第四章 算法基础
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计算机高级语言编写程序，程序是可以在计算机上经过编译、 连接、运行出结果的算法表示。
int max( int a, int b, int c) { int max; if(a > b)
max = a; else max = b; if(c > max) max = c; return max; } }
用自然语言可将算法表示如下： Step 1：输入3个正整数 a，b，c。 Step2：若a大于b，则将a放到max中，否则将b放到max中。 Step 3：若c大于max，则将c放到max中。 Step 4：输出max。
4.3.2 流程图
常用传统流程图符号 求任意3个 正整数a、b、 c中的最大 者的流程图
两个方程： a+b+c=100 5a+3b+c/3=100
（1） （2）
采用穷举法，依次对a,b,c取值范围内的各数一一试探，找出
满足方程（1）和（2）的组合。
流程图参见教材4.9。
4.3.4 迭代
迭代法又称递推法，它是从已知的初始 条件出发，逐次推出所要求的各中间结 果和最后结果。
【案例4.5】猴子吃桃问题。一只猴子第 一天摘下若干桃子，当即吃了一半，还不 过瘾，又多吃了一个，第二天早上又将剩 下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后 每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。
4.2.3 伪代码
伪代码（Pseudo-code）又称程序设计语言PDL，是用介于自 然语言和计算机语言之间的文字和符号来描述算法。 read a, b, c if a>b a→max else b→max if c>max c→max print max
4.2.4 程序设计语言
用程序设计语言（Programming Language）表示算法就是用
思考2：如何计算下式：
sin( x ) x
n
x3
3!
x5
5!
x7
7!ຫໍສະໝຸດ Baidu
x9
9!
4.3.3 穷举
【案例4.4】百钱买百鸡。我国古代的《张丘建算经》中有
一个著名的百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三； 鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 假设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为a,b,c只，由题意可得如下
4.3.7 查找
【案例4.10】在给 定的10个数{8，12， 35，46，55，67， 78，82，90，96}的 列表中查找数35。
4.3.8 排序
1．冒泡排序 将待排序的数据依次进行相邻两个数据的比较，如不符合顺序 要求（由大到小或由小到大）就立即交换。这样值大（或小） 的就会像冒气泡一样逐步升起。按此方法对数据经过一轮比较 移位后称为一趟冒泡，第1趟冒泡的效果是将数据值最大（或 最小）的元素交换到了最后的位置，即该数据排序的最终位置。 n个数据最多需要进行n1趟冒泡。
1.顺序结构
按照顺序从上向下依次执行A
和B，A和B代表算法的步骤。
2.选择结构 根据给定的条件判断选择哪一
条分支，执行相应的步骤。
3.循环结构 在给定条件成立时，反复执行某
些步骤，直到条件不成立为止。
A
A
A
4.3.1 自然语言
自然语言（Natural Language） 人们日常使用的语言。
【案例4.1】求任意3个正整数a、b、c中的最大者。
第4章 算法基础
4.1 算法的基本概念 4.2 算法的三种结构 4.3 算法的表示
4.4 算法设计基本方法
4.5 算法的评价
4.1.1 算法的起源
最早 《周髀算经》 《九章算术》 四则运算、最大公约数、最小公倍数、开 平方根、开立方根、求素数的埃拉托斯特 尼筛法（简称埃氏筛），线性方程组求解 第一个算法 欧几里得算法（辗转相除法） 求两个正整数A和B的最大公约数： Step 1: 比较A和B两个数，将A设置为较大的数，B为较小的数； Step 2: A除以B，得到余数R； Step 3: 如果R等于0，则最大公约数就是B，否则将B赋值给A，
1．时间复杂度 算法的时间复杂度（Time Complexity）是指算法执行所 需要的计算工作量。 按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1)， 对数阶O(log2n)，线性阶O(n)等，线性对数阶O(nlog2n)，平 方阶O(n2)，立方阶O(n3)，...，k次方阶O(nk)，指数阶O(2n)。 2．空间复杂度 一个算法的空间复杂度（Space Complexity）是指算法 运行所需的内存大小，包括输入数据所占空间、程序本身 所占空间以及算法执行过程中所需要的辅助空间，其中辅 助空间包括算法程序执行过程中的工作单元以及某种数据 结构所需要的附加存储空间。
【案例4.6】年龄问题。有5个人坐在一起，问第5个人 多少岁？他说比第4个人大2岁。问第4个人的岁数，他
说比第3个人大2岁。问第3个人的岁数，他说比第2个人
大2岁。问第2个人，他说比第1个人大2岁。最后问第1 个人，他说是10岁。请问第5个人多大？
4.3.5 递归（续）
4.3.5 递归（续）
【案例4.7】Fibonacci数列。
4.3.8 排序
2．选择排序 【案例4.12】用选择排序法将N 从待排序的n个数据的列表（R1, （N=7）个无序数据（9, 5, 7, 2, R2, R3,..., Rn）中选出最小的数 4, 8, 3）其按升序排列。 （按升序）或最大的数（按降 序），将它与R1交换；然后再 从余下的n-1个数中选出次小 （或次小）的元素与R2进行交 换；第i趟排序时（R1, R2,..., Ri-1） 已排好序，在当前无序的（Ri,..., Rn）中再选出最小（或最大） 的元素，将它与Ri元素交换，使 （R1, R2,..., Ri）成为有序。依此 类推，经过n-1趟排序后，全部 数据就递增（或递减）有序了。
该公式递归地定义了Fibonacci数列。
4.3.6 两个变量值的交换
【案例4.8】给2个变量a和b分别输入50和10，然后将大数50
存放在b中，小数10存放在a中。
4.3.7 查找
1．顺序查找
【案例4.9】在给定
的10个数{23，45， 62，12，33，87，90， 55，13，79}组成的 列表中查找数12。
“兔子繁殖问题”：假定一对小兔子一个月就可以长成大兔
子（一雄一雌），而一对大兔子每个月都会生出一对小兔子。 如果年初养了一对小兔子，到年底时将有多少对兔子? （假
设兔子没有死亡而且严格按照上述规律长大与繁殖）
兔子繁殖的结果
月 1月 兔 小 兔 大 兔 合 计 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
到第10天早上想再吃时，见只剩下一个桃
子了。求猴子第一天共摘了多少个桃子？
4.3.4 迭代
【案例4.6】给定一个数n，判 断n是不是素数。
素数是指只能被1和它自己整 除的数。
可以证明，只需依次用2~
或2~ 之间的各数去除n就 可说明n是不是素数。
4.3.5 递归
递归是把一个复杂的问题逐层分解为最 简单问题，再由最简单问题逐层回代， 直到求出问题的解。
4.3.8 排序
3．插入排序 把n个待排序的数据分为两 部分：{R1，...，Ri1}为已排 好序的有序表，{Ri， Ri+1，...，Rn}为未排序的无 序表（初始时，令i=2）。 然后，把未排序部分的第1 个数据Ri依次与R1，...，Ri-1 比较，并插入到有序表的 适当位置上，使得｛R1，...， Ri｝变为一个新的有序表， 直到未排序表中的数据元 素全部插入到有序表中。 【案例4.13】用插入排序法将N （N=5）个无序数据（30, 16, 25, 17, 12）其按升序排列。 初始数据 第1步 第2步 第3步 第4步 [30] [16 [16 [16 [12 16 30] 25 17 16 25 25 30] 25 17 17 17 17 30] 25 12 12 12 12 30]
1
1 1 1
1
1 2
1
2 3
2
3 5
3
5 8
5
8 13
8
13 21
13
21 34
21
34 55
34
55 89
55
89 144
4.3.5 递归（续）
假设第N个月的兔子数目是F(N)，可以得到如下公式：
1 N 2 F( N ) F( N 1 ) F( N 2 ) N 2
R赋值给B，重复Step2、Step3。
4.1.2 算法的定义和特性
算法 为解决问题采用的方法和步骤。 算法是一组明确步骤的有序集合，它产生结果 并在有限时间内终止。 特性 ① 有穷性：一个算法必须在执行有穷步之后结束。 ② 确定性：算法的每一步骤都必须是确切定义的。 ③ 输入：一个算法有0个、1个或多个输入。 ④ 输出：一个算法必须有1个或多个输出值。 ⑤ 可行性：算法的每一步操作都应该是可执行的。
迭代法是从已知的初始条件出发，逐次推出所要求的各中间 结果和最后结果。 递归是把一个复杂的问题逐层分解为最简单问题，再由最简 单问题逐层回代，直到求出问题的解。 顺序查找和二分查找是常用的查找算法，前者适用无序数据， 后者要求数据是有序的。 冒泡排序、选择排序和插入排序是常用的排序算法。 算法的复杂度是指运行算法所需的时间和空间资源的量。
思考2：如何计算下式：
s 1
1 1 1 ... 12 123 1 2 3 ... n
开始 0=>sum 1=>k N k≤100 Y sum + k =>sum k+1 => k
结束
4.3.2 累乘
【案例4.3】计算10！ 。 思考1：如何计算x 的流程图。
int main(void) { int a, b, c,Imax; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); Imax=max(a, b, c); printf("max=%d", Imax);
4.3.1 求和
【案例4.2】计算1~100的和。 思考1：如何计算m~n之间的偶数 或奇数之和。
4.3.7 查找
2．二分查找 查找是从列表的中间位置开始，如果该位置上的数据和目标
数据（待查找的数据）相等，则查找成功；若目标数据大于
中间位置的数据，则在查找表的后半部分继续进行二分查找， 否则在前半部分进行二分查找。即先确定目标数据所在区域，
然后逐步缩小区域，直到查找成功或失败为止。
【案例4.10】在给定的10个数{8，12，35，46，55，67，78， 82，90，96}的列表中查找数35。
算法是为解决问题采用的方法和步骤，它具有5个重要特性： 有穷性、确定性、输入、输出、可行性。 算法有三种结构：顺序、选择（分支）、循环。顺序结构按照 顺序从上向下依次执行算法步骤；选择结构根据给定的条件判 断选择执行相应的步骤；循环结构在给定条件成立时，反复执 行某些算法步骤。 算法的表示有多种方法，常用的有：自然语言、流程图、伪代 码、程序设计语言等。 求和是对数相加时用到的一种基本方法。 累乘对一系列数的求乘积的方法。 穷举法是依题目的部分条件确定答案的大致范围，在此范围内 对所有可能的情况逐一验证，直到全部情况验证完。
int max( int a, int b, int c) { int max; if(a > b)
max = a; else max = b; if(c > max) max = c; return max; } }
用自然语言可将算法表示如下： Step 1：输入3个正整数 a，b，c。 Step2：若a大于b，则将a放到max中，否则将b放到max中。 Step 3：若c大于max，则将c放到max中。 Step 4：输出max。
4.3.2 流程图
常用传统流程图符号 求任意3个 正整数a、b、 c中的最大 者的流程图
两个方程： a+b+c=100 5a+3b+c/3=100
（1） （2）
采用穷举法，依次对a,b,c取值范围内的各数一一试探，找出
满足方程（1）和（2）的组合。
流程图参见教材4.9。
4.3.4 迭代
迭代法又称递推法，它是从已知的初始 条件出发，逐次推出所要求的各中间结 果和最后结果。
【案例4.5】猴子吃桃问题。一只猴子第 一天摘下若干桃子，当即吃了一半，还不 过瘾，又多吃了一个，第二天早上又将剩 下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后 每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。
4.2.3 伪代码
伪代码（Pseudo-code）又称程序设计语言PDL，是用介于自 然语言和计算机语言之间的文字和符号来描述算法。 read a, b, c if a>b a→max else b→max if c>max c→max print max
4.2.4 程序设计语言
用程序设计语言（Programming Language）表示算法就是用
思考2：如何计算下式：
sin( x ) x
n
x3
3!
x5
5!
x7
7!ຫໍສະໝຸດ Baidu
x9
9!
4.3.3 穷举
【案例4.4】百钱买百鸡。我国古代的《张丘建算经》中有
一个著名的百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三； 鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 假设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为a,b,c只，由题意可得如下
4.3.7 查找
【案例4.10】在给 定的10个数{8，12， 35，46，55，67， 78，82，90，96}的 列表中查找数35。
4.3.8 排序
1．冒泡排序 将待排序的数据依次进行相邻两个数据的比较，如不符合顺序 要求（由大到小或由小到大）就立即交换。这样值大（或小） 的就会像冒气泡一样逐步升起。按此方法对数据经过一轮比较 移位后称为一趟冒泡，第1趟冒泡的效果是将数据值最大（或 最小）的元素交换到了最后的位置，即该数据排序的最终位置。 n个数据最多需要进行n1趟冒泡。
1.顺序结构
按照顺序从上向下依次执行A
和B，A和B代表算法的步骤。
2.选择结构 根据给定的条件判断选择哪一
条分支，执行相应的步骤。
3.循环结构 在给定条件成立时，反复执行某
些步骤，直到条件不成立为止。
A
A
A
4.3.1 自然语言
自然语言（Natural Language） 人们日常使用的语言。
【案例4.1】求任意3个正整数a、b、c中的最大者。
第4章 算法基础
4.1 算法的基本概念 4.2 算法的三种结构 4.3 算法的表示
4.4 算法设计基本方法
4.5 算法的评价
4.1.1 算法的起源
最早 《周髀算经》 《九章算术》 四则运算、最大公约数、最小公倍数、开 平方根、开立方根、求素数的埃拉托斯特 尼筛法（简称埃氏筛），线性方程组求解 第一个算法 欧几里得算法（辗转相除法） 求两个正整数A和B的最大公约数： Step 1: 比较A和B两个数，将A设置为较大的数，B为较小的数； Step 2: A除以B，得到余数R； Step 3: 如果R等于0，则最大公约数就是B，否则将B赋值给A，
1．时间复杂度 算法的时间复杂度（Time Complexity）是指算法执行所 需要的计算工作量。 按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1)， 对数阶O(log2n)，线性阶O(n)等，线性对数阶O(nlog2n)，平 方阶O(n2)，立方阶O(n3)，...，k次方阶O(nk)，指数阶O(2n)。 2．空间复杂度 一个算法的空间复杂度（Space Complexity）是指算法 运行所需的内存大小，包括输入数据所占空间、程序本身 所占空间以及算法执行过程中所需要的辅助空间，其中辅 助空间包括算法程序执行过程中的工作单元以及某种数据 结构所需要的附加存储空间。
【案例4.6】年龄问题。有5个人坐在一起，问第5个人 多少岁？他说比第4个人大2岁。问第4个人的岁数，他
说比第3个人大2岁。问第3个人的岁数，他说比第2个人
大2岁。问第2个人，他说比第1个人大2岁。最后问第1 个人，他说是10岁。请问第5个人多大？
4.3.5 递归（续）
4.3.5 递归（续）
【案例4.7】Fibonacci数列。
4.3.8 排序
2．选择排序 【案例4.12】用选择排序法将N 从待排序的n个数据的列表（R1, （N=7）个无序数据（9, 5, 7, 2, R2, R3,..., Rn）中选出最小的数 4, 8, 3）其按升序排列。 （按升序）或最大的数（按降 序），将它与R1交换；然后再 从余下的n-1个数中选出次小 （或次小）的元素与R2进行交 换；第i趟排序时（R1, R2,..., Ri-1） 已排好序，在当前无序的（Ri,..., Rn）中再选出最小（或最大） 的元素，将它与Ri元素交换，使 （R1, R2,..., Ri）成为有序。依此 类推，经过n-1趟排序后，全部 数据就递增（或递减）有序了。
该公式递归地定义了Fibonacci数列。
4.3.6 两个变量值的交换
【案例4.8】给2个变量a和b分别输入50和10，然后将大数50
存放在b中，小数10存放在a中。
4.3.7 查找
1．顺序查找
【案例4.9】在给定
的10个数{23，45， 62，12，33，87，90， 55，13，79}组成的 列表中查找数12。
“兔子繁殖问题”：假定一对小兔子一个月就可以长成大兔
子（一雄一雌），而一对大兔子每个月都会生出一对小兔子。 如果年初养了一对小兔子，到年底时将有多少对兔子? （假
设兔子没有死亡而且严格按照上述规律长大与繁殖）
兔子繁殖的结果
月 1月 兔 小 兔 大 兔 合 计 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
到第10天早上想再吃时，见只剩下一个桃
子了。求猴子第一天共摘了多少个桃子？
4.3.4 迭代
【案例4.6】给定一个数n，判 断n是不是素数。
素数是指只能被1和它自己整 除的数。
可以证明，只需依次用2~
或2~ 之间的各数去除n就 可说明n是不是素数。
4.3.5 递归
递归是把一个复杂的问题逐层分解为最 简单问题，再由最简单问题逐层回代， 直到求出问题的解。
4.3.8 排序
3．插入排序 把n个待排序的数据分为两 部分：{R1，...，Ri1}为已排 好序的有序表，{Ri， Ri+1，...，Rn}为未排序的无 序表（初始时，令i=2）。 然后，把未排序部分的第1 个数据Ri依次与R1，...，Ri-1 比较，并插入到有序表的 适当位置上，使得｛R1，...， Ri｝变为一个新的有序表， 直到未排序表中的数据元 素全部插入到有序表中。 【案例4.13】用插入排序法将N （N=5）个无序数据（30, 16, 25, 17, 12）其按升序排列。 初始数据 第1步 第2步 第3步 第4步 [30] [16 [16 [16 [12 16 30] 25 17 16 25 25 30] 25 17 17 17 17 30] 25 12 12 12 12 30]
1
1 1 1
1
1 2
1
2 3
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3 5
3
5 8
5
8 13
8
13 21
13
21 34
21
34 55
34
55 89
55
89 144
4.3.5 递归（续）
假设第N个月的兔子数目是F(N)，可以得到如下公式：
1 N 2 F( N ) F( N 1 ) F( N 2 ) N 2
R赋值给B，重复Step2、Step3。
4.1.2 算法的定义和特性
算法 为解决问题采用的方法和步骤。 算法是一组明确步骤的有序集合，它产生结果 并在有限时间内终止。 特性 ① 有穷性：一个算法必须在执行有穷步之后结束。 ② 确定性：算法的每一步骤都必须是确切定义的。 ③ 输入：一个算法有0个、1个或多个输入。 ④ 输出：一个算法必须有1个或多个输出值。 ⑤ 可行性：算法的每一步操作都应该是可执行的。
迭代法是从已知的初始条件出发，逐次推出所要求的各中间 结果和最后结果。 递归是把一个复杂的问题逐层分解为最简单问题，再由最简 单问题逐层回代，直到求出问题的解。 顺序查找和二分查找是常用的查找算法，前者适用无序数据， 后者要求数据是有序的。 冒泡排序、选择排序和插入排序是常用的排序算法。 算法的复杂度是指运行算法所需的时间和空间资源的量。
思考2：如何计算下式：
s 1
1 1 1 ... 12 123 1 2 3 ... n
开始 0=>sum 1=>k N k≤100 Y sum + k =>sum k+1 => k
结束
4.3.2 累乘
【案例4.3】计算10！ 。 思考1：如何计算x 的流程图。
int main(void) { int a, b, c,Imax; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); Imax=max(a, b, c); printf("max=%d", Imax);
4.3.1 求和
【案例4.2】计算1~100的和。 思考1：如何计算m~n之间的偶数 或奇数之和。
4.3.7 查找
2．二分查找 查找是从列表的中间位置开始，如果该位置上的数据和目标
数据（待查找的数据）相等，则查找成功；若目标数据大于
中间位置的数据，则在查找表的后半部分继续进行二分查找， 否则在前半部分进行二分查找。即先确定目标数据所在区域，
然后逐步缩小区域，直到查找成功或失败为止。
【案例4.10】在给定的10个数{8，12，35，46，55，67，78， 82，90，96}的列表中查找数35。
算法是为解决问题采用的方法和步骤，它具有5个重要特性： 有穷性、确定性、输入、输出、可行性。 算法有三种结构：顺序、选择（分支）、循环。顺序结构按照 顺序从上向下依次执行算法步骤；选择结构根据给定的条件判 断选择执行相应的步骤；循环结构在给定条件成立时，反复执 行某些算法步骤。 算法的表示有多种方法，常用的有：自然语言、流程图、伪代 码、程序设计语言等。 求和是对数相加时用到的一种基本方法。 累乘对一系列数的求乘积的方法。 穷举法是依题目的部分条件确定答案的大致范围，在此范围内 对所有可能的情况逐一验证，直到全部情况验证完。