结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例
结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例【精选】
最小势能原理、虚功原理解题示例最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A ，弹性模量均为E ，在节点1处作用水平集中力P，试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1解：令在外力作用下，节点1在x 向的位移为，在y 向的位移为。
x u y u 则有：杆号杆长杆变形1-22.5acos sin 0.60.8x y x y u u u u αα-=-1-32.236a0.4470.894x y u u -1-42.236a0.4470.894x y u u --杆应变能的表达式为：22EA U L L=∆则系统的总势能为：固树 （一）一次主题党词找标准、找差词，交流思想体会集中学习，每次确定习。
支部每季度召开于担当作为”、“坚1。
（三）开展“四个讲班子成到联系区县X X 局带头家学者给党员干部习教育实施方以下简称，做合“()()()()222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i xx y x y x y x x x y y xU Pu EA EAu u u u a aEAu u Pu a EA u u u u Pu a∏=-=-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：0;0x yu u ∂∏∂∏==∂∂即：()()0.3230.19200.1920.9720x y x y EAu u P a EAu u a--=-+=解得：3.510.694x y Pa u EA Pa u EA==杆的内力可由公式：求得，故各杆的内力为：EAN L L=∆1213140.620.4250.979N PN PN P---===-例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q ，试用最小势能原理求其挠度曲线。
结构力学虚功原理最小势能原理解题示例
虚应变能为：
由虚功原理，有： ，即：
故梁的位移为：
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学<静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
图2.2
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
梁右侧需满足：
且梁右侧没承受弯矩，有：
<力的边界条件）
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
又：
【 】
由于变分可取任意值，故有：
所以：
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。DXDiTa9E3d
例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
图2.3
解：令在外载荷P作用下，梁的转角为 ，则各杆的变形为：
给梁施加一个虚位移：
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度 ，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度 ，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为 ，应变 ，弯曲应力为 ，因此，等截面梁的弯曲应变能为： 】p1EanqFDPw
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
结构力学虚功原理课件
(二)虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。
W 0
刚体体系的虚功方程
所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。
(三)虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力
拟求支座A处的支反力
位移的分类：线位移；角位移。
角位移
线位移
A
A
B
B
相对角位移
2、结构位移计算的目的
①验算结构的刚度； ②为超静定结构的内力计算打下基础； ③结构制作、施工的需要。
3、结构位移计算的假定
①材料服从虎克定律。 ②结构的变形是微小的。 ③结构各处的约束都是理想约束。
线弹性体系
§5-2 虚功原理
（1）刚体体系虚功原理 （2）变形体体系虚功原理
FP
A
B FBx
FA
a
b
l
FBy
W FA A FP P 0
FA
FP
P A
P b A l
b FA l FP
FP
A
B
FA
△A
△P
B
A
A 1
P
b l
B
A
FA FP P
虚位移原理
应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时， 一般应遵循如下步骤： （1）解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反 力来代替。 （2）把机构可能发生的刚体位移当作虚位移，写 出虚功方程。 （3）求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程 即可求解约束反力。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
9 虚功原理和结构的位移计算习题
9 虚功原理和结构的位移计算习题1. 引言虚功原理是结构力学中一项重要的基本原理，它可以用于解决各种结构的位移计算问题。
本文将通过一些习题来演示如何应用虚功原理进行位移计算。
2. 虚功原理简介虚功原理是指在结构力学中，结构在虚位移下所进行的虚功等于零。
虚位移是指结构在受力作用下的无限小位移，不违反实际情况下的几何和边界条件。
利用虚功原理，可以建立结构的平衡方程，并求解未知的位移。
3. 习题一考虑一个简支梁，受到一个集中力F作用在梁的中点。
已知梁的长度L和截面的惯性矩I，求梁的最大挠度。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：$$\\int_{0}^{L} M \\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta\\cdot \\frac{L}{2} = 0$$其中M为弯矩，$\\delta$为虚位移。
由弯矩与挠度之间的关系，可以得到：$$M = -\\frac{F}{2}L + F \\cdot x$$代入上述方程，得到：$$\\int_{0}^{L} \\left(-\\frac{F}{2}L + F \\cdot x\\right) \\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta \\cdot \\frac{L}{2} = 0$$对上述方程两边进行积分并整理，可以得到：$$\\frac{FL^3}{6EI} = \\delta$$所以梁的最大挠度为$\\frac{FL^3}{6EI}$。
4. 习题二考虑一个简支梁，长度为L，弹性模量为E，截面惯性矩为I，受到一个均布载荷q作用在梁上。
已知梁的两端处的位移分别为0和$\\delta_1$，求梁上某一点的位移。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：$$\\int_{0}^{L} \\left(-M\\right) \\cdot \\delta dL -\\int_{0}^{L} q \\cdot \\delta dL = 0$$对上述方程两边进行积分并代入弯矩与挠度之间的关系，可以得到：$$\\frac{1}{2}EI \\cdot \\delta - \\frac{qL^2}{2} \\cdot \\delta = 0$$整理上述方程，可以求解出$\\delta$的值。
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理结构力学虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它是通过能量方法来分析结构的力学性能和变形规律的一种理论工具。
虚功原理的提出，为结构力学的研究和工程实践提供了一种简洁而有效的分析方法，对于工程结构的设计和优化具有重要意义。
首先，我们来看一下虚功原理的基本假设。
虚功原理假设结构在受力作用下，其位移满足虚位移的要求。
所谓虚位移，是指在结构受力作用下，结构的位移不仅满足实际受力平衡条件，还需满足虚位移的平衡条件。
这个假设为后续的分析提供了基础，也是虚功原理得以应用的前提。
虚功原理的核心思想是能量守恒。
在结构受力作用下，结构内部会产生应变能和变形能，而外部施加的力会做功。
根据能量守恒的原理，结构受力平衡时，内部的能量增加等于外部做功，这就是虚功原理的基本表达式。
通过对这个表达式的分析，可以得到结构的受力方程和变形规律，为结构设计和分析提供了重要的依据。
虚功原理的应用非常广泛，它可以用于分析各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
在工程实践中，虚功原理常常被用于分析复杂结构的受力性能，比如钢结构、混凝土结构等。
通过虚功原理的分析，可以得到结构的内力分布、变形情况，为结构的设计和施工提供了重要的参考依据。
除此之外，虚功原理还可以用于结构的优化设计。
通过对结构受力性能的分析，可以找到结构的薄弱环节，进而对结构进行合理的优化设计，提高结构的受力性能和使用效率。
这对于工程结构的安全性和经济性都具有重要意义。
总的来说，结构力学虚功原理是结构力学中的重要理论工具，它通过能量方法来分析结构的受力性能和变形规律，为工程结构的设计、分析和优化提供了重要的理论依据。
在工程实践中，虚功原理的应用具有重要的意义，可以帮助工程师更好地理解和分析结构的受力性能，为工程结构的设计和施工提供重要的参考依据。
通过对虚功原理的深入研究和应用，可以推动结构力学理论的发展，为工程结构的安全性和经济性提供更好的保障。
虚功原理(微分形式的变分原理)
代入虚功原理中, 代入虚功原理中,有
∂V ∑ ∂q δqα = 0 α =1 α
s
即, δV = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
三、虚功原理的应用
例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为 1, 长为 1, 能在 质量为m 长为l 例题 如图所示 匀质杆 转动, 竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动 此杆的 A端 转动 端 用光滑铰链与另一根质量为m 长为 长为l 用光滑铰链与另一根质量为 2,长为 2的匀质杆 AB r 相连. 求处于静平衡时, 相连 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时 两 端有一水平作用力 求处于静平衡时 F 杆与铅垂线的夹角ϕ1和 ϕ2. 1、判断约束类型 、 x O 是否完整约束?是否理想约束 是否理想约束? 是否完整约束 是否理想约束 ϕ 1 l1 2、判断自由度 、 l2 A A 、 B 两点的位置，4个变量 两点的位置，
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 +F⋅ Q1 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ l1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y1 = 2 cos ϕ1 ∂x ∂y ∂y = m1 g 1 + m2 g 2 + F 3 l2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 1 = − m1 gl1 sin ϕ1 − m2 gl1 sin ϕ1 + Fl1 cos ϕ1 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2 2 =0
广义平衡方程
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 所满足的方程: 可求出系统处于静平衡时ϕ1，ϕ2所满足的方程
结构力学虚功原理PPT课件
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改资料讲解
§6-1 静定结构位移
a）验算结构的刚度；
1、计算位移有三个目的： b）为超静定结构的内力分析打基础；
§6-3 单位荷载法
（位移计算的一般公式）
t1
F2 K ΔKH
e g k t2
W 1 = 2F N 1 2 d + s F S 1 2 d + s M 1 2 ds F1
K‘
需首先虚拟力状态
Ε2γ2κ2
在欲求位移处沿所求位移方向
位移状态 2
加上相应的广义单位力F=1
( ) 1×D + R c =
柱
F
F
C
F
D
F/2
F
F/2
A
4.5F
3.0F
B
0.287l E 0.222l
G
0.25l
0.25l
2F
2F
1
C
3)求 FN 4)求ΔC
D
00
F
DC =
FNFNPl A
1.50
EA
1/2
E
1.50
G
B 1/2
材料 钢筋 混凝土
钢筋
杆件 FNP
FN F N p l
A
AD －4.74F －1.58 0.263l
Δ12
Δ22
再加F2，F2在自身引起的位移Δ22上作的功
W22=1/2F2Δ·22
F dW
O
Δ11
B F1 Δ A
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最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1 如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A ，弹性模量均为E ，在节点1处作用水平集中力P ，试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1
解：令在外力作用下，节点1在x 向的位移为x u ，在y 向的位移为y u 。
则有：
2
2EA U L L
=
∆ 则系统的总势能为：
()()()()
222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i x
x y x y x y x x x y y x
U Pu EA EA
u u u u a a
EA
u u Pu a EA u u u u Pu a
∏=-=
-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑ 由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
0;0x y
u u ∂∏∂∏
==∂∂ 即：
()()0.3230.19200.1920.9720x y x y EA
u u P a
EA
u u a
--=-+=
解得：
3.510.694x y Pa u EA Pa u EA =
=
杆的内力可由公式：EA
N L L
=
∆求得，故各杆的内力为： 1213140.620.4250.979N P N P N P
---===-
例2.2 如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q ，试用最小势能原理求其挠度曲线。
图2.2
解：令梁的挠度函数为()x ω，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q 的作用，故()x ω应为x 的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
()()22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足：
()|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩，有：
()
220x L
d x dx ω==（力的边界条件）
代入边界条件，有：
()342
120.60.4x x L a L x L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
等截面梁的弯曲应变能表达式为：2
220
1
2L
z d U EJ dx dx ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度()x ω，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度
d dx
ω
，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y 处的x 方向的位移为d u y dx ω
=-，应变22x d y dx ωε=-，
弯曲应力为22x d yE dx ω
σ=-，因此，等截面梁的弯曲应变能为：
2
2
2
2
2222001111
2222L
L
x x x z V V A
d d U dV E dV E dx y dA EJ dx dx dx ωωσεε⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】
则系统的总势能为：
()()()2
220
012L
L d x EJ dx q x x dx dx ωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰ 由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
0δ∏=
又：
()()()()()()()()222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
L
L
L L L L d x d EJ x dx q x x dx dx dx d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
=-⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 【()231231.2 1.6x x x L x a L L δωδ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭】 由于变分可取任意值，故有：
119.69.6qL
EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以：
()2342
20.60.49.6qL x x x x EJ L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。
虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3
P
图2.3
解：令在外载荷P 作用下，梁的转角为α，则各杆的变形为：
12323L L L L L L α
α
α∆=∆=∆=
给梁施加一个虚位移：δα 则外力虚功为：
7
2
W PL δδα=
虚应变能为：
()()
()123231223314EA EA EA U L L L L L L L L L
EAL EAL δδαδαδααδααδα
=
∆+∆+∆=+⨯+⨯= 由虚功原理，有：W U δδ=，即：
7
142
4P PL EAL EA
δααδαα=⇒
=
故梁的位移为：
4Px
d x EA
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学（静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为()x ω，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q 的作用，故()x ω应为x 的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
()()22012x x a a x a x ω=--
梁右侧需满足：
()|0x L x ω==
且梁右侧没承受弯矩，有：
()
220x L
d x dx ω==
代入边界条件，有：
()342
120.60.4x x L a L x L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
等截面梁的弯曲应变能表达式为：2
220
1
2L
z d U EJ dx dx ω⎛⎫= ⎪⎝⎭
⎰
给梁施加一个虚位移：()342
120.60.4x x x a L x L L δωδ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
则其外力虚功为：
()()0
L
W q x x dx δδω=⎰
虚应变能为：
()()22
2
2
L
d x d U EJ x dx dx dx ωδδω⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦⎰
由虚功原理，有：W U δδ=，即：
()
()()()44003434
2211122009.60.60.40.60.4L
L L L d x EJ x dx q x x dx
dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδωδωδδ=⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 由于虚位移是任意的，故：
119.69.6qL
EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以：
()2342
20.60.49.6qL x x x x EJ L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。
在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。
】。