3 3x2 y ( y) (c)
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这个积分“常数”当然可能是 y 的函数，
故记作 ( y) , 将(c)式两端对 y求导, 并与
(b)式比较，得：
u 3x2 ( y) 3 y2 3x2
y
( y) 3 y2, ( y) y3 C
S
S
S
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由于Green公式可以看作是 R2中的 Stokes
公式，因 A P i Q j , ds {dx, dy}
i jk
rot A 0 i 0 j ( Q P ) k
x y z
x y
PQ0
这时的 en {0, 0, 1}, 因此Green公式仍可
写成向量形式： A ds L
路径无关，故
( x, y)
u( x, y) ( x2 3 y2 )dx (6xy 2 y2 )dy
(0,0)
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(0,0)
( x,y) (3x2 6xy)dx (3 y2 3x2 )dy
(0,0)
o
x
y
M0 ( x,0)x
3 x2dx (3 y2 3x2 )dy x3 y3 3x2 y
0 沿OM 0
dy 0, y 0
0
dx沿M00,Mx x
即： u( x, y) x3 y3 3x2 y
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A 是一有势场，即在G内存在 u ，
使 du Pdx Qdy Rdz .
® 以下我们只对定理4的2D空间的情况定理 4
作证明.它可以看作是 Green 公式的推论.
定理 4 设区域 R2, A P i Q j C1( ),
则以下四个命题等价：
在 内,处处成立 Q P ;
x y
A( x0 , y0 )
M(x x, y)
B(x, y)
变量 , 取M点使
••
M( x x, y)
x
o
利用偏导数定义
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u lim u( x x, y) u( x, y)
x x0
x
1 ( xx, y)
(x,y)
lim [ Pdx Qdy Pdx Qdy]
x x0
( x0 , y0 )
解1 全微分方程中，当
P ( x2 3 y2 ) 6 y Q (6xy 2 y2 )
y y
x x
就称为恰当方程,这种方程可以用求偏积分
的方法来解，设
du( x, y) ( x2 3 y2 )dx (6xy 2 y2 )dy
则 u x2 3 y2 u 6xy 2 y2
( x0 , y0 )
从A B M
从A B
1 ( xx, y)
lim [ Pdx Qdy]
x x0
( x, y)
应用 积分 中值
(0 1)
lim
P( x x,
y)x
P( x,
y)
定理
x0
x
最后一个等号是因为 P( x, y)在 上连续.
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同理可证： u Q( x, y)
y
因 P,Q C1( ), 故 u( x, y)在 可微，于是
B
P
QR A
弧AQB
弧ARB
弧APB
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
于是证得了线积分只与始终点有关，而与 与路径无关.
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B( x, y)
在 成立的条件下，在 内任取一定点
A( x0 , y0 )
作始点， 动点 从而积分值
为终点，
y
•
A( x0 , y0 )
B( x, y)
利用通量及散度,我们也可以用向量形式重 写Gauss公式：
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A dS div A dV A dV
或 V(外)
V
V
A en dS divA dV A dV
V( 外)
V
V
有关三“度”——梯度、散度、旋度的运
算法则和某些关系公式，略。(需要时请自
己去查阅。)
4. 几种场——无旋场、无源场、调和场
( x, y)
u( x, y) Pdx Qdy
( x0 , y0 )
x
在与路径无关的条件下， o
u( x, y) 仅是终点(上限) ( x, y)的二元函数。
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以下证明,这个u( x, y)恰满足：
du Pdx Qdy