场论初步
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第04讲预备知识-场论2
Δl
ΔS
M
n
Δl
ΔS
存在，称其为a在该点沿n向的环量面密度。由于Δl具 有任意性，所以过M点有无穷多个环量面密度。
旋度
旋度(Rotation)是这样的向量，它的模为环量面密度的最大值，方向是 环量面密度取得最大值的方向，记作rot a，旋度在直角坐标系中的表达式 为：
i ∂a y ∂a x ∂ ∂a z ∂a y ∂a z ∂a x rota = i ( ) + j( ) + k( )= − − − ∂y ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x ax j ∂ ∂y ay k ∂ = ∇×a ∂z az
4.3 正交曲线坐标系中常用表达式
哈密尔顿算子∇ 有微分和向量双重运算性质： 对后面的量发生微分作用 对前面的量不起微分作用 运算顺序为先微分运算，后向量运算 哈密尔顿算子：
∇ = e1
梯度：
∂ ∂ ∂ ∂ + e2 + e3 = ei h1∂q1 h2 ∂q2 h3∂q3 hi ∂qi
∇ϕ = e1
代入弧微分方程得：
⎫ ∂x dq1 ⎪ dx = ∂q1 ⎪ ∂y ⎪ dy = dq1 ⎬ ∂q1 ⎪ ∂z dz = dq1 ⎪ ⎪ ∂q1 ⎭
ds 1 =
(
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ) +( ) +( ) dq 1 ∂ q1 ∂ q1 ∂ q1
同理，当弧微分ds仅是坐标曲线q2上的微分弧长ds2、或仅是坐标曲线 q3上的微分弧长ds3时，有：
直角坐标系中的弧微分ds可表示为： ds = dx2 + dy2 + dz2 若曲线坐标(q1，q2，q3) 和直角坐标(x，y，z)之间存在函数及反函 数关系:
ΔS
M
n
Δl
ΔS
存在，称其为a在该点沿n向的环量面密度。由于Δl具 有任意性，所以过M点有无穷多个环量面密度。
旋度
旋度(Rotation)是这样的向量，它的模为环量面密度的最大值，方向是 环量面密度取得最大值的方向，记作rot a，旋度在直角坐标系中的表达式 为：
i ∂a y ∂a x ∂ ∂a z ∂a y ∂a z ∂a x rota = i ( ) + j( ) + k( )= − − − ∂y ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x ax j ∂ ∂y ay k ∂ = ∇×a ∂z az
4.3 正交曲线坐标系中常用表达式
哈密尔顿算子∇ 有微分和向量双重运算性质： 对后面的量发生微分作用 对前面的量不起微分作用 运算顺序为先微分运算，后向量运算 哈密尔顿算子：
∇ = e1
梯度：
∂ ∂ ∂ ∂ + e2 + e3 = ei h1∂q1 h2 ∂q2 h3∂q3 hi ∂qi
∇ϕ = e1
代入弧微分方程得：
⎫ ∂x dq1 ⎪ dx = ∂q1 ⎪ ∂y ⎪ dy = dq1 ⎬ ∂q1 ⎪ ∂z dz = dq1 ⎪ ⎪ ∂q1 ⎭
ds 1 =
(
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ) +( ) +( ) dq 1 ∂ q1 ∂ q1 ∂ q1
同理，当弧微分ds仅是坐标曲线q2上的微分弧长ds2、或仅是坐标曲线 q3上的微分弧长ds3时，有：
直角坐标系中的弧微分ds可表示为： ds = dx2 + dy2 + dz2 若曲线坐标(q1，q2，q3) 和直角坐标(x，y，z)之间存在函数及反函 数关系:
化工数学-第6章-场论初步
9
6.2 向量的导数.
6.2.1 向量对于一个纯量的导数
(1)向量函数 v 是纯量t的函数，v = v(t) 。
dv (t )
v(t + Dt)- v(t)
= lim
dt
Dt? 0
Dt
在直角坐标系中 v = vxi + vy j + vzk
(6-1)
dv = dvx i + dvy j + dvz k
若 r = r (x, y, z)， S = S(x, y, z) ，则
抖 抖x (r ? S)
r? S x
?r ?x
?
S
抖 抖x (r ? S)
r? S x
?r ?x
?
S
抖2
抖x
(r ? S) y
抖x 轾 犏 犏 臌抖y (r ? S)
抖x
轾 犏 犏 臌r ?
抖S y
?
r y
?
S
抖2 S
r 抖S
dt
dt dt dt
d（a ? b) da ? b a ? db
dt
dtБайду номын сангаас
dt
(6 - 5) (6 - 6)
(6 - 7) (6 8)
2019/9/9
化工数学-第六章－场论初步
d（j a) = dj a + j da 其中j = j (t)是数量函数
dt
dt
dt
13
（6－9）
d（a? b) da ? b a? db
a = a1? a2
ijk 2 3 4 = - 14i + 8 j + k 1 2 -2
一、场的概念
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§3. 场论初步
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§3. 场论初步
定义：曲面积分 a cos n, x a cos n, y a cos n, z dS x y z S 称为向量a通过曲面S在所选择的那一侧的流量。
可表为
a dS
n S
式中an为a在n上的投影。
a 3 x y z
2 2 2 2
2
1 2
i 20 x y z
2 2
2
1 2
j
15 x y z
1 2 2
k
1 2 1 2 1 2
a x 3 x
2
y z
2 2 222来自 a y 20 x
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i rot grad u( M ) x yz
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j y xz
k 0. z xy
§3. 场论初步
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§3. 场论初步
即 i rot a x ax j y ay k z az
斯托克斯公式、场论初步
其中曲线和曲面的方向由右手法则确定。
斯托克斯公式
GP d x Qd y Rd z
R Q P R d yd z z z x S y Q P d xd y d zd x x y
R Q Q P P R cos cos d S cos β z x x y S y z 其中曲线和曲面的方向由右手法则确定。
第 30 讲
斯托克斯公式、场论初步
区域和其边界上积分的关系
D
DP d x Q d y
Q P d xd y y D x
格林公式
P d y d z Q d z d x R d x d y
P Q R dv y z x
R2 x 2 y 2 d x d y
2 x x y
D
R2 x 2 y 2 y
dx dy
区域 D 关于 x 轴对称， 故
I 2 x d x d y 2 π 2 d 0
D
π2
R cos
r 2 cos d r
πR3 . 4
二重积分
Green
第一型 第二型
曲线积分 Stokes 第一型 第二型
三重积分
Gauss
曲面积分
x y z 2 z x y R R R S
dS.
记 S 在 xoy 面的投影区域为 D .
则 I L
2 RD
x
x y z P d x Q d y R d z 2 z x y R R R S
工程电磁场知识点总结
工程电磁场知识点总结第一章矢量分析与场论1 源点是指。
2 场点是指。
3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。
4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。
5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示梯度的方向表示。
6 方向导数与梯度的关系为7 梯度在直角坐标系中的表示为?u?。
8 矢量A在曲面S上的通量表示为?? 9 散度的物理含义是 10 散度在直角坐标系中的表示为??A?。
11 高斯散度定理。
12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。
13 旋度的物理含义是 14 旋度在直角坐标系中的表示为??A?。
15 矢量场A在一点沿el方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系为。
16 斯托克斯定理17 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,ez的线元分别为，18 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,e?的线元分别为，19 ?1111???'??2eR?2e'R RRRR???20 ??????'??'???????4??(R)?R??R??11?0(R?0)( R?0)第二章静电场1 点电荷q在空间产生的电场强度计算公式为。
2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为。
3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E。
4 已知空间电场强度分布E，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P处的电位?P。
5 一球面半径为R，球心在坐标原点处，电量Q均匀分布在球面上，?则点?,,??处的电位等于。
222??RRR6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的。
11 无限长直导线，电荷线密度为?，则空间电场E。
12 无限大导电平面，电荷面密度为?，则空间电场E。
13 静电场中电场强度线与等位面14 两等量异号电荷q，相距一小距离d，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩p= 。
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
9-7(场论初步)
因此重力场也是无旋场
4/7
3.调和场 调和场 如果向量场A = A( M )( M ∈ Ω) 既是无源场又是无 旋场， 旋场，即对任一点 M ∈ Ω ，有
divA( M ) = 0
则称向量场 A 为调和场
rotA( M ) = 0
重力场 F = {0,0,−mg } 显然是调和场
5/7
4.有势场 有势场 对于向量场A = A( M )( M ∈ Ω) ，如果存在单值函 数 u = u( M )( M ∈ Ω)，使得 ∂u ∂u ∂u A = ∇u = , , ∂x ∂y ∂z 为有势场， 则称向量场 A 为有势场，称 u 为 A 的势函数 5.保守场 保守场 对于向量场 A = A( M )( M ∈ Ω)，如果曲线积分
1.
A是一个无旋场，即在 Ω 内恒有 是一个无旋场，
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = , = , = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
2. 沿 Ω内任一简单闭曲线 Γ 均有环量
∫ A ⋅ dl = ∫ Pdx + Qdy + Rdz = 0 3. A是保守场，即在 Ω 内曲线积分 ∫ A(M) ⋅ dl与路径无关 是保守场，
∫ A( M ) ⋅ dl
B A
内与路径无关， 为保守场， 在 Ω 内与路径无关，则称 A 为保守场，其中 A, B 为 Ω 内任意两点
6/7
下面的定理说明了无旋场、 下面的定理说明了无旋场、有势场与保守场是等价的
定理： 定理：设 Ω 为一维单连通域 A = {P , Q , R} ，其中
P , Q , R 在 Ω 内一阶偏导数连续，则以下四个命题等价 内一阶偏导数连续，
第七节 场论初步
几类特殊的场
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就反映了流体关于 L 所围面积的平均环流密度. 当 D M 0 时, (6) 式右边这个极限, 就是流速场 A 在 点 M 0 处按右手法则绕 n 的环流密度. rot A n 另一方面, (6) 式左边的 是 rot A( M 0 ) M0 在 n ( M 0 )上的投影. 由此可见, 当所取的 n ( M 0 ) 与
z 2 2 2 3/ 2 z ( x 返回
因此引力场 F 在每一点处的散度都为零 ( 除原点没
有定义外 ).
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设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
f f ( u) u .
5. 若 f f ( u1 , u2 ,, um ) , ui ui ( x , y , z ) , 则
f f ui . i 1 ui
m
这些公式读者可利用定义来直接验证.
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例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点 位于 M ( x , y , z ), 记 r OM x 2 y 2 z 2 , m 试求 的梯度 . r m x y z m 2 , , . 解 r r r r r 若以 r0 表示 OM 上的单位向量, 则有 m m 2 r0 . r r
一、场的概念
若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一
个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个
数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就 等于给定了一个数量函数 u( x , y , z ), 在以下讨论中
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
(2)
散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A
的不可压缩流体, 经过封闭曲面 S 的流量是 A dS .
S 于是(2)式表明 div A( M 0 ) 是流量对体积 V 的变化率, 并称它为 A 在点 M 0 的流量密度. 若 div A( M 0 ) 0, 说明在每一单位时间内有一定数
(5)
这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式. 为了由 (5) 式直观描述旋度的物理意义, 不妨将其 中 的曲面块 S 改换为平面区域 D ( 图 22-12 ), 这时 (5)
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rot A( M 0 )
n0
M0
D
L
图 22 12
式又被改写为 rot A n
( u v ) u(v ) (u)v .
特别地有
(u2 ) 2u(u) .
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3. 若 r ( x , y , z ) , ( x , y , z ) , 则
d dr .
4. 若 f f ( u) , u u( x , y, z ) , 则
四、旋 度 场
为 V 上的一个向量场. 称如下向量函数: R Q P R Q P F ( x, y, z ) i+ j+ k y z z x x y 为 A 的旋度. F 是由向量场 A 派生出来的一个向量
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
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注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读 作 “Nabla”.
梯度有以下一些用 表示的基本性质:
1. 若 u, v 是数量函数, 则
( u v ) u v .
2. 若 u, v 是数量函数, 则
3. 若 ( x , y , z ) 是一数量函数, 则
2 2 2 2 2 2 . x y z
算符 的内积 常记作 (拉普拉斯算符) , 于是
.
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m x y z 例2 求例1中引力场 F 2 , , 所产生的散 r r r r 度场.
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量的流体流出这一点, 则称这一点 M 0 为 “源”. 若 div A( M 0 ) 0, 说明流体在这一点 M 0 被吸收, 则 称这点为 “汇”.
若在每一点都有 div A 0, 则称 A 为 “无源场”. A 的散度也可表示为矢性算符 与 A 的数性积: div A A .
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S L
(4)
对上式中的曲面积分应用中值定理, M S , 使得
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rot A n d S rot A n
S
M
S
L
A t ds .
在 S 上任取一点 M 0 . 令 S 收缩到 M 0 ( 记作 S M 0 ), 则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 rot A n lim A t ds . L S M 0 S M0
n 设 (cos , cos , cos ) 为曲面 S 在各点的单位 法向量,记 dS n dS , 称为 S 的面积元素向量. 于是
高斯公式可写成如下向量形式: div AdV A dS .
V S
*§4 场论初步
在物理学中 , 曲线积分和曲面积分有着广 泛的应用 . 物理学家为了既能形象地表达有 关的物理量 , 又能方便地使用数学工具进行 逻辑表达和数据计算 , 使用了一些特殊的术 语和记号, 在此基础上产生了场论.
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
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(1)
M V , 使得 对上式中的三重积分应用中值定理, div A d V div A ( M ) V A dS ,
V
S
在 V 中任取一点 M 0 . 令 V 收缩到 M 0 ( 记作 V M0 ),
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则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 div A( M 0 ) lim A dS . V M 0 V S
1 lim A t ds . (6) L D M0 D M0 A t 在流速场 A 中, 曲线积分 L ds 是沿闭曲线 L
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的环流量, 它表示流速为 A 的不可压缩流体, 在单位 1 A t ds 时间内沿曲线 L 流过的总量. 这样, D L
解 因为 r 2 x 2 y 2 z 2 , 所以
F m ( x, y, z ) , 2 2 2 32 (x y z )
x F m 2 2 2 3/ 2 x ( x y z )
y 2 y ( x y 2 z 2 )3 / 2
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它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. m 这说明了引力场是数量场 的梯度场, 因此常称 r m 为引力势. r
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设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
三、散 度 场
为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
P Q R D( x , y , z ) x y z 为 A 的散度. 这是由向量场 A 派生出来的一个数量
场, 也称散度场, 记作
P Q R div A . x y z
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j y Q
k . z R
类似于用散度表示的高斯公式 (1), 现在可用旋度来 表示斯托克斯公式:
rot A dS A ds .
S L
(3)
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其中 d S 为前述对于曲面 S 的面积元素向量; 而 d s
容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:
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1. 若 A, B 是向量函数, 则 ( A B) A B . 2. 若 是数量函数, A 是向量函数, 则 ( A) A A .
总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每
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个向量场都与某个向量函数 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数. 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz , P Q R
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则称曲线 L 为向量场 A 的向量场线. 例如电力线、
磁力线等都是向量场线.
注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关.
引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
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二、梯度场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 它 是由数量函数 u( x , y , z ) 所定义的向量函数 u u u grad u i j k. x y z grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 梯度场. 由前文知道, grad u 的方向就是使方向导 数 u l 达到最大值的方向, grad u 就是在这个方 方向上的方向导数.