群论-5 群论与量子力学共51页
第四章 群论和量子力学
第一节 波函数作为不可约表示的基
另外，我们可以看出px和py轨道成对构成了E 表示的基。应该注意，在C3v群的特征标表中坐 标x和y被指明按照E表示变换。因而，函数 sinθcosφ和sinθsinφ按照与x和y同样的方式变换， 根据这一理由，具有本征函数sinθcosφ的p轨道 称为px，具有本征函数sinθsinφ的称为py。此外， 也说明了x和y坐标也表明了px和py轨道的变换性 质。
r31 r32 r33
j1
附录 二
两个矩阵的直积：
两个矩阵的直积和两个矩阵的乘积是不一样 的。如一个(2×2)的方阵与一个(3×3)的方阵其矩 阵的乘积是没有意义的，但其直积却是个(6×6) 的方阵。
附录 二
a11b11 a11b12 a11b13 a12b11 a12b12 a12b13
a11 a21
Hˆ ψi1 Eiψi1 Hˆ ψi2 Eiψi2
Hˆ ψik Eiψik
以操作R作用于波动方程，得：
HˆRˆψil Ei Rˆψil l 1,2,,k
第一节 波函数作为不可约表示的基
但此处Rψil一般可以是ψij的任意线性组合，
即：
k
Rˆ ψil rjlψij j1
对于另一个操作S，类似地有：
jl
j1 l1
第二节 直积
因而若想知道一个表示的特征标(R)，这个表 示是其他两个特征标为χ1(R)和χ2(R)的表示的 直积，则对于群的每个操作R，特征标由下式给 出：
χR χ1Rχ2R
下面以C4v群为例来说明：
C4v
Eˆ
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
E
2
A1A2
群论对称性51页PPT
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四、群论及其发展
本课程内容
连续群和李群
李群表示
李代数
李代数表示理论
拓朴学 拓扑空间→三色地图问题，
微分流形 一笔画问题
1736，Euler，Kongberg（地名） Kac-Moody代数
Virasoro代数
辫子群（Braid group） 重正化群 共形群 量子群 超对称代数
左 a , b a , a , b a a , b a , b b , a , b a b , b
物理学中的群论基础
参考书： • 群论及其在固体物理中的应用
徐婉棠，喀兴林，高等教育出版社，2019年版 • 群论及其在物理中的应用
马中骐，戴安英，北京理工大学出版社，1988年版 • 物理学中的群论
马中骐，科学出版社，2019年版 •“Elements of Group Theory for Physics”
二十世纪初，相对论和量子力学诞生，随后，群论被引进物 理学，成为物理学的一个重要研究工具。
二、群论与对称性
群论是研究系统对称性质的数学工具。
中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹 河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”
古 埃 及：金字塔
中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹
中国古代：河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”
以上数学均和物理学中的根 本问题，如超弦理论、规范 场、宇宙学，凝聚理论，大 统一理论等密切相关
…………
第一章 线性代数复习
§1.1线性矢量空间，内积空间
1.11线性矢量空间：
集合 Ra ,b ,c , 由无穷多个数学对象组成，K为某一数域，
定义：加法： 乘法：
群论与量子力学
群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。
哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。
（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。
但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。
（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。
群论在量子力学中的应用
群论在量子力学中的应用群论是数学中的一个重要分支，它研究的是某种集合上带有某种运算的结构。
在量子力学领域，群论扮演着至关重要的角色。
本文将介绍群论在量子力学中的应用，揭示其在这一领域中的重要性和深远影响。
一、对称性与群论1.1 群的定义群是一个集合G，配备有一个二元运算（通常用乘法表示），并满足以下条件：（1）封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G；（2）结合律：对于任意的a、b和c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；（3）存在单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a*e=e*a=a；（4）存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^(-1)∈G，使得a*a^(-1)=a^(-1)*a=e。
1.2 对称群与守恒量在量子力学中，对称性与守恒量密切相关。
对称群指的是保持给定物理系统性质不变的所有操作的集合。
例如，对于一维无限深势阱中的粒子，其对称群为平移操作构成的无限循环群。
1.3 量子力学的对称变换量子力学中，对称变换是指将波函数进行某种变换后，系统的物理性质保持不变。
通过应用群论的概念，可以对对称性进行深入研究，从而探索守恒量和相应的算符。
二、群表示与物理量2.1 群表示的定义群表示是指将群中的元素映射到线性空间上的一个变换。
对于量子力学中的算符，常常用矩阵形式表示，称为线性算符表示。
2.2 群表示的重要性群表示在量子力学中有着广泛应用。
通过对称群的表示，可以得到守恒量的操作矩阵，从而进一步研究量子力学中的各种物理现象。
2.3 时空对称性与洛伦兹群时空对称性是指物理现象在时空坐标变换下具有不变性。
洛伦兹群是描述时空对称性的群，它包括平移、旋转和洛伦兹变换。
2.4 自旋与旋转群自旋是粒子的基本属性之一，与旋转群密切相关。
旋转群描述了自旋在角动量空间中的转动，通过群表示可以研究自旋的各种性质和行为。
三、群论与量子力学的实例3.1 氢原子与球面对称群氢原子是量子力学中研究的经典系统，其波函数具有球面对称性。
群论第5章
第五章 完全转动群§1 转动和欧拉角三维实空间中的任一转动均可由转动轴（n ：单位向量）和转动角θ来描写，即()θn R ，由于显然有关系()()θπθ−=−2n n R R ，故我们可取转动角θ的范围为πθ≤≤0。
现在考虑相继的两次转动，关于轴1转α角:()α1R 和关于轴2转β角:()β2R ,若有关系：()()()αβγ123R R R =，我们来看如何确定轴3和转动角γ。
首先我们作一个单位球面，球心O 点。
于是轴1对应球面上的A 点，轴2对应球面上的B 点。
（如右图所示）球面上的C 点和D 点使得CAB ∠（平面OAC 与平面OAB 的夹角）与DAB ∠（平面OAB 与平面OAD 的夹角）均为2/α和CBA ∠（平面OAB 与平面OBC 的夹角）与DBA ∠（平面OAB 与平面OBD 的夹角）均为2/β，于是很明显，()α1R 的作用将C 点变到D 点，而()β2R 的作用将D 点变到C点，于是，相继的()β2R ()α1R 作用使得C 点不动。
这样，OC 轴就是我们要找的Bα/2β/2图七、转动的乘积.轴3。
进一步，我们知道，()α1R 作用后，A 点是不动的，而()β2R 的作用将A 点变到'A 点，因此()γ3R 的作用也应该将A 点变到'A 点，于是转角γ即为平面OCA 与平面'OCA 的夹角。
上述事实确实表明，转动操作()θn R 构成一个群：完全转动群。
对任何两个转动相同角度θ的转动操作()θ1n R 和()θ2n R ，总是存在另一个转动Q ，使得()θ2n R =Q ()θ1n R 1−Q ，Q 转动将转动轴1n 变为2n ，转动操作()θ1n R 和()θ2n R 彼此共轭。
现在，我们用三个欧拉角来表述转动：任一三维的转动()θn R 均可表为下述三个相继转动：(1) 关于z 轴转α角()πα20≤≤：()αz R 。
此转动将使坐标轴z y x ,,变为z z y x =111,,；(2) 关于1y 轴转β角()πβ≤≤0：()β1y R 。
群论课件ppt
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
北京大学群论第六章-群论与量子力学
第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r H ρˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g ρρ1-=，()r f ρ为任意函数，有：故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r Hρρ（由()r f ρ为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρρ='，()()()r H r H r g H ρρϖˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρˆˆ= 即当哈密顿算符()r H ρˆ在函数变换算符gP 的作用下不变时，则()r H ρˆ与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hρˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g Hg G H ρρˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hρρˆˆ= 令r g r ρρ='，则'1r g r ρρ-=，代入得：()'ˆ1r gg H ρ-，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====----结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
群论教程5
λ1!λ2 !Lλn !, 杨图 λ = λ1λ2 Lλn 为杨图 [λ ] 的共轭。
·系 5 由行，列置换 p，q 可以定义算符 P(T)和 Q(T):
~ ~
~
[~ ] [~ ~
~
]
P (T ) = Q (T ) =
p∈R (T )
∑p， ∑δ q q ,
δq = ⎨
⎧ 1 q为偶置换 。 ⎩− 1 q为奇置换
— 136 —
1 2 3 4 5 6⎞ t=⎛ ⎜ 5 6 4 1 3 2 ⎟ = (1 5 3 4 )(2 6) ， ⎝ ⎠
有： tst −1 = (5 6 1)(4 2 )(3) 。 ② 具有相同轮换结构的置换相互共轭： 若 s， r ∈ Sn 具有相同轮换结构：
( r = (d
S = a1 a2 L an1 b1 b2 L bn2 L C1 C2 L Cnl
n! ，这是因为： 1 v1!2 v2!L n v n vn !
v1 v2
① l 阶的一个轮换有 l 种写法：
(e1
共有 •系 3
e2 L en1 ) = (e2
e3 L en1e1 ) = L = (em e1e2 Lem −1 ) ， vl 个 l 阶轮换
l v1 种写法；② vl 个 l 阶轮换有 vl！种不同的排列。
e (e1e2 Lem )( f1 f 2 L f n ) = ⎛ ⎜ e1 ⎝
2
e2 L em f1 f 2 L f n ⎞ e3 L e1 f 2 f 3 L f1 ⎟ ⎠
= ( f1 f 2 L f n )(e1e2 Lem )
•系 3 任意的 n 阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积。例如：
q∈C (T )