求与圆有关的轨迹方程的方法及例题
求与圆有关的轨迹方程的方法及例题
求与圆有关的轨迹方程［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。
（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M （x, y），已知曲线上的点为N （x o, y o）,求出用x，y表示x o, y o的关系式，将（x o，y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
［讲解设计］重点和难点例1 已知定点A (4, 0)，点B是圆x2+y2=4上的动点，点P分AB的比为2: 1，求点P的轨迹方程例2自A (4, 0)引圆x2+y2=4的割线ABC ,求弦BC中点P的轨迹方程例3 已知直角坐标平面上的点Q （2, 0）和圆C :x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数・c 0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
（1994年全国高考文科题）例4 如图，已知两条直线l i：2x-3y+2=0，I2: 3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l i，I2都相交，并且l i与I2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。
（1983年全国高考题）练习与作业1．已知圆C1：（x+1）2 + y2=1 和C2：（x-1）2 + （y-3）2=10，过原点O的直线与C i交于P，与C2交于Q,求PQ线段的中点M的轨迹方程。
2 •已知点A (-1 , 0)与点B (1 , 0) , C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D，使|CD|=|BC| ，求AC 与OD(O 为坐标原点)的交点P 的轨迹方程。
高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理-圆的轨迹方程例题
高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理|圆的轨迹方程例题符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。
巧用相切关系求动圆圆心的轨迹方程
求动圆圆心的轨迹方程包头市第一中学---赵胜凡直线与圆相切，圆与圆相切是圆这一节的重要内容，它主要体现在圆的半径及其圆心距的数量关系上，从而利用这一特点求动圆圆心的轨迹或轨迹方程的问题在高考及资料中经常见到，显然此类问题简洁的解法就是利用圆的几何性质，这类问题一般不难，但比较灵活，学生在解决这类问题时不容易把握，经常出错，本人整理了一些常见类型，试图揭示其本质，使学生把握其规律，掌握这类问题。
类型1 动圆与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程例1.已知动圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切，求圆心的轨迹方程.解析：设所求圆心为（x,y)，有已知可得3)3()0(22+=-+-y y x ，化简并整理的 y x 122=，是一条抛物线，其中顶点为（0，0），焦点为（0，3）例2. 求与圆C ：0422=-+x y x 相切且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 即4222=+-y x ）（，设动圆的圆心为）（y x P ,（1）若动圆P 与圆C 相外切，则2222+=+-x y x ）（，所以x x y 442+=，即 时，x y 82= (x>0)或02=y （x<0）.（2）若动圆P 与圆C 内切，则0=y （x>0,且2≠x ） 综上 ，所求轨迹方程为x y 82= （x>0)或y=0 ( 2,0≠≠x x 且)点评：本题两圆的位置关系注意不要忘记动圆P 与定圆C 内切的情况 .类型2 动圆与已知定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程例3 . 过已知圆C 内一个定点A 作圆'C 与已知圆C 内切，则圆心的轨迹是（ ）A.线段B.圆C.椭圆D.圆或椭圆解析：若点A 为圆C 的圆心，则点'C 的轨迹为圆，若点A 不是圆C 的圆心，由两圆内切可知A C R CC ''-= 即R A C CC =+''（其中R 为圆C 的半径），因此点'C 的轨迹为椭圆.故选D评析：此题学生容易忽略点A 为圆心时的一种情况，从而错选C. 例4.已知一个动圆M 与定圆C ：100422=++y x ）（，且过点A （4，0），求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：根据已知条件得MA MC -=10,即10=+MA MC ，又8=CA ,由椭圆的定义知，点M 的轨迹为以A,C 为焦点的椭圆，其中a=5, c=4,所以92=b 因此所求轨迹为192522=+y x . 例5.已知定点A （3，0）和定圆C ：16322=++y x ）（，动圆P 和圆C 相切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：设动圆的半径为r,且圆心坐标为）（y x ,, 根据已知条件⎩⎨⎧=+=r PA r PC 4，或⎩⎨⎧=-=rPA r PC 4，即 4±=-PA PC ,有双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹为以），（），，（0303A C -为焦点且实轴长2a=4的双曲线，其方程为15422=-y x . 评析：观察例4及例5不难发现其条件基本相同但结论差异很大，一个是椭圆，另一个是双曲线.其原因在于定点与定圆的的位置关系不同，例4中的点A 在定圆内，而例5中的点A 在定圆外.这类题目还可以这样变化，变式：已知点)0,2(A ，定圆C ：16)2(22=++y x ，动圆P 与圆C 相切且过点A ，求点P 的轨迹方程.其结论应该为y=0 ）且（2,2≠->x x ，此时点A 在定圆上，可见在其他条件不变的情况下影响轨迹类型的主要是点A 与定圆的关系.类型3.动圆与已知两圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.例6. 求与圆13:221=++y x C ）（及93:222=+-y x C ）（都外切的动圆圆心C 的轨迹方程. 解析：设动圆C 的半径为r ，根据已知条件知r 11+=CC 及r 32+=CC ，所以212=-CC CC <6,则动点C 的轨迹为双曲线的左支，又a=1,c=3,所以82=b ，因此点C 的轨迹方程为）（01822≤=-x y x . 评析：本例学生以忽略限制条件0≤x 导致出错.若将此题条件圆2C 的方程改为1322=+-y x ）（，其余条件不变，此时动圆圆心的轨迹将变为线段21C C 的垂直平分线.例7.已知一个动圆M 与定圆1004:221=++y x C ）（相内切，与定圆44:222=+-y x C ）（相外切，求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：设动圆圆心M 的坐标为）（y x ,半径为r,由题意得r 101-=MC ，r 22+=MC 所以1221=+MC MC ,所以点M 的轨迹为以21,C C 为焦点的椭圆，且长轴2a=12,焦距2c=8，即a=6,c=4,所以202=b ，故所求轨迹方程为1203622=+y x . 点评：通过以上两例发现相切关系不一样所得方程类型也不一样.通过以上例题，我们不难发现，这些题目的共同特点都是相切，不管是动圆与直线还是与定圆，条件都相差不多，解题过程也大体相同（结合圆锥曲线的第一定义），但轨迹的类型各不相同，解题时稍不注意就会出错，以上就是本人对这类问题的一点粗浅认识，希望能对大家有所帮助.。
与直线和圆有关的轨迹问题
（定义法）
例2.已知点A(1,0), B(1,0),C是圆x2 y2 1上的 动点, 连接BC并延长至D点,使 | CD || BC |,求直 线AC与 直 线OD的 交 点P的 轨 迹 方 程.
直线与圆方程的综合问题
例6.已知圆C : x2 y2 2x 4 y 3 0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距的绝对值相等, 求此切线方程； (2)从圆C外一点P( x1, y1 )向圆引一条切线,切点为 M , O为坐标原点,且有 | PM || PO |, 求使 | PM | 最小 时的P点坐标.
（转移法）
练 习:已 知 线 段AB的 端 点B的 坐 标 为(1,2),端 点A 在圆x2 y2 4上运动,求线段AB中点M的轨迹 方 程.
例3.过 点A(0,1)作 直 线 交圆M : ( x 2)2 y2 1于 点 B、C,在 线 段BC上 取 点P,使 | BP |:| PC || AB |:| AC |,求 点P的轨迹方程.
(a 2)(b 2) 2 (2)求线段AB中点的轨迹方程.
总结：
1.求轨迹方程的方法,主要有定义法、转移法、参数法、几 何法、交轨法.
2.(1)求两条直线、直线与曲线的交点的轨迹,首先选用 的是交轨法。
(2)K参数法是选取直线的斜率作为参数。 (3)由于圆的几何性质特别明显,几何法是众多方法中最 简单的.
(参数法)
例4.直 线 l1
:
y
2(x t
轨迹方程求轨迹方程的的基本方法
轨 迹 方 程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【解析】（1）由1)1(412++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）． （2）因为A 、B 在双曲线上，所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4)2(8)1(22-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4） 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)(第二课时)
一、代入法求轨迹方程：
例4：已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
方法总结
代入法也称相关点法：
如果轨迹上的动点P（x,y）依赖于另一动
点Q(a,b)，而Q又按某一个规律运动，则可 先用x,y表示a,b，再把a,b代入点Q所满足
圆的一般方程 （轨迹问题）
学习目标：
由已知条件求出圆的方程及轨迹方程
学习重难点:
根据已知条件求轨迹方程
预备知识：轨迹与轨迹方程 1、什么是轨迹？
符合一定条件的动点所形成的图形，或者 说，符合一定条件的点的全体所组成的集 合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2、轨迹与轨迹方程有区别吗？ 轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹 曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关 系式．
2 2
轨迹方程为x 3y 4( x 1)．
10
的条件便得到动点P的轨迹方程。
简记为：先有未知表示已知，再有 已知表示未知
练习：
1、已知点P在圆C： 2 2 x y 8x 6 y 21 0
上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
2、一个动点在圆：x2+y2=1上运动时，
它与定点（3,0）所连线段的中点P的 轨迹方程是什么？
F 2,0 为
2
二、直接法求轨迹方程：
1.(2010 上海卷)若动点P到点F 2, 0 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则点P的轨迹方程为 __________
程为y 8x.
方法总结
直接法也称直译法： 将已知条件直接翻译为关于动点的几何关 系，再利用解析几何有关公式（如两点间
求轨迹的几种求法
15
M
10
N
5
P
-30
-20
点P的 轨 迹 方 x2 程 y2 为 1
16 7
-10
A
B
10
-5
-10
【练习3】第3题-----变式
已知A圆 的方程 (x为 3)2 y2 1166,B(3,0)为一定 , 点 15 M为圆 A上的一个 ,线动段 M点的 B 中垂线A和M直
求轨迹的几种求法
三、定义法
分析题设几何条件，根据所学曲线的定义， 判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲 线的方程.
圆的定义：
|PC|=r (r>0)
椭圆的定义： |PF1| + |PF2| = 2a (2a > |F1F2|)
双曲线的定义： ||PF1| - |PF2|| = 2a (0 < 2a < |F1F2|)
的交点 P,N为 为垂,求 足动P的 点轨迹.方程 10
5
M
N
-20
-10
A
B
P
-5
【练习3】第3题-----变式
已知A圆 的方程 (x为 3)2 y2 1166,B(3,0)为一定 , 点 M为圆 A上的一个 ,线动段 M点的 B 中垂线A和M直 的交点 P,N为 为垂,求 足动P的 点轨迹.方程
问题1：一动圆与圆O1：(x+3)2+y2=4外切， 同时与圆O2：(x-3)2+y2=9内切，求动圆圆心 的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线．
想一想:
在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件 使动圆圆心形成新的轨迹？
【例题3】
已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0）， 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）△PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.
圆的一般方程2(求轨迹方程)
推导圆的标准方程 问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由 题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r．
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求与圆有关的轨迹方程
［概念与规律］
求轨迹方程的基本方法。
（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲
线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M （x, y），已知曲线上的点为N （x o, y o）,
求出用x，y表示x o, y o的关系式，将（x o，y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
［讲解设计］重点和难点
例1 已知定点A (4, 0)，点B是圆x2+y2=4上的
动点，点P分AB的比为2: 1，求点P的轨迹方程
例2自A (4, 0)引圆x2+y2=4的割线ABC ,求弦BC中点P的轨迹方程
例3 已知直角坐标平面上的点Q （2, 0）和圆C :
x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数・c 0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
（1994年全国高考文科题）
例4 如图，已知两条直线l i：2x-3y+2=0，I2: 3x-
2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l i，I2都相交，并且l i与I2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。
（1983年全国高考题）
练习与作业
1．已知圆C1：（x+1）2 + y2=1 和C2：（x-1）2 + （y-3）2=10，过原点O的直线与C i交于P，与C2交于Q,求PQ线段的中点M的轨迹方程。
2 •已知点A (-1 , 0)与点B (1 , 0) , C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D，使|CD|=|BC| ，求AC 与OD(O 为坐标原点)的交点P 的轨迹方程。
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