概率统计总复习

事 件 是 相 互 独 立 的 ， 并且 概 率 都 是2 ， 设X为 5
途中遇到红灯的次数， 求 随 机 变 量X的 分 布 律 、 分 布 函 数 和数 学 期 望 。
Chapter 5
一. 独立同分布的中心极限定理:
设 r.v. Xk(k=1, 2, … )相互独立, 服从同一分布(i.i.d.) 且具有有限的数学期望和方差:
(1993数 学 一)设 随 机 变 量X的 概 率 密 度 为
f ( x) 1 e x , x , 2
(1)求X的 数 学 期 望E( X )和 方 差D( X ). (2)求X与 X 的 协 方 差 ， 并 问X与 X 是 否 不 相 关 ？
(1997数 学 一)从 学 校 乘 汽 车 到 火 车 站的 途 中 有3个 交 通 岗 ， 假 设 在 各 个交 通 岗 遇 到 红 灯 的
E( X k ) , D( X k ) 2 0,k 1, 2, 则r.v.
n
n
n
Xk E( Xk ) Xk n
Yn k1
k 1
n
D( Xk )
k1
n
的分布函数Fn , 对于x
k 1
lim n
Fn
(
x
)
lim
P
n k 1
Xk
n
n
n
x
x
1
t2
exp( ) dt
2
2
Байду номын сангаас
二. 德莫佛--拉普拉斯定理:
( 0),且 二 次方 程y2 4 y X 0无 实 根的 概 率 为1 ，
2
则 。
(1995数 学 一)设 随 机 变量X的 概 率 密度 为
e x f X ( x) 0
x0 x0
求 随 机 变 量Y e X的 概 率 密 度fY ( y).
(1995数 学 一)设X和Y为 两 个 随 机 变 量 ， 且
2
chapter 4
(2002数 学 一)设 随 机 变 量X的 概 率 密 度为
f
(x)
1 2
cos
x 2
0 x
0
其他
对X独 立 的 重 复观 察4次 ， 用Y表 示 观 察 值大 于
的 次 数 ， 求Y 2的 数 学 期 望 。
3
(1990数学一)设二维随机变量( X ,Y )在区域 D : 0 x 1, y x内服从均匀分布，求: 关于 X的边缘概率密度函数及随机变量Z 2X 1 的方差D(Z ).
f2 ( x),分 布 函 数 分 别 为F1( x)和F2 ( x),则
（A）f1( x) f2 ( x)必 为 某 一 随 机 变 量 的 概率 密 度 ；
(B) f1( x) f2 ( x)必 为 某 一 随 机 变 量 的 概率 密 度 ；
（C）F1( x) F2 ( x)必 为 某 一 随 机 变 量 的 分布 函 数 ；
(1992数 学 一)设X和Y为 两 个 相 互 独 立 的 随 机变 量 ，
且X服 从 正 态 分 布N ( , 2 ),Y服 从[， ]上 的 均 匀
分 布 ， 求Z X Y的 概 率 密 度(。计 算 结 果 用 标 准 分
布 函 数( x)表 示,其 中( x) 1
x t2
e 2 dt)
P{ X 0,Y 0} 3 , P{ X 0} P{Y 0} 4 ,
7
7
则P{max(X 0,Y 0)} ?
(2001数 学 一)设 某 班 车 起 点 站 上 客 人数X服 从
参 数 为（ 0） 的 泊 松分 布 ， 每 位 乘客 在 中途
下 车 的 概 率 为p(0 p 1),且 中 途 下 车 与 否 相 互 独 立 ，Y表 示 在 中 途 下 车 的 人 数， 求 (1)在 发 车 时 有n个 乘 客 的 条 件 下 ， 中 途有m个 人 下车的概率； (2)二 维 随 机 变 量( X ,Y )的 概 率 分 布 。
(1996年数学一) 设工厂A和工厂B的次品率 分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占 60%和40%的一批产品随机抽取一件，发现是 次品，则该次品属于A生产的概率是?
(2002数
学
一
、
四)设X
1和X
是
2
任
意
两
个
相
互
独
立
的
连 续 型 随 机 变 量 ， 它 们的 概 率 密 度 分 别 为f1( x)和
(D)F1( x)F2 ( x)必 为 某 一 随 机 变 量 的 分布 函 数.
(1987年数学一) 设在一次试验中，事件A发 生的概率为p，现进行n次独立实验，则A至少 发生一次的概率为————；A至多发生一次 的概率为————。
(2002数 学 一)设 随 机变 量X服 从 正态 分 布N ( , 2 ),
(1994年数学一) 已知A和B两个事件满足条 件P(AB)= P( A B) 且P(A)=p, 则P(B)=?
(1998年数学一) 甲、已两人独立的对同一目 标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已 知目标被击中，则它是甲射中的概率为？
(1997年数学一) 袋中有50个球，其中20个是 黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋 中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄 球的概率为？
(1994数 学 四)某 保 险 公 司 多 年 的 统 计资 料 表 明 ： 在 索 赔 户 中 被 盗 索 赔 户占20% ,以X表 示 在 随 机 抽 查 的100个 索 赔 户 中,因 被 盗 向 保 险 公 司 索 赔的 户 数 。 (1)写 出X的 概 率 分 布 。 (2)利 用 德 莫 佛 拉 普 拉 斯 定 理 ， 求 被 盗索 赔 户 不 少 于14户 ， 且 不 多 于30户 的 概 率 的 近 似 值 。 附 表 ：(0) 0.5, (0.5) 0.692, (1.0) 0.841 (1.5) 0.933, (2.0) 0.977, (2.5) 0.994
设r.v.n(n 1, 2, )服从参数为b(n, p), 对于x, 恒有
lim P n np
x x
1
-t2
e 2 dt.
n np(1 p) - 2
lim Pa n np b (b) (a) b
1
-t2
e 2 dt
n
npq
a 2
因而当n较大时, 我们可以用正态分布的数值表 来 近 似 计 算 二 项 分 布 的概 率, 又 为 二 项 分 布 找 到 了一个近似计算公式, 在使用时, 只有当p很小时 才 能 用Poisson分 布 来 近 似 二 项 分 布, 而 用 德莫佛 拉普拉斯定理时则没有这个限制.