矢量分析与场论基础
合集下载
矢量分析与场论基础
S
根据通量的叠加性：当F 0时，表示矢量场 A 向正侧穿过曲面S 的通量＞向负侧穿过S 的通量。同理当F 0或F 0时，则表示向 正侧穿过曲面S 的通量＜或＝沿负侧穿过S 的通量。 若S 为闭合曲面，则 Φ A n dS 其中 n 为曲面外侧法向
u v grad ( u) u grad (v ) grad ( ) v v2 grad[ f ( u)] f (1) ( u) grad ( u) f f grad[ f ( u, v )] grad ( u) grad (v ) u v
几个特例：
grad ( r a ) a
r grad r l l cos cos sin sin cos( )
r(M)=C r(M0)=C0 M0
0
M
x
二、矢量场的通量与散度
1. 矢量场的通量
矢量场 A( x , y, z ) P ( x , y, z ) i Q( x , y, z ) j R( x , y, z ) k 沿空间 有向曲面S 某一侧的曲面积分
A P i Q j R k
在空间区域V 上具有一阶连续偏导数，则有公式
P Q R ) dV S V x y z 这里的S 是V 的整个边界曲面的外侧。 Φ A n dS (
④通量的物理意义 由定义式 Φ A n dS 通量是一种标量。
a a 0
( a ) b ( a b )
a b b a
根据通量的叠加性：当F 0时，表示矢量场 A 向正侧穿过曲面S 的通量＞向负侧穿过S 的通量。同理当F 0或F 0时，则表示向 正侧穿过曲面S 的通量＜或＝沿负侧穿过S 的通量。 若S 为闭合曲面，则 Φ A n dS 其中 n 为曲面外侧法向
u v grad ( u) u grad (v ) grad ( ) v v2 grad[ f ( u)] f (1) ( u) grad ( u) f f grad[ f ( u, v )] grad ( u) grad (v ) u v
几个特例：
grad ( r a ) a
r grad r l l cos cos sin sin cos( )
r(M)=C r(M0)=C0 M0
0
M
x
二、矢量场的通量与散度
1. 矢量场的通量
矢量场 A( x , y, z ) P ( x , y, z ) i Q( x , y, z ) j R( x , y, z ) k 沿空间 有向曲面S 某一侧的曲面积分
A P i Q j R k
在空间区域V 上具有一阶连续偏导数，则有公式
P Q R ) dV S V x y z 这里的S 是V 的整个边界曲面的外侧。 Φ A n dS (
④通量的物理意义 由定义式 Φ A n dS 通量是一种标量。
a a 0
( a ) b ( a b )
a b b a
矢量分析和场论讲义
圆锥面 x2 y2 z2及平面z H (H 0) 所围成旳封闭
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第01章 矢量分析和场论基础
位置矢量
r e ze z ，如图1-10所示。
柱坐标与直角坐标之间的关系（见图1-10~11）。
x cos y sin z z
x2 y2 arctg y x zz
取值范围
0 0 2 z
A
(1-15)
显然矢量投影为： Al A el
Ax A e x , Ay A e y , Az A e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3. 矢量的矢积
矢量的矢积也称叉积，其定义为
A B A B sin n
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位 矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。 矢量的矢积不满足交换律；由图1-3可以看出，矢量 矢积交换满足如下关系 (1-18) A B B A
(1-47)
利用其逆变换也可得柱坐标分量的直角坐标表达式。
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
三、球坐标系 球坐标系中任一点P在球坐标系下的坐标为( r , , )， 其中 r 为位置矢量 r 的大小，如图1-15所示。
r re r 位置矢量 正交单位矢量为( er , e , e )，并服从右手法则。在 球坐标系下，er , e , e 都是空间坐标点的函数。
Z
Z
Y
Y
X
X
图1-4 温度场分布示意图
图1-5 电场分布示意图
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
1.4 常用正交曲线坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直 线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互 垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。 位置矢量 r xe x ye y ze z ，如图1-6所示。
r e ze z ，如图1-10所示。
柱坐标与直角坐标之间的关系（见图1-10~11）。
x cos y sin z z
x2 y2 arctg y x zz
取值范围
0 0 2 z
A
(1-15)
显然矢量投影为： Al A el
Ax A e x , Ay A e y , Az A e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3. 矢量的矢积
矢量的矢积也称叉积，其定义为
A B A B sin n
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位 矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。 矢量的矢积不满足交换律；由图1-3可以看出，矢量 矢积交换满足如下关系 (1-18) A B B A
(1-47)
利用其逆变换也可得柱坐标分量的直角坐标表达式。
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
三、球坐标系 球坐标系中任一点P在球坐标系下的坐标为( r , , )， 其中 r 为位置矢量 r 的大小，如图1-15所示。
r re r 位置矢量 正交单位矢量为( er , e , e )，并服从右手法则。在 球坐标系下，er , e , e 都是空间坐标点的函数。
Z
Z
Y
Y
X
X
图1-4 温度场分布示意图
图1-5 电场分布示意图
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
1.4 常用正交曲线坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直 线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互 垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。 位置矢量 r xe x ye y ze z ，如图1-6所示。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
一、 矢量分析与场论基础
根据散度定理，上式左边等于
(C A) ds ( A ds) C C A ds
S S S
于是得
C ( A)dv C A ds
V S
由于上式中常矢C是任意的，故式必成立。
1 .5 方向导数与梯度, 格林定理
1 .5 .1 方向导数与梯度 ; 标量场u(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为u沿该方向的方 向导数 u / l 它的值与所选取的方向 。
4 3 rds rdv 3 dv 3 r 4r 3 S V V 3
1.4 环量与旋度, 斯托克斯定理
1 .4 .1 环量
矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或
旋涡量), 记为
A dl
l
图 1 -5 矢量场的环量
1 .4 .2 旋度的定义和运算
即
ˆ x
ˆ y
ˆ z
rot A A x y z Ax Ay Az
旋度运算符合如下规则:
( A B) A B (A) A A ( A B) B A A B ( A) 0 A ( A) A
V
Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 利用散度定理可将矢量 散度的体积分化为该矢量的封闭面积分, 或反之。
例1 .1 球面S上任意点的位置矢量为 r 试利用散度定理计算 ds r
S
ˆ ˆ ˆ ˆ xx yy zz rr,
［解］
x y z r 3 x y z
荷Q。 若Q为正电荷, Ψe为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为负电荷,
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
最新最全的矢量分析与场论讲义(必考)
矢量分析与场论第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''⎰⎰⋅-⋅=⋅A B B A B Adt dt ''⎰⎰⨯+⨯=⨯A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
第一章矢量分析与场论
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. . 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等.
形象描绘场分布的工具---场线 -标量场---等值线(面). -. 其方程为
矢量场---矢量线 -其方程为
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
0.5 矢量场的环量与旋度
一、矢量场环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
Γ=
∫ A ⋅ dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
图0.4.1 环量的计算
例：流速场
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 Γ=0，无涡旋运动
≠0 ∇ × F = ? =0
∇⋅F = ?
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? ≠0
0.7 三种特殊形式的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同， 即 F=f(r,Φ)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即
流体做涡旋运动 Γ≠0，有产生涡旋的源
二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设
A = Axe x + A ye y + Aze z ,
则环量可写成： 由斯托克斯公式：
Γ =
∫
L
A⋅L =
∫ (A
L
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 法向单位矢量: nˆ 。
• 切向单位矢量: tˆ 。
• 一般令曲线的切向与曲线的正方向相同. 曲线上任意点的法向、 切向 均唯一，如图3.1所示。曲面上任意点的法向唯一、 切向有无数个。 如图3.2所示。
• 3. 场 • 如果某个物理量在给定 (或规定) 区域或空间 (有限或无限) V内的每一
点M，都有一个确定的值，那么这个物理量在这空间形成并且确定了 一个场，该物理量称为场量。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 2)矢端曲线(图示法) • 在矢量函数A(t)的起点确定时(比如原点O)，当t变化时，A(t)的终点
M就描绘出一条曲线l,称为矢量函数A(t)的矢端曲线,也称为矢量函数 A(t)的图形，原点O也称为矢端曲线的极,如图3.3所示。 • 5. 等值面 • 研究标量和矢量场时，用场图表示场变量在空间逐点演变的情况具有 很大的意义，它是研究标量场和矢量场在空间逐点演变情况的直观方 法。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 在标量场中，等值面直观地研究标量在场中的分布状况。若标量场为 Φ(r)，所谓等值面。是指由场中使函数 Φ(r)取相同数值的点所组成的 曲面，即令 Φ(r) =常数，就可求得等值线或等值面。例如， 电位场 中的等值面， 就是由电位相同的点所组成的等值面。如图3.4所示， 这与地图中的等高线的物理意义本质上是相同的。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 1) 矢量方程 • 矢量方程就是在特定坐标系中,用不同分量及其组合来给出的矢量的
数学表达式,比如在直角坐标系中,用矢量的坐标表示法,矢量函数可写 成 • A(t) ＝ {Ax(t),Ay(t),Az(t)} (3-2) • 其中Ax(t)、Ay(t),、Az(t)都是变量 ｔ 的标量函数,可见一个矢量函数 和三个有序的标量函数构成一一对应关系。
H等。矢量E的模表示为E或E。 • 矢量的性质: 矢量的值与其所在的空间位置无关。 因此空间平移不会
改变一个矢量。一个矢量E 与其逆矢量 － E模值相同。 方向相反。 • 空矢: 一个大小为零的矢量。 即模为0的矢量。
下一页 返回
3.1 矢量分析
• 单位矢量: 模值为1的矢量 (一般用来指一页 返回
3.1 矢量分析
• 3) 矢量面和矢量管 • 对于场中的任意一条曲线C (非矢量线)，在其上的每一点处， 也皆有
且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线 C 的曲面， 称为矢量面， 如图3.6所示。显然在矢量面上的任一点 Ｍ 处，场的对应矢量A(M) 都位于此矢量面在该点的切平面内。 • 特别地，当C为一封闭曲线时，通过 C的矢量面，就构成一管形曲面， 又称之为矢量管， 如图3.7所示。
• 6. 场线 • 1) 矢量线 • 对于矢量场，则常用场线 (也称为力线) 来表示场图，即矢量场中一
族空间有向曲线。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 矢量场的大小用力线的疏密程度表示。力线稠密处矢量场就大，反之 力线稀疏处则矢量场就小，线图曲线上每一点的切线方向为此处矢量 场的方向，矢量场的力线可以通过微分方程求得。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 4. 矢量函数
• 设有标量t和变矢A。 如果对于t在某个范围 (区域或空间)D 内的每一 个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称 A为标量t的矢量函 数，记作
• A=A(t)
(3-1)
• 并且称D为矢量函数A的定义域。
• 矢量函数可以用以下两种方法表示。
• 矢量线直观地表示了矢量的分布状况， 在它上面每一点处，曲线都 与对应于该点的矢量A相切，静电场中的力线、 磁场中的磁力线、 流速场中的流线等，都是矢量线的例子。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 按照矢量线的几何意义,在直角坐标系下，它与矢量A在M点处共线， 必有对应分量成比例，由此可以导出矢量线的方程表达式，这就是矢 量线所应满足的微分方程，即
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 3.1.2 矢量分析初步
• 一、 三种基本坐标系 • 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定，
由三条正交曲线组成、 确定三维空间任意点位置的体系， 称为正交 曲线坐标系。 三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标 变量。在电磁场与电磁波理论中， 三种常用的正交曲线坐标系为: 直 角坐标系、 圆柱坐标系和球面坐标系。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 在数学上,场是空间和时间的函数，时间坐标一般用t表示， 空间坐标 表示形式为
• x(x，y，z) =ix +jy +kz，其中i、j、k构成右手系。 • 根据场中物理量不同，可以有标量场、 矢量场和张量场等。 • 标量场: 空间的每一个点对应一个标量。 • 矢量场: 空间的每一个点对应一个矢量。 • 在物理上， 场是描述某一物理对象特定分布规律的物理量。
E可以用单位矢量表示为 E eˆ。
• 基矢量: 是一组互相垂直的单位矢量，在直角坐标系中。用i、j、k表 示。 其方向分别沿x、y、z轴正方向。常矢量: 模和方向都保持不变 的矢量。
• 变矢量: 模和方向均变化或其中之一变化的矢量。变矢量是矢量分析 研究的重要对象。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 由方程式 (３ － ３) 求解可得矢量线族,在 A不为零的假定下， 当函 数Ax、 Ay、Az 均为单值、 连续且有一阶连续偏导数时， 这族矢量 线不仅存在，并且充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 2) 矢量线的形态 • 矢量线有四种形态，如图3.5所示。 • (1) 无头无尾的闭合曲线。 • (2) 有起点有终点。 • (3) 有起点， 终止于无穷远处。 • (4) 起始于无穷远处，有终点。
第3章 矢量分析与场论基础
• 3.1 矢量分析 • 3.2 场论简介 • 3.3 小 结
返回
3.1 矢量分析
• 3.1.1 几个基本概念
• 1. 标量 • 标量是只有大小而没有方向的量 。如电荷量Q、 电位 φ、 电阻R等。 • 2. 矢量 • 矢量: 具有大小和方向特征的量。 如电场强度矢量E、 磁场强度矢量
• 切向单位矢量: tˆ 。
• 一般令曲线的切向与曲线的正方向相同. 曲线上任意点的法向、 切向 均唯一，如图3.1所示。曲面上任意点的法向唯一、 切向有无数个。 如图3.2所示。
• 3. 场 • 如果某个物理量在给定 (或规定) 区域或空间 (有限或无限) V内的每一
点M，都有一个确定的值，那么这个物理量在这空间形成并且确定了 一个场，该物理量称为场量。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 2)矢端曲线(图示法) • 在矢量函数A(t)的起点确定时(比如原点O)，当t变化时，A(t)的终点
M就描绘出一条曲线l,称为矢量函数A(t)的矢端曲线,也称为矢量函数 A(t)的图形，原点O也称为矢端曲线的极,如图3.3所示。 • 5. 等值面 • 研究标量和矢量场时，用场图表示场变量在空间逐点演变的情况具有 很大的意义，它是研究标量场和矢量场在空间逐点演变情况的直观方 法。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 在标量场中，等值面直观地研究标量在场中的分布状况。若标量场为 Φ(r)，所谓等值面。是指由场中使函数 Φ(r)取相同数值的点所组成的 曲面，即令 Φ(r) =常数，就可求得等值线或等值面。例如， 电位场 中的等值面， 就是由电位相同的点所组成的等值面。如图3.4所示， 这与地图中的等高线的物理意义本质上是相同的。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 1) 矢量方程 • 矢量方程就是在特定坐标系中,用不同分量及其组合来给出的矢量的
数学表达式,比如在直角坐标系中,用矢量的坐标表示法,矢量函数可写 成 • A(t) ＝ {Ax(t),Ay(t),Az(t)} (3-2) • 其中Ax(t)、Ay(t),、Az(t)都是变量 ｔ 的标量函数,可见一个矢量函数 和三个有序的标量函数构成一一对应关系。
H等。矢量E的模表示为E或E。 • 矢量的性质: 矢量的值与其所在的空间位置无关。 因此空间平移不会
改变一个矢量。一个矢量E 与其逆矢量 － E模值相同。 方向相反。 • 空矢: 一个大小为零的矢量。 即模为0的矢量。
下一页 返回
3.1 矢量分析
• 单位矢量: 模值为1的矢量 (一般用来指一页 返回
3.1 矢量分析
• 3) 矢量面和矢量管 • 对于场中的任意一条曲线C (非矢量线)，在其上的每一点处， 也皆有
且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线 C 的曲面， 称为矢量面， 如图3.6所示。显然在矢量面上的任一点 Ｍ 处，场的对应矢量A(M) 都位于此矢量面在该点的切平面内。 • 特别地，当C为一封闭曲线时，通过 C的矢量面，就构成一管形曲面， 又称之为矢量管， 如图3.7所示。
• 6. 场线 • 1) 矢量线 • 对于矢量场，则常用场线 (也称为力线) 来表示场图，即矢量场中一
族空间有向曲线。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 矢量场的大小用力线的疏密程度表示。力线稠密处矢量场就大，反之 力线稀疏处则矢量场就小，线图曲线上每一点的切线方向为此处矢量 场的方向，矢量场的力线可以通过微分方程求得。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 4. 矢量函数
• 设有标量t和变矢A。 如果对于t在某个范围 (区域或空间)D 内的每一 个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称 A为标量t的矢量函 数，记作
• A=A(t)
(3-1)
• 并且称D为矢量函数A的定义域。
• 矢量函数可以用以下两种方法表示。
• 矢量线直观地表示了矢量的分布状况， 在它上面每一点处，曲线都 与对应于该点的矢量A相切，静电场中的力线、 磁场中的磁力线、 流速场中的流线等，都是矢量线的例子。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 按照矢量线的几何意义,在直角坐标系下，它与矢量A在M点处共线， 必有对应分量成比例，由此可以导出矢量线的方程表达式，这就是矢 量线所应满足的微分方程，即
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 3.1.2 矢量分析初步
• 一、 三种基本坐标系 • 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定，
由三条正交曲线组成、 确定三维空间任意点位置的体系， 称为正交 曲线坐标系。 三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标 变量。在电磁场与电磁波理论中， 三种常用的正交曲线坐标系为: 直 角坐标系、 圆柱坐标系和球面坐标系。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 在数学上,场是空间和时间的函数，时间坐标一般用t表示， 空间坐标 表示形式为
• x(x，y，z) =ix +jy +kz，其中i、j、k构成右手系。 • 根据场中物理量不同，可以有标量场、 矢量场和张量场等。 • 标量场: 空间的每一个点对应一个标量。 • 矢量场: 空间的每一个点对应一个矢量。 • 在物理上， 场是描述某一物理对象特定分布规律的物理量。
E可以用单位矢量表示为 E eˆ。
• 基矢量: 是一组互相垂直的单位矢量，在直角坐标系中。用i、j、k表 示。 其方向分别沿x、y、z轴正方向。常矢量: 模和方向都保持不变 的矢量。
• 变矢量: 模和方向均变化或其中之一变化的矢量。变矢量是矢量分析 研究的重要对象。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 由方程式 (３ － ３) 求解可得矢量线族,在 A不为零的假定下， 当函 数Ax、 Ay、Az 均为单值、 连续且有一阶连续偏导数时， 这族矢量 线不仅存在，并且充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。
上一页 下一页 返回
3.1 矢量分析
• 2) 矢量线的形态 • 矢量线有四种形态，如图3.5所示。 • (1) 无头无尾的闭合曲线。 • (2) 有起点有终点。 • (3) 有起点， 终止于无穷远处。 • (4) 起始于无穷远处，有终点。
第3章 矢量分析与场论基础
• 3.1 矢量分析 • 3.2 场论简介 • 3.3 小 结
返回
3.1 矢量分析
• 3.1.1 几个基本概念
• 1. 标量 • 标量是只有大小而没有方向的量 。如电荷量Q、 电位 φ、 电阻R等。 • 2. 矢量 • 矢量: 具有大小和方向特征的量。 如电场强度矢量E、 磁场强度矢量