群论-5 群论与量子力学
群论与量子力学
群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。
哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。
（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。
但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。
（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。
群论第5章
第五章 完全转动群§1 转动和欧拉角三维实空间中的任一转动均可由转动轴（n ：单位向量）和转动角θ来描写，即()θn R ，由于显然有关系()()θπθ−=−2n n R R ，故我们可取转动角θ的范围为πθ≤≤0。
现在考虑相继的两次转动，关于轴1转α角:()α1R 和关于轴2转β角:()β2R ,若有关系：()()()αβγ123R R R =，我们来看如何确定轴3和转动角γ。
首先我们作一个单位球面，球心O 点。
于是轴1对应球面上的A 点，轴2对应球面上的B 点。
（如右图所示）球面上的C 点和D 点使得CAB ∠（平面OAC 与平面OAB 的夹角）与DAB ∠（平面OAB 与平面OAD 的夹角）均为2/α和CBA ∠（平面OAB 与平面OBC 的夹角）与DBA ∠（平面OAB 与平面OBD 的夹角）均为2/β，于是很明显，()α1R 的作用将C 点变到D 点，而()β2R 的作用将D 点变到C点，于是，相继的()β2R ()α1R 作用使得C 点不动。
这样，OC 轴就是我们要找的Bα/2β/2图七、转动的乘积.轴3。
进一步，我们知道，()α1R 作用后，A 点是不动的，而()β2R 的作用将A 点变到'A 点，因此()γ3R 的作用也应该将A 点变到'A 点，于是转角γ即为平面OCA 与平面'OCA 的夹角。
上述事实确实表明，转动操作()θn R 构成一个群：完全转动群。
对任何两个转动相同角度θ的转动操作()θ1n R 和()θ2n R ，总是存在另一个转动Q ，使得()θ2n R =Q ()θ1n R 1−Q ，Q 转动将转动轴1n 变为2n ，转动操作()θ1n R 和()θ2n R 彼此共轭。
现在，我们用三个欧拉角来表述转动：任一三维的转动()θn R 均可表为下述三个相继转动：(1) 关于z 轴转α角()πα20≤≤：()αz R 。
此转动将使坐标轴z y x ,,变为z z y x =111,,；(2) 关于1y 轴转β角()πβ≤≤0：()β1y R 。
群论 第五章
∑ ∑ ——
张量，即两个矢量分量之乘积
T
' ij
=
airbjsurvs =
airb Tjs rs 。注意张量是直积矢量空间的
rs
rs
一个元素。
上式是该 nm 维矢量空间一切可能线性变换群的一个子群，通常称为直积群或张量积群（表
示），或简写为Trs = er f s （不可换序）。
VN 的 K 次直积为VN ⊗K = VN ⊗ VN ⊗ ⋯ ⊗ VN ，共有 N K 个基矢
=
{ iα }
BA
⋯ k1i1
BA kk ik
ei′1 ⊗⋯ ⊗ ei′k
( ) = BA)⊗K ei1 ⊗⋯ ⊗ eik
（注意 eik 表示有 K 套 ei , i = 1, 2⋯ N ）
这里给出的是基矢间变换（函数表示关系由上章给出）。这样，直积空间VN ⊗K 中的任意元素
可由这 N K 个基矢表示
206Βιβλιοθήκη 是线性群 G 的 K 个 N 维矢量的直积，通常是可约的。
各种线性群的一切可能表示都可以从其张量表示约化而得到。
§2 群代数
2-1 群代数及其约化
G = {gi }为 g 阶群，以群元为基矢，可得到一个 g 维线性空间 A(G) ，若 A(G) 中的矢量按群 乘法是封闭的，则称 A(G) 为 G 的群代数。若满足结合律，则称为可结合代数。
个表示将给出 G 的一个表示。由于同构关系，若 D(gi ) 可约，D(x) 也可约；若 D(x) 不可约，D(gi )
也不可约。
正则表示：用任意群元 gi ∈ G ，左乘 x ∈ A(G)，
∑ gi x = x j gi g j ∈ A(G)
j
数学中的群论
数学中的群论群论是数学中一个重要的分支，在代数学领域中占有重要地位。
它研究的是一种代数结构称为群。
群论的概念和理论对于深入理解和解决许多数学问题都起着关键的作用。
本文将介绍群论的基本概念、性质以及在数学中的应用。
一、群的定义和基本性质群是一个集合G，配合一个二元运算"*"，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a*b仍然属于G.2. 结合性：对于任意的a，b，c∈G，(a*b)*c = a*(b*c).3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e = e*a = a.4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b = b*a = e.群论的基本性质包括：1. 结合律：对于群G中的任意元素a，b，c，有(a*b)*c = a*(b*c).2. 单位元唯一：群G的单位元是唯一的，记作e.3. 逆元唯一：群G中的每个元素a都有唯一的逆元b，满足a*b = b*a = e.4. 取消律：对于群G中的任意元素a，b和c，如果a*b = a*c，那么b = c.二、群的例子1. 整数加法群：整数集合Z构成一个群，其中的二元运算为加法。
2. 整数乘法群：非零整数集合Z*构成一个群，其中的二元运算为乘法。
3. 实数集合R上的乘法群：实数集合R中除去0以外的元素构成一个群，其中的二元运算为乘法。
4. 矩阵群：所有n阶可逆矩阵构成一个群，其中的二元运算为矩阵乘法。
5. 置换群：n个元素的置换构成一个群，其中的二元运算为置换的复合运算。
三、群的作用和应用1. 群在密码学中的应用：群论在密码学中具有广泛的应用，如素数取模、离散对数、RSA加密等加密算法都与群有关。
2. 群在物理学中的应用：群论在量子力学、粒子物理学等多个物理学领域中起着重要的作用，如对称群、李群等。
3. 群在图论中的应用：图的自同构和等价性质的研究中，群论的方法被广泛应用，极大地推动了图论的发展。
群论-群论与量子力学
m也不能小于f，否则说明除了{g}之外还有某个变换h，使得 Phφni也是属于能级En的本征函数，而且与以上获得的m个独立 函数是线性无关的，这样h也是体系的一个对称变换，而且 h {g}，这与{g}是体系的全对称群矛盾
l
∑ Pgϕi (r ) = Dji ( g )ϕ j (r) j =1
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
上式确定了l2个Dmn(g)，即组成了一个方阵D(g)
这样得到的矩阵群{ D(g)}是薛定谔方程群的一个表示
只要证明矩阵乘法的同态关系即可：若Ps Pt = Pst，则 D(s)D(t) = D(st) ——易证
D
(
c2
)
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
( ) D
c2−1
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ −1⎥⎦
c2
D4群的特征标：
c2'
D4
E
2 c4
c42
2 c2 2 c2'
D(1)：A1
1
1
1
1
1
D(2)：A2
1
1
1
-1
-1
D(3)：B1
1
-1
1
1
-1
D(4)：B2
1
-1
1
-1
1
D(5)：E
2
0
-2
0
0
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
哈密顿算符群 定义5.1 所有保持一个系统的哈密顿算符 Ĥ(r)不变的变换 {g}组成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符的对称群， 或薛定谔方程的对称群：
第六章_群论与量子力学
第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r Hˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g1-=，()r f 为任意函数，有：()()()()()()()()r f P r g H P r g f r g H P r f r H P P r f r Hg g g g g 11ˆˆˆˆˆ--=== 故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r H（由()r f为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r='，()()()r H r H r g H ˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H 或()()r H P P r H g g ˆˆ=即当哈密顿算符()r H ˆ在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r Hˆ与P g 对易：[]0,=g P H【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g H g G H ˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hˆˆ= 令r g r ='，则'1r g r-=，代入得：()'ˆ1r gg H -，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H =-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g =====----结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
群论第5章资料
pr (ρ)Hpr1(ρ) ' (r)
• 即： pr (ρ)Hpr1(ρ) H
• 或： [ pr (ρ), H ] 0
• 可见，当且仅当体系的哈密顿算符H在平移 算符 Pr (ρ的) 作用下不变，即 与Pr (ρH) 对易时， 平移后的波函数 才可能'(描r) 述体系的一个 状态。
• 由于 Pr (ρ是) 一个么正算符，并具有（3）的形 式，因此，当且仅当体系的动量P算符与H 对易即 [P, H ] 0时，（4）对所有的矢量
• 所有时间平移算符 Pt (的)集合也是一个连续的、连通的、
单参数非紧致的阿尔贝群，它也是物理体系所具有的一种
对称性群，如果体系在这个群的作用下不变，则体系的能 量守恒。
• 例如，对于孤立的氢原子，不存在微扰时，其哈密顿算符 对所有的时间平移是不变的。所以，如果原子在一给定的 时刻处于一特定的状态，则它在所有的时刻都继续处于此 同一状态，且体系的总能量保持不变。
• 类似上面考虑过的物理体系的空间平移，我 们也可以将体系在时间上平移，并且平移后 的函数在一定条件下仍然表示体系的可能状 态。
• 假定是 (t体) 系的波函数，令 P表t (示) 将时间 的函数平移一个量的算符。于是我们得到：
•将
Pt
( ) (t)
在点
' (t) (t )
附近展开为泰勒级数得：
才成立，ρ 从而我们可得到如下定理：
• 定理：若物理体系在所有的空间平移下是 不变的，则其线动量是运动恒量，或者说体 系的动量是守恒的。
• 所有空间平移算符 pr (的ρ)集合（对所有的 值）ρ构成了一个群，称为空间平移群，这是 个连续的、连通的。三参数非紧致的阿贝尔 群，其合成法则是：
群论与量子力学
2
ˆ f1 f1 if 2 f3 if 4 4 E p E
2 2
ˆ Rf 3 ˆ Rf
4
3.不可约表示基函数的构成-群轨道
4）又例：以四个C原子的Pz轨道为基，求丁2烯属于子群 C2
的对称性群轨道
C4 A B E 1 E
2
1
2
4
3
ˆ C ˆ ˆ C E 1 1 1 1 1 1
1 4
2 4
ˆ C 1 1
3 4
ˆ E ˆ Rf 1 ˆ Rf f1 f2 f3 f4
ˆ1 C ˆ2 C 4 4 f4 f1 f2 f3 f3 f4 f1 f2
ˆ3 C 4 f2 f3 f4 f1
2
1 1
i i
I ' j' d ij ' 相互正交
jj ' i *
证明：根据群表示基函数的定义，
li i R 1 i R
lj j , R ' '1 j R i
' '
j '
ij i * j i * RI ' R ' d R R j' d
li 1 * R i li lj
i
*
lj R j '1
i
' '
*
j ' d
1 '1 * R i
j R
j ' d ' '
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群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
定理5.2： 如果不存在偶然简并，构成哈密顿算符群不可约 表示的 Ĥ 的本征函数属于同一能级。
证明：使用反证法。 设 Ĥ(r)的l个本征函数φi (α) (i = 1，2，…l)，构成哈密顿算符 群的第α个不可约表示 1) 假定φi (α) (i = 1,2，…l ) 分属于l个不同的能级 Ei (i = 1，2，…l)，则有： Ĥ(r)φi (α) (r) = Eiφi (α) (r)， 两边以Pg作用（Pg∈PG），有 l Pg Ĥ(r)φi (α) (r) = EiPgφi (α) (r) = Ei D(ji ) g (j ) (r ) j 1 而 Pg Ĥ(r)φi (α) = Ĥ(r)Pgφi (α)
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
也可以这样来表述定理5.2： 设某一能级En的简并度是 f，则存在f 个简并本征函数{φni，i=1， 2，…f}，它们可以生成一个f 维的不可约表示
为什么表示不可约？ 假如将所有的Pg作用于某个本征函数φni上，得到m个独立的函 数，则 m不能大于f，否则与能级是f度简并矛盾；
j 1
l
上式两边乘以φk(α)*，并对整个空间积分，利用基函数的正交性 可得： EiDki(α)(g) = EkDki(α)(g)，即 (Ei - Ek) Dki(α)(g) = 0 由于Ei ≠ Ek，故Dki(α)(g) = 0，即D (α)(g)为对角矩阵——是可约 表示——与假设矛盾 故φi (α)基函数不可能分属于l个不同本征值 2) 若该l个不可约表示基函数分属于 m个不同的能级，同样有 (Ei - Ek) Dki(α)(g) = 0 它说明矩阵D(α)(g)为包含m个子矩阵的块对角矩阵，因而是可 约表示，与假设矛盾。 由1)和2)，构成哈密顿算符群不可约表示的基函数属同一能级
D(2)：A2
D(3)：B1 D(4)：B2 D(5)：E
1
1 1 2
1
-1 -1 0
1
1 1 -2
-1
1 -1 0
-1
-1 1 0
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
2) 用群的不可约表示对能级做分类 用分离变量法求解哈密顿方程： X'' E1 X 0 令Ψ(x,y) = X(x)Y(y)，代入哈密顿方程，得 Y'' E2Y 0
Pgi r D ji g j (r )
j 1
l
这样得到的矩阵集合{ D(g)}是薛定谔方程群的一个表示 很容易证明其满足同态关系：若Ps Pt = Pst，则D(s)D(t) = D(st) l个基矢张成的本征函数空间作为哈密顿算符群的表示空间， 生成了群表示{D(g)}，本征函数φi (i = 1，2，…l)是表示空间 的基函数 因此，在不知道能量本征值的具体数值时，我们可以利用系 统的对称性来确定能级的简并度及本征函数的变换性质
证明： ∀Pg∈PG，有
Pgi r D ji g j (r )
j 1 l
故
ˆ r HP ˆ r H ˆ D g r Pg H ji i g i j
j 1
l
ˆ r ) D ji g ( H j
量子体系对称性的表达
量子体系的许多内在性质与其对称性是联系在一起的 通过剖析量子体系的对称群，可以将量子力学的许多问题 用群论来处理
1 哈密顿算符群 1) 哈密顿算符的对称性 设 Ĥ(r)为哈密顿算符，g为同一坐标中的线性变换，Pg为与之 对应的函数变换算符： Pg f(r) = f(g-1r)，f(r)为任意函数 有
H
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
定义2： 由哈密顿算符群的元素对应的函数变换算符组成的 集合构成群，也称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为 PG = {Pg | g∈GH} 函数变换算符集{Pg }与{g}一一对应，而且保持同态关系 ——{Pg } 与{g} 同构
哈密顿算符群中的任意元素与哈密顿算符对易
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
2
应用
考虑一个无限深方形势阱的二维量子力学系统。 取ħ = 2m = 1，哈密顿量为：
0 x π, y π 2 2 H 2 2 V x, y , V x, y x y otherwise
1) 无磁场条件下，费米子（电子）的两个能级A，B上的费米 子可取上、下两个方向，对应两个简并波函数，而能量相同， 这种能级简并是由系统的对称性决定的。为必然简并， 对应 不可约表示A和B。
2) 加磁场后系统对称性被破坏，费米子取向不同时具有不同能 量，能级发生分裂。系统对称性降低导致能级分裂。 3) 随磁场强度变化，A2、B1两能级重叠发生偶然简并。 4) P点为偶然简并点，对应的表示为A2⊕B1，随着磁场的变化， 偶然简并将会消失，在过程中系统对称性没有发生变化。 简并的波函数，构成不可约表示的基，代表着某种对称性； 偶然简并能级，和对称性无关，但也许代表着某种未知对称性
哈密顿方程：HΨ = EΨ 1) 哈密顿算符群 这个系统的对称群为二面体群D4 D4的两个生成元为c4和c2：c4绕z轴转动π/2，c2绕x轴转π
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
这两个生成元在坐标平面上的表示矩阵为（取基为x，y）：
0 1 D c4 1 0
ˆ r f r P P 1 H ˆ r f r P H ˆ gr f gr P H ˆ gr P 1 f r H g g g g g
故有（因f(r)为任意函数）
ˆ r P H ˆ gr P 1 H g g
(2m 1) 2 (1) E 2
2m 1 2m 1 Ψ cos x cos y 2 2
一维表示，不简并 所有群元作用在基矢上，基矢不变，故其对应A1表示
(2) E 2m2 Ψ sin mx sin my 一维表示，不简并 c4和c2作用在基函数Ψ上，得到-Ψ ，对应B2表示
3) 哈密顿算符的本征函数与群表示的基函数
以下三个定理揭示了群的表示理论与量子力学的内在联系
定理1 哈密顿算符 Ĥ 的具有相同本征能量的本征函数，构成 哈密顿算符群表示的基函数 证明：设哈密顿算符 Ĥ 的本征能量En为 l 重简并 则存在l个线性无关的本征函数φi，(i = 1，2，…l)，以它们为 基构成复数域上的线性空间，记为WH
必然简并和偶然简并： 必然简并：由对称性引起的简并称为必然简并，又称为正则简 并，必然简并波函数给出哈密顿群的不可约表示；
偶然简并：由非对称性因素引起的简并称为偶然简并，偶然简 并波函数给出哈密顿群的可约表示
例如，能级在磁场下产生分裂：
1)
2)
3)
4)
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
物理学中的群论
—— 群论与量子力学
主讲 翦知渐
群论-群论与量子力学
第五章 群论与量子力学
量子力学中的群论应用
§5.1 §5.2 §5.3
§5.4
哈密顿算符群和相关定理 微扰引起的能级分裂 久期行列式的块对角化
矩阵元定理与选择定则
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
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§5.1 哈密顿算符群和-哈密顿算符群和相关定理
量子系统的能级用不可约表示分类 哈密顿算符的所有能级——本征值——可由哈密顿算符群的不 可约表示标记 不同的不等价不可约表示代表着不同的对称性，所以，这个标 记区别了体系不同的对称态。
φi (α) (r)为第α 个不可约表示的第i个基函数，则Ĥφi (α) (r)亦为该 不可约表示的第i个基函数。 群论方法虽然无法知道本征能量和本征函数的具体情况，但任 何能级和波函数都可以用其所属的不可约表示进行分类和标记 以上讨论是针对哈密顿算符得到的结果，这些结果对于量子力 学中任意力学量算符（线性厄密算符）同样适用。
X π X π 0 边界条件： Y π Y π 0
本征能量： E = E1 + E2
2 X x sin mx , E m 1 方程的解为： 2 2m 1 (2 m 1) X x cos 2 x , E1 4
Y y sin ny , E2 n 2 2 2n 1 (2 n 1) Y y cos 2 y , E2 4
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
能级： 哈密顿本征方程有如下类型的5种能级
变换算符作用在哈密顿量上的结果
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理
若坐标经过变换g作用后，哈密顿算符的形式不变 即：假定r' = gr，而有 Ĥ(gr) = Ĥ(r') = Ĥ(r) ，则可得 ˆ r P H ˆ r P 1 H
g g
即当哈密顿算符Ĥ(r)在函数变换算符 的作用下不变时，Ĥ(r) 与Pg对易： ˆ,P ]0 [H g 例如，氢原子的哈密顿算符在绕过原点的任意轴转动时保持 不变，但在平移变换下会发生改变； 晶体的单电子哈密顿算符，在周期性平移算符作用下不变 2) 哈密顿算符群 定义1： 所有保持系统哈密顿算符 Ĥ(r)不变的变换 {g} 组 成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符的对称群，或薛 定谔方程的对称群： ˆ gr H ˆ r } 很容易证明这确实是一个群 G {g | H
ˆ (r ) D = H
j 1 l ( ) ji
g
( ) j
=
( ) ( ) D g E ji j j j 1
l
群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理