中考数学全程复习方略微专题一一元二次方程根与系数的关系课件
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《一元二次方程根与系数的关系》数学教学PPT课件(3篇)
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x2 3x 4 0 4 1
3.已知一元二次方程的 3x2 9x m 0
的一个根为1 ，则方程的另一根为___， m=___：
4.已知一元二次方程的 x2 px q 0 两
根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
则x1＋x2＝
b a
，x1x2＝
c a。
3、用根与系数关系解题的条件 是（1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 1 x2＝2x＋1的两根为
x1,x2，
2
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
x2 x1 （3） x1 x2
（2）x13x2＋x1x23
提 3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 b2 4ac 0 时，才
能应用根与系数的关系.
请同学们在课后通过以下几道题检测 自己对本节知识的掌握情况：
高
AD⊥DC，AD=10cm，
练 以AD 为直径的⊙O切另
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x2 3x 4 0 4 1
3.已知一元二次方程的 3x2 9x m 0
的一个根为1 ，则方程的另一根为___， m=___：
4.已知一元二次方程的 x2 px q 0 两
根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
则x1＋x2＝
b a
，x1x2＝
c a。
3、用根与系数关系解题的条件 是（1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 1 x2＝2x＋1的两根为
x1,x2，
2
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
x2 x1 （3） x1 x2
（2）x13x2＋x1x23
提 3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 b2 4ac 0 时，才
能应用根与系数的关系.
请同学们在课后通过以下几道题检测 自己对本节知识的掌握情况：
高
AD⊥DC，AD=10cm，
练 以AD 为直径的⊙O切另
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
《一元二次方程根与系数的关系》PPT 图文
我幸，今生在最美的时光遇见了你。张 爱玲说 ，因为 爱了， 所以慈 悲。因 为懂得 ，所以 宽容。 总有那 么一个 人，即 便全世 界都不 爱你， 也会为 你低眉 ，为你 垂泪， 为你留 一盏温 暖的灯 ，默默 守护在 你身旁 ，在清 浅的时 光里， 陪你看 草长莺 飞，陪 你数散 落星辰 ！
因为有缘，你我同住同修，同见同知， 相互依 靠，相 互取暖 。生死 契阔， 与子成 说;执子 之手， 与子携 老。爱 ，最长 情的告 白，不 是千万 句“我 爱你” ，也不 是春花 秋月前 的山盟 海誓， 天长地 久。而 是愿意 用其一 生的光 阴来陪 伴你， 来包容 你！即 便在寡 味的日 子里， 也会用 爱去 浇灌， 用心去 呵护， 为你种 出一朵 妖艳之 花，㶷 烂至极 。
“十年生死两茫茫，不思量，自难忘。 千里孤 坟，无 处话凄 凉。纵 使相逢 应不识 ，尘满 面，鬓 如霜“ 。如若 今生， 你我遇 到一个 愿意为 自己陪 伴一生 的人， 那么， 请握紧 现在手 中的幸 福，珍 惜彼此 ，别等 失去， 再话凄 凉……
可惜，世间不是所有的缘份都来得刚刚 好，在 合适的 季节里 你我相 遇相逢 。就如 徐志摩 遇到林 徵因， 写下“ 轻轻的 我走了 ，正如 我轻轻 的来； 我轻轻 的招手 ，作别 西天的 云彩… …”一 首再别 康桥道 出无尽 的思念 ，却因 是一场 三角之 恋，不 得不放 手。还 有张爱 玲遇见 文人汉 奸胡兰 成，在 信里写 道：“ 在你面 前我变 得很低 很低， 低到尘 埃里。 但我的 心里是 喜欢的 ，从尘 埃里开 出花来 。”
4.6 一元二次方程根与 系数的关系
1. 填表
方程
x1, x2 x1+ x2 x1. x2
① x2-3x+2=0
课件一元二次方程根与系数的关系ppt课件
x1, x2
,则,
x1 x2
b a
,
x1x2
c a
13
当堂训练
1.（1）已知关于x的方程x2 - p x+q=0的两 个根是0和-3，求p和q的值。
2）已知关于x的方程x2-6x+p2-2p+5=0 的一个根是2，求方程的另一个根和p的值。 讨论上述两个问题有几种解法？
14
数学就是这样一种学问；她 要求我们扎扎实实地学习，勤勤 恳恳地探索。她提醒你有无形的 灵魂，她赋予她所发现的真理以 生命；她唤起心神，澄清智能； 她给我们的内心思想添辉，她涤 尽我们有生以来的蒙昧与无知。
第一课时
1
学
习 1 .经历和体验数学发现的过 程 ，
目
提高学生的思维品质和进行探究 学习的能力。
标 2.掌握一元二次方程的根与系数
的关系；
3.会用一元二次方程的根与系数 的关系解决简单的问题。
2
计算并填表
方程
x1 x2 x1+x x1x
2
2
1. x2-2x=0
0220
2. x2+3x-4=0
1 -4 -3 -4
(4) x2 x1 x1 x2
11 (2)
x1 x2
(3) 1 1 x12 x22
(5) x1 x2 2
(6) x1 x2
11
例1：已知方程：5x2 kx 6 0,的一个根是2， 求它的另一个根及k的值
解：设方程的另一个根为x1，那么
2 x1
6 5
x1
3 5
又
3 5
2
k 5
3. x2-5x+6=0
2356
4. x2+2x-48=0 -8 6 -2 -48
《一元二次方程的根与系数的关系》课件(共16张PPT)
2
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
一元二次方程根与系数关系复习课件
应用
通过根的和与积，可以快 速求解一元二次方程的根 。
根的判别式与系数的关系
判别式
应用
一元二次方程的判别式等于方程的一 次项系数平方减去四倍的常数项除以 二次项系数。
通过判别式与系数的关系，可以判断 方程的根的情况，进而解决实际问题 。
判别式与系数的关系
判别式的值可以判断一元二次方程的 根的情况，如有两个实的过程中，要注意归纳总结，将知识点串联起来形成知识网 络，有助于加深理解和记忆。
积极参与课堂讨论
在课堂上要积极参与讨论，通过与老师和同学的交流，可以发现自 己的不足并及时纠正。
THANKS
感谢观看
高阶习题
总结词
考察创新思维
VS
详细描述
题目难度较大，需要学生具备较高的数学 素养和创新能力。这类题目通常会涉及到 一些较为复杂的数学问题，需要学生通过 创新思维和数学方法的综合运用来解答。
05
总结与回顾
重点回顾
根与系数的关系
一元二次方程的根的和等于方程 的一次项系数除以二次项系数所 得的商的相反数；根的积等于常 数项除以二次项系数所得的商。
根与系数关系的理解
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其根的和等于-b/a，根的积等于c/a，但在使用时需要 注意a≠0且Δ≥0。
根的性质的运用
一元二次方程的实根具有对称性，但需要注意这个性质只适用于实根，不适用于虚根。
学习建议
强化练习
通过大量的练习题来巩固对一元二次方程根与系数关系的理解和 应用，特别是对于易错点和难点要重点练习。
判别式
总结词
判别式 Δ = b^2 - 4ac 是用于判断一元二次方程解的个数的 工具。
详细描述
22.2.5. 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共17张PPT)初中数学华师大版九年级上册
新课导入
试一试
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0的两根 x1 和 x2，计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数 有什么关系？
x2 + 3x – 4 = 0 的两根为 x1 = 1 和 x2 = – 4，于
是 x1 + x2 = – 3， x1·x2 = – 4.
相反数
相等
x2 + 3x – 4 = 0
二次项系数为 1 一次项系数 常数项
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都 有这样的结果呢？
探索
推进新课
我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根 分别为
p x1
p2 2
3.已知 α，β 是方程 x2 – 3x – 5 = 0的两根，不解 方程，求下列代数式的值.
（1）1 + 1 （2） α2 + β2 （3） α – β
解：（1）1 + 1 = + = 3 = 3；
5 5
（2）α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ = 32 – 2× (–5) = 19；
教学反思
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的 根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明， 加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力.
（3）(α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ = 29，
= 29.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 – 4ac ≥ 0)的根与系数的关系：
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【微点警示】 根与系数的关系使用的前提是一元二次方程(a≠0);有 两个实数根(Δ≥0).
【核心突破】 【类型一】已知一根,求另一根或字母系数的问题 【例1】(2019·济宁中考)已知x=1是方程x2+bx-2=0 的一个根,则方程的另一个根是____x_=_-_2____.
【类型二】求关于两根的对称代数式的值
8
【明·技法】
根与系数的关系常见的六种变形
(1) 1 1 x1 x2 .
x1 x2 x1x2
(2)
x12
x
2 2
=(x1+x2)2-2x1x2.
(3)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2.
(4)(x1-x2)=(x1+x2)2-4x1x2.
(5) x1 x2 (x1 x2 )2 2x1x2 .
【例2】(2018·眉山中考)若α,β是一元二次方程
3x2+2x-9=0的两根,则 的值是
(C)
A．4 B． 4
27
27
C． 58 27
D．58 27
【类型三】确定方程中待定字母的值 【例3】(2018·十堰中考)已知关于x的一元二次方程 x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根.
(1)求k的取值范围.
(m+2)x+
m 4
=0有两个不相等的实数根x1,x2.若
1 x1
+
1 =4m, 则m的值是 ( A )
x2
A.2
B.-1
C.2或-1
D.不存在
3.(2019·鄂州中考)已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有
实数根. 世纪金榜导学号
(1)求k的取值范围.
(2)设方程的两根分别是x1,x2,且
x2 x1
微专题一 一元二次方程根与系数的关系
【主干必备】 根与系数的关系
文字语言:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的 ____比__的__相__反__数_____,两个根的积等于____常__数__项__与__二__ _次__项__的__比_____.
符号语言:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根 分别是x1,x2,则x1+x2=____ba____,x1·x2=___ac___.
x2 x1
x1x 2
(6)|x1-x2|= (x1 x2 )2 4x1x2 .
【题组过关】
1.(2019·淄博中考)若x1+x2=3,
x12
x
2 2
=5,则以x1,x2
为根的一元二次方程是 ( A )
A.x2-3x+2=0
B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0
D.x2-3x-2=0
2.(2018·潍坊中考)已知关于x的一元二次方程mx2-
x1 x2
=x1·x2,试求
k的值.
略
(2)若此方程的两实数根x1,x2满足
x12
x
2 2
11， 求k的
值.
【自主解答】 (1)∵关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实 数根,∴Δ≥0,即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+ 5≥0,解得k≤ 5 ．
8
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2k-1,x1x2=k2+k-1, ∴ x12 =x(22x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k26k+3,∵ x12 x=22 11, ∴2k2-6k+3=11,解得k=4,或k=-1, ∵k≤ 5，∴k=4(舍去),∴k=-1.