结构力学虚功原理和结构位移计算
１．沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，求出单位 荷载下的支座反力FRK.得到虚设的平衡力系。
2.令虚设力在 实际位移上作虚功，写出虚功方程
1 Δ F RK cK 0
3. 求拟求位移为：
Δ F RK cK
例2：已知B截面处有相对转角θ，拟求A点的竖向位移Δ。
分析： 1）等效图（b） 2) 虚设P=1
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
P
A
D
虚功的计算式为：
(4)、虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功， 以计算结构的未知力(如支座反力等).
二、刚体虚功原理 理论力学 质点、质点系虚功原理
刚体虚功原理：刚体平衡的充要条件是作用于刚体上 的外力在刚体的任何虚位移上所作的虚功总和为零。即：
W外＝0
1、虚力原理 ( Virtual force theory ) 以图(a)示静定梁为例说明虚力原理
T P
力 A 虚功的两因素: 相应的位移
4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：
（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，应满足 静力平衡条件．
（2）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，应满足 变形协调条。
(3)、虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的 功，以计算结构的未知位移(如挠度、转角等).
—
—
—
或 dΔ (M k Q γ N ε)ds
1）、线位移
水平线位移： H
铅直线位移： V
2）、角位移：
3）、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。 上述各种位移统称为“广义位移”。 与广义位移相对应的力称为“广义力”。
在梁和桁架中，垂直方向位移称为挠度(deflection) 在刚架中，结点水平方向位移称为侧移
φ
4）、各种位移举例
绝对位移 (Absolute displacement)
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法 几何法
单位荷载法
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
(a)
(2) 杆CD的转角β.
解: (1)在Ｃ点加一竖向
Ｐ＝１，图(b)示:
(b)
(２)在ＣＤ杆上一力偶
Ｍ＝１，图(Ｃ)示:
列虚功方程：
(c)
ΔC
1
cA
1 3
0
β
１
cA
1 2l
0
解得：
ΔC
1 3
cA
β
1 2l
cA
所得位移为正，表明 与单位荷载方向一致
小结：支座K有给定位移cK时静定结构的位移计算步骤
已知：支座A移动位
移c1，求
解： 因位移状态给定 故用虚力原理
A' c1
A
虚设一单位力，如图(b)示
由平衡条件知：
A
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程：
R1
C
a
b
图（a）
C
图（b）
Δ
1
c1
b a
0
即
Δ
c1
•
b a
B
B'
P=1 B
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
第四章
虚功原理和结构位移计算
Computation of displacemen of structure
主要内容
§4－1 结构位移概念 §4－2 刚体体系虚功原理及其应用
§4－3 变形体结构位移计算一般公式 §4－4 荷载作用下的位移计算及举例 §4－5 图 乘 法 §4－6 温度作用时的位移计算 §4－7 互等定理 §4－8 小 结
3、位移产生的原因
（1）、结构 荷载作用 内力
应变
变形
结构上各点位置发生变化
（2）、结构
非荷载作用
温度改变、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。
4、结构位移
变形(deformation) －－结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变； 由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。
M 1.a
3) 虚功方程
1 Δ Mθ 0
所以
Δ Mθ aθ
图（a） 图（b） 图（c）
例题3 三铰刚架，支座B发生如图所示的位移,a=5cm, b=3cm,
l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。
-5
（图1）
（图2）
解：思路:沿拟求位移方向上加单位力（图2），求出支座
反力后依求位移公式计算位移：
特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。 适用范围： 刚体体系的位移计算，
变形体体系的位移计算问题。
2、支座位移时静定结构的位移计算 虚设单位荷载的目的 使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力
即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。
例1 : 如图示梁在支座A有竖向位移cA，拟求
(1) C点的竖向位移ΔC;
A RK Ca
[( 1 0.03) ( 1 0.05)]
6
10
0.01rad.()
3. 局部变形时刚体体系的位移计算公式
图示悬臂梁B点附近的微段ds 有局部变形．
轴向伸长应变ε
微段局部变形包括 平均剪切应变γ 轴线曲率为k
求A点沿 α 方向的位移分量 dΔ 思 路：
相对轴向位移 首先 相对γ ds dθ= k ds = ds/R
BC C1
s ds
dl
gds
d
α
A dΔ
A1
其次：将微段变形集中化，即ds 0
B截面发生集中的相对位移dλ、 d η 、 dθ 最后：应用刚体虚功原理，得
P=1 α
B A
Ｍ ＱＮ
—
—
—
dΔ M dθ Q dη N dλ
虚设单位力在截面B处引 起的弯矩、剪力、轴力
相对位移
Relative displacement
△CD= △C+ △D
一般而言，位移有其产生的原因和所在结构部位和方向。
位移用Δ表示.
第一角标：位移的地点和方向 双角标表示
第二角标：产生该位移的原因
i
j Pj=1
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
2.令虚设力在 实际位移上作虚功，写出虚功方程
1 Δ F RK cK 0
3. 求拟求位移为：
Δ F RK cK
例2：已知B截面处有相对转角θ，拟求A点的竖向位移Δ。
分析： 1）等效图（b） 2) 虚设P=1
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
P
A
D
虚功的计算式为：
(4)、虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功， 以计算结构的未知力(如支座反力等).
二、刚体虚功原理 理论力学 质点、质点系虚功原理
刚体虚功原理：刚体平衡的充要条件是作用于刚体上 的外力在刚体的任何虚位移上所作的虚功总和为零。即：
W外＝0
1、虚力原理 ( Virtual force theory ) 以图(a)示静定梁为例说明虚力原理
T P
力 A 虚功的两因素: 相应的位移
4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：
（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，应满足 静力平衡条件．
（2）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，应满足 变形协调条。
(3)、虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的 功，以计算结构的未知位移(如挠度、转角等).
—
—
—
或 dΔ (M k Q γ N ε)ds
1）、线位移
水平线位移： H
铅直线位移： V
2）、角位移：
3）、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。 上述各种位移统称为“广义位移”。 与广义位移相对应的力称为“广义力”。
在梁和桁架中，垂直方向位移称为挠度(deflection) 在刚架中，结点水平方向位移称为侧移
φ
4）、各种位移举例
绝对位移 (Absolute displacement)
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法 几何法
单位荷载法
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
(a)
(2) 杆CD的转角β.
解: (1)在Ｃ点加一竖向
Ｐ＝１，图(b)示:
(b)
(２)在ＣＤ杆上一力偶
Ｍ＝１，图(Ｃ)示:
列虚功方程：
(c)
ΔC
1
cA
1 3
0
β
１
cA
1 2l
0
解得：
ΔC
1 3
cA
β
1 2l
cA
所得位移为正，表明 与单位荷载方向一致
小结：支座K有给定位移cK时静定结构的位移计算步骤
已知：支座A移动位
移c1，求
解： 因位移状态给定 故用虚力原理
A' c1
A
虚设一单位力，如图(b)示
由平衡条件知：
A
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程：
R1
C
a
b
图（a）
C
图（b）
Δ
1
c1
b a
0
即
Δ
c1
•
b a
B
B'
P=1 B
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
第四章
虚功原理和结构位移计算
Computation of displacemen of structure
主要内容
§4－1 结构位移概念 §4－2 刚体体系虚功原理及其应用
§4－3 变形体结构位移计算一般公式 §4－4 荷载作用下的位移计算及举例 §4－5 图 乘 法 §4－6 温度作用时的位移计算 §4－7 互等定理 §4－8 小 结
3、位移产生的原因
（1）、结构 荷载作用 内力
应变
变形
结构上各点位置发生变化
（2）、结构
非荷载作用
温度改变、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。
4、结构位移
变形(deformation) －－结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变； 由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。
M 1.a
3) 虚功方程
1 Δ Mθ 0
所以
Δ Mθ aθ
图（a） 图（b） 图（c）
例题3 三铰刚架，支座B发生如图所示的位移,a=5cm, b=3cm,
l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。
-5
（图1）
（图2）
解：思路:沿拟求位移方向上加单位力（图2），求出支座
反力后依求位移公式计算位移：
特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。 适用范围： 刚体体系的位移计算，
变形体体系的位移计算问题。
2、支座位移时静定结构的位移计算 虚设单位荷载的目的 使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力
即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。
例1 : 如图示梁在支座A有竖向位移cA，拟求
(1) C点的竖向位移ΔC;
A RK Ca
[( 1 0.03) ( 1 0.05)]
6
10
0.01rad.()
3. 局部变形时刚体体系的位移计算公式
图示悬臂梁B点附近的微段ds 有局部变形．
轴向伸长应变ε
微段局部变形包括 平均剪切应变γ 轴线曲率为k
求A点沿 α 方向的位移分量 dΔ 思 路：
相对轴向位移 首先 相对γ ds dθ= k ds = ds/R
BC C1
s ds
dl
gds
d
α
A dΔ
A1
其次：将微段变形集中化，即ds 0
B截面发生集中的相对位移dλ、 d η 、 dθ 最后：应用刚体虚功原理，得
P=1 α
B A
Ｍ ＱＮ
—
—
—
dΔ M dθ Q dη N dλ
虚设单位力在截面B处引 起的弯矩、剪力、轴力
相对位移
Relative displacement
△CD= △C+ △D
一般而言，位移有其产生的原因和所在结构部位和方向。
位移用Δ表示.
第一角标：位移的地点和方向 双角标表示
第二角标：产生该位移的原因
i
j Pj=1
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
虚功原理与结构位移计算
相对竖向位移
c)
11
FP
d)
D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB
D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
c)
11
FP
d)
D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB
D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
结构力学 虚功原理与结构位移计算
FP
B
C
c
cu
cv
B
C
M
FP 1
M
FN
A
FR 2
FN
A
FR1
FQ ds FQ
给定位移、变形
虚设平衡力系
18
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W 1 CV FRK CK
K
内虚功
Wi ( M FQ 0 FN )ds
K
所求位移 1 CV ( M FQ 0 FN )ds FRK CK
l
( 1 2 )
25
三、广义位移的计算
ΔAH
求图a）结构A、B截面相对水平位移 AB AH BH。
A κ,γ0 , ε q
a) 给定位移
B
ΔBH
1 A
M , FQ , FN
b)
B 1
1 A
B
A
1 B
=
M 1 , FQ1 , FN 1
+
M 2 , FQ 2 , FN 2
1. 截面位移
FP
FP
B
Bu
B
C
c
cu
BV
cv
A
C
桁架受荷载作用
2
A
刚架受荷载作用
A
C
cv
cu
C'
t1 c t 2
B
A
C
t2 t1
C' c
cv
B
温度变化
支座B下沉
2. 广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向 位移以及相对转角叫做广义位移。
B
C
c
cu
cv
B
C
M
FP 1
M
FN
A
FR 2
FN
A
FR1
FQ ds FQ
给定位移、变形
虚设平衡力系
18
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W 1 CV FRK CK
K
内虚功
Wi ( M FQ 0 FN )ds
K
所求位移 1 CV ( M FQ 0 FN )ds FRK CK
l
( 1 2 )
25
三、广义位移的计算
ΔAH
求图a）结构A、B截面相对水平位移 AB AH BH。
A κ,γ0 , ε q
a) 给定位移
B
ΔBH
1 A
M , FQ , FN
b)
B 1
1 A
B
A
1 B
=
M 1 , FQ1 , FN 1
+
M 2 , FQ 2 , FN 2
1. 截面位移
FP
FP
B
Bu
B
C
c
cu
BV
cv
A
C
桁架受荷载作用
2
A
刚架受荷载作用
A
C
cv
cu
C'
t1 c t 2
B
A
C
t2 t1
C' c
cv
B
温度变化
支座B下沉
2. 广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向 位移以及相对转角叫做广义位移。
结构力学教学 虚功原理与结构位移计算
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图， 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式
AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。
解：虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2
第八章 -结构力学
二、结构位移计算的一般公式
由叠加原理：
i
总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小
i
位移d⊿
d (M N Q )ds
l
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点
的位移为： (M N Q )ds
l
若结构的支座还有给定位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rkck （9-6）
虚功方程：
1 m M d 0
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对
剪位移d，试求A点在i－i方向的位移 Q。
B
d
B
解：①、在B截面处加
i
机构如图（将实际位移状态
A
Q
明确地表示为刚体体系的位 移状态）。
i
②、A点加单位荷载 FP=1，在铰B处虚设一对剪
A
Q
力Q（为保持平衡）
Q 1sin
➢ ① NP， QP ， MP是荷载作用下，结构各截面上
的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的
内力。
➢ ②E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
➢ ③A，I杆件截面的面积和惯性矩。
➢ ④EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯
1、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。
与力有关的因素，称为广义力S。
与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。
即：W=PΔ
1）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线 方向的线位移。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的 截面的转角β，即角位移。
mA
Δ A
B
P
Bm B
2、虚功
结构力学(虚功原理和结构位移计算)
几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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14:26
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
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3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
虚功原理与结构位移计算
考虑材料非线性时结构位移计算
01
材料非线性本构关系
建立考虑材料非线性的本构关系模型，如弹塑性模型、粘弹性模型等。
02
结构非线性分析方法
采用适当的非线性分析方法，如增量法、迭代法等，对结构进行非线性
分析。
03
材料非线性对结构位移的影响
分析材料非线性对结构变形和位移的影响，包括塑性变形、蠕变等。
06
性。
刚架式结构位移计算
计算模型建立
针对刚架式结构的特点，建立适当的计算模型，如平面刚架、空间刚架等。
荷载作用分析
分析刚架式结构在荷载作用下的内力分布，包括轴力、弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导刚架式结构在荷载作用下的位移计算公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分析结果，验证计算方法的准确性。
有限差分法在结构位移计算中应用
01
差分方程建立
有限差分法通过差分近似微分的 方式，将偏微分方程转化为差分 方程，简化计算过程。
计算效率
02
03
适用范围
有限差分法在处理规则网格时具 有较高的计算效率，适用于大规 模并行计算。
有限差分法在建筑、水利、交通 等工程领域的结构位移计算中发 挥重要作用。
无网格法在结构位移计算中应用
梁式结构位移计算
计算模型建立
根据梁式结构的特点，建立适 当的计算模型，如简支梁、悬
臂梁等。
荷载作用分析
分析荷载作用下的结构内力， 包括弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导梁式 结构在荷载作用下的位移计算 公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分 析结果，验证计算方法的正确
结构力学 第十三讲虚功原理和结构的位移计算
位移过程中，作用在质点或质点系上的各力的大小及 方向保持不变。
dr F
Ff ds φ G
N
F’
F A’
A
GN
一、质点的可能位移原理（虚位移原理）
质点在力系作用下平衡的必要及充分条件：
质点对于任意微小的可能位移，作用在质点上的所
有力所做功之和等于零。
可能功方程：T F dr 0
T G cos dr N dr 0
最大层变间形位体移系<的1虚/8功00原层理高，。然后讨论静 铁路工程技术定规结范构规的定位: 移计算。
桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3) 施工要求
施工要求：建筑起拱
将各下弦杆做得比实 际长度短些，拼装后 下弦向上起拱。
所做的功之和为零}
或：
C F5
质点系对于任意微小的可能 位移，作用在质点系上的外 力及内力所做功之和为零。
F1 A F2
B
F3
F4
质点系的可能功方程： T F r T外 T内 0
质点系的可能位移原理对于刚体及变形体都是适用的
三、刚体的可能位移原理
{刚体在力系作用下平衡} {力系（外力）在虚位 移上所做的功之和为零}
目录
第六章 虚功原理与结构的位移计算
§6-1 概述 §6-2 实功与虚功 §6-3 广义力与广义位移 §6-4 变形体的虚功原理 §6-5 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-6 图乘法 §6-7 静定结构由于温度改变引起的位移计算 §6-8 静定结构由于支座移动引起的位移计算 §6-10 互等定理
还有什么原 因会使结构产
生位移?
虚功原理和结构的位移计算
由虚功方程解出拟求位移
当支座有给定位移时，用虚力原理求静定结构的位移步骤
9-8 线性变形体系的互等定理
互等定理只适用于线性变形体系，其应用条件： 材料处于弹性阶段，应力与应变成正比； 结构变形很小，不影响力的作用。
由虚功原理
2
第 II 状态
第 I 状态
1. 功的互等定理:
在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。
任意截面x内力为： 实际荷载 虚设单位荷载
求图示桁架C点的竖向位移
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解： （1）在C点加P=1；
（2）求 如图（b）;
（3）求 如图（C）；
（4）求
9.5 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
例 1. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
l
q
l
l
q
MP
求B点水平位移。
练习
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
MP
l
l
注意:各杆刚度 可能不同
静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有
如图示长 l ，EI 为常数的简支梁
第 II 状态
A
C
B
第 I 状态
A
C
B
跨中
数值、量纲都相等
3. 反力互等定理:
支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-----反力互等定理
当支座有给定位移时，用虚力原理求静定结构的位移步骤
9-8 线性变形体系的互等定理
互等定理只适用于线性变形体系，其应用条件： 材料处于弹性阶段，应力与应变成正比； 结构变形很小，不影响力的作用。
由虚功原理
2
第 II 状态
第 I 状态
1. 功的互等定理:
在线性变形体系中，I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。
任意截面x内力为： 实际荷载 虚设单位荷载
求图示桁架C点的竖向位移
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解： （1）在C点加P=1；
（2）求 如图（b）;
（3）求 如图（C）；
（4）求
9.5 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
例 1. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
l
q
l
l
q
MP
求B点水平位移。
练习
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
MP
l
l
注意:各杆刚度 可能不同
静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有
如图示长 l ，EI 为常数的简支梁
第 II 状态
A
C
B
第 I 状态
A
C
B
跨中
数值、量纲都相等
3. 反力互等定理:
支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。-----反力互等定理