群论与量子力学
第四章 群论和量子力学
第一节 波函数作为不可约表示的基
另外，我们可以看出px和py轨道成对构成了E 表示的基。应该注意，在C3v群的特征标表中坐 标x和y被指明按照E表示变换。因而，函数 sinθcosφ和sinθsinφ按照与x和y同样的方式变换， 根据这一理由，具有本征函数sinθcosφ的p轨道 称为px，具有本征函数sinθsinφ的称为py。此外， 也说明了x和y坐标也表明了px和py轨道的变换性 质。
r31 r32 r33
j1
附录 二
两个矩阵的直积：
两个矩阵的直积和两个矩阵的乘积是不一样 的。如一个(2×2)的方阵与一个(3×3)的方阵其矩 阵的乘积是没有意义的，但其直积却是个(6×6) 的方阵。
附录 二
a11b11 a11b12 a11b13 a12b11 a12b12 a12b13
a11 a21
Hˆ ψi1 Eiψi1 Hˆ ψi2 Eiψi2
Hˆ ψik Eiψik
以操作R作用于波动方程，得：
HˆRˆψil Ei Rˆψil l 1,2,,k
第一节 波函数作为不可约表示的基
但此处Rψil一般可以是ψij的任意线性组合，
即：
k
Rˆ ψil rjlψij j1
对于另一个操作S，类似地有：
jl
j1 l1
第二节 直积
因而若想知道一个表示的特征标(R)，这个表 示是其他两个特征标为χ1(R)和χ2(R)的表示的 直积，则对于群的每个操作R，特征标由下式给 出：
χR χ1Rχ2R
下面以C4v群为例来说明：
C4v
Eˆ
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
E
2
A1A2
量子力学三个基本原理
量子力学三个基本原理
：
（1）第一原理：哈密顿量子力学原理。
它认为，实现物理量子力学的本质，是把所有的物理系统的运动，状态和能量都用哈密顿算子形式来描述和表达，这是受到群论的指导的，它定义了物理系统的特征和特性和规律。
（2）第二原理：波动力学原理。
它认为，一切物理量子都是以波动的形式存在的，并以波函数形式来描述它们的性质，以及其受到实现它们性质改变的外界影响。
在量子力学上要求，性质必须是连续变化的，而不能被分割成任何具有明确数字量的基本量子个体。
（3）第三原理：不确定原理。
它认为，由于物理量子的波函数状态，其运动轨迹和性质都是不可确定的，所以它们只能被统计概率来描述，不能被精确地描述。
物理学中的群论 教材类别
物理学中的群论 教材类别
在物理学中，群论通常作为一门数学工具被引入，用于研究对称性、守恒律、场论等方面。
因此，关于物理学中的群论，你可以在以下几个教材类别中寻找相关资料：
数学物理教材：
这类教材专注于将数学方法引入物理学中，包括群论在对称性和守恒律方面的应用。
通常，这些教材可以帮助学生理解群论在解决物理问题中的重要性。
量子力学教材：
量子力学是一个广泛应用群论的领域，特别是在描述粒子的对称性和态空间的变换方面。
相关的量子力学教材通常会涉及群论的基本概念和应用。
场论和对称性教材：
场论和对称性是物理学中群论应用最为显著的领域之一。
在这方面的教材通常会深入讨论群论在对称性研究、拉格朗日场论等方面的应用。
高能物理和粒子物理学教材：
群论在描述基本粒子和它们之间相互作用时发挥了关键作用。
相关的教材通常会介绍群论的基本概念，以及在研究高能物理和粒子物理学中的应用。
数学教材：
有一些专注于数学本身的教材，其中包括群论的基础知识和高级应用。
这对于那些希望深入了解数学背后的理论的学生和研究人员可能会有帮助。
你可以在学术图书馆、在线图书商店或大学教材部分找到相关的教材。
一些常见的作者包括Michael Artin、Georgi、Wu-Ki Tung等。
在选择教材时，建议查看教材的内容、目录以及是否包含与物理学中群论应用相关的章节。
群论及其在物理学中的应用
群论及其在物理学中的应用1. 群论的定义和基本概念群论是一种研究代数结构的数学分支，其中的群是一个由元素和一个二元操作组成的代数结构。
群的核心理念是封闭性，也就是说，任何两个群的元素的乘积都必须属于该群内。
群还具有唯一的单位元素，让任何元素加上单位元素都等于该元素本身；并且群中任何元素都有一个相应的逆元素，使得该元素和它的逆元素的乘积等于单位元素。
2. 群论在物理学中的应用群论在物理学中有着广泛的应用。
其中最重要的应用之一是研究对称性。
物理学中的许多问题都与对称性有关，例如粒子的自旋，电荷守恒等等。
而这些问题都可以用群论来描述。
在量子场论中，对称性群被广泛用于描述基本粒子之间的相互作用。
另一个群论在物理学中的应用是费米子测度。
费米子是具有半整数自旋的粒子，例如电子，中子等等。
由于费米子有一个独特的量子性质，所以它们的变换规则与量子场论和量子力学中的其他粒子有所不同。
这些规则可以通过对称性群来描述。
3. 群论在宇宙学中的应用群论在宇宙学中也有重要的应用。
宇宙学中的许多问题都与宇宙的结构和演化有关，例如宇宙大尺度结构，星系形成等等。
通过对这些问题的研究，我们可以了解宇宙的形成和演化历程。
群论被广泛用于描述这些宇宙结构的对称性，从而提供了关于宇宙演化的更深入的理解。
4. 群论的未来研究方向未来的群论研究将更加关注代数拓扑的交叉作用。
随着数学的发展和现代物理学和宇宙学的需求，群论的应用和研究将会越来越广泛和深入。
我们可以期待看到更多的新颖应用和创新性方法的发展，让我们更深刻地理解物理学和宇宙学中复杂的现象和问题。
群论与量子力学
群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。
哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。
（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。
但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。
（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。
群论-群论与量子力学
m也不能小于f，否则说明除了{g}之外还有某个变换h，使得 Phφni也是属于能级En的本征函数，而且与以上获得的m个独立 函数是线性无关的，这样h也是体系的一个对称变换，而且 h {g}，这与{g}是体系的全对称群矛盾
l
∑ Pgϕi (r ) = Dji ( g )ϕ j (r) j =1
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
上式确定了l2个Dmn(g)，即组成了一个方阵D(g)
这样得到的矩阵群{ D(g)}是薛定谔方程群的一个表示
只要证明矩阵乘法的同态关系即可：若Ps Pt = Pst，则 D(s)D(t) = D(st) ——易证
D
(
c2
)
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
( ) D
c2−1
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
c2
D4群的特征标：
c2'
D4
E
2 c4
c42
2 c2 2 c2'
D(1)：A1
1
1
1
1
1
D(2)：A2
1
1
1
-1
-1
D(3)：B1
1
-1
1
1
-1
D(4)：B2
1
-1
1
-1
1
D(5)：E
2
0
-2
0
0
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
哈密顿算符群 定义5.1 所有保持一个系统的哈密顿算符 Ĥ(r)不变的变换 {g}组成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符的对称群， 或薛定谔方程的对称群：
群论 群论的发展史
1 群论在化学中的应用2 科学家若尔当（1838～1922）Jordan 法国数学家(2013-03-16 06:29:35)若尔当（1838～1922）Jordan，Marie Ennemond Camille法国数学家。
又译约当。
1838年1月5日生于里昂。
若尔当的主要工作是在分析和群论方面。
他的《分析教程》是19世纪后期分析学的标准读本。
他指出简单闭曲线将平面分成两个区域，现称若尔当定理。
30岁时他已系统地发展了有限群论并应用到E.伽罗瓦开创的方向上，是使伽罗瓦理论显著增色的第一个人。
他研究了有限可解群。
他在置换群方面的工作收集在《置换论》一书中，这是此后30年间群论的权威著作。
他最深入的代数工作是群论中的一系列有限性定理。
他的著名的学生有F.克莱因和M.S.李等。
代表成果成果1 成果2成果3 成果4 成果5 其他若尔当系统地发展了有限群论他的《分析教程》是19世纪后期分析学的标准读本。
指出简单闭曲线将平面分成两个区域，现称若尔当定理。
系统地发展了有限群论并应用到 E.伽罗瓦开创的方向上，是使伽罗瓦理论显著增色的第一个人。
研究了有限可解群。
置换群方面的工作收集在《置换论》一书中，这是此后 30年间群论的权威著作1838~1922 Jordan 法国数学家，又译约当。
培养了F.克莱因和M.S.李伽罗瓦群论的创立者用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，他系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解。
他漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正p 边形，p 为质数的充要条件为。
（所以正十七边形可做图）。
他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。
1811~，法国数学家恩格尔(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing) 3 事件最新文件仅供参考已改成word文本。
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群论应用-第2章 量子力学与群论
-1
-1 1
T2 3
0
-1
1 -1
根据上面的分析由不可约表示特征标表可知，该体系的能级简
并度及相应本征函数的性质为：[ 提问: 能级及其简并度如何? ]
(1) 两个一度简并能级： （A1） — （A2） —
(2) 一个二度简并能级： （ E ） — —
(3) 两个三度简并能级： （ T1） — — —
则 微扰可能解除原来能级的简并
证明: 若{Ψi } 组成群 G 不可约表示 DiG(R) 的基矢 由于群 G’ 属于群 G，
则由{Ψi }所产生的群 G 表示对群 G’来说可以是可
约的，可将其对 G’ 的不可约表示 DiG’(R) 进行约化
DiG(R) = ∑j aij DjG’（R） (直和)
4, 不可约表示及其基矢 2 k +1 个本征函数 Ykm 可作为第 k个 不可约表示的基矢，该不可约表示为 D k ( R ) = D k (θ,φ).
完全转动群的对称操作只与角度θ,φ有关
(4) 不可约表示特征标 ( 令φ角的转轴为 Z 轴 )
为求特征标，只需求绕 Z 轴转α角 (φ φ+α) 的操作 R 的
2, D3群对称性的晶体中, 原子的 d 电子能级分裂为三个能级, 两个能级为二度简并 (Γ3 )，一个能级为非简并 (Γ1 )。]
[问题4: 试画出上述能级分裂图. ]
[答案:
— — （二度简并）
— — — — — （五度简并） → — — （二度简并）
— （ 非简并 ） *
四，同理可得： D0 (R) = Γ1 D1 (R) = Γ3 + Γ2 D3 (R) = 2Γ3 + 2Γ2 + Γ1
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群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。
哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。
（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。
但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。
（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。
上式确定了L*L 个()D R mn 从而确定了一个L*L 的方矩阵D(R)，下面证明，以这种方法确定的矩阵{D(R)}是薛定谔方程群的表示—— 取群G 中任意元P R .P S 由式（1-3）得111()()()()()()()()()()lR p m pm m lR n pnp p lR s n RS n m nm m P r D R r P r D S r P P r P r D R S r ϕϕϕϕϕϕϕ=======∑∑∑上式左边亦可表为111()()()()()lllR pn p pnm pm p p m P D S r D S D R r ϕϕ====∑∑∑11[()()]()llpnm p m m p D S D R r ϕ===∑∑1()()lmnm m D RS r ϕ==∑由上述两式可知当P R P S =P RS 时，有 D （R ）D （R ）=D （RS ） 于是得证。
（H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数）已知群G 的一个不可约表示的一组基函数，那么他是否与H （r ）的本征波函数存在某种关系？————（2）群G 的不可约表示的基函数是H （r ）的本征函数，则必属于同一能量本征值。
设{()}n r ϕ是群G 的一组不可约表示基函数，如果知道有一个()t r ϕ是 H （r ）的本征函数，则()()t tH r E r ϕϕ= 又由于()()R t R tH P r EP r ϕϕ= ()R t P r ϕ也是本征函数，而()()R t jjt jP r D R ϕϕ=∑同样()()R t l ltlP r DS ϕϕ=∑也是本征函数，通过所有对称操作的作用，能得到一组方程，把()t r ϕ与其他函数联系起来（同一组不可约表示基性质），由此可将{()}n r ϕ表示成(),()R t S t P r P r ϕϕ等的线性组合，从而证明它们都是H （r ）的本征函数，且对应于同一能量本征值。
属于同一本征能量的波函数的全体是否一定属于一个不可约表示？是（1.完全考虑体系的对称性2.无偶然简并）在不知道能量本征值的具体数值时，我们就可以利用系统的对称性来确定能级的简并度。
只要知道保持H （r ）量不变的对称性群是什么，马上就能说出能量可能的简并态。
例：体系属于O 群（属于正八面体群，只包含旋转操作），其不可约表示为（A 1，A 2）（E ，）（T 1，T 2）分别是一、二、三维的，因此能级只可能有二、三重简并。
！！！！属于同一个不可约表示的几组波函数，属于不同的能级。
（无对称操作使他们产生联系）(每组波函数属于一个能级；有几组约化系数等于几)？微扰引起能级分裂H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数群G 的不可约表示的基函数是H （r ）的本征函数，则必属于同一能量本征值————换种表述方式：属于同一能级的本征函数一定构成分子所属对称性群的一组不可约表示基，而分子所属对称性群的一组不可约表示基，如果是分子体系的本征函数，则必属于同一能级。
（能级和不可约表示，波函数和不可约表示的基之间的关系）如果一个体系的哈密顿算符H 可以写成两部分H H V =+ 其中H 0是简单的，其本征值易于求解，V 对H 0的本征值影响很小，称之为微扰势。
在这里我们不去求解薛定谔方程，利用微扰来讨论不含时的微扰势对能级简并度的影响。
（1）若H 0具有群G 的对称性，微扰势V 具有群G'的对称性，而且， G'是G 的子群，这样，H=H 0+V 的对称群就是G'。
H 0属于同一能级的本征函数{()}(1,2,,)j j r l αϕα= 是群G 的第j 个不可约表示的基函数，能级的简并就是L j ，群G 的第j 个不可约表示也是群G'的一个表示。
一般来说，这是群G'的可约表示(也可能不可约)，可以约化为群G'的若干个不可约表示的直和。
即'jiG i G iD a D =⊕∑其中jGD 是L j 维，'j G D 是L i 维，且j i iil a l=∑'jG D 的基函数由H （r ）的相应于同一能量本征值的本征函数构成，所以能量本征值是L i 维简并的。
这表明，没有微扰时的L j 重简并的能级，在引入微扰V 后，简并度可能下降，即能级可能分裂。
（2）若微扰势V 亦具有群G 的对称性，则H=H 0+V 亦具有群G 的 对称性，H 0的本征函数构成群G 的不可约表示的基函数，所以，微扰的引入并不引起能级分裂。
例如：讨论一个原子处于简单立方体的晶场中能级分裂的情况。
设晶体场的强度大于原子的自旋轨道耦合，因而可将后者的影响略去。
原子在自由空间中的哈密顿量H （r ）具有全部转动对称性，即属于SO （3）群（三维完全转动群或正当转动群）。
现在将原子放到简单立方的晶场中，电子就受到晶体势场V 作用，这就是微扰势。
V 具有O 群的对称性。
因此， 0HH V =+亦具有O 群的对称性。
当电子处在自由原子中的L 态，则相应于同一能级的2L+1个波函数，构成SO （3）群的第L 个不可约表示(,)lD w θ，当原子处于简单立方晶体场中时。
体系的对称性下降了，那么，原来属于同一能级的2L+l 个基函数，现在是否仍属同一能级？问题可归结为（换种问法）：对于L 态的电子来说，把SO （3）群的第L 个不可约表示lG D 中与O 群24个元相应的矩阵作为O 群的表示。
这个表示可以约化为O 群的哪些不可约表示？为此，只要知道相应的特征标就可以了。
根据SO （3）群不可约表示(,)l D w θ的特征标公式，1sin()2()sin2ll θχθθ+=就可以求出O 群各元在表示lG D 中的特征标()(0)21llE l χχ==+2()()(1)l l lc χχπ==-310,32()()01,4312,5l l l c l l πχχ=⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎪⎪-=⎩⎭410,1,4,5()()12,3,6,72l ll c l πχχ=⎧⎫==⎨⎬-=⎩⎭将这些结果列成表，就得到了SO （3）群的不可约表示作为O 群的表示时的特征标表。
表1 O 群表示的特征标（SO(3)不可约表示特征标公式求的）表2 O 群不可约表示的特征标利用求约化系数的公式*1()()jjjc ca h C C gχχ=∑或将表1与表2作比较，即可知表示lD 可约化为哪些不可约表示的直和。
具体结果如下： L=0 01D D=D也是O 群的不可约表示.L=114D D= 三重简并p 态能级，加入微扰后不分裂。
L=2235D D D =⊕五重简并的d 态能级分裂成为两个能级：一个是二重简并（D 3），另一 个是三重简并（D 5）L=33245D D D D =⊕⊕ 七重简并的f 态能级分裂为三个能级，一个单态（D 2)和两个三重态(D 4),(D 5).L=441345D D D D D =⊕⊕⊕ 九重简并的g 态能级分裂为四个能级；一个单态（D 1），一个二重 态（D 3）和两个三重态（D 4）（D 5） 例2 ：在上例中假设对称性进一步减小，例如把晶体沿一个三度轴 方向作一拉伸，这时微扰V 具有D 3群（主轴为c3轴，此外还有3个垂直于c3轴的二重轴）的对称性，H=H 0+V 的对称性群也是D 3群。
D 3群是O 群的子群。
上例中得到的O 群不可约表示，现在对D 3群来 说又可能成为可约的了。
解：把O 群中与D 3群的群元相应的那六个元的表示矩阵抽出来， 组成D 3群的表示，这种表示的特征标表列于表3表3 以O 群的不可约表示作为D 3群的表示时的特征标表表4 D 3群的不可约表示的特征标表将两特征标表相比后可知：D 1=A 1,D 2=A 2,D 3=E ，所以D 1，D 2，D 3 对 于D 3群来说是不可约表示，相应的能级不在进一步分裂。
而42D E A =⊕ 51D E A =⊕表明当简单立方晶体受拉伸时，三重简并的属D 4及D 5的能级要进 一步分裂，都分成一个单重的及一个二重简并的能级。