结构力学虚功原理最小势能原理解题示例
9 虚功原理和结构的位移计算习题
9 虚功原理和结构的位移计算习题1. 引言虚功原理是结构力学中一项重要的基本原理，它可以用于解决各种结构的位移计算问题。
本文将通过一些习题来演示如何应用虚功原理进行位移计算。
2. 虚功原理简介虚功原理是指在结构力学中，结构在虚位移下所进行的虚功等于零。
虚位移是指结构在受力作用下的无限小位移，不违反实际情况下的几何和边界条件。
利用虚功原理，可以建立结构的平衡方程，并求解未知的位移。
3. 习题一考虑一个简支梁，受到一个集中力F作用在梁的中点。
已知梁的长度L和截面的惯性矩I，求梁的最大挠度。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：$$\\int_{0}^{L} M \\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta\\cdot \\frac{L}{2} = 0$$其中M为弯矩，$\\delta$为虚位移。
由弯矩与挠度之间的关系，可以得到：$$M = -\\frac{F}{2}L + F \\cdot x$$代入上述方程，得到：$$\\int_{0}^{L} \\left(-\\frac{F}{2}L + F \\cdot x\\right) \\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta \\cdot \\frac{L}{2} = 0$$对上述方程两边进行积分并整理，可以得到：$$\\frac{FL^3}{6EI} = \\delta$$所以梁的最大挠度为$\\frac{FL^3}{6EI}$。
4. 习题二考虑一个简支梁，长度为L，弹性模量为E，截面惯性矩为I，受到一个均布载荷q作用在梁上。
已知梁的两端处的位移分别为0和$\\delta_1$，求梁上某一点的位移。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：$$\\int_{0}^{L} \\left(-M\\right) \\cdot \\delta dL -\\int_{0}^{L} q \\cdot \\delta dL = 0$$对上述方程两边进行积分并代入弯矩与挠度之间的关系，可以得到：$$\\frac{1}{2}EI \\cdot \\delta - \\frac{qL^2}{2} \\cdot \\delta = 0$$整理上述方程，可以求解出$\\delta$的值。
结构力学之虚功原理
虚力原理
FB ac C c FP l
变形体虚力方程
虚设平衡力系
F F C
* p
* RK K
M F F ds
* * N * Q O
实际协调变形
变形体虚位移方程
虚设变形状态
F
p
*
F
* K K
C
M
*
FN FQ O ds
① 虚位移原理：虚设位移，求未知力。 ② 虚力原理:虚设力系，求位移。
3.虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力 拟求支座A处的支反力 FP
FP
A
FA
B
A
FA
B FBx a b
FBy
△A
△P
B
A l
W FA A FP P 0
P FA FP A
b FA FP l
A 1
P
b l
B
P b A l
A
FA FP P
虚位移原理
3.虚功原理的两种应用
2.虚设力状态——求未知位移 拟求C点的竖向位移 FP=1
A C a l
C
c B b
FAx 0 A
C
FAy b l FB a l
B
FP C FB c 0
其约束力在可能位移上所作的 功恒等于零的那种约束
变形体的虚功原理
• 表述如下：设变形体在力系作用下处于平 衡状态，又设变形体由于其他原因产生符 合约束条件的微小连续变形，则外力在位 移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合 力在变形上所作的内虚功Wi。
W= Wi
虚功原理的两种应用
结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例(精)
220
012L
L d x EJ dx q x x dx dx ωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0δ∏=
又:
((((((((222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
L
L
L L L L d x d EJ x dx q x x dx dx dx d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
=-⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰【(231231.2 1.6x x x L x a L L δωδ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭】
由于变分可取任意值,故有:
119.69.6qL
EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以:
(2342
20.60.49.6qL x x x x EJ L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
虚功原理:当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时,对任意为约束所容许的虚位移,外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
P
图2.3
解:令在外载荷P作用下,梁的转角为α,则各杆的变形为:
12323L L L L L L α
αα∆=∆=∆=
给梁施加一个虚位移:δα则外力虚功为:
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学(静力学第四章第7节】
例2.2若用虚功原理求解,其步骤如下:
采用最小势能原理求解应力分量
采用最小势能原理求解应力分量全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最小势能原理是弹性力学中一个非常重要的原理，它可以用来求解应力分量的问题。
弹性力学是研究固体材料受到外力作用后发生变形的力学学科，而应力是描述固体材料内部受力情况的物理量。
在实际工程中，我们经常需要求解材料内部受力状态，从而设计合适的结构来满足工程需求。
而最小势能原理可以帮助我们更好地求解这些问题。
最小势能原理是从变分原理和势能公式出发推导出来的，在弹性力学中有非常广泛的应用。
它的基本思想是，当一个固体材料受到外力作用时，它的应变能和弹性势能有最小值。
在求解应力分量时，我们可以利用最小势能原理推导出应力的求解方程，并通过求解这个方程来得到材料内部的应力分布。
在应用最小势能原理求解应力分量时，首先我们需要建立适当的应力模型，通常是根据胡克定律建立弹性模型。
然后我们需要根据最小势能原理列出变分问题的表达式，再通过变分运算求取势能的最小值。
通过这样的方法，我们可以得到材料内部受力情况的详细信息。
最小势能原理在工程领域应用非常广泛，特别是在材料力学、结构力学以及土木工程等领域。
通过应用最小势能原理求解应力分量，我们可以更好地了解材料内部的受力情况，为设计和分析工程结构提供有力的支撑。
第二篇示例：最小势能原理是结构力学中一种用来求解结构各部分内应力的方法。
通过该原理，可以将结构的变形过程看作是势能最小化的过程，从而推导出结构内应力的分布。
在工程实践中，采用最小势能原理求解应力分量是一种常见的方法，具有较高的准确性和可靠性。
我们来看一下最小势能原理的基本思想。
在结构受力的过程中，结构会产生内部应力，这些内部应力是由外部荷载作用在结构上所产生的。
假设结构在荷载作用下发生微小变形，为了求解结构各部分的内应力，我们可以假定变形过程是虚功平衡的，即在变形过程中，外部力所做的虚功等于内部力所做的虚功。
根据这一假定，可以得到结构的最小势能表达式为：Π = ∫V σij εij dV其中Π表示结构的总势能，σij代表结构的应力分量，εij代表结构的应变分量，V表示结构的体积。
结构力学：势能原理
2EA
P12l EA
P12l 2EA
杆件轴力
45
45
45
杆件伸长量
N1l 2 P1l
EA 2 EA
l Al
l
A点竖向位移 1
外力势能 Ve*
2 P1l
EA Pi i P11
P1
P12l EA
应变能
Ve
1 2
N1
2
P12l 2 EA
1
EP
P12l
结构势能
势能驻值原理
EP
Ve
VP*
例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数.
解: 杆件轴力
杆件伸长量 N1l 2 P1l
EA 2 EA
45
45
l Al
A点竖向位移
1
2 P1l
EA
外力势能 Ve*
Pi i
P11Leabharlann P12l EAP1 1
应变能 结构势能
Ve
1 2
EP Ve
N1
VP*
2
P12l
P122l
EA
dEP d
EA l
(
1
)
0
应变能 外力势能
Ve Ve*
1 N 2
2 P1
EA2
1
2l
EP (1)
EA21 2l
P11
P12l 2EA
结构势能
EP
EA2 2l
P1
EA[( 2l
1 ) 2
21 ]
P12l 2 EA
2EA
1
设A点发生任意竖向位移 , EP 是 的函数.
45
Al
P1
结构力学虚功原理(根据本人教材)
2.虚功与实功的差别
FP1
A
B
A
FP2
B
Δ12
1
2
状态1的力在状态2的位移上所作的虚功
W12 FP112
状态1上的力也可以不是一个力，而是一组力；状态2上的虚位 移也可以不是一个力或一组力引起的，而是其他因素，比如温 度改变、支座移动等引起的。虚位移可以理解为结构可能发生 的连续的、微小的、约束所允许的位移。
(二)虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。
W 0
刚体体系的虚功方程
所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。
(三)虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力 拟求支座A处的支反力
3、广义位移的计算
CLASS IS OVER,YOU’RE DISMISSED!!!
28
祝各位身体健康、工作顺利、家 庭幸福。
29
FP1
A
Δ11
FP
B
B
FP1
O
AΔ
Δ11
W11
1 2
FP1
11
2.虚功与实功的差别
FP1
FP2
A
Δ11
B
I
Δ12 II
Δ22
W22
1 2 FP2
22
W12 FP112
虚功
所谓“虚”就是表示位移与作功的力无关。
i j 的第一个脚标表示位移发生的位置和方向，即此位移是 F P i
作用点沿 F P i 方向的位移； 第二个脚标表示产生位移的原因，即此位移是由 F P j 引起的。
虚位移原理和最小势能原理
虚位移原理和最小势能原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊虚位移原理和最小势能原理呀。
你说这虚位移原理啊，就好像是一个神奇的魔法规则。
想象一下，一个物体在各种力的作用下，它可能有很多种潜在的运动方向和方式，就像我们面对很多选择一样。
而虚位移原理呢，就是帮我们找出在这些可能中，哪种最有可能发生。
就好比你站在十字路口，要决定往哪边走，虚位移原理就是那个能告诉你最优路径的小指南。
再来说说最小势能原理，这可真是个有趣的家伙！它就像是物体的一种“偷懒”天性。
物体总是倾向于处在势能最小的状态，就好像我们都喜欢找最舒服的姿势待着一样。
比如说一个球，它肯定是会滚到最低的地方才安稳呢，这就是它在追求最小势能呀。
你看，在我们的日常生活中，不也常常能看到类似的情况吗？比如我们都喜欢走最省力的路，找最轻松的方式做事。
这和最小势能原理不是很像吗？而且啊，这两个原理可不仅仅是理论上的东西哦。
工程师们在设计各种结构的时候，可都得好好考虑它们呢。
要是不遵循这些原理，那设计出来的东西可能就不牢固，说不定哪天就出问题啦。
想想看，如果建一座桥，不考虑虚位移原理和最小势能原理，那桥可能摇摇晃晃的，谁敢走啊？或者制造一个机器，不按照这些原理来，那不是浪费材料又达不到效果嘛。
在大自然中也到处都是它们的身影呢！那些山川河流的形成，不也是各种力量作用的结果，遵循着这些原理吗？是不是很神奇呢？所以啊，可别小看了这虚位移原理和最小势能原理。
它们就像是隐藏在物理世界里的智慧密码，等待着我们去发现和运用。
它们让我们更好地理解这个世界，也让我们能创造出更美好的东西。
我们应该好好研究它们，利用它们，让它们为我们的生活和社会发展发挥更大的作用呀！这不就是物理学的魅力所在嘛！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
由结构力学的平面问题例说最小势能原理
最小势能原理是指在平衡状态 下，一个结构的势能（即外力 势能和内部弹性势能之和）达
到最小值。
该原理是结构力学中的一个 基本原理，广泛应用于结构 的静力学和动力学分析。
通过最小势能原理，可以推导 出结构的平衡方程和本构关系 ，从而解决各种实际工程问题
。
03
最小势能原理详解
最小势能原理的数学表达
最小势能原理是指在平衡状态下，一个保守系统的总势能 达到最小。在数学表达上，它通常表示为系统势能的导数 等于零，即在平衡状态下，系统势能的一阶导数在给定约 束条件下达到最小值。
质。
这一原理在结构分析中具有极其 重要的地位，因为它为解决各种 复杂的结构问题提供了一个基本
的理论框架。
通过最小势能原理，我们可以推 导出许多重要的结构力学公式和 定理，如弹性力学的基本方程、
梁和板的弯曲公式等。
对实际工程的指导意义
最小势能原理对于实际工程具有重要的指导意 义，它可以帮助工程师们更好地理解和分析结 构的受力情况。
在设计过程中，工程师们可以根据最小势能原 理来优化设计方案，使结构的总势能达到最小 ，从而提高结构的稳定性和安全性。
在施工阶段，最小势能原理也可以帮助工程师 们预测结构的变形和应力分布，从而避免因受 力不均而导致的结构破坏。
未来研究的方向和展望
尽管最小势能原理在结构力学中已经得到了广泛的应 用，但仍然有许多问题需要进一步研究和探索。
目的和意义
通过研究最小势能原理在结构力学平面问题中的应用，可以深入理解结构的稳定 性和优化设计。
最小势能原理在工程实践中具有广泛的应用，如桥梁、建筑和机械等领域的设计 和优化。
02
结构力学基础
结构力学概述
01
结构力学是研究结构在各种力和力矩作用下的响应的学科，主 要关注结构的内力和位移。
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虚应变能为：
由虚功原理，有： ，即：
故梁的位移为：
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学<静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
图2.2
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
梁右侧需满足：
且梁右侧没承受弯矩，有：
<力的边界条件）
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
又：
【 】
由于变分可取任意值，故有：
所以：
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。DXDiTa9E3d
例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
图2.3
解：令在外载荷P作用下，梁的转角为 ，则各杆的变形为：
给梁施加一个虚位移：
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度 ，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度 ，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为 ，应变 ，弯曲应力为 ，因此，等截面梁的弯曲应变能为： 】p1EanqFDPw
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A，弹性模量均为E，在节点1处作用水平集中力P，试用最小势能原理求各杆的内力。b5E2RGbCAP
图2.1
解：令在外力作用下，节点1在x向的位移为 ，在y向的位移为 。
则有：
杆号
杆长
杆变形
1-2
2.5a
1-3
2.236a
1-4
2.236a
杆应变能的表达式为：
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
即：
解得：
杆的内力可由公式： 求得，故各杆的内力为：
例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q，试用最小势能原理求其挠度曲线没承受弯矩，有：
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
给梁施加一个虚位移：
则其外力虚功为：
虚应变能为：
由虚功原理，有： ，即：
由于虚位移是任意的，故：
所以：
【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。】RTCrpUDGiT