2020年中考数学必考经典题讲练案-图形的变换综合问题

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题15图形的变换综合问题【方法指导】1.图形的平移：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．2.图形的旋转：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等．3.图形的轴对称：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.4.图形的中心对称：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等. 【题型剖析】【类型1】翻折变换问题1．（2019秋•苏州期末）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B'，AB与CD相交于点F，若3AB=，1sin2CAB∠=，则DF的长度是()A．1B．2C3D．3【分析】根据1sin2CAB∠=可得30CAB∠=︒，根据翻折和矩形性质可得FAC∆是等腰三角形，30DAF∠=︒，再根据锐角三角函数即可求解．【解答】解：1 sin2CAB∠=30CAB ∴∠=︒折叠可知：30FAC BAC ∠=∠=︒四边形ABCD 是矩形，//DC AB ∴，90D ∠=︒，3DC AB ==30FCA CAB ∴∠=∠=︒，FC FA ∴=，30DAF ∠=︒3FA FC DC FD FD ==-=-sin DF DAF AF ∴∠=132DF DF =- 解得1DF =．所以DF 的长为1．故选：A ．【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、解直角三角形，解决本题的关键是利用特殊角的三角函数．【变式1-1】（2019秋•滨湖区期末）如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若2BF =，则BD 的长是( )A ．2B ．3C ．218D ．247【分析】根据折叠得出60DFE A ∠=∠=︒，AD DF =，AE EF =，设BD x =，5AD DF x ==-，求出DFB FEC ∠=∠，证DBF FCE ∆∆∽，进而利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，5AB BC AC ===，沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上，ADE FDE ∴∆≅∆，60DFE A ∴∠=∠=︒，AD DF =，AE EF =，设BD x =，5AD DF x ==-，CE y =，5AE y =-，2BF =，5BC =，3CF ∴=，60C ∠=︒，60DFE ∠=︒，120EFC FEC ∴∠+∠=︒，120DFB EFC ∠+∠=︒，DFB FEC ∴∠=∠，C B ∠=∠，DBF FCE ∴∆∆∽， ∴BD BF DF FC CE EF ==， 即2535x x y y -==-， 解得：218x =， 即218BD =， 故选：C ．【变式1-2】（2019秋•赣榆区期末）如图，矩形ABCD 中，6AB =，12BC =，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分BED ∆的面积是( )A ．18B ．22.5C ．36D ．45【分析】根据折叠的性质得到CBD EBD ∠=∠，而CBD BDE ∠=∠，则EBD EDB ∠=∠，得BE ED =，然后设DE x =，则12AE x =-，在Rt ABE ∆中，利用勾股定理得到关于x 的方程，解方程求出x ，最后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：将该矩形沿对角线BD 折叠，CBD EBD ∴∠=∠，而CBD BDE ∠=∠，EBD EDB ∴∠=∠，BE ED ∴=，6AB =，12BC =设DE x =，则12AE x =-，在Rt ABE ∆中，222AB AE BE +=，即2226(12)x x +-=， 解得：152x = 1115622.5222BED S DE AB ∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 故选：B ．【变式1-3】（2018秋•崇川区校级期末）如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，10AB =，5AD =，下列结论中正确的有( )．①AFC ∆是等腰三角形②ADF ∆的面积是758③点B 与点E 关于AC 对称④若直线AD 与直线CE 交于点G ，那么直线FG 垂直平分ACA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【分析】①根据折叠和矩形的性质即可证明AFC ∆是等腰三角形；②根据勾股定理可求得DF 的长进而得结论正确；③根据线段垂直平分线的判定可证得AC 是BE 的垂直平分线，得结论正确；④根据三角形全等证明EG DG =，从而得GA GC =，又FA FC =，可得GF 是AC 的垂直平分线，得结论正确．【解答】解：如图所示：①四边形ABCD 为矩形//DC AB ∴，FCA CAB ∴∠=∠，由折叠可知：FAC CAB ∠=∠，FCA FAC ∴∠=∠，FA FC ∴=，AFC ∴∆是等腰三角形．∴①正确；②设DF x =，则10FC FA x ==-，5AD =，∴在Rt ADF ∆中，2225(10)x x +=-，解得154x =， 11157552248ADF S DF AD ∆∴==⨯⨯=． ADF ∴∆的面积为758． ∴②正确；③AB AE =，CB CE =，AC ∴是BE 的垂直平分线，∴点B 与点E 关于AC 对称．∴③正确；④如图：延长AD 和CE 交于点G ，连接GF ，FD FE=，FG FG=，Rt GDF Rt GEF(HL)∴∆≅∆，GD GE∴=，又AD CE=，GA GC∴=，FD FE=，FG∴是AC的垂直平分线，∴④正确．故选：D．【类型2】对称：最短路径问题【例2】（2019秋•金坛区期中）如图，已知45MON∠=︒，点A、B在边ON上，3OA=，点C是边OM上一个动点，若ABC∆周长的最小值是6，则AB的长是()A．12B．34C．56D．1【分析】作点A关于OM的对称点D，连接BD交OM于点C，此时ABC∆的周长最小，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图：作点A关于OM的对称点D，连接BD，交OM于点C，AC DC∴=，此时ABC∆周长最小，ABC∴∆周长为：AC BC AB DC BC AB BD AB++=++=+，6BD AB∴+=，45MON∠=︒，根据对称性：45DOC ∠=︒，3OD OA ==，90DOB ∴∠=︒，在Rt DOB ∆中，6BD AB =-，3OB AB =+，∴根据勾股定理，得222OB OD BD +=即222(3)3(6)AB AB ++=-1AB ∴=．故选：D ．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是准确画图找到动点C ．【变式2-1】（2019秋•邳州市期中）如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 上，6BD =，2CD =，点P 是AB 上的动点，则PC PD +的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】过点B 作D B BC '⊥，且6BD '=，连接CD '交AB 于点P ，由“SAS ”可证BPD BPD '∆≅∆，可得DP D P '=，可得PC PD +的最小值为D C '，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，过点B 作D B BC '⊥，使6BD '=，连接CD '交AB 于点PAC BC =，90ACB ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，且BD BC '⊥45D BP DBP '∴∠=∠=︒，且6BD BD '==，BP BP =()BPD BPD SAS '∴∆≅∆DP D P '∴=CP DP CP D P '∴+=+PC PD ∴+的最小值为D C '，6BD =，2CD =8BC ∴=，22228610D C BC D B '∴=+'=+PC PD ∴+的最小值为10故选：D ．【变式2-2】（2019秋•江都区期中）如图，在等腰三角形ABC 中，13AB AC ==，10BC =，D 是BC 边上的中点，12AD =，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是( )A ．10B ．6013C ．12D ．12013【分析】作BH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于M '点，过M '点作M N AB ''⊥，垂足为N '，则BM M N '+''为所求的最小值，根据勾股定理求出AD ，再根据面积不变求出BH 即可．【解答】解：如图，作BH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于M '点，过M '点作M N AB ''⊥，垂足为N '，则BM M N '+''为所求的最小值．AB AC =，D 是BC 边上的中点，AD ∴是BAC ∠的平分线，M H M N ∴'=''，BH ∴是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）， 13AB AC ==，10BC =，D 是BC 边上的中点，AD BC ∴⊥，12AD =，1122ABC S AC BH BC AD ∆=⨯=⨯， 131012BH ∴⨯=⨯， 解得：12013BH =， 故选：D ．【类型3】点的坐标对称问题【例3】（2019秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，点(2,5)-关于y 轴对称的点的坐标为( )A ．(2,5)B ．(2,5)--C ．(2，5- )D ．(2,5)-【分析】平面直角坐标系中任意一点(,)P x y ，关于y 轴的对称点的坐标是(,)x y -，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 【解答】解：关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．∴点(2,5)-关于y 轴对称的点的坐标是(2,5)--．故选：B ．【点评】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系是解题关键．【变式3-1】（2019秋•金乡县期中）已知：点(1,3)A m -与点(2,1)B n -关于x 轴对称，则2019()m n +的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．20193【分析】根据关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m 、n 的值，进而可得答案． 【解答】解：点(1,3)A m -与点(2,1)B n -关于x 轴对称，12m ∴-=，13n -=-，3m ∴=，2n =-，2019()1m n +=，故选：B ．【变式3-2】（2019秋•海陵区校级期中）已知点(1,23)P a a +-关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是( )A ．32a >B ．1a >-C ．312a -<<D ．32a <【分析】根据题意确定点P在四象限，再利用第四象限内点的坐标符号可得a的取值范围．【解答】解：点(1,23)P a a+-关于x轴的对称点在第一象限，∴点P在四象限，∴10 230aa+>⎧⎨-<⎩，解得：312a-<<，故选：C．【类型4】三视图问题【例4】（2019•溧水区二模）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是()A．20B．30C．40D．50【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积．【解答】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为5和4，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为5和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为5、2、4，因此这个长方体的体积为42540⨯⨯=立方单位．故选：C．【点评】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题是由两种视图来推测整个正方体的特征，这种类型问题在中考试卷中经常出现，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．【变式4-1】（2019•高邮市二模）我国古代数学家利用“牟合方盖“找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是()【分析】根据左视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出左视图为2个正方形以及一个圆的组合体，进而得出答案即可．【解答】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱左视图是正方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为1列，上边一个正方形，下边是正方形与圆的组合体．故选：A ．【变式4-2】（2019•建湖县二模）一个圆锥的主视图是边长为6cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于( )A ．36 2cm πB ．224cm πC ．218cm πD ．12 2cm π【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ， 所以这个圆锥的侧面积2162318()2cm ππ=⨯⨯⨯=． 故选：C ．【类型5】旋转的性质 【例5】（2019•崇川区校级三模）如图，P 是半圆O 上一点，Q 是半径OA 延长线上一点，1AQ OA ==，以PQ 为斜边作等腰直角三角形PQR ，连接OR ．则线段OR 的最大值为( )A 322B ．3C 2D ．1【分析】将RQO ∆绕点R 顺时针旋转90︒，可得RPE ∆，可得ER RO =，90ERO ∠=︒，2PE OQ ==，由直角三角形的性质可得2EO RO =，由三角形三边关系可得3EO PO EP +=，即可求解．【解答】解：将RQO ∆绕点R 顺时针旋转90︒，可得RPE ∆，ER RO ∴=，90ERO ∠=︒，2PE OQ ==2EO RO ∴=，3EO PO EP +=∴23ROOR ∴的最大值32=故选：A ． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．【变式5-1】（2019•南京模拟）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2,1)，将点A 绕原点O 旋转180︒得到点A '，则点A '的坐标是( )A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-【分析】根据中心旋转的性质解决问题即可．【解答】解：由题意点A 与点A '关于原点对称，(2,1)A ，(2,1)A ∴'--，故选：C ．【点评】本题考查坐标与图形的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式5-2】（2019•海门市二模）两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)a α<<︒，如图2所示．当BD 与CD 在同一直线上（如图3)时，tan α的值等于( )A ．725B ．825C ．724D ．1725【分析】如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ，只要证明AOC BOD ∆≅∆即可解决问题．如图3中，设AC x =，在RT ABC ∆中，利用勾股定理求出x ，再根据三角函数的定义即可解决问题．【解答】解：如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ．90AOB COD ∠=∠=︒，AOC DOB ∴∠=∠，在AOC ∆和BOD ∆中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOD SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=，CAO DBO ∠=∠，90DBO OGB ∠+∠=︒，OGB AGE ∠=∠，90CAO AGE ∴∠+∠=︒，90AEG ∴∠=︒，BD AC ∴⊥，如图3中，设AC x =， BD 、CD 在同一直线上，BD AC ⊥，ABC ∴∆是直角三角形，222AC BC AB ∴+=，222(17)25x x ∴++=，解得7x =， 2224BC AB AC ∴=-=，45ODC DBO α∠=∠+∠=︒，45ABC DBO ∠+∠=︒，ABC α∴∠=∠，7tan tan 24AC ABC BC α∴=∠==． 故选：C ．【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．【类型6】有关旋转的综合问题【例6】（2019•洛阳二模）如图1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，将ADE ∆绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD 、CE 所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当0α=︒时，CE BD = ；β= ︒． （2）拓展探究试判断：当0360α︒<︒时，CE BD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在ADE ∆旋转过程中，当//DE AC 时，直接写出此时CBE ∆的面积．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．（2）结论：CE BD和β的大小无变化．如图2中，延长CE 交AB 于点O ，交BD 于K ．证明DAB EAC ∆∆∽，即可解决问题．（3）分两种情形：①当点E 在线段AB 上时，②当点E 在线段BA 的延长线上时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，90B ∠=︒，BA BC =，45A ∴∠=︒，2AC AB =， 点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， 12BD AB ∴=，12EC AC =， ∴2EC DB=，45β=︒， 故答案为2，45︒．（2）结论：CE BD和β的大小无变化． 理由：如图2中，延长CE 交AB 于点O ，交BD 于K ．2AE =，2AC =， ∴2AE AC AD AB == ∴AE AD AC AB=， DAE BAC ∠=∠，DAB EAC ∴∠=∠，DAB EAC ∴∆∆∽，∴2EC AC BD AB=OBK OCA ∠=∠， BOK COA ∠=∠，45BKO CAO ∠=∠=︒，∴CE BD和β的大小无变化．（3）当点E 在线段AB 上时，14(422)8422BCE S ∆=⨯⨯-=-， 当点E 在线段BA 的延长线上时，14(422)8422BCE S ∆=⨯⨯+=+． 综上所述，BCE ∆的面积为842-或842+．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式6-1】（2019•常州二模）如图，将矩形ABCD 绕点D 旋转90︒得到矩形A B C D '''，其中点A 、B 、C 分别对应点A '、B '、C '，此时，点A '落在CD 边上，点C '在AD 延长线上．连接AC 、BD 相交于点O ，连接A C ''、B D '相交于点O '，连接OO '．（1）直接写出OO D '∠= ︒；（2）将△OO D '绕点O 旋转，使点D 与点A 重合，得OEA ∆，点O '对应点E ，连接O E '交AC 于点M ．求证：M 为AC '中点．【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论；（2）根据旋转的性质得到AE O D '=，由矩形性质得O C O D '''=，于是得到AE O C ''=，由旋转可知O ∠ D 90O OAE '=∠=︒．由矩形性质O C D O D '''∠=∠ 90C ODA '=︒-∠，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）将矩形ABCD 绕点D 旋转90︒得到矩形A B C D '''，90ODO ∴∠'=︒，DO DO ='，ODO ∴∆'是等腰直角三角形，45OO D ∴∠'=︒，故答案为：45；（2）由旋转得AE O D '=，由矩形性质得O C O D '''=，AE O C ''∴=，由旋转可知O ∠ D 90O OAE '=∠=︒．由矩形性质O C D O D '''∠=∠ 90C ODA '=︒-∠，90MAE OAD ∠=︒-∠，又ODA OAD ∠=∠，O C D MAE ''∴∠=∠，O MC EMA ''∠=∠，AEM ∴∆≅△()C O M AAS ''，AM MC ∴=．即M 是AC 中点．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式6-2】（2019•徐州一模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中90C ∠=︒，90EDF ∠=︒，60B ∠=︒，45F ∠=︒，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ，与AC 相交于点G ，43BC cm =．（1）求DG 的长；（2）如图2．将DEF ∆绕点D 按顺时针方向旋转，直角边DF 经过点C ，另一直角边DE 与AC 相交于点H ，分别过点H ，D 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N ．猜想HM 与CN 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若DEF ∆两边DE ，DF 与ABC ∆两边AC ，BC 分别交于K 、T 两点，则KT 的最小值为 ．【分析】（1）解直角三角形求出AB ，再在Rt ADG ∆中，根据tan30DG AD =︒计算即可解决问题．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）证明K ，D ，T ，C 四点共圆，推出KT 是该圆的直径，易知当CD 是该圆的直径时，KT 的长最短．【解答】解：（1）如图1中，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，43BC =30CAB ∠=︒283AB BC ∴==DF 垂直平分线段AB ， 43AD DB ∴==， 在Rt ADG ∆中，3tan30434DG AD =︒=⨯=． （2）结论：3CN HM =．理由：如图2中，90ACB ∠=︒，AD DB =，CD DA DB ∴==，60B ∠=︒，BDC ∴∆是等边三角形，60DCB CDB ∴∠=∠=︒，90ACB CDH ∠=∠=︒，30MDH HCD ∴∠=∠=︒，3CD DH ∴=，60DHM DCN ∠=∠=︒，90DMH DNC ∠=∠=︒，DMH DNC ∴∆∆∽，∴3NC CD HM DH==， 3CN HM ∴=．（3）如图3中，连接CD ．90KCT KDT ∠=∠=︒，180KCT KDT ∴∠+∠=︒，K ∴，D ，T ，C 四点共圆，KT ∴是该圆的直径，KT CD ，∴当KT CD =时，KT 的长最短，此时1432KT CD AB ===．【达标检测】1．（2019•南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．棱柱【解析】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C ．2．（2019•徐州）下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是（ ）【解析】解：D 不是轴对称图形，故选：D ．3．（2019•常州）若△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为（）A ．2：1B ．1：2C ．4：1D ．1：4【解析】解：∵△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，∴△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为1：2．故选：B ．4．（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ）A．20πB．15πC．12πD．9π【解析】解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长＝6π，底面半径＝3，由图得，母线长＝5，侧面面积6π×5＝15π．故选：B．5．（2019•南京）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【解析】解：先将△ABC绕着B'B的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着点B'旋转180°，即可得到△A'B'C'；先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B'C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；故选：D．6．（2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）【解析】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC＝AD＝62，在Rt△AEC中，tan∠EAC，则AE200，在Rt△AEB中，∠BAE＝45°，∴BE＝AE＝200，∴BC＝200+62＝262（m），则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．7．（2019•镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D 落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF，∠CFDE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD1．故答案为1．8．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为或．【解析】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′a，∴DB′，EC＝BC﹣BE＝a a a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴，即，解得a1，a2（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．9．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B 落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．【解析】解：如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又∵H为AB的中点，∴AH＝BH，∴AH＝PH＝BH，∴∠HAP＝∠HP A，∠HBP＝∠HPB，又∵∠HAP+∠HP A+∠HBP+∠HPB＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠HEB＝90°，∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC，∴tan∠HAP，故答案为：．10．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【解析】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE EC＝1故答案为．11．（2019•扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB ＝16cm，则图中阴影部分的面积为cm2．【解析】解：由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积32π；故答案为：32π．三．解答题（共5小题）12．（2019•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF 所在的直线对称，P是边DC上的一动点．（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；（2）当△PEF的周长最小时，求的值；（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．【解析】证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∵点A与点C关于EF所在的直线对称∴AO＝CO，AC⊥EF∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO∴△AEO≌△CFO（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形，且AC⊥EF∴四边形AFCE是菱形；（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△EFP的周长最小，∵四边形AFCE是菱形∴AF＝CF＝CE＝AE，∵AF2＝BF2+AB2，∴AF2＝（4﹣AF）2+4，∴AF∴AE CF∴DE∵点F，点H关于CD对称∴CF＝CH∵AD∥BC∴（3）如图，延长EF，延长AB交于点N，过点E作EH⊥BC于H，交BP于点G，过点B作BO⊥FN 于点O，由（2）可知，AE＝CF，BF＝DE∵EH⊥BC，∠A＝∠ABC＝90°∴四边形ABHE是矩形∴AB＝EH＝2，BH＝AE∴FH＝1∴EF，∵AD∥BC∴△BFN∽△AEN∴∴∴BN＝3，NF∴AN＝5，NE∵∠N＝∠N，∠BON＝∠A＝90°∴△NBO∽△NEA∴∴∴BO，NO∵∠EMP＝∠BMO＝45°，BO⊥EN ∴∠OBM＝∠BMO＝45°∴BO＝MO∴ME＝EN﹣NO﹣MO∵AB∥EH∴△BNM∽△GEM∴∴∴EG∴GH＝EH﹣EG∵EH∥CD∴△BGH∽△BPC∴∴∴CP13．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠ECB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA）．14．（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【解析】解：（1）连接AC′，∵四边形ABCD平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠知，BC'＝BC，∠C'BD＝∠CBD，∴AD＝BC'，∠ADB＝∠C'BD，∴BE＝DE，∴AE＝C'E，∴∠DAC'（180°﹣∠AEC'）＝90°∠AEC'，同理：∠ADB＝90°∠BED，∵∠AEC'＝∠BED，∴∠DAC'＝∠ADB，∴AC'∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝CBD，∴BE＝DE．15．（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∥AB．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【解析】解：（1）①如图②中，∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．16．（2019•南京一模）已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∠MON＝30°．（1）如图1，∠MON的边MO⊥AB，边ON过点C，求AO的长；（2）如图2，将图1中的∠MON向右平移，∠MON的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，连接EF，若△OEF是直角三角形，求AO的长；（3）在（2）的条件下，∠MON与△ABC重叠部分面积是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵∠MON＝30°，MO⊥AB，∴∠COB＝60°，∵∠B＝60°∴△BOC是等边三角形∵BC＝2，∴BO＝2在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴AB＝4．∴AO＝AB﹣BO＝2（2）①∠OEF＝90°设AO＝x，根据题意得OB＝4﹣x，，OF＝4﹣x，∴，∴，②∠OFE＝90°设AO＝x，根据题意得OB＝4﹣x，，OF＝4﹣x，∴∴，∴△OEF是直角三角形时，AO长为或（3）设AO＝x，根据题意得OB＝4﹣x，，设重叠部分的面积为S，根据题意得：S＝S△ABC﹣S△AOE﹣S△OBF ∴整理得：∵，∴S有最大值∴当时，S最大值．。