高等数学I习题课(12)

y x2 2x
3
V2 27
(1
0
1 y )2 dy
3
270 (2 y2 1 y )dy
S2
o 1 S1 2 3 x
1
27
[2
y
1
y2
4(1
y
)
3 2
]
3
27(6
9
32
4
)
43
，
23
0
233 6
故所求旋转体的体积V
V1
V2
11 6
43 6
9
。
另解：（薄壳法）
3
V 1 2x
f
(
x)dx
2
1 2x(2
x
t
csc2
tdt
2
t
d
( cott
)
4
4
tcott
2
2
cot tdt
44
ln sinx 4
2 4
4
ln
2 2
1ln2. 42
解法 2:
1
arctan x2
xdx
arctan
xd(
1
)
1
x
1 arctanx 1 d(arctanx)
x
1 1x
4
1
1 x(1
0
t
0
2
1 udu 确定，则该曲线对应于
1 udu
0t1 的弧长为 2 。
解： dx2t 1t 2 dt ，dy2t 1t 2 dt ，
dS (dx)2 (dy)2 2 2 tdt,
1
1
S0 dS0 2 2 tdt 2.
3.函数 y
x2
在[ 1, 3 ]上的平均值 y
3 1 12
.
1 x2 2 2
kmdx
0 (a x)2
.
m
L
oa x
m
L
x xdx o a
x
解：用微元法，在 x处取长为x的一段细杆 ，
其质量 M dx ，
则质点和这一小段细杆之间引力
dF kmdx
(a x)2
∴
F
0
L
kmdx
(a x)2
.
故应选（A）.
2.半圆形闸门的半径为 R，将其垂直放入液体中，且 直径与液面相齐。设液体的密度1 ，若坐标原点取
旋转一周所得的旋转体的体积。
y
解法 1：所求面积 S S1 S2 ，
(3,3)
S1
2
(2
x
x2
)dx
1
y x2 2x
(
x
2
1
x
3
)
2
(4
8
)(1
1
)
2
。
31
3
33
o
S2 1 S1 2 3
x
1
S2
3
(
x2
2
x
)dx(
1
x
3
x
2
)
3
2
3
2
(99)( 8 4) 4 。 33
S S1 S2 2 。
1.
2
(
x
dx 7)
x
2
解:
dx
令 x2 t 2tdt
2 (x7) x2
0 (t 2 9)t
2
0
t
dt 2
9
2arctan 3
t 3
. 03
2. arctan xdx
1
x2
解法 1:
arctanx dx
令arctanx t
1
x2
2 4
t tan2
t
se
c2
tdt
2
解： y 1
3 2
31 22
1 2
x2 dx(
1 x2
3
3 1) 2 1 2
x2 dx
1 x2
令xsint ( 3 1)
3
s
in2
t
cos
tdt
(
3 1)
3sin2 tdt
costBiblioteka 663 1 2
3 (1 cos 2t )dt
3 1(t 2
1 sin2t ) 2
3
3 1. 12
6
6
三、计算下列广义积分
y
(3,3)
y x2 2x
S2
o 1 S1 2 3 x
1
平面图形 S1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积
0
V1
(1
1
1 y )2 dy
0
(2 y2
1
1 y )dy
[2
y
1
y2
4(1
3
y)2
]
0
[4 (2
1
)] 11
，
23
1
3
2
6
平面图形 S2 绕 y 轴旋转一周
y
(3,3)
所得旋转体体积
可用定积分表示为（ A ）
（A） 2 4cos2d ； 0
（C） 2 4 cos2d ； 0
（B）4 4cos2d ； 0
（D） 1
4(cos 2)2 d
20
解：双纽线 ( x2 y2 )2 x2 y2 的极坐标方程为
r 2 cos2 ， [ , ][ , ] 。
44
44
由对称性可知，所求面积为
x
2
dx )
4
1 2
d( x2 ) 1 x2(1 x2 )
1 42
1
1 x2
(x12xx22)d
(
x
2
)
1
42
(
1
1 x2
1 1 x
2
)d
(
x
2
)
4
1 2
ln1xx2 2
1ln2. 142
3. 1
xdx
0 (2 x2 ) 1 x2
解： x1 是瑕点，令xsint ，则
习题课十二
1.如图，x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 L 的细杆，
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力
系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ ）
（A）
0 kmdx L(a x)2
；
（B）
L
0
kmdx (a x)2
；
（C） 2
0 kmdx
L 2
(a
x
)2
；（D） 2
L 2
x2
)dx
3
2 2x(
x2
2x)dx
2
2
(2
x2
x3
)dx
2
3
(
x
3
2x2
)dx
1
2
2[ 2x3 x4 ] 2 2[ x4 2 x3 ] 3
3 41
4 32
2[(1616)( 2 1)]2[(81 54)(1616)]9.
3 4 34
43 43
2．设有曲线 y x1 ，过原点作其切线，试求： （1） 切线方程； （2）此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴
在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为（ C ）.
（A）
R
g
R2 x2dx ；
0
O
R
（B） 0 2g
R2 x2dx ；
x
y
x dx
R
（C） 2 0 gx
R2 x2dx ；
R
R
（D） 2 0 g(R x)
R2 x2dx 。
x
3. 双纽线 ( x2 y2 )2 x2 y2 所围成的区域面积
S 4
4
1
r
2d
2
4cos2d 。
02
0
3 4
2
4
o
5 4
x
4
二、填空题
1.如图，由曲线 ylnx 与两直线 y(e1) x 及
3
y0 所围成的平面图形的面积为 2 。
y
S
1
[(e
1)
y
e
y
]dy
3.
0
21
o
y(e1) x
yln x
1
e1
x
t2
2.设曲线L
由
x y
1
xdx
0 (2 x2 ) 1 x2
2
0
sintcostdt (2sin2 t )cost
sintdt
2
0 2sin2t
2
d (cos t )
arctan(cos
t)
2
(0 )
。
0 1cos 2 t
0
44
四、解答题
1．求曲线 y x2 2 x ， y0 ， x 1 ， x3 所围成
的平面图形的面积 S，并求该平面图形绕 y 轴
旋转一周所得到的旋转体的体积和表面积。
解：设切点为(x, x 1) ， 则过原点的切线方程为 y 1 x ，
2 x 1
y
o1 2
y x1
x
再以点(x, x 1) 代入，
y
解得 x 2 ， y x 11 ，
(2,1)
y x1
则切线方程为 y 1 x 。 2
o1 2
x
体积V 1122